命题 定理 证明(1)导学案

《命题、定理、定义》导学案一、学习目标1、了解命题的概念，能区分命题的条件和结论。

2、理解定理和定义的概念，知道定理是经过证明的真命题，定义是对概念的明确规定。

3、会判断一个语句是否为命题，能将命题改写为“如果……那么……”的形式。

二、学习重难点1、重点（1）命题的概念和构成。

（2）区分命题的条件和结论。

2、难点将命题改写为“如果……那么……”的形式，并判断其真假。

三、知识回顾在数学中，我们经常会遇到各种各样的语句，比如：“两点之间，线段最短”“对顶角相等”等等。

那么，这些语句有什么特点呢？四、新课导入观察下面的语句：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）等式两边加同一个数，结果仍是等式。

（3）对顶角相等。

思考：这些语句有什么共同的特点？五、知识讲解1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

例如：“同旁内角互补，两直线平行”“直角都相等”等都是命题。

注意：命题必须是一个完整的句子，并且能够判断真假。

2、命题的构成命题由条件和结论两部分组成。

条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

例如：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

”其中“两条直线都与第三条直线平行”是条件，“这两条直线也互相平行”是结论。

3、命题的形式通常，命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的是条件，“那么”后面接的是结论。

例如：“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

4、真命题与假命题如果命题的结论是正确的，那么这样的命题叫做真命题；如果命题的结论是错误的，那么这样的命题叫做假命题。

例如：“直角都相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题。

5、定理经过推理证实为真命题的命题叫做定理。

定理可以作为继续推理的依据。

例如：“三角形内角和等于180°”就是一个定理。

6、定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。

例如：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”就是直角三角形的定义。

第三单元命题定理证明一、教法建议抛砖引玉本单元的主要内容是命题，定理和证明，在教学时，通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，但不要在这些概念和术语上下功夫，能初步掌握就可以了，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假，要讲清楚这些内容，注意结合熟悉的事例，要求学生了解就可以了，不要让学生死记硬背这些术语.对于命题的证明,要重点讲解.教学时,在前面已有的基础上,向学生详细介绍证明的一般步骤，举例说明证明一个命题的全过程，练习和习题中配备较多的证明的填空练习，要让学生重点练习，在练中学，使学生了解综合法证明几何命题的格式，为今后证明训练打下基础.在教学中，注重培养学生的逻辑思维能力.逻辑推理训练是培养逻辑思维能力的一个重要内容，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式.掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题.教学中要从易到难，慢慢增加难度.在学中掌握，在用中掌握与提高.千万不能操之过急.指点迷津在学习命题时，有些命题的题设和结论不明显.例如，“同角（或等角）的余角相等”，“同角（或等角）的补角相等”等，一些没有写成“如果……那么……”形式的命题，往往搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用方法可以套用.如何分清题设和结论，只要多研究实例，多作练习，在实践中学习，从中升华.有时需要结合图形作具体分析.对于像“同角的余角相等”，“对顶角相等”这类简述的命题，一般可以添上省去的词语后再进行分析，类似这样的命题，把它的图形画出来，更有助于对命题分析.教学中循序渐进，由浅入深，图文并茂.学练结合，加强指导.将会共渡难关，收到较好成效！二、学海导航思维基础基础知识必须强化，扎实，才能为更好学习铺平道路.1.判断一件事情的句子，叫 .2.每个命题都是由题设，两部分组成.题设是；结论是由已知事项 .3.如果题设成立，，像这样的命题，叫做 .4.题设成立时，不能保证结论总是正确的，也就是，这些命题都是错误的命题，像这样的命题叫做 .5.它们的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，，这样的真命题称为公理.6.它们的正确性是用推理的方法进行证实的，这种定理，推理过程叫做证明.7.___________叫等量代换.8.证明一个命题一般步骤是：（1）；（2）；（3） .在一般情况下，分析的过程不要求写出来.9.判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不 . 学法指要【例1】判断下列语句是不是命题:（1）线段的中点到线段两端点的距离相等；（2）相等的两个角是对顶角；（3）过已知直线外的任一点画出已知直线的垂线；（4）凡直角都相等；（5）不相等的两个角不是对顶角；（6）与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交.思考：1.你知道什么叫命题吗？ 2.怎样判定一个句子是命题？思路分析：判断一件事情的句子，叫做命题.由此可知，判定一件事情的句子是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题.根据这一分析，思路自然清晰.解：根据命题的定义可知：1，2，4，5，6是命题；3.不是命题.【例2】将下列各句改写成“如果……那么……”的形式.1.对顶角相等；2.