九年级数学月考试题-

重庆市第94中学校2024-2025学年度（上）第一次定时作业九年级数学试题（全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．在实数中，无理数是（ ）A． B ．0 CD2．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形5的结果在（ ）A．7和8之间 B ．8和9之间 C ．9和10之间 D ．10和11之间6．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬图中共有n 个小三角形，这里的（ ）．①② ③ ④A ．110 B ．112C ．114D ．1167．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．如图，正方形中，E 为上一点，过B 作于点G ，延长至点F ，使得，13-13-233a a a +=222()a b a b +=+()3251a a ÷=22(2)4a a -=2n =2250x x --=2(1)6x +=2(1)6x -=2(2)9x +=2(2)9x -=ABCD BC BG AE ⊥BG AG GF =连接．若，则一定等于（ ）A ．αB ．C ．D ．9．如图，菱形的边长为2，，M ，N 分别是上的两个动点，则的最小值为（ ）A ．1 BCD ．210．有依次排列的两个整式，用后一个整式B 与前一个整式A 作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B 求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式;②整式;③整式、整式和整式相同：④．正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：_____．12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____．13．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．,CF AF DAF α∠=DCF ∠602α︒-2α45α︒-ABCD 60DAB ∠=︒,AD AC DN MN +1,1A x B x =-=+1C 1C 2C 2C 1C 3C 3C 2C 4C 31C x =+53C x =+2C 5C 8C 20242021202320232C C C C =+2012)2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭1980︒2(21)20ax a x a +++-=14．如图，在中，，以点C 为圆心，长为半径画弧，分别交于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．15．如图，长方形纸片，点E 在边上，将沿折叠，点A 恰巧落在边上的点F 处；点G 在上，将沿折叠，点C 恰好落在线段上的点H 处，那么的长度是_______．16．如图，在正方形中，绕点B 逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E ，则线段的长为____．17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多５个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为_________．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____;若“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____．三、解答题（本大题共8小题，19小题8分，其余小题各10分，共78分）19．计算：Rt ABC △90,30,2C A BC ∠=∠=︒=︒CB ,AC AB ,5,3ABCD AB BC ==AD ABE △BE CD CD BCG △BG BF HF ABCD AD =BC 30︒BP AP CD PE 13122ax x x ++=--43(2)122y y y y a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩()F m (2136)F =()2411F m +（1） （2）20．某市开展茶文化论坛，为了解A 、B 两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10亩A 型绿茶的亩产量：50，54，55，5555，57，57，58，59，60．10亩B 型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为:57，57，57，59抽取的A 、B 型绿茶亩产量统计表：型号A B 平均数5656中位数56众数a 57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________，_________;（2）根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）;（3）若该市今年种植B 型绿茶3000亩，估计今年B 型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？21．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点C 作的垂线，垂足为点D ，点P 在边上．（只保留作图痕迹，不写作法）2230x x --=2241244x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭5055x ≤<5560x ≤<60x ≥a =b =m =AB CD BC已知：如图，在中，于点E ，于点F ．求证：．证明：如图，连接．，．，∴①__________________，即．∵②________________，，∴③________________．再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④___________________．22．如图，在菱形中，对角线交于点O ，，动点P 从点A 出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达B 点停止运动，设点P 的运动时间为t 秒，的面积为y．ABC △,AB AC PE AB =⊥PF AC ⊥PE PF CD +=AP ,,PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥ 111,,222APB APC ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∴=⋅=⋅=⋅△△△APB APC ABC S S S += △△△12AB CD =⋅AB PE AC PF AB CD ⋅+⋅=⋅()AB PE PF AB CD ∴⋅+=⋅ABCD ,AC BD 6,4AC BD ==A O B →→PAD △（1）直接写出y 关于t 的函数表达式，并注明自变量t 的取值范围;（2）在直角坐标系中画出y 与t 的函数图象，并写出它的一条性质;（3）根据图象直接写出当时t 的取值范围．23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？24．金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B 在入口A 的正西方向，入口C 在入口B 的正北方向，入口D 在入口C 的北偏东方向处，入口D 在入口A 的北偏西方向处．)(1)求的长度；（结果精确到1米）(2)小明从入口D 处进入前往M 处赏花，点M 在上，距离入口B 的处．小明可以选择鹅卵石步道①,步行速度为,也可以选择人工步道②,步行速度为,请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到)25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x 轴、y 轴于点A 、点B ,点C 在x 轴正半轴且4y ≤ABCD 60︒400m 45︒1000m 1.73≈≈AB AB 500m D C B M ---50m /min D A M --60m/min 0.1min 6y x =+．图1图2 图3(1)求直线的解析式；(2)如图2，过点A 的直线交线段于点M ,且满足与的面积比为，点在线段上，点E 和点F 是x 轴上的两个动点（点E 在点F 左边）且满足,连接,求的最小值．(3)如图3，在(2)的条件下，将点M 沿着射线方向平移个单位得到点,若点P 是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点P 的坐标，并写出其中一个点P 的求解过程．26．在中，．(1)如图1，当时，取上一点D ,取上一点E ,连接．若平分,求的长；(2)如图2，当时，取上一点F ,取上一点G ,连接,延长至点H ,连接．已知，,求证：;(3)当，点P 在内部时，连接．当的值最小时，请直接写出的值．2OB OC =BC ABM △BC ACM △1:2()5,1N -AB 2EF =,NE MF NE EF MF ++AB M 'BC 45BM P '∠-︒ABC △AB AC =90A ∠=︒AC BC ,BD DE BD ,2ADE AD DE ∠==AC 60BAC ∠=︒AB BC ,FG AG BC AH 60GAH ∠=︒AH AG FG =+CH BF =60BAC ∠=︒ABC △,,AP BP CP 2AP BP ++BPC ABCS S △△。

北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．下列变量具有二次函数关系的是（ ） A ．圆的周长C 与半径rB ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量xC ．正三角形的面积S 与边长aD ．匀速行驶的汽车，路程s 与时间t2．抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（ ）A ．x=3B ．x=﹣3C ．x=6D ．x=﹣523．下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A ．20x x += B ．24520x x -+= C ．25410x x --=D ．23410x x -+=4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（） A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c >6．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．32D ．﹣327．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是( ) A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一根为0，则m =． 10．方程2x x =的解是．11．把函数23y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是．12．已知抛物线22y x x =+经过点12(4,),(1,)y y -，则1y 2y ．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13．二次函数2y x 2x 3=-+-，用配方法化为2y a(x h)k =-+的形式为．14．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为x 米，面积为y 平方米．写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围是．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若点P 的坐标为()4,0，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D A C E B →→→→；②D B E A C →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程：()232x x x +=+． 18．解方程()224415x x x -+=+19．已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．20．已知关于x 的方程()2320x m x m -+++=．(1)求证：无论实数m 取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．(1)求该函数解析式；(2)当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．22．一个小球以6m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．(2)小球滚动11m 1.73）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =）23．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：(1)直接写出m 的值为______； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当14x -<<时，y 的取值范围为______． 24．综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组：整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值． 【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C 组； ②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =，连接AE 、AF 、M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N ．(1)如图1，若点E 在BC 边上，F 在CD 边上． ①请补全图形；②请问DN 和AE 有怎样的位置关系，并证明；(2)如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．。

陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年度第一学期九年级月考数学试题一、单选题1．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列条件中，能够判定ABCD Y 为矩形的是（ ）A ．AB AC = B ．AC BD ⊥ C ．AB AD = D ．AC BD = 3．如果两个相似三形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．1∶9 D ．1：81 4．如图，已知AB CD EF ∥∥，23AC CE =∶∶，3BD =，那么DF 的长为（ ）A ．4B ．92C ．5D ．1125．如图，DE 是ABC V 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（ ）A ．132B ．7C ．152D ．86．如图，在67⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A ，B ，C 都在格点上，则sin B 的值为（ ）A B C ．23 D 7．若()1,3A y -、()2,2B y -、()31,C y 三点都在函数1y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．213y y y >>D ．132y y y << 8．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O BE AC ⊥于点E ．若36CE AE ==，则边AD 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题9．若34a b =，则a b a -=．10．在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为米．12．如图，已知在ABO V 中，点C 在AB 上，2,BC AC CO CB ==，2AOC S =△，反比例函数k y x=的图像经过点C ，则k 的值为．13．如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，点E 在AD 的延长线上，且2DE =，过点E 作直线l 分别交边CD ，AB 于点M ，N ．若直线l 将平行四边形ABCD 的面积平分，则线段CM 的长为 ．三、解答题14．解方程：2420x x -+=．15．计算：222sin 454cos 30tan 60︒+︒-︒16．如图，已知四边形ABCD ，AD BC ∥，请用尺规作图法，在边AD 上求作一点E ，在边BC 上求作一点F ，使四边形BFDE 为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，已知AD •AC ＝AB •AE ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：△DAB ∽△EAC ．18．从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．(1)从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；(2)小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A -，()3,3B -，()3,1C -.(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且相似比为2:1，点A ，C 的对应点分别为1A ，1C ；(2)直接写出点1A 和点1C 的坐标：1A （______，______），1C （______，______）.20．如图所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：四边形CEDF 是正方形．21．某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？(2)若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？22．关于x 的一元二次方程2610x x k -+-=．(1)如果方程有实数根，求k 的取值范围；(2)如果1x ，2x 是这个方程的两个根，且221212324x x x x ++=，求k 的值． 23．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA ．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P 处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F 处，此时，量得小华的影长2m FG =，小华身高 1.6m EF =；然后，在旗杆影子上的点D 处，安装测倾器CD ，测得旗杆顶端A 的仰角为49︒，量得0.6m CD =，6m DF =，旗台高 1.2m BP =．已知在测量过程中，点、、、B D F G 在同一水平直线上，点A P B 、、在同一条直线上，AB CD EF 、、均垂直于BG ．求旗杆的高度PA ．（参考数据：sin 490.8,cos490.7,tan 49 1.2︒≈︒≈︒≈）24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数2y x =-+的图象与反比例函数k y x=在第二象限的图象交于点(,3)A n ，与x 轴交于点B ，连结AO 并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)求ABC V 的面积．(3)当直线．．AC 对应的函数值大于反比例函数k y x=的函数值时，直接写出x 的取值范围． 25．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =cm ，7BC =cm ，现有动点P 从点A 出发，沿线段AC 向终点C 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向终点B 运动，连接PQ ．如果点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为s t ．(1)当t 为多少时，PQ cm ？(2)当t 为多少时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？26．问题提出(1)如图1，AD 是等边ABC V 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC =，则APC ∠的度数为__________．问题探究(2)如图2，在ABC V 中，6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥，且AP BC =，过点P 作直线l BC ⊥，分别交AB BC 、于点O 、E ，求四边形OECA 的面积．问题解决(3)如图3，现有一块ABC V 型板材，ACB ∠为钝角，45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP V 型部件，并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ；②作CD 的垂直平分线l ，与CD 于点E ；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP BP、，得ABPV．请问，若按上述作法，裁得的ABPV型部件是否符合要求？请证明你的结论．。

重庆市江北巴川量子学校 2024——2025学年九年级上学期数学第一阶月考试题一、单选题1．4的相反数是（ ）A ．4B ．﹣4C ．14 D ．-142．“一窗一姿容，一窗一景致”，古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，下列园林窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是（ ）A ．369x x x +=B ．2=C ．336x x x ⋅=D ．()239x x = 4．二次函数22(4)1y x =-+顶点坐标是（ ）A ．(4,1)-B ．(4,1)--C ．(4,)1-D ．(4,1)5．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O ，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O ，其中薯片筒的长度为12cm ．蜡烛火焰AB 高为6cm ，若像CD 高3cm ，则蜡烛到薯片筒底部小孔O 的距离为（ ）A ．6cmB ．24cmC ．36cmD ．48cm62的结果在（ ）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间 7．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需6根火柴棒，图案②需11根火柴棒，按此规律图案⑥需要的火柴棒根数为（ ）A ．31B ．36C ．37D ．418．如图，AB 是O e 的直径，点C ，D 在圆上，且OD 经过AC 中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若14CAB ∠=︒，则BPC ∠的度数为A ．14︒B ．24︒C ．32︒D ．37︒9．如图，已知正方形ABCD 边长是5，点P 是线段BC 上一动点，过点D 作DE AP ⊥于点E ．连接EC ，若CE CD =，则CDE V的面积是（ ）A ．758B ．20C ．D ．1010．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制记数法”的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于整数可理解为逢二进一．例如：自然数1在二进制中就表示为2(1)，2表示为2(10)，3表示为2(11)，5表示为2(101)，若11011222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+L （n 为正整数）可表示为二进制表达式为()01212k k a a a a a -L ，则，其中01a =，0i a =或1(1,2,)i k =L ．下列说法正确的个数为（ ）①二进制数2(1010)转化为十进制数为10；②十进制数120转化为二进制数为2(1111000)；③记011()k k S n a a a a -=++++L ，则(83)(165)S n S n +=+．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题11．20120203-⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 12．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(,2)a ，点B 的坐标是(3,)b ，若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab =．13．若正多边形的每一个内角为135o ，则这个正多边形的边数是．14．五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是．15．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，已知圆心O 在水面的上方，O e 被水面截得的弦AB 长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则O e 的半径为米．16．如果关于x 的不等式组1343(2)x m x x -⎧⎪⎨⎪->-⎩…的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311mx x x +=--的解是非负数，则所有符合条件的整数m 的值之和是． 17．如图，在Rt ABC △中，90B ??，ABC V 绕点A 顺时针方向旋转90︒，到AB C ''△，连接CC '，交AB 于点P ，若6AB =，2BC =，则CP 的长为．18．一个三位数m ，每个数位上的数字均不为0，且满足百位<十位<个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m 个位与百位交换得到m '，记()99m m G m '-=．例如：128满足128<<，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记()821128128799G -==． 若p 是一个“步步高升数”，则()G p 的最大值为，一个“步步高升数”p 是3的倍数，且满足()G p 是一个完全平方数，则所有满足条件的p 的平均值为．三、解答题19．计算：(1)23(2)(2)x x x +=+； (2)2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭． 20．学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：(1)用直尺和圆规，作线段CD 的垂直平分线，垂足为点F ，连接EF ，连接AF 并延长交线段BC 的延长线于点M （只保留作图痕迹）(2)已知：在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为AB 中点，F 为CD 中点猜想：EF AD BC ∥∥，且()12EF AD BC =+． 证明：F Q 是CD 中点，∴①______AD BC ∥Q ，DAF FMC ∴∠=∠在ADF △和MCF △中______DF CF DAF FMC =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩②，ADF MCF ∴≌△△AF FM ∴=，AD CM =在ABM V 中，E 是AB 中点，F 是AM 中点EF BM ∴∥且③______．BM BC CM BC AD =+=+Q()12EF BC AD EF AB EF CD ∴=+P P ，， 请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．21．传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩用x 表示，共分成四组：A ．060x ≤<，B ．6080x ≤<，C ．80100x ≤<，D ．100x =）．下面给出了部分信息：七年级抽取的学生竞赛成绩在C 组的数据是：80，84，85，90，95，98八年级抽取的学生竞赛成绩在C 组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量：根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出a ，b 的值；(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校七、八年级共有700人参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少？22．重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．(1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．23．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点M 为AB 的中点，过M 作MN CB ⊥于点N ，连接CM ，动点P 以每秒一个单位长度的速度从点A 出发，沿着折线A C M →→运动，到达M 点停止运动．设点P 的运动时间为x 秒，CPN △的面积为1y ，请解答下列问题：(1)直接写出1y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)函数2y 图象如图，当12y y ≥时，请直接写出x 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）24．