上海高考数学试题(文科).pptx

高考复习试卷习题资料之上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为0＜x＜．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）已知，，则y=1．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）方程的实数解为log34．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34．故答案为：log34．【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选：A．【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴Mn==2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.以量词为载体，判断命题的真假；2.考查基本逻辑联结词的含义，在与其他知识交汇处命题．【重点知识梳理】1．命题能判断真假的语句叫做命题．2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。

上海 数学试卷（文史类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 1．【答案】31x -【解析】由y ＝x 3+1，得x ＝31-y ，将y 改成x ，x 改成y 可得答案。

2．已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________. 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3. 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x2，所以，有分段函数。

5.如图，若正四棱柱ABC D —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示). 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。

1CCB1B1AA绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程9131=-x 的解是 ．2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ．9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ．11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的 取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-，Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y xＢ．21)2()3(22=++-y xＣ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）如图,在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60， 求正四棱锥ABCD P -的体积V ．PBCAD高考真题17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ， 5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =， 即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．1 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点． （1） 若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（2） 若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 【答案】1-=x【解析】121331219x x x --==⇒-=-⇒=-2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．【答案】10x x x+≠（）【解析】由11(0)1y y x y x y +=⇒=≠⇒-()110x f x x x-+=≠（） 3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 【答案】4arctan π- 【解析】tan 4,(,)2πθθπθ=-∴∈⇒=4arctan π-.4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ． 【答案】π【解析】π1sec cos (sin )tan 2cos y x x x x T xπ⎛⎫=+=-=-⇒= ⎪⎝⎭. 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ．1CCB1B1AA【答案】212y x =【解析】双曲线22145x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的右焦点为F （3,0）， 则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212y x =。

上海高考数学试题（文科）1．不等式021xx <-的解为 ． 2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ． 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331x x+=-的实数解为 ． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 ．13．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是 ．15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（ ）（A（B ） （C ）1（D ）116．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若AB =R ，则a 的取值范围为（ ）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω=，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2 D．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x +-； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．参考答案一、选择题 1．1(0,)22．15 3．2m=-4．15．2 3π6．78 7．2-8．3log49．7 9 -10．311．5 712．46 313．1 [,) 5+∞14．5-15．A 16．B 17．A 18．D 19．20．解：（1）每小时生产x 克产品，获利310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭， 生产a 千克该产品用时间为a x ，所获利润为2313100511005a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1161900003612x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以6x =，最大利润为619000045750012⨯=元。

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科)详解满分1５0分;考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有14题，满分５6分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .考点:三角恒等变形、三角函数的周期解答:因为212cos (2)cos4y x x =-=-，所以2T π=.难度:容易题2．若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 考点：复数的四则运算,共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭难度：容易题3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =,则(1)f = .考点:解方程、求函数值解答:由()(2)1413f a f =⇒=⇒= 难度:容易题4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为()2,0,则其准线方程为:2x =- 难度:容易题5.某校高一、高二、高三分别有学生１6００名、1200名、8０0名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．考点：分层抽样解答:高一、高二共有学生2800名，按40：１的比例，需抽取学生数为70人。

