圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
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辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段，是初中学生学习中很重要的一部分，也是各种考试的热点，下面就让我们看下与圆有关的辅助线的做法。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆虽然是初中数学最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其有许多知识点都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
下面就让我们看看圆中常见的辅助线的作法：1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中，⎩⎪⎨⎪⎧OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA 2＝AC 2＋OC 2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O 相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S △ABC ＝S △OBC .∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形． ∴∠COB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。
