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运筹学第四章多目标规划

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运筹学(第四版)：第4章 目标规划

运筹学(第四版)：第4章 目标规划

目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小

运筹学概论 第4章 目标规划

运筹学概论 第4章 目标规划
P1：利润指标定为至少每月1.6104元；
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
min P1d1, P2d2, P3(5d3 3d4),P4d1
x1 x1
2x2 2x2
d1
d1
d2
d2
6 9
x1 2x2
d3 d3
4
x2
x2
d4 d4 2
x1, x2,di,di 0 i 1,2,3,4
4.5 C
d2+
3D
d3－
G
d4－ d1－
d 1+F
E A
B
0
6
9
从图6-2可见，在考虑P1和P2的目标后，解
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lk
为W
lk
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系

运筹学第四章目标规划

运筹学第四章目标规划

min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足

运筹学课件第四章 目标规划

运筹学课件第四章 目标规划

一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2：用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3


4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量

多目标规划(运筹学

多目标规划(运筹学

环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。

运筹学第四章多目标规划

运筹学第四章多目标规划

习题四4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题（1） min z ＝p 1（ d 1 ＋ d 2 ）＋p 2 d 3st.－x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋ 1＝1－＋ －0.5x 1＋ x 2 ＋ d 2－d 2 ＝2－＋3x 1＋3x 2 ＋ d 3 － d 3＝50x 1，x 2≥0；d － i ，d ＋i ≥0（i =1 ，2，3）（2） min z ＝ p 1（ 2 d 1 ＋3 d 2 ）＋ p 2 d 3 ＋ p 3 d 4st.x 1＋ x 2＋d －1－d＋1＝10x 1＋d － 2－d ＋2 ＝45x 1＋ 3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56 x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（ i =1 ，⋯， 4）4.2 考虑下述目标规划问题＋＋－－－min z ＝p 1（d 1＋d 2）＋ 2p 2d 4＋p 2d 3＋p 3d 1 st. x 1＋d － 1－d ＋1＝ 20x 2＋d －2 －d ＋2 ＝35 －5x 1＋3x 2＋ d － 3－d ＋ 3＝220x 1－ x 2＋ d －4－d ＋4＝60x 1，x 2≥－＋≥0（ i =1 ，⋯， 4）0；d i ，di（ 1）求满意解；（ 2）当第二个约束右端项由 35 改为 75 时，求解的变化；（ 3）若增加一个新的目标约束： － 4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝ 8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化；（ 4）若增加一个新的变量 x 3，其系数列向量为（ 0，1， 1，－ 1）T ，则满意解如何变化？4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。

依据法律，该台每天允许广播 12 小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入 250 美元，新闻节目每小时需支出40 美元，音乐节目每播一小时费用为17.50 美元。

运筹学第四章目标规划-精品文档

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• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
浙江理工大学 经济与管理学院
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Page:7
1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
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Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目

运筹学--第四章 多目标规划汇总

运筹学--第四章 多目标规划汇总

习题四4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题（1）min z ＝p1（＋）＋p2st. －x1＋ x2＋ d－1－ d＋1＝1－0.5x1＋ x2＋ d－2－d＋2＝23x1＋3x2＋ d－3－ d＋3＝50x1，x2≥0；d－i，d＋i≥0（i =1，2，3）（2） min z ＝p1（2＋3）＋p2＋p3st. x1＋ x2＋d－1－d＋1 ＝10x1 ＋d－2－d＋2 ＝45x1＋3x2＋d－3－d＋3 ＝56x1＋ x2＋d－4－d＋4 ＝12x1，x2≥0；d－i，d＋i ≥0（i =1， (4)4.2 考虑下述目标规划问题min z ＝p1（d＋1＋d＋2）＋2p2d－4＋p2d－3＋p3d－1 st. x1 ＋d－1－d＋1＝20x2＋d－2－d＋2＝35－5x1＋3x2＋d－3－d＋3＝220x1－x2＋d－4－d＋4＝60x1，x2≥0；d－i，d＋i ≥0（i =1， (4)（1）求满意解；（2）当第二个约束右端项由35改为75时，求解的变化；（3）若增加一个新的目标约束：－4x1＋x2＋d－5－d＋5＝8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化；（4）若增加一个新的变量x3，其系数列向量为（0，1，1，－1）T，则满意解如何变化？4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。

依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入250美元，新闻节目每小时需支出40美元，音乐节目每播一小时费用为17.50美元。