难度：容易题６．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．考点：基本不等式解答：222222112=222x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22222x y +≥难度:容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：21=,=,3,arcsin 3rl r l r ππα=∴=侧面积底面积可得 难度:容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .考点：三视图解答:由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个 长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24. 难度:容易题9.设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 考点:函数的单调性及最值ﻩ解答:()()()()min min 0,0;0,12;2x f x f a x f x f a ≤==>==∴≤时时即可 难度：中等题10.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q = .考点：无穷等比数列各项的和解答:()22111515101,1a q a q q q orq q q -+--=∴+-=∴==>-舍 难度：中等题 11．若2132()f x x x-=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．考点：幂函数的单调性 解答：212332()=,f x x x x x-=--∴其定义域为()0,,+∞ 又23y x =是增函数，12y x -=是减函数，2132()f x x x -∴=-是增函数,αl r又()10f =，()0f x ∴<,即为()()1f x f <，0 1.x ∴<< 难度：中等题1２．方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 .考点:三角方程解答：()sin 1,2sin 1,1336k x x x x k ππππ⎛⎫+=∴+=∴+=+- ⎪⎝⎭()1,[0,2],1,263kx k x k ππππ∴=+--∈∴=1212117,,263x x x x πππ∴==∴+= 难度:中等题1３.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示)．考点:组合、概率解答:未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有310C 种；未来的连续10天中选择的3天恰好为连续3天的所有情况有8种;则所求概率为3108115C = 难度:中等题1４．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为 ．考点:圆的方程、能成立问题解答：∵曲线24:y x C --=，即:C ()2240x y x +=≤，∵=+，∴点(,0)A m 即为P Q 、中点；设()6Q y ，,∵(,0)A m ,则()26,P m y --，∵点P 在曲线C 上，∴()()()()2222264264260260m y m y m m ⎧⎧-+-=-=--⎪⎪⇒⎨⎨-≤-≤⎪⎪⎩⎩ ()[]202642,3260m m m ⎧≤-≤⎪⇒⇒∈⎨-≤⎪⎩ 难度:较难题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分． 15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件ﻩ(Ｂ) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 ﻩﻩ(D ） 既非充分又非必要条件考点:充分条件、必要条件 解答:必要非充分条件，选Ｂ 难度:容易题16.已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=( )(A ） 2ﻩ (B) 1 (Ｃ) 0ﻩ (D) 1- 考点:集合的相等、复数范围内1的立方根解答:⑴若22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）;⑵若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =, 那么0a =（舍)或1a =（舍）或13,2213,22i a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或13,2213,22ia ib ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 综合上述，1a b +=-.选D难度:中等题17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为( )（A ） 7 (Ｂ) 5 (C) 3 (D) 1考点:向量的数量积、向量的投影解答:结合图形,观察i AP 在AB 上的投影即可：136AP AP AP 、、在AB 上的投影相同;47AP AP 、在AB 上的投影相同；25AP AP 、在AB 上的投影相同；故)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为3，选Ｃ难度：中等题18.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ )(Ａ) 无论12,,k P P 如何,总是无解ﻩﻩ (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解 （C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解 ﻩ (D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把11(,)P a b 代入直线1y kx =+得111b ka =+，即111ka b -+=.同理可得221ka b -+=．则,1x k y =-=是方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解．若,1x k y =-=不是方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解,则方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 有无数解则1212,a a b b ==，与已知矛盾综上,方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解,选B ．难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. １9.(本题满分1２分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .考点:棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意:123PP P ∆是边长为４的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -(如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ,连接BO ,则O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .323BO AB == 284,3PO BO =-=12233P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅= 难度:容易题OBAP20.（本题满分１４分)本题共有2个小题，第１小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由． 考点：反函数、函数的奇偶性解答:(1)因为2424x x y +=-,所以()4121x y y +=-,得1y <-或1y >，且212log 1y x y +=+-．因此，所求反函数为121()2log ,1x fx x -+=+-()(),11,x ∈-∞-+∞．(2）①当0a =时,()1f x =,定义域为R ,故函数()y f x =是偶函数；②当1a =时,21()21x x f x +=-,定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;③当0a >且1a ≠时,定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称,故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.难度:容易题21．（本题满分14分）本题共有２个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长８0米.设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. (1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.０1米）？(２)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.0１米)．考点:解斜三角形解答：(1)设CD h =,则tan ,tan 3580h hαβ==.因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-,即2280351()80h h h ⋅≥-，20228.282h ≤=≈(米） （2）在ABD ∆中，由已知,56.57αβ+=,115AB =， 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ,解得85.064BD ≈(米)． 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈(米）.所以，CD 的长约为26.93米．难度：中等题２2.（本题满分1６分）本题共有3个小题,第１小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分７分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<,则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．(１)求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔;（２）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（３）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线. 考点:定义法求曲线方程、数形结合思想 解答：(1）证明：因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=没有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩无解,即12k ≥.当12k ≥时,对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<,即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.(3）证明:设M 的坐标为(,)x y ,则曲线E 1x =.对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<,即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线． 难度：中等题23.（本题满分１８分)本题共有３个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分，第３小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈,11a =.(1)若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围; （2）设{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(３)若10021,,,a a a 成等差数列，求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围. 考点：等差数列、等比数列与不等式综合 解答:(1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤,解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈.（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >.因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥,解得8m ≥.8m =时,1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8,8m =时,{}n a （3)设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，得223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ．①当0d >时,129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤． ②当0d =时,9998211a a a a =====,符合条件.③ 当0d <时，129899a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+,又0d <,所以20199d -≤<． 综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-. 难度：较难题。

