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第九章 组合变形

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组合变形

组合变形

§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。

组合变形

组合变形
Iy
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h

11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75

350 50 6 0.2 0.3

第九章组合变形s

第九章组合变形s

F
F F' My
FN (x) F M z(x) F ey M y(x) F ez
f
ymax

FyL3 3EIz
,
x
F''
My
max
Mz Wz
My Wy
y
fy
max

FyL3 3EIz
,
2、偏心拉(压)的计算 （1）、荷载的简化
My
Fy Fcos Mz Fey
x
y
b
（2）、任意横截面任意点的“σ”
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
（2）应力：
Mz k
Mz(x)yk Iz
k kFNkMz
Fx MzFey F
Fy
k z
y
在 FN 作用下： Z
在 Mz 作用下： Z
Y
Mz k
Mz(x)yk Iz
（3）叠加：
f y max

Fy L3 3EIz
,
k kFNkMz
Y
b
a
Z
Z
d
c 3、强度计算
危险截面——固定端
z
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN， l=1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。

最新9组合变形汇总

最新9组合变形汇总

例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :

组合变形PPT课件

组合变形PPT课件
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲

9.组合变形

9.组合变形


2 y
2 z
设挠度 的方向与Y轴间的夹角 ，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只 有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯 曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲 （2）偏心压缩 （3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。 计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2


将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n

代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2

材料力学斜弯曲

Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl

另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz

Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2

M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y

第九章能量法


第九章 能量法/一 外力功 · 计算
分析与讨论
若先加P，后加mo，则外力功为
1 1 W PcP Pcm m Bm 1 o o o 2 2 2 m m 1 Pl3 1 ol ol P P m o 2 48 EI 16 EI 2 3EI
2 Pm l m P2l3 o o l 96 EI 16 EI 6EI 2
dx
q L
F x ) dx N ( UdU L L 2 EA
2
第九章 能量法/二 变形能
（2）圆截面杆的扭转 m m m
A

L
圆截面杆的变形能
o
B
2 M L 1 UW m n 2 2 GI p
式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； I ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
p
第九章 能量法/二 变形能
叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功. 例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
引起的转角 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 上也
不作功.
第九章 能量法
三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
EI
(b) A x
P
B
l
2 2 3 2 l ( Px ) dx P l M dx ( x ) U U b p 02 0 EI 2 EI 6 EI l
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能
第九章 能量法/四 求位移的卡氏定理