等角的余角相等；3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；4.同旁内角互补，两直线平行；5.同圆的半径相等.思考：1.如何把省略掉的词语重新补上？ 2.根据命题你能画出图形吗？根据图形，能写出“如果……那么……”的命题吗？ 3.对省去“如果”“那么”的命题如何进行分析？思路分析：省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了.解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等.【例3】指出下列命题的题设部分和结论部分.1.直角都相等；2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；4.钝角大于它的补角；5.大于90°而小于180°的角是钝角；6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角.思考：1.每个命题都由哪两部分组成？请你说出来. 2.题设表示什么意思？结论表示什么意思？ 3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？能否改写成“如果……那么……”形式呢？ 4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？又如何表示？思路分析：解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思，便可找出题设与结论，对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义.根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分.解：1.题设：两个角都是直角；结论：这两个角相等.2.题设：互为邻补角的两个角的两条角平分线；结论：这两个角平分线互相垂直.3.题设：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；结论：垂线段最短.4.题设：∠α是∠β的补角，且90°<∠α<180°；结论：∠α<∠β5.题设：90°<∠α<180°结论：∠α是钝角.6.题设：两个角的和等于平角；结论：这两个角互补.【例4】判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.1.两点之间,线段最短；2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3；3.同旁内角互补；4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行；5.如果a+b=0，那么a=0,b=0；6.两个锐角的和是锐角.思考：1.什么叫命题？ 2.什么叫真命题？ 3.什么叫假命题？ 4.判别假命题的方法是什么？请你叙述.思路分析：要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可.于是以上各题真假便眉目分明了.解：1.真命题，这是关于线段的一个公理.2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是-3.3.假命题，任意两条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三条直线所截，才有同旁内角互补的结论.4.假命题：如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行.5.假命题：如果a=2,b=-2,2+(-2)=0a=2≠0,b=-2≠0.6.假命题，如果60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角.【例5】区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理？1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；2.两点之间，线段最短；3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；4.对顶角相等；5.垂线段最短.思考：1.定义、公理、定理的内容你知道吗？ 2.定义、公理、定理有何区别？思路分析：只要理解定义、公理、定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理.解：（1），（2）是公理；（3）是定义；（4），（5）是定理.【例6】填写下面证明中的空格：已知：如图2-97，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE.证明：∵ CD⊥AB，GF⊥AB（已知）∴∠CDB= =90°（）∴∥（）∴∠1= （）∵∠1=∠2（已知）∴∠2= （）∴∥（）∴∠B=∠ADE图2-97思考：1.叙述平行线判定公理、定理； 2.叙述平行线性质公理、定理. 3.证明一个命题有哪些步骤呢？ 4.证明两角相等有哪些思维方法？思路分析：括号里的证明依据，应从已知入手，结合图形，联想公理、定理，便可填写准确的依据.解：∠FGB；垂直定义；CD，FG；同位角相等，二直线平行；∠BCD；二直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE，BC；内错角相等，二直线平行；二直线平行，同位角相等. 思维体操【例1】已知：如图2-98，AD∥BC，∠A=∠C求证：AB∥CD图2-98思考：1.要证明二直线平行，你考虑有几种方法？ 2.证明二直线平行是用平行线判定公理及定理，还是用平行线性质公理及定理？思路分析：证明二直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明二直线平行问题，通常转化为证角等或者同旁内角互补问题.所以对本例，至少可找到两种以上思路.