如图，小巴和小量两位同学假期一起去科技馆参观，两人同时从出入口A 出发，先一起沿A 的北偏西75︒方向走到国防科技厅C ．接下来，小巴沿C 的东南方向行走600m 到达B 继续参观交通科技厅，再沿B 的北偏东60︒方向走回出入口A ；小量则对D 展厅的青少年梦工厂活动更感兴趣，他从C 出发先沿正东方向走到梦工厂D ，参加活动后沿D 的正南方向行走回到出入口A ． 1.414 1.732 2.449≈）（1）求A ，C 两地之间的距离（结果保留整数）；（2）若小巴和小量匀速行走且速度相同（在B ，D 停留的时间相同），哪位同学先回到出入口A ？请通过计算说明．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中2AO CO BO ==．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图1，连接AC ，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，点E 是y 轴上一动点，PD AC⊥于点D ，当PD 取最大值时，求点P 的坐标及此时能使得PE AE -取最大值的点E 的坐标；(3)如图2，连接BC ，将抛物线沿着射线BC 平移y '，取在（2）中使PE AE -为最大值时的点E ，y '上是否存在一点M ，使得45MEA BCO ∠+∠=︒？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．26．如图1，已知ABC V 为等边三角形，点D 和E 分别是直线AB 和AC 边上的动点，连接CD 和BE 相交于点F ．(1)如图1，若BE AC ⊥，15BCD ∠=︒，6BC =，求BF ；(2)如图2，若60DFB ∠=︒，点G 为BC 边上一点，连接DG 交BE 于点H ，连接CH 并延长交AB 于点Q ，DQ HQ =，CH CE AB +=，求证：点G 为BC 中点；(3)若60DFB ∠=︒，6AB =，将ABC V 沿直线AC 翻折至ABC V 所在平面内得到AKC V ，将线段FK 绕点K 顺时针旋转90︒得到线段TK ，连接AT ，在D 、E 运动的过程中，当TF 取得最小值时，直接写出ATK V 的面积．。

2024-2025学年上学期数学月考学校： 班级： 姓名： 座号：一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）A.0x >B.1x >C.1x ≥D.1x ≠ 2．下列根式是最简二次根式的是( )A.9B.3C.4．用配方法解方程2210x x +−=时，配方结果正确的是( ) A.2(2)2x +=B.2(1)2x +=C.2(2)3x +=D.2(1)3x +=5．下列关于x 的方程中,一定是一元二次方程的是( )A.10x −=B.33x x +=C.2350x x +−=D.6．函数2y =++，则y x 的值为( )A.0B.2C.4D.87．下列计算正确的是( )4=3=−8．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小丽在2018年”元旦节”收到微信红包为300元，2020年为363元，若这两年小丽收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( ) A.2300(1)363x +=B.2300(1)363x +=C.363(12)300x +=D.2300363x +=10．已知m ,n 是一元二次方程220230x x +−=的两个实数根,则代数式20ax bx c ++=22m m n ++的值等于( )A.2019B.2020C.2021D.2022二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

） 11．比较大小:13．已知n 是整数，则n 的最小值是______ .14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x 步，则可列方程为_____________.15．已知a ,b 是一元二次方程2320x x −+=的两根,则22a b ab +=____________. 16．等腰三角形的边长都是方程2680x x −+=的根,则此三角形的周长为_____. 三、解答题（本题共9小题，共86分。

九年级数学（考试时间：60分钟，满分：100分）一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）．1．已知O e 的半径为4，平面内有一点M ．若5OM =，则点M 与O e 的位置关系是（ ）．A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．不能确定2．已知x=2是关于x 的一元二次方程x 2+ax=0的一个根，则a 的值为( )A ．-2B ．2C ．12D ．12-3．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 AC 上的点．连接AC ，若20BAC =°∠，则D Ð的度数为（ ）．A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ．200（1－x ）2＝160B ．200（1＋x ）2＝160C ．160（1＋x ）2＝200D ．160（1－x ）2＝2005．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AE CB ^交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE Ð，6AD =，4CE =，则AE 的长为（ ）．A ．2B ．3C ．D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）6．方程230x x -=的根为 ．7．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为__________.8．写一个一元二次方程，使得它的两个根为1-，3，该方程为 ．9．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，AD 是直径，则∠CBD= °．10．如图，C 为O e 的劣弧AB 上一点，若124AOB Ð=o ，则ACB =∠ ．11．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则12122x x x x +-的值为 ．12．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.54A OC CD Ð=°=，，的长为 ．13．若关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，则方程()2(2)20a xb xc -+-+=的解为 ．14．已知O e 的半径1OA =，弦AB ，若在O e 上找一点C ，则BCA Ð= °．15．如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若142Ð=°，则AOC Ð= °．三、解答题（本大题共7小题，共60分）16．解下列方程(1)2316x x-=(2)2(21)63x x -=-．17．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．18．如图，AD 、BC 是O e 的弦，且AD BC =，AC 是直径，求证：四边形ABCD 是矩形．19．已知关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x .(1)若2,8p q =-=-，则24p q -的值是 ，方程的解是 ；(2)若123,2x x ==-，求24p q -的值；(3)用含12,x x 的代数式表示24p q -，下列结论中正确的是（ ）A. 22124()p q x x -=+B. 22124()p q x x -=C. 22124()p q x x -=- D. 2212124()p q x x x x -=++20．某商店经销的某种商品，每件成本为40元．调查表明，这种商品的售价为50元时，可售出200件；售价每增加5元，其销售量将减少50件．为了实现2000元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元？21．如图，已知点A 、B 是平面内两点，线段a 长度一定，在平面内作O e 使得它过点A 、B 且半程长为a （尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．22．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AC BD ^，OF AB ^，垂足分别是E 、F ．(1)直接写出OF 与CD 的数量关系__________，并证明你的结论；(2)若AB AC ==8BC =．求CD 的长．1．C【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r ，点P 到圆心的距离OP 为d ，当d r >时，则点P 在圆外；当d r =时，点P 在圆上；当d r <时，点P 在圆内，根据点P 与圆的位置关系的判定方法对点M 与O e 位置关系进行判断．【详解】解：∵O e 的半径为4，5OM =∴点M 到圆心的距离大于圆的半径，∴点M 在圆外．故选：C ．2．A【分析】把x=2代入x 2+ax=0，即可求解.【详解】∵x=2是关于x 的一元二次方程x 2+ax=0的一个根，∴2220a +=，解得：a=-2.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键.3．B【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，根据圆周角定理求出ADB Ð及BDC Ð的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．【详解】解：连接BD ，∵AB 是半圆的直径，∴90ADB Ð=°，∵20BAC =°∠，∴20BDC BAC Ð=Ð=°，∴9020110ADC ADB BDC Ð=Ð+Ð=°+°=°，故选：B ．4．A【分析】根据某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元，平均每次降价的百分率为x ，可以列出相应的方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，200（1-x ）2=160，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．5．D【分析】连接AC ，根据圆内接四边形对角互补得到ABE ADC Ð=Ð，根据 AD AD =得到ABD ACD Ð=Ð结合角平分线得到ABE ABD Ð=Ð，即可得到：ADC ACD Ð=Ð，从而得到AC AD =，结合勾股定理即可得到答案；【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 内接于O e ，∴180ADC ABC Ð+Ð=°，∵180ABE ABC Ð+Ð=°，∴ABE ADC Ð=Ð，∵ AD AD =，∴ABD ACD Ð=Ð，∵BA 平分DBE Ð，∴ABE ABD Ð=Ð，∴ADC ACD Ð=Ð，∴AC AD =，∵AE CB ^，6AD =，4CE =，∴6AC =∴AE ==故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键．6．120,3x x ==【详解】解：x （x －3）=0 ，解得：x 1=0，x 2=3．故答案为：x 1=0，x 2=3．7．()216x -=【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【详解】移项得：x 2﹣2x =5，配方得：x 2﹣2x +1=5+1，即（x ﹣1）2=6．故答案为（x ﹣1）2=6．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．2230x x --=（答案不唯一）【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得出122b x x a +=-=，123c x x a ×==-，令1a =，则2b =-，3c =-则可得出一个符合条件的一个一元二次方程．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为1-，3，∴122b x x a+=-=，123c x x a ×==-，令1a =，则2b =-，3c =-∴符合条件的一个一元二次方程为：2230x x --=，故答案为：2230x x --=．9．30°．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC =60°，根据圆周角定理得：∠D=∠C=60°，∵AD 为直径，∴∠ABD=90°，∴∠BAD=30°∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°∴∠CBD=∠CAD=30°．故答案为：30°10．118°【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角ADB Ð，根据圆周角定理求出D Ð的度数，根据圆内接四边形性质求出C Ð即可．【详解】解：如图作圆周角ADB Ð，使D 在优弧上，124AOB Ð=°Q ，1622D AOB \Ð=Ð=°，A Q 、D 、B 、C 四点共圆，180ACB D \Ð+Ð=°，118ACB \Ð=°，故答案为：118°．11．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得1212,x x x x +的值，代入代数式即可求解．【详解】解：解：∵1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，∴122x x +=-，121x x =-．∴12122x x x x +-()2210=--´-=，故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根，12b x x a +=-，12c x x a=．12．【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得245BOC A Ð=Ð=°，由于圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以CE ==然后利用2CD CE =进行计算．【详解】解：∵22.5A Ð=°，∴245BOC A Ð=Ð=°，∵圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE DE =，则OCE △为等腰直角三角形，∵OC∴CE ==∴2CD CE ==．故答案为：13．11x =，25x =【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，将第二个方程中的()2x -看成一个整体，则由第一个方程的解可知，21x -=-或3，从而可得出答案.