法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目。

问每天的广播节目该如何安排？优先级如下：P1：满足法律规定要求；P2：每天的纯收入最大。

试建立该问题的目标规划模型。

4.4 某企业生产两种产品，产品Ⅰ售出后每件可获利10元，产品Ⅱ售出后每件可获利8元。

生产每件产品Ⅰ需3小时的装配时间，每件产品Ⅱ需2小时装配时间。

运筹学第四章多目标规划

运筹学第四章多目标规划

4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.221. 7.2Frid ay , July 02, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:46:4423 :46:442 3:467/2 /2021 11:46:44 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.223:4 6:4423:46Jul-2 12-Jul- 21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:46:4423:4 6:4423:46Friday , July 02, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.221.7.22 3:46:44 23:46:4 4July 2, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 2日星 期五下 午11时4 6分44 秒23:46:4421.7. 2 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午11时 46分21 .7.223:46July 2, 2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月2 日星期 五11时4 6分44 秒23:46:442 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时4 6分44 秒下午1 1时46 分23:46:4421.7. 2

运筹学 第四章 目标规划

运筹学 第四章 目标规划

二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 7
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 3
第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。

管理运筹学第4章-目标规划

管理运筹学第4章-目标规划

多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K

管理运筹学 第四章 目标规划

管理运筹学 第四章 目标规划

再来考虑风险约束： 总风险不能超过700， 投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2 引入两个变量d1+和d1-，建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1根据要求有
min ｛d1+｝
0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
3x1+4x2
引入变量 d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于 10000 的数量。于是，第2个目标可以表示为 min ｛d2-｝ 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
x1 2 x2 40 3x2 24
(3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通 过目标约束来表达。 （1）力求使利润指标不低于250元：
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要 的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先 权P1，分配给第二个目标较低的优先权P2。
Minz= P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
现假定： 第1优先级P1——企业利润；
第2优先级P2——Ｉ、II产品的产量保持1:2的比例
第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。

运筹学第三版清华大学出版社第4章目标规划

运筹学第三版清华大学出版社第4章目标规划

解：作图如下 在满足前两个目标下, 只能在HE连线上
（4）目标规划的目标函效．
目标规划的目标函数是通过各目标约束的 正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造 的．
目标规划模型
2. 目标规划模型的基本概念 （续）
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏 离目标的数值。于是，目标规划的目标函数 应该是求极小：min f ＝ f （d +，d -)． 其基本形式有三种：
目标规划的几何意义及图解法
x 20 15 10 5 0 5 10 A(3,8) + + + G-2 G-1 +
G-3
15
G-4
20 y
图4 – 4
目标规划的图解法 1) 首先作出绝对约束的直线和区域； 2) 其次作出目标等式约束的直线(去掉正负偏差量)； 3) 对于2)所作的直线两侧标上正负偏差量的方向； 4) 根据目标函数中的优先级和权重, 依次确定各偏差量. 下面求解： min z P d P (d d ) P d
第
4
章
目 标 规 划
第4章 目标规划
在科学研究、经济建设和生产实践中，人 们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题， 我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多 目标规划叫目标规划(goal programming)，这 是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标 规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是 对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处 理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。 本章分目标规划模型、目标规划的几何意义 与图解法和求解目标规划的单纯形方法等三个部 分进行介绍。
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。

运筹学第四章 目标规划

运筹学第四章 目标规划

(1)首先,根据市场信息,椅子的销售量已 )首先,根据市场信息, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 其产量最好不大于桌子的产量. 其产量最好不大于桌子的产量. (2)其次,市场上找不到符合生产质量要求 )其次, 的木工了, 的木工了,因此决不可能考虑增加木工这种资 源来增加产量, 源来增加产量,并且由于某种原因木工决不可 能加班. 能加班. (3)再其次,应尽可能充分利用油漆工的有 )再其次, 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. (4)最后,企业考虑最好达到并超过预计利 )最后, 润指标 56元. 元
4.目标规划的目标函数. .目标规划的目标函数. 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的. 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的.当 每一目标值确定后, 每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能从某 个方向缩小偏离目标的数值.于是, 个方向缩小偏离目标的数值.于是,目标规划的 目标函数应该是求极小: 目标函数应该是求极小:min f = f (d +,d -). . 其基本形式有三种: 其基本形式有三种: (1)要求恰好达到目标值,即使相应目标约束 )要求恰好达到目标值, 的正,负偏差变量都要尽可能地小. 的正,负偏差变量都要尽可能地小.这时取 min (d + + d - ); ; (2)要求不超过目标值,即使相应目标约束的 )要求不超过目标值, 正偏差变量要尽可能地小. 正偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d + ); ; (3)要求不低于目标值,即使相应目标约束的 )要求不低于目标值, 负偏差变量要尽可能地小. 负偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d - ); ;