证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C（已知）∴∠C=∠CBE（等量代换）∴ AB∥CD（内错角相等，二直线平行）又证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）∵∠ABC+∠CBE=180°（邻补角定义）∵∠A=∠C（已知）∴∠ABC+∠C=180°（等量代换）∴ AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）再证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A+∠ABC=180°（二直线平行，同旁内角互补）∵∠A=∠C（已知）∴∠C+∠ABC=180°（等量代换）∴ AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）证法四：延长BC，DC（如图2-99）∠1=∠2（对顶角相等）∵∠1=∠C，∴∠2=∠C（等量代换）∵∠A=∠C（已知）∴∠2=∠A（等量代换）∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠3（二直线平行，同位角相等）∴∠3=∠2（等量代换）∴ AB∥CD（同位角相等，二直线平行）图2-99【例2】如图2-100.1.已知AD∥BC,可以得出哪些角相等?为什么?2.已知AB∥DC,可以得出哪些角的和是180°,为什么?3.已知∠3=∠7,可以得出哪两条直线平行?为什么?4.已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°,可以得出哪两条直线平行?为什么?5.由哪两条直线平行，可以得到∠4=∠8，为什么？6.由哪两条直线平行，可以得到∠3+∠4+∠5+∠6=180°？为什么？图2-100思考：1.怎样找两个角相等或互补？ 2.如何找出两条直线平行？它的依据是什么？3.平行线的判定公理及定理与平行线的性质公理与定理有何区别？思路分析：证明两角相等或互补，通常转化证二直线平行，从而通过同位角，内错角或同旁内角可沟通题设与结论关系.反之，要证二直线平行，一般地说可转化证明两角相等，两角互补，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可达目的，沿着这两大思路进行思维，再结合题设与图形，思路顿开.解：1.∠1=∠5，∠4=∠8.因为二直线平行，内错角相等；2.∠1+∠2+∠7+∠8=180°，∠3+∠4+∠5+∠6=180°，因为二直线平行，同旁内角互补；3.AB∥CD.因为内错角相等，二直线平行；4.AD∥BC.因为同旁内角互补，二直线平行；5.AD∥BC.因为二直线平行，内错角相等；6.AB∥CD.因为二直线平行，同旁内角互补.【例3】如图2-101，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：CD平分∠ACE.思考：1.你知道角平分线定义吗？ 2.证明两角相等，通常选取哪些方法？ 3.同角（或等角）的余角有何关系？图2-101思路分析：从题设及观察图形可知，首先由∠DCA=∠CAB证得AB∥CD，进而可知∠DCB=90°-∠1，∠DCE=90°-∠2，又∠1=∠2，根据等角的余角相等，即可获证.证明：∵∠DCA=∠CAB（已知）∴ AB∥CD（内错角相等，二直线平行）∴∠ABC+∠BCD=180°（二直线平行，同旁内角互补）∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°∴∠DCA=90°-∠1又∵∠DCE=180°-∠BCD-∠2=180°-90°-∠2=90°-∠2∵∠1=∠2（已知）∴∠DCA=∠DCE（等角的余角相等）从而CD平分∠ACE.三、智能显示心中有数了解命题的概念，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式.对定义、公理、定理的概念要了解，了解“证明的必要性和推理过程中要每步有据，了解综合法证明的格式.动脑动手1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例.（1）邻补角是互补角；（2）互补角是邻补角；（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；（4）不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.2.指出下列命题的题设和结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）任意两个直角都相等.3.完成下面证明：已知：如图2-102，AB∥CD，AD∥BC.求证：∠A=∠C图2-1024.证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.（只要求画出图形，写出已知，求证）创新园地1.已知：如图2-103，∠1=∠2.求证：∠2=∠32.如图2-104，AB∥CD，BEFGD是折线，求证：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G图2-103 图2-1043.如图2-105，ABCDEFG中，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M，求证：∠AMG=∠34.如图2-106，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠BEF=∠EFC5.如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36°，∠ACB=60°，AQ平分∠FAC，求∠HAQ 的度数.图2-105 图2-106 图2-107四、同步题库一、填空题1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分是题设，用“”开始的部分是结论.2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 .3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1和l2的关系为 .4.如图2-108所示，直线l∥m，若∠α=70°，则∠β= .5.如图2-109所示，a∥b，∠1-2∠2=60°，则∠1= ；∠2= .图2-108 图2-1096.“同位角相等，两直线平行”这个命题的题设是 .7.“过两点有且只有一条直线”是 .8. 