【详解】解：∵关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，∴方程()2(2)20a x b x c -+-+=的解为21x -=-或3，解得：11x =，25x =，故答案为：11x =，25x =．14．45°或135°．【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出90AOB Ð=°，分别在优弧 AB 和劣弧 AB 取点1C 和2C ，连接1AC ，1BC ，2AC ，2BC ，则145BC A Ð=°，然后根据圆内接四边形的性质可求出2135BC A Ð=°，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵1OA OB ==，AB =，∴222OA OB AB +=，∴90AOB Ð=°，如图，分别在优弧 AB 和劣弧 AB 取点1C 和2C ，连接1AC ，1BC ，2AC ，2BC ，∴145BC A Ð=°，∵四边形12AC BC 是圆内接四边形，∴12180BC A BC A Ð+Ð=°，∴2135BC A Ð=°，故答案为：45°或135°．15．84【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接BO ，并延长BO 到P ，根据线段的垂直平分线的性质得AO OB OC ==，90BDO BEO Ð=Ð=°，根据四边形的内角和为360°得180DOE ABC +=°∠∠，根据外角的性质得AOP A ABO COP C OBC Ð=Ð+ÐÐ=Ð+Ð，，相加可得结论．【详解】解：连接BO ，并延长BO 到P ，∵线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，∴AO OB OC ==，90BDO BEO Ð=Ð=°，∴180DOE ABC +=°∠∠，∵1180DOE +=°∠∠，∴142ABC Ð=Ð=°，∵AO OB OC ==，∴A ABO Ð=Ð，OBC C Ð=Ð，∵AOP A ABO Ð=Ð+Ð，COP C OBC Ð=Ð+Ð，∴24284AOC AOP COP A ABC C Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=´°=°；故答案为：84．16．(1)11x =21x =(2)112x =，22x =．【分析】本题考查了解一元二次方程．（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2316x x -=，2361x x -=，2123x x -=，24213x x -+=，()2413x -=，1x -=11x =21x =（2）解：2(21)63x x -=-，()()2213210x x ---=，()()212130x x ---=，∴210x -=或240x -=，∴112x =，22x =．17．（1）见解析；（2）它的另一个根为－1．【分析】（1）求判别式b 2－4ac ＝k 2＋8＞0即可证明；（2）利用根与系数的关系即可求解．【详解】(1) ∵a ＝1 ，b ＝k ，c ＝－2 ，∴b 2－4ac ＝k 2＋8 ，∵不论k 取何实数，k 2≥0 ，∴k 2＋8＞0即b 2－4ac ＞0 ，∴不论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵a ＝1 ，c ＝－2， x 1＝2，∴ x 1g x 2＝－2，2x 2＝－2，∴ x 2＝－1，∴另一个根为－1．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．18．见详解【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，矩形的判定，勾股定理，根据直径所对的圆周角等于90度，可得出90D B Ð=Ð=°，根据勾股定理可得出2222AB BC CD AD +=+，再由AD BC =即可得出AB CD =．进而可得出四边形ABCD 是平行四边形，结合90D Ð=°即可证明．【详解】证明：∵AC 为O e 的直径，∴90D B Ð=Ð=°，在Rt ABC △中，222AB BC AC +=，在Rt ADC V 中，222CD AD AC +=，∴2222AB BC CD AD +=+，由∵AD BC =，∴AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∴90D Ð=°，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)36，124,2x x ==-(2)25(3)C【分析】（1）先把2,8p q =-=-，代入24p q -，可得2436p q -=，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；（3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解．【详解】（1）解：∵2,8p q =-=-，∴()()22424836p q -=--´-=，∴方程为228=0x x --，∴()()420x x -+= ，解得：124,2x x ==-；（2）解：∵关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x ，∴1212,x x p x x q +=-×=，∵123,2x x ==-，∴()()32,32p q -=+-=´- ，∴1,6p q ==- ，∴()22414625p q -=-´-=；（3）解：∵关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x ，∴1212,x x p x x q +=-×=，∴()()()222222221212112212112212444242p q p q x x x x x x x x x x x x x x x x -=--=+-×=+×+-×=-×+=-．故选：C【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．这种商品的售价应定为50元或60元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设这种商品的售价应定为x 元，利用销售总利润等于每件利润乘以销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设这种商品的售价应定为x 元，根据题意列方程得：50(40)2005020005x x éù-æö--=ç÷êúèøëû 整理得：2x 110x 30000-+=解得：150x =，260x =，答：这种商品的售价应定为50元或60元．21．见详解【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD ，以点A 为圆心线段a 为半径画弧交CD 于点O ，再以点O 为圆心线段AO 为半径作圆即为所求．【详解】解：如下图：O e 即为所求：22．(1)12OF CD =，证明见详解(2)【分析】（1）连接AO 并延长交O e 于点G ，连接BG ，证明OF 是ABG V 的中位线，则有12OF BG =，再根据同弧所对的圆周角相等可得AGB ECB Ð=Ð，直径所对的圆周角是直角可得90ABG Ð=°，则有90BAG AGB Ð+Ð=°，根据AC BD ^，90ECB EBC Ð+Ð=°，从而可得BAG EBC Ð=Ð，BG CD =，继而可得12OF CD =；（2）先证明AG BC ^，由等腰三角形三线合一的性质得出142BH HC BC ===，再由勾股定理求出AH ，再证明AHC BHG ∽V V ，由相似三角形的判定以及性质即可得出答案．【详解】（1）解：12OF CD =，证明如下：连接AO 并延长交O e 于点G ，连接BG ，∵OF AB ^，∴AF BF =，∵AO GO =，∴OF 是ABG V 的中位线，∴12OF BG =，∵AG 是O e 的直径，∴90ABG Ð=°，∴90BAG AGB Ð+Ð=°，∵AC BD ^，∴90CEB Ð=°，∴90ECB EBC Ð+Ð=°，∵ AB AB =，∴AGB ECB Ð=Ð，∴BAG EBC Ð=Ð，∴BG CD =，∴12OF CD =；（2）∵AB AC =，∴ACB ABC Ð=Ð，∵ACB AGB Ð=Ð，∴ABC AGB Ð=Ð，∵90ABC CBG AGB GBC Ð+Ð=Ð+Ð=°∴AG BC ^，∵AB AC =，8BC =，∴142BH HC BC ===，∴8AH ===，∵ACB HGB Ð=Ð，AHC BHG Ð=Ð，∴AHC BHG ∽V V ，AH BH，84=，∴BG =∴CD BG ==．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定以及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识， 掌握这些性质以及判定是解题的关键．。

江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年初中九上数学第一次月考试题一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣c过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三点．则将y1，y2，y3，从小到大顺序排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y12．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（ ）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．某厂一月份生产某机器200台，计划第一季度共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出得方程是（ ）A．200（1+x）2＝1800B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800C．200（1﹣x）2＝1800D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝18004．若关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（ ）A．x1＝﹣6，x2＝﹣1B．x1＝0，x2＝5C．x1＝﹣3，x2＝5D．x1＝﹣6，x2＝25．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A．100×80﹣100x﹣80x＝7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644D．100x+80x＝3566．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（ ）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤二．填空题（共11小题）7．如果抛物线y＝2x2+4x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．8．若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是 ．9．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜﹣＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 ．（填序号）10．对于实数a、b，定义运算“*”；，关于x的方程（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝ ．12．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）＝8，则a2+b2的值为 ．13．已知点A（﹣5，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则y1和y2的大小关系是 ．（用“＞”连接）．14．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．15．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围时，函数的图象与x 轴有且只有两个公共点，则n的取值范围是 ．17．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是 ．三．解答题（共7小题）18．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．19．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D在y轴正半轴上，直线AD：y＝x+b与抛物线交于点E．（1）求线段BC的长度；（2）如图2，点P是线段AE上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求的最大值；（3）如图3，将抛物线y＝向左平移4个单位长度，将△DCA沿直线BC 平移，平移后的△DCA记为ΔD'C'A'，在新抛物线的对称轴上找一点M，当△A'C'M是以点A'为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长；（1）若a＝b＝c，试求这个一元二次方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，AB的长是多少米？（3）在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．22．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象过点A（﹣1，0）、点B（0，3）．（1）该二次函数的顶点是 ；（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y＝mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ．（3）在对称轴上找一点M，使|MA﹣MC|取得最大值，求出此时M的坐标．23．2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式　．（2）设每月获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为多少元？（3）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：销售单价高于进价且不超过进价20元．方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫的利润至少为35元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）如图，N为抛物线l1上一动点，过点N作直线MN∥y轴，交抛物线l2于点M，点N自点A运动至点B的过程中，求线段MN长度的最大值．（3）P为抛物线l1的对称轴上一动点，Q为抛物线l2上一动点，是否存在P、Q两点，使得B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣c＝﹣（x﹣1）2+1﹣c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），且1＜2＜3＜5，∴y2＞y1＞y3，即y3＜y1＜y2．