运筹学第四、五章目标规划

运筹学第四、五章目标规划

（1）产品Ⅱ销售疲软，产量不超过产品Ⅰ的一半 （2）原材料短缺，避免过量消耗 （3）最好节约4h设备工时 （4）计划利润不少于48元
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2
st.
x1 - 2x2 + d1- - d1+ 4x1 + 4x2 + d 2- - d 2+ 6x1 + 8x2 + d 3x1,x2,di=,di+ ≥0 i=1,2,3
a、对无◎的行√
√ √ b、在已√ 的行中对Ø 所在列√ c、在已√ 的列中对 ◎ 所在行√
d、重复b、c直到无法 打√
e、对没有√的行，有√ 的列画直线
0 0 0 0 0
√
3 1 2 0 2 3 0 1 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0 0 11 8 6 6 2 7 7 3 2 1 0 3 2 1 5 0 4 3 4 0
≤60 =0 =36 - d3+ =48
图解法求解目标规划
x2 9
d2+
6
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2 ≤60 st. x1 - 2x2 + d1- - d1+ =0 4x1 + 4x2 + d2- - d2+ =36 6x1 + 8x2 + d3- - d3+ =48 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
d1-
d3x1
0 8 9 12
min{ P1d1- ,P2d2+ ,P3(5d3-+4d4-), P4d1+}