叫做命题，每个命题都是由；两部分组成.9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做 .10.证明一个命题的步骤是：①根据题意, ；②根据题设、结论、结合图形、写出； .③经过分析，找出由推出的途径，写出 .二、选择题11.下列语句中，不是命题的是 .（A）两点之间，线段最短（B）对顶角不相等（C）连结A、B两点（D）不重合的两条直线有一个交点12.给出下列四个命题：①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直.其中真命题有 .（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个13.如图2-110，下列推理中正确的是 .（A）∵∠1=∠2，∴ AB∥CD（B）∵∠ABC+BCD=180°，∴ AD∥BC（C）∵ AD∥BC，∴∠3=∠4（D）∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2∴ AB∥CD图2-11014.下列命题，正确的是 .（A）如果∠α=180°-∠β，则∠α是补角（B）如果∠α+∠β=90°，则∠α是余角（C）40°角是50°角的余角（D）余角是补角的一半15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是 .（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（B）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（C）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角（D）如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等16.下列语句是命题的是 .（1）过一点作直线的垂线（2）如果a∥b且b∥c，那么a∥c（3）∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3（4）同位角互补，两直线平行（A）（2）（B）（2）、（3）（C）（2）、（3）（4）（D）（1）、（2）、（3）、（4）17.下列命题，正确的是 .（A）两锐角的和是直角（B）若∠AOB+∠BOC=90°，则∠AOC是直角（C）若∠α是∠β的邻补角,则∠α与∠β中一定有一个是钝角,一个是锐角（D）若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角18.下列命题是假命题的是 .（A）垂线段最短（B）对顶角相等（C）同位角相等（D）一个锐角的补角大于这个锐角19.下列命题中，假命题是 .（A）没有公共点的两条直线必定平行（B）同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l，垂足为B，A、B两点不重点，那么l1⊥l（C）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短（D）两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行20.下列四个命题中,真命题是 .（A）如果一个角有补角，则这个角必是钝角（B）如果一个角有余角，则这个角必是锐角（C）互补的两个角一定是邻补角（D）如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补三、解答题21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：（1）邻补角的平分线互相垂直.（2）两直线平行，内错角相等.22.已知点C，C′分别是AB、A′B′的中点，AC=A′C′，求证：AB=A′B′23.如图2-111所示，已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，求证：DE⊥BC24.如图2-112所示，已知∠1+∠2=180°，求证：∠3+∠4=180°25.如图2-113所示，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK 是∠MGB的平分线，∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数.图2-111 图2-112图2-113 图2-11426.已知：如图2-114，AB∥DC，AD∥BC，∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数.27.已知：如图2-115所示，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，求证：BC∥AE.图2-115 图2-11628.已知：如图2-116所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.29.图2-117，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC.30.已知，如图2-118，∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，求证：AB∥EF.图2-117 图2-118参考答案动脑动手1.（1）真命题：（2）假命题.如图2-119，∠α+∠β=180°，但它们不是邻补角.（3）假命题.如图6能被2整除，但不能被4整除.（4）假命题.如图3>2，都乘以-1，则-3<-2.图2-1192.（1）题设：两条平行线被第三条直线所截.结论：同旁内角互补；（2）题设：等式的两边加上同一个数或同一整式.结论：所得的结果仍是等式.（3）题设：两条直线同平行于第三条直线.结论：这两条直线平行.（4）题设：两个角都是直角.结论：这两个有相等.3.AB∥CD，已知；∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）；AD∥BC，已知，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠A=∠C（同角的补角相等）4.