故选：C．2．【解答】解：x1•x2＝﹣3．故选：D．3．【解答】解：二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（1+x），那么200+200（1+x）+200（1+x）2＝1800．故选：D．4．【解答】解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±，∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B．5．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，故选：C．6．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；故④⑤正确．故选：D．二．填空题（共11小题）7．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+4x+m的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝0，即16﹣8m＝0，解得m＝2，故答案为2．8．【解答】解：设a＝3k，b＝4k，（k≠0），∵a+b＝14，∴3k+4k＝14，解得：k＝2，∴a＝6，b＝8，∴2a﹣b＝2×6﹣8＝4．故答案为：4．9．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0．∴①的结论不正确；∵函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵1＜m＜2，∴0＜＜．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴0＜﹣＜．∴②的结论正确；∵点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，A（﹣2，y1）到抛物线的对称轴的距离大于B（2，y2）到抛物线的对称轴的距离，∴y1＞y2，∴③的结论不正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根，∴④的结论正确，结论正确的有：②④，故答案为：②④．10．【解答】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：当2x≤x﹣1时，即x≤﹣1时，有（2x）2﹣2x（x﹣1）＝t+3，即：2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1），其根为：是负数，当2x＞x﹣1时，即x＞﹣1，时，有（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝t+3，即：x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1），要使关于x的方程（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）和2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）都必须有解，∴，∴，（1）当﹣t﹣2＝0时，即t＝﹣2时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）只有一个根x＝0，∵当t＝﹣2时，，∴，，∴此时方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）只有一个根符合题意，∴t＝﹣2不符合题意；（2）当﹣3＜t＜﹣2时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）的两个根﹣1＜x＜1都符合题意，∵当﹣3＜t＜﹣2时，，∴，，∴方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）只有一个根符合题意，∴当﹣3＜t＜﹣2时，（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根；（3）∵当时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）的一个根≥1，另外一个根≤﹣1，∴此时方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）只有一个根符合题意，∵，，∴当时，方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）最多有一个根符合题意，∴当时（2x）*（x﹣1）＝t+3不可能有三个不相等的实根；综上分析可知，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2．故答案为：﹣3＜t＜﹣2．11．【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1＝0，∴a＝1．故答案为：1．12．【解答】解：设y＝a2+b2，原式化为y2﹣2y﹣8＝0，即（y﹣4）（y+2）＝0，可得y﹣4＝0或y+2＝0，解得：y1＝4，y2＝﹣2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝4．故答案为：4．13．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴B（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2），∵﹣5＜﹣4＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2021+2×4＝2021+8＝2029．故答案为：2029．15．【解答】解：当k＝0，方程变形为3x﹣1＝0，此一元一次方程的解为x＝；当k≠0，Δ＝9﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣，即k≥﹣且k≠0时，方程有两个实数根，综上所述实数k的取值范围为k≥﹣．故答案为：k≥﹣．16．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示.观察函数图象可知：，解得：﹣1＜n≤0．故答案为：﹣1＜n≤0．17．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴C点为AB的中点，∵∠DPE＝90°，∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（0，﹣4），AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，连接AP，∵M是线段PB的中点，∴CM为△ABP为中位线，∴CM＝AP，∴CM的最大值为．故答案为：．三．解答题（共7小题）18．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，∴方程﹣x2+2mx+1＝0有两个不同的实数解，即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1，∴对称轴的直线为，顶点D点的坐标为（m，m2+1），点C（0，1），∵对称轴的直线x＝m与x轴相交于点B，∴B（m，0），∴BC2＝m2+12＝m2+1，BD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，CD2＝m2+（m2+1﹣1）2＝m4+m2，∵BC2+CD2＝m2+1+m4+m2＝m4+2m2+1，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴BC⊥AD．19．【解答】解：（1）令y＝0，则＝0，解得x＝6或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（6，0），令x＝0，则x＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴BC＝3；（2）将点A（﹣4，0）代入y＝x+b，∴﹣4+b＝0，解得b＝4，∴y＝x+4，∴D（0，4），联立方程组，解得或，∴E（14，18），设P（t，t+4）（﹣4＜t＜14），∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣t﹣3），∴PQ＝t+4﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+7，∵CD＝7，∴＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣5）2+，∴当t＝5时，有最大值；（3）∵y＝＝﹣（x﹣1）2﹣，∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝﹣3，设M（﹣3，m），∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴AC＝5，∴A'C'＝5，∵△A'C'M是以点A'为直角顶点的等腰直角三角形，∴A'M＝5，设△ACD沿x轴向左平移2a个单位长度，则沿y轴向下平移a个单位长度，∴A'（﹣4﹣2a，﹣a），C'（﹣2a，﹣3﹣a），∴＝5①，C'M＝，∵C'M＝A'C'，∴＝5②，联立①②可得或，∴M（﹣3，3）或（﹣3，﹣2）．20．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴原方程为x2+x＝0，即x（x+1）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1．（2）∵方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4b2﹣4a2+4c2＝0，∴a2＝b2+c2．∵a、b、c分别为△ABC三边的长，∴△ABC为直角三角形．21．【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24﹣3x）米，根据题意得：x（24﹣3x）＝45，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，BC＝24﹣3x＝9，符合题意，∴AB的长是3米或5米；（2）设AB的长为m米，则BC的长为（24﹣3m+1+1）米，根据题意得：m（24﹣3m+1+1）＝56，解得m1＝，m2＝4，当m＝时，BC＝24﹣3m+1+1＝12，符合题意，当m＝4时，BC＝24﹣3m+1+1＝14，符合题意；∴AB的长是米或4米；（3）能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下：设AB的长为x米，围成面积为w平方米，∵墙的最大可用长度为a为15米，∴24﹣3x≤15，解得x≥3，根据题意得w＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，x≥3，∴x＝4时，w取最大值，最大值为48平方米，此时24﹣3x＝24﹣3×4＝12，答：当AB＝4，BC＝12时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米．22．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4），（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C（2，3），由图象可知，不等式ax2+bx+c＞mx的x的取值范围：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．（3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示，|AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB，连接AB与对称轴交于点M，此时|MA﹣MC|＝|MA﹣MB|＝AB，∴|MA﹣MC|的最大值为AB；设AB直线解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点，∴，解得，∴直线AB解析式为y＝3x+3，把x＝1代入得，y＝3×1+3＝6，∴M的坐标为（1，6）．23．【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（40，600），（80，200）代入得：，解得：，故答案为：y＝﹣10x+1000；（2）由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元）．∴销售单价为70元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为9000元；（3）选择方案B，理由：方案A：由题意，40＜x≤60，方案B：由y≥220，可得x≤78，∴75≤x≤78，∵a＝﹣10＜0，且对称轴为直线x＝70，∵75﹣70＜70﹣60，∴当x＝75时，最大利润最高，∴选择方案B．24．【解答】解：（1）设抛物线l2的函数表达式为y＝ax2+bx+c，当y＝0时，由﹣x2+2x+3＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0）、D（0，﹣3）、E（6，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线l2的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3．（2）如图1，设点N的横坐标为x（﹣1＜x≤3），∴N（x，﹣x2+2x+3），M（x，x2﹣x﹣3），∴MN＝（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∵＜0，且﹣1＜＜3，∴当x＝时，MN的最大值为.（3）存在，如图2，设抛物线l1的顶点为点R，作RQ⊥y轴交抛物线l2于点Q，∵y＝﹣x2+2x+3＝y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线l1的对称轴为直线x＝1，顶点为R（1，4），过点Q作PQ∥DB交直线x＝1于点P，作四边形PQDB，BD交直线x＝1于点H，抛物线y＝x2﹣x﹣3，当y＝4时，则x2﹣x﹣3＝4，解得x1＝﹣2，x2＝7，∴Q（﹣2，4），∵∠QPR＝∠BHP＝∠BDO，∠PRQ＝∠DOB＝90°，RQ＝OB＝3，∴△PRQ≌△DOB（AAS），∴PQ＝DB，∴四边形PQDB是平行四边形，∵PR＝DO＝3，∴P（1，7）；如图3，设直线x＝1交抛物线l2于点G，抛物线l2：y＝x2﹣x﹣3，当x＝1时，y＝﹣﹣3＝﹣5，∴G（1，﹣5），设抛物线l2与抛物线l1的另一个交点为点Q，由得，，∴Q（4，﹣5），作QP∥BD交直线x＝1于点P，作四边形PQBD，BD交直线x＝1于点H，连接GQ，则GQ∥x轴，且GQ＝3，∴∠GPQ＝∠RHB＝∠ODB，∠PGQ＝∠DOB＝90°，GQ＝OB＝3，∴△PGQ≌△DOB（AAS），∴QP＝BD，∴四边形PQBD是平行四边形，∵GP＝OD＝3，∴P（1，﹣8）；如图4，平行四边形PBQD以BD为对角线，设点F是BD的中点，则F（，﹣），∴点Q与点P关于BD的中点F成中心对称，在（2）的条件下，直线MN为x＝，∵B（3，0），∴直线x＝平分OB，∴直线x＝也平分BD，∴直线x＝经过点F（，﹣），∴点Q与点P到直线MN的距离相等，∴点Q的横坐标为+（﹣1）＝2，抛物线y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝×4﹣×2﹣3＝﹣6，∴Q（2，﹣6），作DK∥x轴，作QK⊥DK交DK于点K，设DQ交直线x＝1于点J，直线x＝1交x轴于点I，则K（2，﹣3），∵∠DQK＝∠DJI＝∠BPI，∠K＝∠PIB＝90°，KD＝IB＝2，∴△PDK≌△PBI（AAS），∴QK＝PI＝3，∴P（1，3），综上所述，P（1，7），Q（﹣2，4）或P（1，﹣8），Q（4，﹣5）或P（1，3），Q（2，﹣6）．。