圆柱表 2021 上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）1．计算： 3 - i= （i 为虚数单位）.1 + i【答案】 1-2i【解析】 3 - i = (3 - i )(1- i ) =1-2i1 + i (1+ i )(1-i ) 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数 化即可。

2．若集合 A = {x | 2x - 1 > 0}， B = {x | x < 1}，则 A B =.【答案】 ⎧x | 1 < x < 1⎫⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【解析】由集合 A 可得：x> 1，由集合 B 可得：-1<经<1，所以， A B = ⎧x | 1< x < 1⎫2⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法， 解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数 f (x ) =【答案】πsin x - 1 2的最小正周期是 .cos x1【解析】根据韪得： f (x ) = sin x cos x + 2 = sin 2x + 22【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握 二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则 tan α= 1 ,α= arctan 1.22【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的 倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】6π【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 r = 1，所以该圆柱的表面积为：S = 2πrl + 2πr 2 = 4π+ 2π= 6π. 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积， 也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程 4x- 2x +1- 3 = 0 的解是 .【答案】log 2 3→∞→∞ x⎪ ⎩ ⎪⎩⎪⎩⎪⎩2【解析】根据方程4 x - 2 x+1 - 3 = 0 ，化简得(2 x )2 - 2 ⋅ 2 x - 3 = 0，令2x =t (t > 0)，则原方程可化为t 2 - 2t - 3 = 0 ，解得t = 3或t =-1(舍)，即2 x = 3, x = log 3.所以原方程的解为log2 3 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.17.有一列正方体，棱长组成以1 为首项、2 为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,...,Vn,... ，则lim(V1 +V2+... +Vn) = .n8【答案】71【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，2为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1 1 为首项，8为公比的等比数列，因此， lim(V1 +V2 + +V n ) =n1=8.1 -1 78【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.⎛ 1 ⎫68.在 x -⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】 - 20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T = C3 x3 (-1)3 =-20 .4 6 x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知y =f (x) 是奇函数，若g(x) =f (x) + 2 且g(1) =1，则g(-1) = .【答案】3【解析】因为函数y =f (x) 为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)，即g(1) =f (1) + 2, 又g(1) = 1, 所以，f (1) =-1,f (-1) =-f (1) = 1, g(-1) =f (-1) + 2 = 1 + 2 = 3 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y = f (x)为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件x + 2 y ≤ 2 的目标函数z =y -x 的最小值是.【答案】 - 2⎧x ≥0,【解析】根据题意得到 ⎨y ≥ 0,⎪x + 2 y ≤ 2; ⎧x ≥0,或⎨y ≤ 0,⎪x - 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≥ 0,⎪-x + 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≤ 0,⎪x + 2 y ≥-2.其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y = x + z ， z 的最小值就是 该直线在 y 轴上截距的最小值，当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选 择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2 【答案】3【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典 2 概型得到此种情况下的概率为.3【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题.12.在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且CN满足 ，则 AM ⋅ AN 的取值范围是CD【答案】1,4【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB = 2, AD = 1，所以 A (0, 0), B (2, 0),C (2,1)D (0,1). 设 M (2, b ), N (x ,1), (0 ≤ x ≤ 2) ，根 2 - x→→2 - x据题意， b = ，所以 AN = (x ,1), AM = (2, ).2 → →3 2 3→ → 所以 AM • AN = x + 1 (0 ≤ x ≤ 2)，所以1 ≤ x + 1 ≤ 4， 即1 ≤ AM • AN ≤ 4 .2 2B ( ,1) ⎪ n【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实 注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数 y = f (x ) 的图像是折线段 ABC ，其中 A (0, 0) 、 1 2、C (1, 0) ，函数 y = xf (x ) （ 0 ≤ x ≤ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .1【答案】4⎧2x , 0 ≤ x ≤ 1 【解析】根据题意，得到 f (x ) = ⎨ ⎪-2x + 2, 1 ⎩ 2 ⎧2x 2,0 ≤ x ≤ 12 ， x ≤ 1 ⎪从而得到 y = xf (x ) = ⎨⎪- 2x 2 + 2x , ⎩ 21 x ≤ 12 所以围成的面积为 11 1 1S = ⎰2 2xdx + ⎰1 (-2x 2 + 2x )dx = ，所以围成的图形的面积为 .24 4【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的 运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知 f (x ) =1，各项均为正数的数列{a }满足 a = 1， a= f (a) ，若 a= a，则1+ xa 20 + a 11 的值是.n 1n +2n20102012【答案】26111【解析】据题 f (x ) =1 + x，并且 a n +2 = f (a n )，得到 a n +2 =1 + a ， a 1 = 1， a 3 = 2，a 2010 = a2012 ，得到 1 1+a2010= a 20103 + 13 5，解得 a2010=5 - 1（负值舍去）.