如图2-120，已知：AB∥CD，EF分别交AB、CD于E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG∥FH.图2-120创新园地1.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ a∥b（内错角相等，二直线平行）∴∠2=∠3（二直线平行，内错角相等）又证：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）2.证明：过E点作EF′∥AB，过F作FF′∥AB，过G作GG′∥AB，则有AB∥EE′∥FF′∥GG′∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠F+∠D=∠1+∠3+∠4+∠6=（∠1+∠2）+（∠5+∠6）=∠E+∠G（等量代换）∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G注：本例的其他证法，请读者探索.3.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ AM∥CD（内错角相等，两直线平行）同理：∠4=∠5∴ GM∥DE∴∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角二边，那么这两个角相等或互补）4.证明：连结BC∵ AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠BCD（二直线平行，内错角相等）又∵∠1=∠2（已知）∴ ∠EBC=∠FCB （等式性质）∴ EB ∥CF （内错角相等，二直线平行）∴ ∠BEF=∠EFC （二直线平行，内错角相等）5.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ EF ∥AH （同位角相等，二直线平行）∵ ∠2=∠3（已知）∴ AH ∥CD （同位角相等，二直线平行）∵ GE ∥AH （已证）∴ ∠FAH=∠GFA=36°（二直线平行，内错角相等）∵ AH ∥BD （已知）∠HAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）∴ ∠FAC=∠FAH+∠HAC=36°+60°=96°∵ AQ 平分∠FAC （已知）∴ ∠FAQ=21∠FAC=48° ∴ ∠FAH=∠FAQ-∠FAH=48°-36°=12°同步题库一、填空题1.如果；那么2.如果两个角是等角，那么这两个角的余角相等3.相交4.50°5.140°；40°6.同位角相等7.公理8.判断某一件事情的句子；题设9.真命题 10.①画出图形 ②已知：求证 ③已知，求证，证明的过程二、选择题11.C 12.A 13.D 14.C 15.B 16.C 17.D 18.C 19.A 20.B三、解答题21.（1）已知如图2-121，∠AOC 与∠BOC 为邻补角，OD 为∠AOC 平分线，OE 为∠BOC 平分线，求证：OD ⊥OE.（2）已知如图2-122；直线a ∥b.求证：∠1=∠2.图2-121 图2-12222.证明：∵ C 为AB 中点（已知）∴ AC=21AB （中点定义） ∵ C ′为A ′B ′中点（已知） ∴ A ′C ′=21A ′B ′（中点定义） ∵ AC=A ′C ′（已知）∴ 21AB=21A ′B ′（等量代换） ∴ AB=A ′B ′（等式性质）23.证明：∵ ∠ACD=∠CDE （已知）∴ AC ∥DE （内错角相等，二直线平行）∴ ∠DEB=∠ACB （二直线平行，同位角相等） ∵ AC ⊥BC （已知）∴ ∠ACB=90°（垂直定义）∴ ∠DEB=90°（等量代换）∴ DE ⊥BC （垂直定义）24.证明：∵ ∠2+∠5=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴ ∠1=∠5（同角的补角相等）∴ a ∥b （同位有相等，二直线平行）∴ ∠3=∠6（二直线平行，同位角相等） ∵ ∠6+∠4=180°（邻补角定义）∴ ∠3+∠4=180°（等量代换）25.解：∵ MN ⊥AB （已知）∴ ∠MGB=90°=∠AGM （垂直定义）∵ GK 平分∠MGB （已知）∴ ∠MGK=21∠MGB=45°（角平分线定义） ∵ AB ∥DC （已知）∴ ∠AGE=∠CHG=120°（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠MGE=∠AGE-∠AGM=30°∴ ∠KGE=∠KGM-∠MGE=45°-30°=15°26.解：∵ AB ∥DC （已知）∴ ∠2=∠4=38°（二直线平行，内错角相等） ∵ ∠1=30°（已知）∴ ∠1+∠4=68°=∠A∵ AD ∥BC （已知）∴ ∠3=∠A=68°（二直线平行，同位角相等）27.证明：∵ BE 平分∠ABC （已知）∴ ∠ABE=∠EBC∠ABC=2∠ABE （角平分线定义）∵ ∠CBF=∠CFB=65°（已知）∴ ∠FBA=∠CFB=65°∴ AB ∥DC （内错角相等，二直线平行）∴ ∠EDF=∠A （二直线平行，同位角相等） ∵ ∠EDF=50°（已知）∴ ∠A=50°（等量代换）∴ ∠A+∠ABC=50°+130°=180°∴ BC ∥AE （同旁内角互补，二直线平行）28.证明：∵ AC ∥DE （已知）∴∠ACD=∠EDC（二直线平行，内错角相等）∵ DC∥EF（已知）∴∠DCE=∠BEF（二直线平行，同位角相等）∠EDC=∠FED（二直线平行，内错角相等）∵ DC平分∠BCA（已知）∴∠ACD=∠DCB（角平分线定义）∴∠FED=∠BEF（等量代换）∴ EF平分∠BED（角平分线定义）29.证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知）∴ EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠E（二直线平行，同位角相等）∴∠3=∠2（二直线平行，内错角相等）∠E=∠3（已知）∴∠1=∠2（等量代换）∴ AD平分∠BAC（角平分线定义）30.证明：∵∠COF+∠C=180°（已知）∴ EF∥CD（同旁内角互补，二直线平行）∵∠C=∠B（已知）∴ AB∥DC（内错角相等，二直线平行）∴ AB∥EF（平行于同一条直线的二直线平行）。