福建省厦门市松柏中学2024-2025学年九年级上学期数学月考试题一、单选题1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ． 赵爽弦图B ． 笛卡尔心形线C ． 科克曲线D ． 斐波那契螺旋线2．下列各式中，y 是x 的二次函数的为（ ） A ．2y ax bx c =++ B ．21y x =-+C ．y =D ．29y x =-+3．已知x ＝1是方程x 2﹣m ＝0的根，则m 的值可以是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．抛物线y ＝x 2﹣9的顶点坐标是（ ） A ．(0，﹣9)B ．(﹣3，0)C ．(﹣9，0)D ．(3，0)5．下列对一元二次方程x 2+x+3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．没有实数根D ．有且只有一个实数根6．将抛物线y=﹣(x ＋1)2＋3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为( )A ．y=﹣(x ＋3)2＋1B ．y=﹣(x ﹣1)2＋5C ．y=﹣(x ＋1)2＋5D ．y=﹣(x ＋3)2＋57．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE V ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒8．二次函数y=ax 2+bx-c 与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系中图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线2142y x x =-刻画，斜坡可以用直线12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球落地点与点O 的水平距离为7mB ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球与点O 的水平距离为3mC ．小球与点O 的水平距离超过4m 时呈下降趋势D ．小球与斜坡的距离的最大值为49m 810．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当y t ≥时，2x m ≤--或24x m ≥-+．若(3,)A m p --，(2,)B m q 是抛物线2y ax bx c =++上的两点，且p q >，则m 的取值范围为（ ）A ．513m -<<B ．1m <-或53m >C ．513m -<<D ．53m <-或1m >二、填空题11．方程29x =的解是． 12．已知()211350mm x x +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．13．若抛物线y ＝（x ﹣2）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为．14．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为岁．15．已知二次函数223y x ax =-+（其中x 是自变量且0a ≠），且21x -≤≤时，y 的最小值为1，则a 的值是．16．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2﹣6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，则a 的取值范围为．三、解答题 17．解方程2210x x --=18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，且AM CN =．求证：DM BN =．19．先化简，再求值： 2111a a a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a ．20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m 2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2满足12123x x x x ++＝，求m 的值．21．如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，120BAE ∠=︒，60CAD ∠=︒，AB AE =．(1)将AED △绕点A 顺时针旋转得到ABF △，使AE 与AB 重合，请画出图形； (2)求证：CD BC DE =+．22．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x 2+bx +c ＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，点P 在该抛物线上滑动且满足S △P AB ＝8，请求出此时P 点的坐标．23．2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，ADx．和BC与院墙垂直，设AB的长为m(1)当围成的矩形养殖园面积为2100m时，求BC的长；(2)如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到2100m若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．24．项目式学习项目主题：合理设计智慧泉源项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一测量建模建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；任务二推理分析小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度 1.8DE =米，竖直高度 1.1EF =米，洒水车到绿化带的距离OD 为d 米．（2）求下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；（3）若 2.2d =米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 25．已知直线(0)y kx m k =+<与抛物线2y x bx c =++相交于抛物线的顶点P 和另一点Q ，点P 在第四象限．()1若点()2,P c -，点Q 的横坐标为1，求点Q 的坐标；()2过点Q 作x 轴的平行线与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点E ，直线PQ 与y 轴交于点M ，若EQ PE =，22(5)4b c b =-<-，求OMQ V的面积S 的取值范围．。

2023学年第一学期九年级数学学科素养测试（满分：150分 完成时间：100分钟）一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1. 如果ABC DEF ∽△△（其中顶点A 、B 、C 依次与顶点D 、E 、F 对应）那么下列等式中，不一定成立的是（ ） A. A D ∠=∠ B.A DB E∠∠=∠∠ C. AB DE =D.AB DEAC DF=【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形对应角相等，对应边成比例解答即可． 【详解】解：ABC DEF △∽△，A ∴、A D ∠=∠正确，故本选项错误；B 、A DB E∠∠=∠∠正确，故本选项错误； C 、AB DE =不一定成立，故本选项正确； D 、AB DEAC DF=正确，故本选项错误． 故选：C ．2. 已知点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上，DE BC ∥，且:1:3ADE DBCE S S =△四边形，那么:AD DB 的值是（ ）．A.14B.13C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】由:1:3ADE DBCE S S =△四边形可得:1:4ADE ABC S S =△△ 再证ADE ABC △△∽可得12AD AB =，则AD BD =即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：如图：∵:1:3ADE DBCE S S =△四边形 ∴()::1:4ADE ABCADE ADE DBCE S SS S S =+=△△△四边形∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △△∽，∴12AD AB == 即AD BD =， ∴:1AD DB =．故选D ．3. 如果抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限，且在y 轴的左侧是上升的，那么下列对其顶点的描述中，正确的是（ ）．A. 其顶点一定不在第一、二象限B. 其顶点一定不在第二、三象限C. 其顶点一定不在第三、四象限D. 其顶点一定不在第四、一象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知a<0、对称轴bx 02a=−>，然后根据对称轴确定顶点的可能位置即可；根据题意确定对称轴的位置是解题的关键．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限，且在y 轴的左侧是上升的， ∴a<0，对称轴bx 02a=−>， ∴顶点不可能在第二、三象限． 故选B ．4. 已知在四边形ABCD 中，记AB a =，BC b =，CD c =，DA d =．如果向量a 、b 、c 、d 都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ） A. 向量a 与b 方向相同，且向量c 与d 方向相同 B. 向量a 与c 方向相同，且向量b 与d 方向相同 C. 向量a 与b 方向相反，且向量c 与d 方向相反D. 向量a 与c 方向相反，且向量b 与d 方向相反 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图：∴向量a 与c 方向相反，且向量b 与d 方向相反，故选D ．5. 如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，已知90ACB ∠=︒，1AB =．下列线段中，其长为sin 2A 的是（ ）A. BCB. ACC. BDD. AD【答案】C 【解析】【分析】本题考查正弦的定义，掌握sin A A ∠=的对边斜边是解题的关键．【详解】解：∵CD 是边AB 上的高，已知90ACB ∠=︒， ∴90A ACD ACD DCB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A DCB ∠=∠， 又∵sin BC A AB =，sin BDDCB BC∠=， ∴2sin sin sin =BC BDA A DCB BD AB BC=⋅∠⋅=， 故选C ．6. 已知抛物线M ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线N ：2y ax bx d =−++的顶点为Q ．命题1：如果点P 在抛物线N 上，那么点Q 也在抛物线M 上；命题2：如果点P 不在抛物线N 上，那么点Q 也不在抛物线M 上．下列说法中，正确的是（ ） A. 命题1是真命题，命题2也是真命题 B. 命题1是真命题，命题2是假命题 C. 命题1是假命题，命题2是真命题 D. 命题1是假命题，命题2也是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知抛物线M 、抛物线N 开口方向相反，对称轴互为相反数，据此判断即可；根据二次函数的性质的抛物线M 、抛物线N 的关系是解题的关键．【详解】解：∵抛物线M ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线N ：2y ax bx d =−++的顶点为Q ． ∴抛物线M 、抛物线N 开口方向相反，对称轴互为相反数；∴如果点P 在抛物线N 上，那么点Q 也在抛物线M 上；原说法是真命题； 如果点P 不在抛物线N 上，那么点Q 也不在抛物线M 上；即原说法是真命题． 故选A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知::1:3:6a b c =，30a b c ++=，那么−−=c b a ________． 【答案】6 【解析】【分析】设a n =，则3,6b n c n ==，然后代入30a b c ++=求得n ，进而求得a 、b 、c 的值，最后代入计算即可；掌握一元一次方程的应用是解题的关键．【详解】解：设a n =，则3,6b n c n ==，则3630n n n ++=，解得：3n =； ∴3,9,18a b c ===， ∴18936c b a −−=−−=． 故答案为6．8. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式：________．【答案】2y x =−（答案不唯一）【解析】【分析】先根据开口向下可知a<0，再根据顶点在y x =上，即2424b ac ba a−−=，整理得2240b b ac −−=，然后确定符合条件的值即可解答．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++开口向下， ∴a<0，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上，∴2424b ac b a a−−=，即2240b b ac −−=，如：当1a =−，0b c ==符合题意． 故答案为:2y x =−（答案不唯一）． 9. 已知点()11,A y 和()22,By 在二次函数()220y axax c a =++<图像上，则12y y −________0．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线=1x −，根据1x >−时，y 随x 的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：()220y ax ax c a =++<，∴图象的开口向下，对称轴是直线212ax a=−=−， ∴1x >−时，y 随x 的增大而减小， 112−<<，21y y ∴<， 120y y ∴−>，故答案为>．10. 已知平面直角坐标系中点()3,4A 和()0,B b ，满足1tan 2ABO ∠=（O 为原点），那么b 的值为________．