第四章运筹学目标规划

第四章运筹学目标规划
− 1 1 − 2 − 3 + 3 1
400 240 − x1入基，θ = min , = 240, d 2 出基。 1 1
0 0
C B xB
p1 d1− 400 1 p2 d 2− 240 1 2 p2 d3− 300 0
cj − zj
p1
1 0 0 0 0 0
p3
-1 0 0 1 0 1
例5 图解法求目标规划的满意解
+ − min f (d ) = p1d1− + p2 d 2 + 4 p3 d 3− + 3 p3 d 4
x2
d1−
+ d4
d1+
A
2 x1 + 1.5 x2 + d1− − d1+ = 210 − + x1 + d 2 − d 2 = 60 + d 3− − d 3+ = 40 x1 − + x2 + d 4 − d 4 = 40 x1 , x2 , d i− , d i+ ≥ 0 i = 1,4
+ − −
注意 : d + , d −中, 至少有一个为零,即d + ⋅ d − = 0.
在例1中,根据目标要求A,B的产量为新的x1 , x2 . 由目标要求产生的”目标约束”如下:
3x1 + 2 x2 + d1− − d1+ = 2000 x1 + d − d = 400
− 2 + 2
资源现有量与产量间的关系如下:
例2 某工厂生产A,B两种产品,有关数据如下表
产品 消耗系数 资源
A
4 7 16 4
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MinZ3=d3-
所以，模型为：
minZ1=d1-,minZ2=d2-+d2+,minZ3=d3-
4x 3.2x d d 12
1
2
1
1
x 1
1.5 x 2
d 2
d 2
0
2
x 1
4x d
2
3
d 3
12
3
x 1
3x 2
12
x i
0, d , d
i
i
0(i
1,2,3)
目标规划模型
第四章 多目标规划
4.1 多目标规划模型及其解的概念 4.2 多目标规划的解法—目标规划法
4.1 多目标规划模型及其解的概念
单目标问题：方案dj 多目标问题：方案dj [f1(dj)，…，fp(dj)]
评价值f(dj) 评价值向量
线性目标规划与线性规划比较，具 有下面的特点：
1.线性规划只讨论单目标线性函数在一 组线性约束条件下的极值问题，而目标 规划能统筹兼顾处理实际问题中经常出 现的多种目标关系，求得更切合实际的 最优解。
(3)约束与(1)(2)(4)约束无公共区域，故应得满意解
该解尽可能满足(3)约束，故B点为满意解 求解直线x1-1.5x2=0与3x1+3x2=12的交点 得到满意解为x1=12/5,x2=8/5
d2-
(2)x1-1.5x2=0
d2+
B A
0
d1+ d1-
di+·di-=0
2.绝对约束和目标约束
绝对约束：指必须严格满足的等式或不等式
——硬约束 目标约束：在达到目标值时允发生正或负的
偏差量
——软约束
如：对于约束：fi(X)+di--di+=fi(0)
当di-=0时，fi(x)fi(0)
当di+=0时，fi(x) fi(0) 当di+=di-=0时，fi(x) = fi(0)
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0Leabharlann fi(X)fi(0)负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
箭头方向； 3.按优先级逐步缩小可行解的范围，最后
得到有效解。
例2.用图解法求解目标规划
min
w
P1d1
P2 (d2
d2 )
P3d
3
4
x1
3.2x2
d1
d1
12
—
(1)
x1 1.5x2 d2 d2 0 — (2)
2x1
4x2
d3
d
3
12
—
(3)
3x1 3x2 12 — (4)
3.优先因子与权系数 第一位达到的目标——优先因子P1 第二位达到的目标——优先因子P2 …… 并规定：Pl>>Pl+1表示Pl比Pl+1有
更大的优先权
不同优先权的因子
权系数 ——相同优先级权的因子
4.目标函数 各目标约束的正负偏差变量
构成 相应的优先因子
极小化：尽可能缩小偏离目标值
对于约束fi(x)+di--di+=fi(0) (1)若要求恰好达到预定目标值则min(di++di-) (2)若要求不超过预定目标值 则min(di+) (3)若要求超过预定目标值 则min(di-)
2.线性规划要求在满足所有约束条件的 可行解中求最优解，而实际问题中存在 着互相矛盾的约束条件，从而制约了线 性规划解决问题的范围。目标规划将克 服这些互相矛盾的约束条件，找到满意 的合理解。
3.线性规划将约束条件看成同样重要、不分 主次的条件，而目标规划将依据实际情况去 确定模型，并主次有别地进行求解。
4
材料（百吨/单位） 3
3
利润（万元/单位） 4
3.2
限量
12 12
如何安排生产计划使获利最大？
设生产产品A和B各x1,x2
则max z 4x1 3.2x2
2x1 4x2 12 3x1 3x2 12 x1, x2 0
若要求：
1） 生产这两种产品的利润最少达到12万元
2） A产品的产量尽可能是B产品产量的1.5 倍
4.线性规划求得最优解，可能求得此解将花 昂贵的代价，而目标规划寻求的是满意解， 即在指定的指标值下求得近似解，实际问题 可能更需要这样的满意解。
x2
M2
M1 0
劣解
M4
最优解
有效解 M3
x1
4.2 多目标规划的解法—目标规划法
一.目标规划的数学模型
1.问题的提出
例1（P99例4.7）
产品
A
B
设备工时（月/单位） 2
转化为单目标： minW=P1d1-+P2(d2-+d2+)+P3d3P1——第一优先级 P2——第二优先级 P3——第三优先级
P1>>P2>>P3
2.数学模型
（1）目标规划模型的要素 1]决策变量和偏差变量 决策变量：又称控制变量，用xi表示 偏差变量：
正偏差变量（di+）：
实际决策值超过第i个目标值的数量
MinZ1=d1-
令B产d2品-表产示量安的排不生足产量时，—A产—品负比偏1差.5变倍量
令d2+表示安排生产时，A产品比1.5倍 B产品产量的超过量 ——正偏差变量
故x1-1.5x2-d2++d2-=0 MinZ2=d2++d2-
令d3-表示剩余的设备工时
d3+表示超过的设备工时
故2x1+4x2-d3++d3-=12
3） 为充分利用设备工时，必须使设备的空 闲时间尽可能的地小。 问工厂又应如何决定产品A、B的产量？
仍设生产产品A、B各x1，x2
资源约束：3x1+3x212 ——硬约束
令d1-表示安排生产时，低于计划利润12的量 ——负偏差变量
令d1+表示安排生产时，高于计划利润12的量 ——正偏差变量
故4x1+3.2x2-d1++d1-=12
xi
0,
di, di
0(i
1,2,3)
解： （1）先在平面直角坐标系中做出各约束条
件所确定的区域； 绝对约束如线性规划图解法 目标约束：令di+,di- 均为0，作直线 （2）标出目标约束在相应直线上di+,di-增 大的方向；
（3）根据目标函数的优先因子分析求解。
x2
(1)(2)(4)约束有公共区域：线段AB
一般目标规划模型：
pp
p
min w min ( wjidi wjidi )
j1 i1
i 1
fi(x)-di++di-=fi(0) XR
——软约束 ——硬约束
di+0,di-0(i=1~p)
二.目标规划的解法 1.图解法（2个决策变量） 步骤： 1.做绝对约束，作法同线性规划图解法； 2.做目标约束：令偏差di=0，标上di的