《命题、定理与证明》教案一、教学目标：1. 理解命题的概念，能够判断一个句子是否是命题。

2. 掌握定理的定义，了解定理的重要性和应用。

3. 学会如何阅读和理解证明，能够运用证明的方法解决问题。

二、教学内容：1. 命题的概念和分类。

2. 定理的定义和特点。

3. 证明的方法和技巧。

三、教学重点与难点：1. 重点：命题的概念，定理的定义，证明的方法。

2. 难点：证明的构思和推理过程。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。

2. 通过案例分析和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。

3. 利用多媒体辅助教学，提供丰富的学习资源。

五、教学准备：1. 教材或教学资源：《命题、定理与证明》相关章节。

2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。

3. 教学工具：黑板、粉笔、PPT等。

教案示例：一、导入（5分钟）1. 引入命题的概念，让学生思考日常生活中遇到的命题。

2. 引导学生判断一个句子是否是命题。

二、命题的分类（10分钟）1. 讲解命题的分类，包括陈述句、疑问句、命令句等。

2. 举例说明不同类型的命题。

三、定理的定义（10分钟）1. 引入定理的概念，解释定理的定义和特点。

2. 给出几个经典的数学定理，如勾股定理、Pythagorean theorem等。

四、证明的方法（15分钟）1. 介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。

2. 通过示例讲解每种证明方法的步骤和应用。

五、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生运用所学的知识进行证明。

2. 引导学生分组讨论，互相交流解题思路。

六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结命题、定理和证明的概念和方法。

2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑惑。

教学反思：本节课通过问题驱动法和案例分析，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。

在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。

通过课堂练习和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。

七年级数学命题定理证明教案(一)七年级数学命题定理证明教案1. 教学目标•了解数学命题定理证明的基本概念•掌握数学命题定理证明的常用方法和步骤•提高学生逻辑思维和证明能力2. 教学内容2.1 数学命题定理的概念解释•什么是数学命题？•什么是数学定理？•数学命题定理的关系和作用2.2 数学命题定理证明的基本步骤1.假设2.推理3.结论2.3 常见数学命题定理证明方法•逆否命题证明法•反证法•数学归纳法3. 教学活动3.1 课堂讲解•通过简单的例子，引导学生理解数学命题定理的概念和作用。