【答案】2−或10##10或2− 【解析】【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B 在y 轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B 在y 轴的正半轴上时，则4BC b =−，∵1tan 2ABO ∠=， ∴12AC BC =，即3142b =−，解得：10b =；②如图：当点B 在y 轴的负半轴上时，则4BC b =−，∵1tan 2ABO ∠=，∴12AC BC =，即3142b =−+，解得：=2b −．故答案为2−或10．11. 平面直角坐标系中点()30A ，、()02B ，、()53C −，，设OA a =，OB b =，那么向量CO =________．（用向量a 、b 表示） 【答案】5332a b − 【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算：平面向量的加法法则，利用作平面直角坐标系更快速解题，掌握()CO OC =−是解题的关键【详解】解：依题意，如图所示：故()535353323232CO OC OA OB OA OB a b ⎛⎫=−=−−+=−=− ⎪⎝⎭ 故答案为：5332a b − 12. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向，那么轮船乙位于轮船甲的________．（注明方向） 【答案】南偏西35︒ 【解析】【分析】根据方位角的相对性进行解答即可；理解相对性是解题的关键． 【详解】解：∵轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向， ∴轮船乙位于轮船甲的南偏西35︒． 故答案为：南偏西35︒．13. 已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为________． 【答案】35##0.6 【解析】【分析】如图：过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG == 再根据直角三角形的性质可得112DG BC ==；根据三角形的重心是中线的三等分点可得3AG =；再运用等腰三角形的性质和勾股定理可得AB AC ==35BE CE ==，最后根据正弦的定义即可解答．【详解】解：如图：过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG ==∵D 是重心，BD CD ⊥ ∴112DG BC ==∴BD CD === 22AD DG == 即3AG =∵AD 是中线 AB AC = ∴AG BC ⊥∴AB AC ====∵1tan 3BE AG ACB CE CF ∠=== ∴3BE CE =∵222BC CE BE =+∴()2223BC CE CE =+ 解得：5CE =∴3BE CE ==，∴3sin5BE BAC AB ∠===．故答案为35．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形重心的性质、正切、正弦的定义等知识点，掌握三角形的重心是中线的三等分点成为解题的关键．14. 已知菱形的周长为C ，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S ，那么S 关于C 的函数关系式是________．（不必写出定义域）【答案】2S =【解析】【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．正切等于对边比邻边，菱形的四边长度相等．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出2DEAE=，再由勾股定理得出DE 的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解．【详解】解：如图，四边形ABCD 是菱形，DE 是AB 边上的高，∵菱形的周长为C ， ∴4C AB AD ==， ∵A ∠的正切值为2， ∴2DEAE=， ∴12AE DE =， 由勾股定理可得222AD AE DE =+，∴222142C DE DE ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：10DE =，菱形面积为241040C S AB DE C C =⋅=⋅=，2．15. 已知一张等腰直角纸片，其底边长为3cm ，将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠，则折叠后重叠部分的面积为________2cm ． 【答案】34【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例及三角形中位线的性质、勾股定理，熟知相关性质是正确解决本题的关键．过AC 中点E 作EF AB ∥，交CD 于F ，利用平行线分线段成比例求出重叠部分的上底、下底、高，再利用梯形面积公式即可求出．【详解】解：如图所示，3AB =，CD BE 、是中线，M 是重心，PQ 过点M 且PQ AB ∥，将CPQ 沿直线PQ 折叠，重叠部分是梯形GHPQ ，EF AB ∥，12EF FM BD DM ∴==， 3AB =，32BD AD CD ∴===，2AC BC ==， 34EF CF ∴==， 1142FM ,DM ∴==，1CM QM ∴==，2PQ =，CQ =2AQ ∴=， 1AG ∴=，同理1BH =，1GH ∴=，()11312224GHPQ S ∴=⨯+⨯=梯形．故答案为：34．16. 已知在ABC 中，5AB =，4BC =，3CA =，G 是其重心，那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形的面积是________． 【答案】2 【解析】【分析】如图：延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = 根据题意可证四边形CGBE 是平行四边形，即CE BG =、BE CG =，最后根据三角形的重心将三角形三等分以及等底等高即可解答；掌握三角形的重心是三角形的中线的三等分点是解答本题的关键．【详解】解：如图：延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = ∵AD 是中线， ∴21,,33CD BD AG AD GD AD ===， AG GE = ∴四边形CGBE 是平行四边形， ∴CE BG =,BE CG = ∵AG GE =,∴那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形为BEG ∵111342333BCGABCSS ==⨯⨯⨯=, ∴平行四边形CGBE 的面积为24BCGS =，∴122BEGCGBE SS ==． 故答案为2．17. 如图，将矩形ABCD 分别沿AE 、DF 折叠，恰好使点B 、C 重合于形内点G 处，如果EFG 与ADG △的面积比为1:4，那么:AB AD =________．【答案】58【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ，交BC 于点M ，证明EGM GAN ∽得出12EG EM MG AG NG AN ===，设,EM x MG y ==，分别表示出,MN AB ，得出43y x =，进而表示出,AB AD ，即可求解． 【详解】如图所示，过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ，交BC 于点M ，依题意，,AG AB DG DC ==， 又AB CD =， ∴AG GD =，∴GAD GDA ∠=∠，则BAG CDG ∠=∠， ∵折叠， ∴AGEB ∠=∠，DGFC ∠=∠，∴360180BAG BEG B AGE ∠+∠=︒−∠−∠=︒，又180BEG MEG ∠+∠=︒， ∴MEG BAG ∠=∠， ∵90EGA ∠=︒∴90EGM AGN ∠+∠=︒∴90GAN AGN EGM ∠=︒−∠=∠ ∴EGM GAN ∽ 同理可得MGF NDG ∽∵EFG 与ADG △的面积比为1:4， ∴12EG EM MG AG NG AN === 设,EM x MG y == ∴2,2NG x AN y ==，∴EG =AB AG ==∴222BC BE EM x =+= ∴2AB MN MG NG y x ==+=+∴2y x =+ 解得：43y x =∴410233AB x x x =+=，1623AD BC x x === ∴58AB AD = 故答案为：58．18. 如图，直线123l l l ∥∥，等边ABC 的三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，如果直线1l 、2l 间的距离与直线2l 、3l 的距离之比为1:2，那么AB 与直线1l 夹角的正切值是________．【答案】5【解析】【分析】本题考查旋转性质，等边三角形的性质，解直角三角形，过点C 作2CD l ⊥于点D ，然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ，过点E 作3FG l ⊥于点F ，交1l 于点G ，过点B 作1BH l ⊥于点H ，设BH a =，得到12EF EC a ==，然后求出正切值即可． 【详解】解：过点C 作2CD l ⊥于点D ，然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ，过点E 作3FG l ⊥于点F ，交1l 于点G ，过点B 作3BH l ⊥于点H ，设BH a =，则2CD a =，则2CE CD a ==，90FCD CDB FEC ∠=∠=∠=︒，60ECD ∠=︒，3FG a = ∴30ECF ∠=︒， ∴12EF EC a ==， ∴32EG FG EF a a a =−=−=，又∵90ECF FEC GEA FEC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴30GEA ∠=︒∴2cos cos303EG a EA a GEA ===∠︒，∴3AC a ===，又∵等边ABC ， ∴3AB AC a ==，∴3AH a ===，∴tan 5BH BAH AH∠===，故答案为：5． 的三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒． 【答案】7 【解析】【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可． 【详解】解：()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒431=+−⎝⎭114=−61=+− 7=．20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4BC =，3AB =，BE CD ⊥，垂足为E ．（1）设AB a =，AD b =，求作向量EC 分别在AB 、AD 方向上的分向量； （2）求sin ABE ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）79【解析】【分析】（1）如图：作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形．可以得到2MN AD ==、1BM CN ==，再根据三角函数可得43CE =，进而可得49EC CD =，再根据向量的和差可得DC a b =+，即4499EC a b =+，据此作图即可； （2）如图：如图：设AM 与BE 交于点H ，由等腰梯形的性质可得1BF =，再根据勾股定理可得AM =BE =4HM =、BH =AH =；再根据三角函数可得HI =73AI =，进而得到23BI =，最后根据正弦的定义即可解答． 【小问1详解】解：如图：作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形．∴2MN AD == ∴1BM CN ==∴1cos 3CE NC C BC DC ∠=== 即143CE =，即43CE = ∴49CE CD = 即49EC CD = ∵AD BC ∥，2BC AD = ∴22BC AD b ==，∴2DC DA AB BC b a b a b =++=−++=+， ∴4499EC a b =+ ∴向量EC 在AB 、AD 的分向量分别为4499a b 、；作图见图：小问2详解】解：如图：设AM 与BE 交于点H ，∵等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4BC =， ∴1BF = ∴AM ==BE ==∵4tan 43HM CE EBC BM BE ∠====即14HM =，解得：4HM =;∴BH ==∴AH AM MH =−= 如图：作HIAB ⊥∴1sin 3HI BM BAM AH AB ∠=== 即173HI =，解得：HI = 同理可得：73AI =，∴72333BI =−=，∴712sin 39IH ABE BH ∠===．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角函数、向量等知识点，正确作出辅助线、灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键．【21. 已知函数2423y x x =++．（1）试着通过列表、描点、连线的方式，画出其图像的草图； （2）根据所画草图，请写出该函数的三条图像特征．【答案】（1）见解析 （2）①函数图像的对称轴为=1x −；②当1x >−，y 随x 的增大而减小；③函数图像无限靠近x 轴，但不会和x 轴相交（不唯一合理即可）． 【解析】【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图像即可；掌握作图步骤是解题的关键； （2）根据函数图像，总结归纳性质即可；掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：①列表如下：②描点、连线如下：【小问2详解】解：由（1）所得图像可得如下性质：①函数图像的对称轴为=1x −；②当1x >−，y 随x 的增大而减小；③函数图像无限靠近x 轴，但不会和x 轴相交（不唯一合理即可）．22. 小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．【答案】31.5 【解析】【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B '和Rt MN B '中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan 4β=，进而得到()2104BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x = 则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+在Rt MM B '中，()1·tan 2103BM MM x α==+'； Rt MN B '中，·tan BM MN β'=， ∵sin 13β=，∴cos 3β=，∴tan 4β=，∴()2104BM x =+，∴())122021034x x +=+，解得：35x =+，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=+⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m +．