依次往前推得到2⎨ ⎩2 n * a 20 + a 11 =3 + 13 5 .26【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 a n +2 = 解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）f (a n ) 是15.若1+ 2 i 是关于 x 的实系数方程 x 2+ bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）A ． b = 2, c = 3【答案】 DB. b = 2, c = -1C. b = -2, c = -1D. b = -2, c = 3 【解析】根据实系数方程的根的特点知1-2i 也是该方程的另一个根，所以1 + 2i + 1 - 2i =2 = -b ，即b = -2 ， (1 - 2i )(1 + 2i ) =3 = c ，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题， 注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数 m 、 n ，“ mn > 0”是“方程 mx 2+ ny 2= 1的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B⎧m > 0, 【解析】方程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，常数常数 m , n 的取值为 ⎪n > 0, ⎪m ≠ n , 所以，由 mn > 0得不到程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn > 0， 因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成 特征，可以知道常数 m , n 的取值情况.属于中档题.17.在△ ABC 中，若sin 2A + sin 2B < sin 2C ，则△ ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 Aa【解析】由正弦定理，得 2R = sin A , b 2R = sin B , c2R= sin C , 代入得到 a 2 + b 2 < c 2 ， a 2 + b 2 - c 2由余弦定理的推理得cos C = < 0 ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选2ab择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理， 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若 S ππ π = sin + sin + ... + sin （ n ∈ N ），则在 S , S,..., S 中，正数的个数是（）n 7 7 71 2 100A ．16B.72C.86D.100【答案】C3 2 23 3 3 4⎩【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目 出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）19．如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥底面 ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC = π，AB=2，AC=2 3 ，PA=2.求：（1）三棱锥 P -ABC 的体积；（6 分）（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6 分） [解]（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ， 2 分三棱锥 P -ABC 的体积为V = 1 S ∆ ABC⨯ PA = 1⨯ 2 ⨯ 2 = 4 3 . 6 分P（2）取 PB 的中点 E ，连接 DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与 AD 所成的角. 8 分 ED在三角形 ADE 中，DE=2，AE= 2 AD=2，Acos ∠ADE = 22 + 2 2 - 2= 3 ，所以∠ADE = arccos 3 .2⨯2⨯2 44因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是arccos3 . B12 分C【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综 合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数 f (x ) = lg(x + 1) .（1）若0 < f (1 - 2x ) - f (x ) < 1，求 x 的取值范围；（6 分）（2）若 g (x ) 是以 2 为周期的偶函数，且当0 ≤ x ≤ 1时，有 g (x ) = y = g (x ) (x ∈[1, 2])的反函数.（8 分）⎧2 - 2x > 0f (x ) ，求函数[解]（1）由 ⎨ x + 1 > 0 ，得 - 1 < x < 1.由0 < lg(2 - 2x ) - lg(x + 1) = lg 2- 2 x < 1得1 < 2- 2 x < 10 .……3 分x +1x +1因为 x + 1 > 0 ，所以 x + 1 < 2 - 2x < 10x + 10 ， - 2 < x < 1 . 33⎧ - 1 < x < 1由⎨  得 - 2 < x < 1 . ……6 分- 2 < x < 13 3⎩ 3 3（2）当 x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此y= g (x ) = g (x - 2) = g (2 - x ) = 由单调性可得 y ∈[0, lg 2].f (2 - x ) = lg(3 - x ) .……10 分因为 x = 3 - 10 y，所以所求反函数是 y = 3 - 10x， x ∈[0, lg 2]. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数 函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴3 3 PDA2 49 2 7 3022 2 2 2 2 22 22⎪ 4正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 yy = 12 x 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 P援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）O x （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） [解]（1） t = 0.5时，P 的横坐标 x P = 7t = 7 ，代入抛物线方程 y = 12 x 22 49 A中，得 P 的纵坐标 y P =3. ……2 分由|AP |= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4 分 由 tan ∠OAP = 2 = 7，得∠OAP =arctan 7 ，故救援船速度的方向3+123030为北偏东 arctan 7 弧度. ……6 分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t , 12t 2) .由vt = ，整理得v 2= 144(t 2+ 1 ) + 337 .……10 分 t因为t 2+ 1 t ≥ 2 ，当且仅当t =1 时等号成立，所以v 2≥ 144 ⨯ 2 + 337 = 252，即v ≥ 25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题 的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的 能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x 2 - y 2= 1.（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF |=2 2 ，求过 M 点的坐标；（5 分）（2） 过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5 分）（3）设斜率为 k (| k |< 求证：OP ⊥OQ ；（6 分）2) 的直线 l2 交 C 于 P 、Q 两点，若 l 与圆 x 2 + y 2 = 1相切， [解]（1）双曲线C : x 2 - y 2= 1，左焦点 F (- 6 , 0) .1 22设 M (x , y ) ，则| MF |2= (x + 6)2+ y 2= ( 3x + 2)2，……2 分由 M 是右支上一点，知 x ≥ 2 ，所以| MF |= 3x + 2 = 2 ，得 x = 6 . 所以 M ( 6 , ± 2) .……5 分（2）左顶点 A (- 2 , 0) ，渐近线方程： y = ± 2x .过 A 与渐近线 y = 2x 平行的直线方程为： y = 2(x + 2 ) ，即 y = 2x + 1.⎧ y = - x ⎧⎪x = - 2解方程组 ⎨ ⎩ y = x + 1 ，得 ⎨ y = 1 . ……8 分 ⎩ 2 所求平行四边形的面积为 S =| OA || y |= 2 .……10 分（3）设直线 PQ 的方程是 y = kx + b .因直线与已知圆相切，故|b | = 1，k 2 +1即b 2= k 2+ 1 (*).(7t )2 + (12t 2+ 12)2 2 2 42 ⎩ 2- 2k 24k -1 4k 4k -3 4k - 2 ⎧ y = kx + b 2 2 2由 ⎨2x 2 - y 2 = 1，得(2 - k )x - 2kbx - b - 1 = 0 .设 P (x , y )、Q (x , y )，则 ⎧⎪x 1 + x 2 = 2kb . 1 1 2 2 ⎨ x x = -1-b 2⎩⎪ 1 22- k 2y 1 y 2 = (kx 1 + b )(kx 2 + b ) ，所以OP ⋅ OQ = x x + y y = (1 + k 2 )x x + kb (x + x ) + b 21 21 21 212(1+ k 2 )(-1-b 2)+ 2k 2 b 2= -1+b 2- k 2.2- k 22- k 2 2- k 2由(*)知OP ⋅ OQ = 0，所以 OP ⊥OQ . ……16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意 直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ，它的渐近 线为 y = ± x ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为 m 的有穷数列数集{a n }，记b k = max{a 1, a 2 , , a k }（k =1,2,…,m ），即b k 为 a 1, a 2 , , a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；（4 分）（2）设{b n }是{a n }的控制数列，满足 a k + b m - k +1 = C （C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证： b k = a k （k =1,2,…,m ）；（6 分）n ( n +1)（3）设 m =100，常数 a ∈ ( 1 , 1) .若 a = an 2- (-1) 2 n ，{b }是{a }的控制数列，2nnn求(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 ) .[解]（1）数列{a n }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4 分 （2）因为b k = max{a 1, a 2 , , a k }， b k +1 = max{a 1, a 2 , , a k , a k +1}，所以b k +1 ≥ b k .……6 分 因为 a k + b m - k +1 = C ， a k +1 + b m - k = C ， 所以 a k +1 - a k = b m - k +1 - b m - k ≥ 0 ，即 a k +1 ≥ a k . ……8 分 因此， b k = a k .……10 分（3）对 k = 1, 2, , 25 ， a = a (4k - 3)2+ (4k - 3) ； a = a (4k - 2)2+ (4k - 2) ；a = a (4k -1)2 - (4k - 1) ； a = a (4k )2 - (4k ). 比较大小，可得 a 4k - 2 > a 4k -3 .……12 分因为 1 < a < 1，所以 a 4k -1 - a 4k - 2 = (a - 1)(8k - 3) < 0 ，即 a 4k - 2 > a 4k -1 ； a 4k - a 4k - 2 = 2(2a - 1)(4k - 1) > 0 ，即 a 4k > a 4k - 2 .又 a 4k +1 > a 4k ，从而b 4k -3 = a 4k -3 ， b 4k - 2 = a 4k - 2 ， b 4k -1 = a 4k - 2 ， b 4k = a 4k . ……15 分因此(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 )= (b 3 - a 3 ) + (b 7 - a 7 ) + (b 10 - a 10 ) + + (b 4k -1 - a 4k -1 ) + + (b 99 - a 99 ) = (a 2 - a 3 ) + (a 6 - a 7 ) + (a 9 - a 10 ) + + (a 4k - 2 - a 4k -1 ) + + (a 98 - a 99 )2525= ∑(a 4k - 2 - a 4k -1 ) = (1 - a )∑(8k - 3) = 2525(1 - a ).……18 分k =1k =1【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