•详细解释数学命题定理证明的基本步骤和常用方法。

3.2 练习题讲解•针对每种证明方法，给学生讲解相关的练习题。

•通过讲解，帮助学生掌握不同证明方法的运用技巧。

3.3 学生互动讨论•将学生分成小组，进行数学命题定理证明的讨论和分享。

•对学生的答案进行点评和指导。

4. 教学评估•布置相应的课后作业，检验学生掌握程度。

•根据学生表现和讨论情况，进行评估和反馈。

5. 拓展延伸•鼓励学生自主研究和探索更多的数学命题定理证明方法。

•提供一些扩展资料和问题，引导学生进一步思考和应用。

6. 参考资料•《数学定理证明入门指南》•《数学命题定理证明方法精讲》•《数学归纳法的应用实例分析》7. 教学反思•回顾教学过程，总结教学中的优点和不足之处。

•分析学生的学习情况和反馈意见，以便调整教学策略。

•在今后的教学中，加以改进并进一步提高教学质量。

8. 根据教学目标，进行教学准备•准备相关教学素材，包括教材、练习题、实例等。

•准备教学用具，如板书工具、投影仪等。

•熟悉教学内容，确保能够流利地讲解和解答学生提问。

9. 开展教学活动•根据教学计划，有序地进行教学活动，引导学生逐步理解和掌握数学命题定理证明的内容和方法。

•注重师生互动，鼓励学生积极思考和发言，提高他们的参与度和学习效果。

10. 针对学生的不同需求，进行个性化指导•对于学习困难的学生，加以耐心指导和帮助，注重培养他们的自信心。

命题定理与证明教案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《命题、定理与证明》教案教学目标知识与技能：1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法；2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性.过程与方法：1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点找出命题的条件（题设）和结论；知道什么是公理，什么是定理.难点命题概念的理解；理解证明的必要性.教学过程【一】一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确.DC B A1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等.二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论.有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.”（二）实例讲解1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论.学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题.（1）对顶角相等；（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案.（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题.（2）条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a=c；这是假命题.（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等.这是真命题.（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题.（三）假命题的证明教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”.例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可.三、随堂练习课本P55练习第1、2题.四、总结1、什么叫命题什么叫真命题什么叫假命题2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.【二】一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知（一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等.在本书中我们将这些真命题均作为公理.（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1；当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞-5，但32＜（-5）2］教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.(三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余.教师板书证明过程.教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习课本P58练习第1、2题.四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。

命题定理证明教案
教案：命题定理的证明
教学目标：
1. 掌握命题定理的概念和基本性质。

2. 理解命题定理的证明方法和应用。

3. 能够运用命题定理解决相关问题。

教学步骤：
引入：
1. 提问：你们知道什么是命题定理吗？命题定理在逻辑推理中起到什么作用？
2. 简要介绍命题定理的概念和基本性质。

展开：
3. 使用示例说明命题定理的应用，并解释其背后的推理过程。

4. 分组讨论：请同学们结合所学知识，选择一个命题定理，并尝试给出其证明过程。

5. 选取几组同学进行演示，并与全班进行互动讨论。

拓展：
6. 鼓励同学们自主探索其他命题定理的证明过程，并相互交流分享。

7. 提供一些扩展阅读材料，鼓励对命题定理的深入研究。

总结：
8. 小结命题定理的证明方法和应用。

9. 提醒同学们在日常学习中灵活运用命题定理解决问题。

评估：
10. 出示几个命题定理的问题，让同学们运用所学知识进行解答。

11. 对同学们的表现进行评价和反馈。

扩展活动：
12. 鼓励对命题定理进行更深入的研究，可以撰写相关的研究报告或论文。

备注：教案中没有出现标题相同的文字。

命题定理证明教案一、引言在数学中，命题定理的证明是一种基本的数学推理方法，也是数学学习的重要环节之一。

通过学习和掌握命题定理的证明方法，可以帮助我们更好地理解数学定理的内涵和推理过程，提高数学思维能力和逻辑推理能力。

本文档将介绍命题定理证明的基本方法和步骤，并通过示例进行详细讲解。

二、命题定理证明的基本方法1. 命题定理的表述在进行命题定理的证明之前，首先要了解和理解命题定理的表述。

理解命题定理的表述可以从以下几个方面入手：•阅读题目：仔细阅读题目，理解定理的主要内容。

•梳理关键词：将定理中的关键词提取出来，确定关键点和关键条件。

2. 命题定理的证明思路在进行命题定理的证明之前，再确定命题定理的证明思路，可以根据以下几个方面进行：•归纳法：从小规模问题开始，逐步扩展到大规模问题，推导出命题定理的结论。

