21.6 二元二次方程组的解法和运用(理)

二元二次方程组的解法在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。

方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。

二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。

形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。

解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。

为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。

下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。

一、配准法配准法又称一般解法，它的步骤如下：1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。

2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。

3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。

4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。

5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。

示例：假设我们有以下二元二次方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 10x^2 - 2xy + 3y^2 = 14根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0通过对比系数，我们可以得到：a = 2,b = -3,c = 1,d = 1,e = -2,f = 3接下来，我们将两个方程相减并进行化简：(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0x^2 + 4y^2 - 2xy - 4 = 0继续简化，得到一个一元二次方程：x^2 - 2xy + 4y^2 - 4 = 0解决这个一元二次方程，我们得到一个解 x = -1。

将 x = -1 代入其中一个方程我们得到：2(-1)^2 - 3(-1)y + y^2 - 10 = 02 + 3y + y^2 - 10 = 0y^2 + 3y - 8 = 0解决这个一元二次方程，我们得到 y = 1 或 y = -4。

21.6（1）二元二次方程组的解法学习单姓名练习1 解下列方程组：;2003)1(22⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y x y x ;073252)2(22⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-y x y x y x.127)3(⎩⎨⎧==+xy y x练习2 从方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+my x y x 822中消去y ，得到关于x 的二次方程，当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？当m=5时呢？变式：当m 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+m y x y x 82（1）有两个不相等的实数解（2）有两个相等的实数解 （2）没有实数解请你构造一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，并使它的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422211y x y x 。

课后精练21.6（1）二元二次方程组的解法 巩固练习姓名知 识 梳 理解二元二次方程组的基本思想是，把它转化为解的问题。

解二元二次方程组⎩⎨⎧=+-+=-012122y y x y x 一般用法较简捷。

方程组⎩⎨⎧=-+=-100222y y x y x 消去x ，可得到关于y 的整式方程是知 识 应 用1．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧==+86xy y x 可得它的解是___________________2．已知⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+04222ky x y x 的解，则k 的值为 3．若0212=-++-y x x 成立，则满足等式的x 、y 的值可取__________4．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=-422y x ay x 没有实数解，那么a 的取值范围是__________5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-44122y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+-029322y x y x ）（(3)⎩⎨⎧=-+++=+032722y x y x y x （4）⎩⎨⎧=++-=+42)(82x y x y x(5)⎩⎨⎧=+-=--1122y xy x y x （6）⎩⎨⎧=-++=-4934222y y xy x y x6．当k为何值时,方程组⎩⎨⎧-==+--ky x y x y 01242 （1）有两个不相等的实数解；（2）有两个相等的实数解；（3）没有实数解。

初二数学解二元二次方程组的方法与应用二元二次方程组是数学中常出现的问题，解决这类问题需要运用特定的方法和技巧。

本文将介绍解二元二次方程组的常见方法以及其在实际问题中的应用。

1. 消元法消元法是解二元二次方程组常用的方法之一。

首先通过操作将其中一个方程的某一个未知数消去，然后将消去后的方程代入另一个方程中求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组1）①通过乘以适当的系数，使其中一个方程的两个未知数的系数相等；②将两个方程相减，消去一个未知数；③将求解得到的未知数的值代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

2. 代入法代入法是另一种用于解二元二次方程组的常见方法。

通过将其中一个方程解出一个未知数，然后将该解代入另一个方程求解另一个未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组2）①选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；②将该函数代入另一个方程，并解得未知数；③将求解得到的未知数代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

3. 矩阵法矩阵法是解二元二次方程组的另一种常见方法。

通过将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算方法求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组3）①将方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式；②对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；③根据行最简形求解未知数的值；④检验求解结果是否符合所有的方程。

二元二次方程组的解法不止以上三种，还有配方法、因式分解法等等。

在实际问题中，解二元二次方程组可以帮助我们解决很多与多个未知数相关的问题，例如：1. 阶梯问题：解二元二次方程组可以用来求解楼梯的台阶数和踏步数；2. 交通问题：解二元二次方程组可以用来求解汽车、火车等交通工具的速度和时间；3. 销售问题：解二元二次方程组可以用来求解商品的进货价和售价等。

总结起来，解二元二次方程组是数学中重要的一部分，可以通过消元法、代入法和矩阵法等多种方法来解决。

二元二次方程组的解法有哪些二元二次方程组的解法有同学知道吗?小编想大部分学子可能都忘记了，为了同学们遇题不慌。

下面是由小编为大家整理的“二元二次方程组的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

二元二次方程组的解法有哪些由于解一般形式的二元二次方程组所涉及的系数颇多，故通常就实际问题来解。

e.g.1.解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①, 且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②. 提示: 解方程的基本思想是消元与降次。

仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。

②*3-①*4，得到一个新的方程。

再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。

就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:叉乘法及叉阵)，难度较大。

也可以运用函数的解析法。

在此，谨作点拨。

总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

拓展阅读：二元二次方程组怎么解对于第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程;而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形可以用一次和二次方程的方法来求解的：1、存在数m和n，使mF1(x，y)+nF2(x，y)是一元方程;或是一次方程;或是可约。

2、F1(x，y)和F2(x，y)均为对称多项式或反对称多项式。

例题：x+y=a ①x^2+y^2=b ②由1得 y=a-x ③将③代如②得：x^2+(a-x)^2=b即 2*x^2-2*a*x+(a^2-b) =0若2b-a^2>=0则解之得：x1=(a+根号(2b-a^2))/2x2=(a-根号(2b-a^2))/2再由③式解出相应的y1，y2。

八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版五四制》八年级数学下册21.6节，主要讲述了二元二次方程组的解法。

这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生学习数学的难点之一。

教材通过引入二元二次方程组的概念，让学生了解并掌握其解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初一、初二级别的数学知识，对解一元二次方程、解二元一次方程组等概念有一定的了解。

但二元二次方程组作为一种新的方程形式，其解法较为复杂，需要学生进行适当的过渡和引导。

三. 说教学目标1.让学生理解二元二次方程组的概念，掌握其解法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 说教学重难点1.重点：二元二次方程组的概念及其解法。

2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，并灵活运用解法求解。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二元二次方程组的解法。

2.利用多媒体手段，如PPT、视频等，生动展示二元二次方程组的解法过程。

3.分组讨论，让学生在团队中互相学习，提高协作能力。

六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。

2.讲解概念：介绍二元二次方程组的概念，让学生理解其含义。

3.演示解法：利用多媒体手段，展示二元二次方程组的解法过程。

4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学解法。

5.拓展应用：引导学生将实际问题转化为二元二次方程组，并求解。

6.总结反馈：对学生的学习情况进行总结，查漏补缺。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二元二次方程组的概念和解法。

主要包括以下几个部分：1.二元二次方程组的定义2.二元二次方程组的解法步骤3.实际问题转化为二元二次方程组的例子八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的深度以及团队协作能力。

数学解二元二次方程组的方法与应用主题：数学解二元二次方程组的方法与应用引言：在数学中，方程组是一种常见的问题形式，它描述了多个未知数之间的关系。

本节课将介绍解二元二次方程组的不同方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。

1. 二元二次方程组的定义- 二元二次方程组由两个二次方程组成，每个方程中含有两个未知数。

- 一般形式为：A1x^2 + B1y^2 + C1xy + D1x + E1y + F1 = 0A2x^2 + B2y^2 + C2xy + D2x + E2y + F2 = 02. 消元法解二元二次方程组- 通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为一元二次方程。

- 分别解得两个未知数的值，获得方程组的解。

3. 代入法解二元二次方程组- 将一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数形式。

- 将该表达式代入另一个方程中，得到一个一元二次方程。

- 解该一元二次方程，得到未知数的值，进而求得方程组的解。

4. 矩阵法解二元二次方程组- 将方程组的系数矩阵与未知数矩阵相乘，得到一个矩阵方程。

- 根据矩阵方程的解法，求得未知数的值，获得方程组的解。

5. 二元二次方程组的应用- 解决实际问题中的多元关系，例如物理、经济等领域。

- 通过解方程组，求得问题的最优解、极值点等。

- 解方程组的方法也被广泛应用于数值计算、图形计算等领域。

6. 实例分析：用解方程组求解最优化问题- 以某企业生产两种产品为例，讨论如何确定生产的最优方案。

- 建立利润函数和约束条件，转化为二元二次方程组。

- 根据解方程组的方法，求得最优的生产方案。

小结：解二元二次方程组是数学中的一个重要问题，通过不同的解法可以求得方程组的解。

在实际应用中，掌握解方程组的方法可以解决更多的问题，为决策提供科学依据。

通过本节课的学习，相信同学们已经掌握了解二元二次方程组的方法与应用，能够在实际问题中灵活运用。

二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。

解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。

一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。

下面将逐一进行介绍。

1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。

首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。

再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。

例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。

将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。

1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。

通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。

消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。

以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。

1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。