高考复习试卷习题资料之上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．2．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为．10．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=．11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣117．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．118．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E 的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．23．（18分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若{an}是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．|专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：}本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．—分析：由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案解答：解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义|3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：#先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π点评：本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．;4．（4分）（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：#根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答：解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为：arctan点评：本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．^5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：/求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．!6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：)根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答：解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1）=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23<故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．【计算题．题：分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列[则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．考点：…二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20）故答案为：﹣20点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．、计算题．题：分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1~∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点：/简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2/点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．《专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种@其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．"考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，【∵AB=2，AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b=∴，=（2，），∴=，∴1，（即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．·考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数析：y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答：解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2【∴f（x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．:考点：数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：[解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：！点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f （a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海）若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3。

高考复习试卷习题资料之上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为0＜x＜．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）已知，，则y=1．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）方程的实数解为log34．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34．故答案为：log34．【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选：A．【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴Mn==2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【重点知识梳理】 1．函数的概念 (1)函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y ＝f(x)，x ∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称对应f ：A→B 为集合A 到集合B 的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．【高频考点突破】 考点一、函数的基本概念 例1、有以下判断：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x<0表示同一函数；(2)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．【特别提醒】两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x －1，g(t)＝2t －1，h(m)＝2m －1均表示同一函数．【变式探究】试判断以下各组函数是否表示同一函数． (1)y ＝1，y ＝x0；(2)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x2－4； (3)y ＝x ，y ＝3t3； (4)y ＝|x|，y ＝(x)2. 考点二、求函数的解析式例2、(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x2＋1x2，求f(x)的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求f(x)． 【方法技巧】函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f(x)与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A 级T6)．【变式探究】(1)已知f(x ＋1)＝x ＋2x ，求f(x)的解析式；(2)设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x ＋2，求f(x)的解析式． 考点三、分段函数例3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1，x2，x ∈[1，＋∞，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f (x)的解析式为________．考点四 函数的定义域 例4、(1)函数y ＝ln x ＋1－x2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx －1的定义域是()A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)【拓展提高】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f(x)的定义域是[a ，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b 的x 的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a ，b]，指的是x ∈[a ，b]．【变式探究】(1)若函数f(x)＝x －4mx2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x ＋1)＋f(x －1)的定义域是__________． 【真题感悟】1.【高考湖北，文6】函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-3.【高考重庆，文3】函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（）(A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3.【高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时1．（·安徽卷）若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝。

三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。

在平面直角坐标系xOy 中，对于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η<0，则称点P 1，P 2被直线I 分隔，若曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，则称直线I 为曲线C 的一条分隔线。

（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。