组合变形


MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图

材料力学

第一章绪论1.土木工程中，各种建筑物在施工和使用阶段所承受的所有外力统称为荷载。

建筑物中承受荷载并且传递荷载的空间骨架称为结构，而任何结构都是由构件所组成的。

为保证构件在荷载作用下的正常工作，必须使它同时满足三方面的力学要求，即强度、刚度和稳定性的要求：(1) 构件抵抗破坏的能力称为强度(strength)。

对构件的设计应保证它在规定的荷载作用下能够正常工作而不会发生破坏(2) 构件抵抗变形的能力称为刚度(stiffness)。

构件的变形必须要限制在一定的限度内，构件刚度不满足要求同样也不能正常工作。

(3) 构件在受到荷载作用时在原有形状下的平衡应保证为稳定的平衡，这就是对构件的稳定性(stability)要求。

但是在材料力学中，构件的变形不能忽略不计，因此我们把构件作为可变形体来研究，称它们为可变形固体(deformable solid)。

在对可变形固体材料制成的构件进行强度、刚度和稳定性研究时，为抽象出某种理想的力学模型，通常根据其主要性质做出一定的假设，同时忽略一些次要因素，然后进行理论分析。

在材料力学中，通常对可变形固体作如下基本假设：(1) 连续性假设(continuity assumption)。

这一假设认为，构件的材料在变形后仍然保持连续性，在其整个体积内都毫无空隙地充满了物质，忽略了体积内空隙对材料力学性质的影响。

(2) 均匀性假设(homogenization assumption)。

这一假设认为，构件的材料各部分的力学性能是相同的。

从任意一点取出的单元体，都具有与整体同样的力学性能。

(3) 各向同性假设(isotropy assumption)。

这一假设认为，构件的材料在各个方向的力学性能是相同的。

如工程上常用的金属材料，虽然从它们的晶粒来说，其力学性能并不一样；但从宏观上看，各个方向的力学性能接近相同。

有些材料沿各方向的力学性能并不相同，像这样的材料称之为各向异性材料，如木材等。

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第九章 组合变形
主要内容： 概述 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
§9－1 概 述
组合变形概念
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的 情况，就是组合变形。
塔器
ห้องสมุดไป่ตู้
搅拌轴
A-A截面的b处，将产生最小拉应力
A-A截面上的应力分布如图所示。由于a点最大应力大于许 用应力，所以钢板的强度不够。 为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在下半 圆槽的对称位置再开一半圆槽，此时截面A-A上的应力
§9－3 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
弯曲与扭转的组合变形
拐轴AB段为等直圆杆,直径为 d ， A 端为固定端约束。现讨 论在力 F 的作用下 AB 轴的受 力情况。 作出圆轴的扭矩图和弯矩图， 如图b、c所示。由图看出，在 固定端截面处的扭矩和弯矩都 为最大值(Mmax=Fl、Fa= Mx)， 故该截面为危险截面。
例 带有缺口的钢板如图所示，已知钢板宽度b=8cm，厚度δ =1cm，上边缘 开有半圆形槽，其半径t=1cm，，已知拉力p=80KN，钢板许用应力[σ] =140MN／m2。试对此钢板进行强度校核。
解：(1)由于钢板在截面且AA处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏 心拉伸，其偏心距之值为：
截面A-A的轴力和弯矩分别为 轴力和弯矩在半圆槽底的a处都引起拉应力，故得最大应力为
第三强度理论：
xd3
第四强度理论：
xd4
M 2 0.75T 2 Wz
[σ] ：塑性材料拉伸时的许用应力； M和T：分别为危险截面上的弯矩和扭矩。
两式不适用于非圆截面杆
例 如图所示的传动轴是由电动机带动,轴长l=1.2 m,中间安装一带 轮，重力G=5kN，半径R=0.6m，平带紧边张力F1=6 kN,松边张 力F2=3kN。如轴直径d=100 mm,材料许用应力[σ]= 50 MPa。试 按第三强度理论校核轴的强度。
构件在垂直于轴线的分力作用下， 将引起各横截面上产生不同的弯矩， 最大弯矩发生在根部A截面处
M max Fl sin
轴在沿轴线的分力Fx作用下将引起各横截面上产生相同的轴向拉力
FN F cos
危险面在根部A截面处
3.应力分析（目的是找到危险面上的危险点） 根部危险截面上由轴向拉 力引起的拉应力均匀分布
解:将作用在带轮上的平带拉力F1和F2向轴线 简化,其结果如图 (b)所示。传动轴所受铅 垂力为F。分别作出弯矩图和扭矩图,如图 (c)、(d)所示,由此可以判断C截面为危险截 面。C截面上的Mmax和T分别为:
根据公式得
转轴的强度足够
解：(1)求最大弯矩，它发生在跨中截面。
(2)分别求出最大弯矩及轴力所引起的最大应力 由弯矩引起的最大正应力 由轴力引起的压应力
最大总压应力
偏心拉压的应力计算
当构件受到作用线与轴 线平行,但不通过横截面 形心的拉力(或压力)作 用时,此构件受到偏心载 荷，称为偏心拉伸(或压 缩 )。 对于单向偏心拉伸杆 件相当于弯曲与轴向 拉伸的组合的杆件， 上述公式仍成立。
转轴
§9－2 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 杆件弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形
1.外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形） 将力F分解为轴向分力 Fx和横向分力Fy
Fx F cos
弯曲 轴向拉伸
Fy F sin
梁在F力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形
2.内力分析（目的是找出危险面）
选“1”点,在“l”点附近取一单元体， 如图所示。在单元体左右两个侧面上 既有正应力又有切应力，则“1”点的 主应力为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用 塑性材料制成，强度条件可写为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用塑性材料制成，得圆 轴在弯曲和扭转组合形下的强度条件为
M 2 T 2 Wz
4. 强度计算
进一步分析可知上边缘各点的拉应力最大
建立强度条件
max
FN M max [ ] A W
对于拉、压许用应力相同的材料，
当FN是拉力时，可由上式计算；
当FN为压力时，则式中的加号变为减号，取绝对值。
例 图示为25 a工字钢简支梁。受均布荷载q及轴向压力FN作用。已 知q=10kN/m ，l=3m,FN=20kN。试求最大应力。

FN Fx F cos A A A
横截面面积 在最大弯矩作用下，危险截 面上的应力按线性规律分布

max
Wmax Fy l W W
抗弯截面模量
min
FN M max A W
危险截面上正应力的最大与 最小值
FN M max A W
该截面的上下边缘上各点是危险点，这些危险点上 的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。