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淮北师范大学2012年招收硕士研究生考题（A ）招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论考试科目：高等代数说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、简答题（每题9分，共54分）1、若()()323121x xf x f x x +++，证明：()()121,1x f x x f x --. 2、已知向量组12,,,n ααα线性无关，向量组12,,,,n αααβ线性相关，证明：β可由向量组12,,,n ααα唯一线性表出.3、已知等价的向量组秩相等，问秩相等的向量组是否等价？举例说明.4、设3级矩阵A 的行列式值是-2，计算1*2---A A .5、设2级矩阵A 的特征多项式为()21021f λλλ=-+，计算1A -的特征多项式.6、设A 是n 级矩阵，若()1r A n =-，且12,αα是方程组0AX =的两个不同的解，求齐次线性方程组0AX =的通解.二、（12分）证明：多项式()!!212p x x x x f p++++= 在有理数域上不可约，其中p 是一个素数.三、（12分） 计算n 级行列式72000007200057200057 =n D四、（12分）设,A B 是两个n 级实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明：存在n 级实可逆矩阵T ，使T T AT 与T T BT 同时为对角形.五、（14分）设B A ,为n 级矩阵，满足22B A =，但||||B A ≠。
证明： （1）A 为可逆矩阵；（2）B A +不是可逆矩阵.六、（15分） 设()ij A a =是m n ⨯矩阵（m n <），已知齐次线性方程组0AX =的基础解系为()12,,,(1,2,,)Ti i i in b b b i n m β==-。
2019暨南大学考研709数学分析与810高等代数复习全析（含真题）《2019暨南大学考研709数学分析复习全析（含真题，共三册）》《2019暨南大学考研709数学分析复习全析（含历年真题，共三册）》由鸿知暨大考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。
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《2019暨南大学考研709数学分析复习全析（含历年真题）》全书编排根据：《数学分析》（华东师大，高教第四版，上下册）2018暨南大学709数学分析考试大纲官方规定的参考书目为：《数学分析》（华东师范大学，高教第四版，上下册）结合提供的往年暨大考研真题内容，帮助报考暨南大学硕士研究生的同学通过暨大教材章节框架分解、配套的课后习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。
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适用院系：经济学院：071400统计学（数学方向）信息科学技术学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论适用科目：709数学分析内容详情本书包括以下几个部分内容：Part 1 - 考试重难点：通过总结和梳理《数学分析》（华东师大，高教第四版，上册）、《数学分析》（华东师大，高教第四版，下册）各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。
Part 2 - 教材课后习题与解答针对《数学分析》（华东师大，高教第四版，上册）、《数学分析》（华东师大，高教第四版，下册）教材课后习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对暨大考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。
12013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）****************************************************************************************学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题） **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。
共7小题，每小题3分，共21分.）： 1、多项式32()24f x x x x t =--+有重因式，那么t =_________________.2、行列式034100002000234的第三行元素的代数余子式31323334A A A A +++=_____. 3、如果三阶矩阵100100A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么n A = ___________________. 4、已知两向量1(1,2,4)α=,2(2,1,7)α=,那么与12,αα线性无关的所有向量为_____________________.5、矩阵方程13322465X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 那么X =_______________________.6、设数域F 上的三维列向量空间V 上的线性变换ϕ在基123{,,}e e e 下的矩阵是112201121-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭那么ϕ在基321{,,}e e e 下的矩阵是__________________________. 7、已知A 是n 阶实对称矩阵，当实数s 充分大时，sI A +一定是正定矩阵，那么给出s 应满足的下界是_____________.二、 在每个题后给出的3个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（共7小题，每小题3分，共21分） 1、 下面论述中, 正确的有几条_______________ (1) 奇数次实系数多项式必有实根； (2) 代数基本定理适用于复数域；(3) 如果()|(),()|()f x g x f x h x ，那么()|(()())f x g x h x ±; (4) 如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +-=. A 1 B 2 C 3 D 4 2、1320021300321001*********=____________ A 18 B 36 C -18 D -36 3、已知123452345123452345123452345123452345123451333332555553777774999995x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪++++=⎪⎩ ,那么此方程组__________ A 无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 解的个数有限4、已知矩阵21012000A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 555033001B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,要使A 和B 相似，则t=_____A 0B 1C 3D 55、向量组1234,,,αααα的秩是3，向量组1235,,,αααα的秩是4，那么12354,,,34ααααα-的秩是_____A 2B 3C 4D 无法确定六、(15分七、（12分八、（12分2运筹学与控制论专业 研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 6、下列关于二次型的陈述正确的是___________ A 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 B 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零 C 若A 为负定矩阵，则必有||0A <D 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零 7、下列矩阵在实数域上合同于单位阵的是__________________A 111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C 121271118⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 21231323242⎛⎫⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭三、(15分) 求矩阵962181231896A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形. 四、（15分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系1245123412345123453221426348242479x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩五、(15分) 设二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准型.。
暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数） 2005年1、 （20’）设m 是大于1的整数，12()...1m m f x xx --=+++，证明：()f x 整除()mf x c +的充要条件是c=-m2、 (20’)设n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 000002cos 102cos n D βββββ=1，（1） 当2k βπ=时，k 为整数，计算n D （2） 当k βπ≠时，k 为整数，证明sin(1)sin n n D ββ+=3、 (15’)下列线性方程组的系数行列式0D =，D 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，11112212112222112200(1)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证明：这个方程组的解都可以写成12(,,,)i i in kA kA kA 的形式，k 为任意数.4、(20’)设A ，B 是两个n 级方阵，证明：AB 与BA 有相同的特征多项式5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.222123123121323(,,)235448f x x x x x x x x x x x x =+++--.6、(15’)设123(,,)L ααα表示向量1(1,0,2,0)α=,2(0,2,0,3)α=,3(2,6,4,9)α=生成的实向量空间4R 的子空间，把123(,,)L ααα的一个基底扩充成4R 的一个基.7、(20’)设σ是实向量空间3R 的线性变换，对任意向量(,,)x y z α=,()(,,)(2,23,3)x y z y z x z x y σασ==+-+--.求σ的特征根与特征向量.8、(20’)设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ的值域与σ的核重合，证明： （1）n 是偶数；（2）如何选取V 的基，才能使σ在这个基下的矩阵是若尔当（Jordon ）标准形，并写出这个标准形.2006年一、 选择题(每小题5分)1、用多项式2()31g x x x =-+除多项式42()2456f x x x x =+-+所得的余式()r x =（ ）2.4914.4914.14.491.a x b x c x d x e ----前面的答案均不对2、如果()g x 是一个非零多项式，且'(1)(1)0g g ==,'(2)(2)0g g ==,则()g x 一定有因子：（ ）22.7..16.(1)(2).a x b x c x d x x e ----前面的答案均不对3、如果行列式0112013aD x-=-的第一行第一列元素a 的代数余子式114A =，则x =（ ）..7.3.2.6.a b c d e 前面的答案均不对4、由行列式定义的x 的多项式212111()321111xx x f x xx-=的最高项系数是（ ）..7.2.8.6.a b c d e 前面的答案均不对5、如果齐次线性方程组1112131412122232423132333434142434440000a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦只有零解，则（ ）. 11121314121222324231323334341424344413.57a a a a x a aa a x a a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组无解； 11121314121222324231323334341424344410.90a a a a x a aa a xb a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有无穷解； 11121314121222324231323334341424344413.88a a a a x a a a a x c a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有唯一一组解；11121314121222324231323334341424344401.01a a a a x a a a a x d a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有两组不同的解； .e 前面的答案均不对6、如果向量组{}123,,ααα是线性无关组，则（ ）也是线性无关组.{}{}{}1223311221122331.,,.,,.,,a b c αααααααααααααααα+++-++-{}122331.,,.d e αααααα---前面的答案均不对7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵，则（ ）. .a 任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵； .b 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵； .c 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆； .d 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆； .e 前面的答案均不对. 8、设{}12,,,n ααα和{}12,,,n βββ均是实数域R 上的同一个向量空间V 的基，从基{}12,,,n ααα到{}12,,,n βββ的过渡矩阵为A ，即1122n n A βαβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量空间V 中的向量γ关于基{}12,,,n βββ的坐标为12,,,n y y y （），即[]1212,,,n n y y y ββγβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则向量γ关于基{}12,,,n ααα的坐标为（ ）1''12121212.,,,.,,,.,,,.,,,n n n n a y y y A b y y y A c y y y A d A y y y -（）（）（）（）.e 前面的答案均不对9、三元二次型222123111222333121213132323(,,)222f x x x a x a x a x a x x a x x a x x =+++++可能的规范型是：（ ）{}{}{}222222222222222222123123123123123123..,.,,a y y y b y y y y y y c y y y y y y y y y +++++-+++---{}222222222123123121.,,0.d y y y y y y y y y e +±±--±±±，，前面的答案均不对10、当（ ）时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定.44444.(,0).(,0)(0,1).(,0)(0,).(,0)(1,2)55555a tb tc td t ∈-∈-∈-∈-.e 前面的答案均不对11、( )是实数域上次数不超过3次的多项式作成的向量空间的一组基.{}{}{}{}333.1,,,.1,2,,.1,,(1),(1)(2).1,2,9,a x x x b x x x c x x x x x x d x x x -+----+-+.e 前面的答案均不对12、若尔当矩阵1000010000000001000n nA λλλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足0nA =的充要条件是（ ）. .0.0.0.0.a b c d e λλλλ><≠=前面的答案均不对13、区间[]0,1上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上一个向量空间，该空间是（ ）......a b c d e 无限维向量空间有限维向量空间分数维向量空间三维向量空间前面的答案均不对14、如果A 是n 阶实矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则（ ）..()0.()0.().1().a f A b f A c f A d f A e ≠=可逆是对特征值前面的答案均不对15、区间[]0,1上所有可微实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空间，由2211sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos 22x x x xx x e x e x xe x xe x x e x x e x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭生成的子空间关于微分变换D 是（ ）......a b c d e 其核空间其象空间不变子空间其核空间的正交补空间前面的答案均不对16、矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的初等因子是（ ）. {}{}{}{}32323(1)..1,(1).1,(1).1,(1),(1).a b c d e λλλλλλλλ--------前面的答案均不对17、设12,(,,)n u u u u =，12,(,,)n v v v v =都是n 维(2)n ≥欧氏空间n R 中给定的非零行向量，E 是n 阶单位矩阵.令[]121,,,,1,2,,;0nn i i i i V x x x x R i n u x =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑，则矩阵'A E v u =-（ ）.'.1.1.v u a b c ⊥有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V'.v u .d e ⊥有特征值且其特征子空间为V 前面的答案均不对18、如果λ是实正交矩阵Q 的实特征值，则（ ）.1.1.{1,1}.cos sin .a b c d i e λλλλθθ==-∈-=+前面的答案均不对19实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（ ）......a b c d e 它们有相同的维数它们有不同的维数它们有相同的基它们为相同的向量空间前面的答案均不对 20、如果{}12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基,则（ ）是1{}W k k V α=∈的正交补空间W ⊥的一组基。