•反证法：假设命题定理不成立，通过推导出矛盾来证明命题定理的成立。

•分类讨论法：将命题定理的条件和结论进行分类讨论，得出不同情况下的结论。

3. 命题定理的证明步骤在确定命题定理的证明思路后，可以按照以下步骤进行证明：•步骤1：明确命题定理的前提条件，即已知条件。

•步骤2：根据命题定理的证明思路，进行相关的推导和论证。

•步骤3：逐步推导出命题定理的结论。

•步骤4：总结命题定理的证明过程，得出最终的结论。

三、命题定理证明的示例示例1：等腰三角形底角相等的证明命题定理：在一个等腰三角形中，底角相等。

证明过程：步骤1：已知条件：假设△ABC是一个等腰三角形，其中AB = AC。

步骤2：根据等腰三角形的定义，我们知道等腰三角形的两条底边等长，即AB = AC。

步骤3：根据等腰三角形的定义，等腰三角形的顶点角也等于两个底角之一，即∠BAC = ∠BCA。

步骤4：综合步骤2和步骤3的结论，可得底角相等，即∠BAC = ∠BCA。

示例2：直角三角形斜边是斜边上的高的证明命题定理：在一个直角三角形中，斜边是斜边上的高。

课题：5.3.2命题、定理、证明（第一课时）【学习目标】1.了解命题的概念，能够区分命题的题设和结论;能用如果…..，那么……来表述一个命题。

2.知道什么是真命题和假命题。

【学习重点】能够区分命题的题设和结论.【学习难点】能够区分命题的题设和结论.【学习过程】一、问题情境，引入新课1、观察下列两组语句有什么区别？第一组：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。

（3）对顶角相等.（4）等式两边加同一个数，结果还是等式。

第二组：（1）画线段AB=CD（2）点P在直线AB外。

（3）对顶角相等吗？学生分组导论第一组语句都是对一件事情作出判断。

第二组语句没有对一件事作出判断，只是进行了描述或疑问。

二、讲授新课1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题构成：1)在数学中，许多命题都是由题设（或条件）和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

2)命题常写成“如果······那么······”的形式. 其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

3、课堂练习：（一）下列句子都是命题吗？(1)熊猫没有翅膀；(2)对顶角相等；(3)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

你能上面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗?并指出各命题的题设与结论。

反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。

（二）下列命题的条件是什么?结论是什么?(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a>b,b>c,那么a=c;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(4)菱形的四条边都相等;（5）全等三角形的面积相等.问学生：上述的命题中,哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?与同伴交流.4、真命题与假命题的定义：（1）正确的命题称为真命题；不正确的的命题称为假命题. （2）要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.5、课堂练习：下列句子中哪些是命题?若是命题,并判断它是真命题还是假命题?(1)动物都需要水;(2)猴子是动物的一种;(3)玫瑰花是动物;(4)美丽的天空;(5)三个角对应相等的两个三角形一定全等;(6)负数都小于零;(7)你的作业做完了吗?(8)所有的质数都是奇数;(9)过直线a外一点作直线a的平行线;6、本节课的收获：7、课外练习：（一）判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。

命题定理证明教案第一篇：命题定理证明教案5、3命题定理证明教案学习目标：（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．（2）知道什么是真命题和假命题．(3）理解什么是定理和证明．（4）知道如何判断一个命题的真假．学习重点：对命题结构的认识．理解证明要步步有据一、自学基础：（看书20页---22页）1、对一件事情___________________的语句，叫做命题。

2、命题由______和________组成。

__________是已知事项，__________是由已知事项推出的事项。

3、命题常可以写成__________________的形式。

“_______”后接的部分是题设，“________”后面接的部分是结论。

4、_________________叫真命题，_______________叫假命题。

二、探究新知问题1 什么叫做命题？像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.问题2思考命题是由几部分组成的？命题是由题设和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

问题3 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.问题4 什么样的命题叫做真命题？什么样的命题叫做假命题？真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．问题请同学们举例说出一些真命题和假命题．问题5公理定理有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，这样的真命题叫做公理。

有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理。

问题6证明三、课堂小结四、当堂检测五、布置作业第二篇：命题、定理和证明教案命题、定理、证明重点：命题、定理、证明的概念难点：命题、定理、证明的概念一、板书课题，揭示目标同学们，到现在为止，我们已经学习了一些简单的性质、判定、定义，这些命题都是真命题，那什么是命题呢？我们今天就来学习5.3.2命题、定理.本节课的学习目标是：（请看投影）二、学习目标1、理解命题、定理、证明的概念.2、会判断一个命题是真命题还是假命题.三、指导自学认真看课本（P21-22练习前）.1结合例子理解命题的定义，会把一个命题写成“如果……那么……”的形式;○2理解真命题、假命题的概念并会判断一个命题的真假.○如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.6分钟后，比谁能正确地做出检测题.三、先学1、教师巡视，督促学生认真紧张地自学2、学生练习：检测题 P22 练习补充题：1、下列是命题的是（）1对顶角相等.○2答案A是正确的.③若ａ＝ｂ，则ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ．④画射○线BC.⑤这条边长等于多少？2、下列命题是真命题的是（）1同角的补角相等。