23. 如图，正方形纸片ABCD ．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边AD 与BC 重合，得到折痕EF ；第二步，将BCF △折叠，得到折痕BF ；第三步，将ABP 折叠，使顶点A 落在折痕BF 上点Q 处．（1）求证：点P 恰为线段AD 的黄金分割点；（2）现有矩形纸片ABCD ，其中AB BC <，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个30︒的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明30︒角的位置，不需要证明．【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键．（1）先运用勾股定理得到2BF =，然后在Rt QPF 和Rt DGF 中，运用2222FQ PQ DF DP +=+解题计算即可证明；（2）先对折矩形，然后再折叠，使得点A 落在第一次的折痕上，即可得到30︒角． 【小问1详解】 证明：如图，连接PF ，设正方形ABCD 的边长为1，则12DF =．在Rt BCF 中，2BF ==，则12QF BF BQ =−=−． 设AP PQ x ==，则1PD x =−， 在Rt QPF 和Rt DGF 中，有2222FQ PQ DF DP +=+， 即()222211122x x ⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， 解得512x √−=， 即点P 是AD 的黄金分割点(AG GD >)； 【小问2详解】方法如图所示:第一步：对折矩形纸片ABCD ,使 AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，落点为点N ，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时，得到线段BN .则30ABM MBN NBC ∠∠∠===︒．24. 如图，直线1l ：122y x =+与x 、y 轴的交点为A 、B ，点P 是该直线上位于第一象限内的一点，满足12PB BA =．（1）以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB （不含点A 、B ）有交点，求a 的取值范围； （2）将直线1l 平移得到直线2l ，直线2l 与x 、y 轴的交点为C 、D ，且使BC CD ⊥，问：直线1l 平移到直线2l ，至少需要平移多少距离？（3）如果（1）中抛物线2y ax bx c =++与直线2l 在抛物线对称轴右侧的交点为Q ，当PQA △与PQB △相似时，求此时抛物线的表达式．【答案】（1）108a −<<（2 （3）2129y x =−+ 【解析】【分析】（1）根据题意可得：a<0、0b =、()()4,0,0,2A B −，然后求出抛物线过临界点时的a 的取值，进而完成解答；确定a 、b 的取值范围是解答本题的关键； （2）设平移后的直线2l 的解析式为：212y x t =+；BC 的解析式为3y kx b =+，根据垂直直线的关系可得2k =−，进而确定(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭；再根据点C 在2l 上可得4b t =−，则0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭；再运用勾股定理列方程可得2b =，然后确定()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，最后根据两点间距离公式即可解答；明确各直线间的关系是解题的关键； （3）设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据题意和勾股定理可得()2,3P ；再根据PQA PQB ∽可得3PA PQ AQ PB BQ PQ ===；设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点间距离公式可得3=，解得：3n =或92n =（舍），即Q 的坐标为()3,1；再结合（1）、（2）即可解答；灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键． 【小问1详解】解：∵以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB （不含点A 、B ）有交点， ∴抛物线的开口一定向下，即a<0；且对称轴为y 轴，则02ba−=、0b =， 当0x =时，1222y x =+=；当0y =时，4x =−， ()()4,0,0,2A B −；当2y ax bx c =++恰好过()0,2B 点时，则2c =，()220y ax a =+<；当2y ax bx c =++恰好过()()4,0,0,2A B −两点时，有0162a =+，即18a =−； 综上，a 的取值范围为108a −<<． 【小问2详解】解：设平移后的直线2l 的解析式为：212y x t =+；BC 的解析式为3y kx b =+， ∵BC CD ⊥， ∴112k =−，即2k =−， ∴32y x b =−+，∴(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭由点C 在2l 上，则1022b t ⨯+=，解得：4b t =−，即0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，在Rt BCD 中有222BC CD BD +=，即2222422244b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：2b =，∴()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭21122y x =−∴平移距离BC ==【小问3详解】 解：设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵12PB BA =， ∴2BA PB =∴=，解得：2a =，即()2,3P ； ∵PQA PQB ∽∴3PA PQ AQPB BQ PQ=== 设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭3=，解得：3n =或92n =（舍）， ∴Q 的坐标为()3,1，（1）可得由22y ax =+，则192a =+，解得：19a =−． ∴抛物线表达式为：2129y x =−+；25. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是边AC 的中点，点D 位于边AB 上，连接DO 并延长交BC 的延长线于点E ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ．（1）当DE AB ⊥时，求tan AED ∠的值； （2）当EA AB ⊥时，求证：2DF DA DB =⋅；（3）作射线OP ，使其平行于BC ，且在AC 的右侧．试问：在射线OP 上是否存在点Q ，使得OQD OQE ∠=∠如果存在，请求出OQ 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1241（2）见解析 （3）4 【解析】【分析】（1）由中点的性质可得32OA OC ==，再直角三角形可得65OD =、910AD =、158OE = 进而得到12340ED =；最后根据正切的定义即可解答； （2）如图：延长EA FD 、相交于G ，根据平行线等分线段定理可得,,OA EO CO EODG ED DF ED==再说明GD DF =，可得sin ADG DG ∠=；再说明sin DF B DB ∠= 则B G ∠=∠；然后可得AD DF DG BD =，再结合GD DF =即可证明结论；（3）如图：作AI BC ∥交BD 延长线于I ，过O 作射线OP 交AB 于G ，，连接CG 交DF 于H DF 与OG 交于J ，再证DJG HJG ≌可得,DJ JH DG HG ==，进而说明DQO EQO ∠=∠，即H 在EQ上；再根据平行线等分线段定理可得GQ HG DGCE CH AD==；然后再说明OG CQ =即可解答． 【小问1详解】解：∵O 是边AC 的中点，3AC = ∴32OA OC ==∵DE AB ⊥，∴346sin 255BC OD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯= 339cos 2510AC AD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯=631553cos cos 282OC OC OE COE AOD ===÷=∠∠∴1561238540ED =+= ∴912312tan 104041AD AED DE ∠==÷=． 【小问2详解】解：如图：延长EA FD 、相交于G ， ∵AC GF ∥∴,,OA EO CO EODG ED DF ED == ∴OA CODG DF=， ∵OA OC = ∴GD DF = ∵EA AB ⊥， ∴sin ADG DG∠=在Rt DFB △中，sin DFB DB∠= 则B G ∠=∠ ∴AD DFDG BD= ∵GD DF =， ∴AD DFDF BD= 即2DF DA DB =⋅． 【小问3详解】解：如图：假设Q 存，作AI BC ∥交BD 延长线于I ，过O 作射线OP 交AB 于G ，，连接CG 交DF于H DF 与OG 交于J ，∵OG AC ⊥ AG CG = OG BC ∥ ∴G 是AB 的中点，∴,AG CG BG AGO CGO ==∠= ∵DF OP ⊥ JG GJ = ∴DJG HJG ≌ ∴,DJ JH DG HG ==∴DQ HQ = DQO HQO ∠=∠ 又∵DQO EQO ∠=∠ ∴H 在EQ 上， ∵CE QG ∥ ∴GQ HG DGCE CH AD == ∵AI OG ∥ ∴OG DG AI AD= 则OG GQAI CE = ∵,AO CO AI CE =∥ ∴AI CE = ∴OG CQ = ∴12OG AO OB AC == 即12OG OB = ∴24OQ OG BC ===．【点睛】本题主要考查了中点的性质、解直角三角形、三角函数、平行线等分线段定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．,。

2024-2025学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2560x xy +-=B ．240x x -=C ．2310x -=D ． 220x +=2．下列函数解析式中，是二次函数的是（ ）A ．21y x =-B ．2221y x x =-+C ．2y ax bx c =++D ．21y x x=+ 3．若关于x 的方程()24102a a x x -++=-是一元二次方程，则a 的取值为（ ） A ．0 B ．4C ．4-D ．4± 4．一元二次方程()()2323x x -=-的根是（ ）A ．2B ．3C ．3或5D ．3或2 5．若关于x 的一元二次方程的两根为11x =、22x =，则这个方程是（ ） A ．2620x x +-=B ．2320x x -+=C ．2230x x -+=D ．2320x x ++=6．二次函数21y x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()32,C y 三点都在二次函数()21y x =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．123y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y << 8．定义运算：221m n m n m =--☆．例如：2424224123=⨯-⨯-=☆，则方程10x =☆的根的情况为A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或910．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将方程()25231x x x -=+化为一般式，其结果是12．将二次函数21y x =+图像向下平移5个单位长度，平移后的解析式为．13．当31x -≤≤时，二次函数221y x =-+中y 的取值范围是．14．已知a ，b 是实数，且满足()()22222340a b a b +++-=，22 a b +=． 15．已知抛物线()2y a x h =-与()223y x =-+的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是()1,0的抛物线解析式是．三、解答题16．解方程(1)()22316x +=；(2)2430x x --=．(3)2314x x -=．(4)()()2454x x +=+．17．小明同学解一元二次方程x 2﹣6x ﹣1＝0的过程如图所示．解：x 2﹣6x ＝1 …① x 2﹣6x +9＝1 …②（x ﹣3）2＝1 …③x ﹣3＝±1 …④x 1＝4，x 2＝2 …⑤（1）小明解方程的方法是 ．（A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法他的求解过程从第 步开始出现错误．（2）解这个方程．18．已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两个实数根（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）若120x x -=，求m 的值，并求1x ，2x 的值．19．已知关于x 的一元二次方程()21230x k x k -++-=．(1)求证：无论k 为何值，该方程总有两个不等实根．(2)当Rt ABC △的斜边a b 和c 恰好是这个方程的两个根，求k 的值． 20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？21．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长37m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过4米（围栏宽忽略不计）．(1)每个生态园的面积为45平方米，求每个生态园的边长；(2)每个生态园的面积能否达到72平方米?请说明理由．22．ABC V 中，905cm 6cm B AB BC ∠=︒==，，，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/scm 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/s cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ = ________，PB = ________（用含t 的代数式表示）；(2)是否存在t 的值，使得PBQ V 的面积等于24cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，已知点()2,4A -在抛物线()20y ax a =≠上，过点A 且平行于x 轴的直线交抛物线于点B ．(1)求a 的值和点B 的坐标；(2)若点P 是抛物线上一点，当以点A ，B ，P 为顶点构成的ABP V 的面积为2时，求点P 的坐标．。