北京市西城区2016学年度第一学期期末试卷

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．7911．12y x =± 12 12． 2 916 13．54 14．○1 ○4注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 222x x =+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分 所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分 由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， 得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++， 因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分 所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分 （Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分 所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分 （Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 D所以 |22|λ-=，解得λ，或λ（舍）. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()t g x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x t h x x x x-'=-=. ………………6分 ① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分 ③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当xmin()h x h=．………………11分因为(1)0h=1，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h<=.又因为存在12e(0,1)t-∈，111122()12ln0t t t th t----=--=>e e e e，所以存在(0,1)x∈使得()0h x=，所以函数()y hx=存在两个零点x，1，与题意不符.综上，曲线()y f x=与()y g x=有且仅有一个公共点时，t的范围是0{|t t≤，或1}t=.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得ca=，222a b c=+，………………2分又因为点A在椭圆C上，所以221314a b+=，………………3分解得2a=，1b=，c，所以椭圆C的方程为1422=+yx. ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y+=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r+=>.当直线l的斜率存在时，设l的方程为mkxy+=. ………………7分由方程组22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0448)14(222=-+++mkmxxk，………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分 由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 22222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

（B）“ p q ”为真命题 （D）以上都不对
2 2 侧(左)视图
正(主)视图
1 1 俯视图
6. “ mn 0 ”是“曲线
x2 y 2 1 是焦点在 x 轴上的双曲线”的（ m n
）
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
1
y x≤1, 7. 设 x ， y 满足约束条件 x y≤3, 若 z x 3 y 的最大值与最小值的差为 7， 则实数 m （ y≥m,
（B） AB AC

（C） ( AB AC )
（A）“ p q ”为真命题 （C）“ p ”为真命题 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ （A） 16 2 3 （B） 16 2 5 （C） 20 2 3 （D） 20 2 5 ）
16 . 3
3
16．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) cos x(sin x 3 cos x) （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ）若 x (0, π) ，求函数 f ( x ) 的单调增区间.
3 ， xR . 2
x
π sin A cos( B) ， a 3 ， c 2 ，则 cos C ____； ABC 的面积为____. 2
14. 某食品的保鲜时间 （单位： t 小时） 与储藏温度 x （恒温， 单位： 满足函数关系 t C）
64, 2
kx 6
x≤0, , x 0.
且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时.
1 ○ 2 ○
该食品在 8 C 的保鲜时间是_____小时；

北京市西城区2016 —2017学年度第一学期期末试卷高一数学2017.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.10. 如图，半径为1的M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA出发，绕着点O ，顺时针方向旋转到OB ，在旋转的过程中，OC 交M 于点P ，记PMO x ∠=，弓形PNO （阴影部分）的面积()S f x =，那么()f x 的图象是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______.12. 若θ为第四象限的角，且1sin 3θ=-，则cos θ=______；sin 2θ=______.13. 将函数cos 2y x =的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数表达式为______. 14. 若,a b 均为单位向量，且a 与b 的夹角为120 ，则-a b 与b 的夹角等于______. 15. 已知11sin sin ,cos cos 35x y x y +=+=，则cos()x y -=_____. 16. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ；○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,π)ϕ∈，且π1tan()43ϕ+=-. （Ⅰ）求tan 2ϕ的值；（Ⅱ）求sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，则得到函数()y f x =.（Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）对于任意(0,)a ∈+∞，求函数()f x 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|||1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．已知函数20,,0,()ln ,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩ 若()2f a =，则实数a = .3．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且()f x 在(0,)+∞是增函数，(3)0f =，则不等式()0f x >的解集为_____．4．函数1()()22x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N 的值域为_____．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[3.15]＝3，[0.7]＝0.）5． 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200 m 2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x （单位：m ）的取值范围是______.A BD CP二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数41()log 1x f x x -=+. （Ⅰ）若1()2f a =，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论．7．（本小题满分10分）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a ∈R .（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由.8．（本小题满分10分）设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.已知函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-.（Ⅰ）若1a =，2b =．写出函数)(x f 的一个承托函数（结论不要求注明）； （Ⅱ）判断是否存在常数,,a b c ，使得y x =为函数)(x f 的一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出,,a b c 的值；若不存在，说明理由．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2017.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.A . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 2-12.3, 9-13. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-)14. 150 15. 208225-16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分所以22tan 4tan 21tan 3ϕϕϕ==-. ………………8分 （Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠.将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的分子分母同时除以cos ϕ,得sin cos tan 112cos sin 2tan 4ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）π()cos cos()3f x x x =⋅-ππcos (cos cos sin sin )33x x x =⋅+………………2分21cos 224x x=+ ………………3分112cos 2444x x =++………………4分1π1sin(2)264x =++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36k x k -≤≤，所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36k k k -∈Z ,. ………………8分（Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6x +∈-,所以函数1π1()sin(2)264f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分 因为直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞ . ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a = ，(2,0)AB = ，(0,)BC a =.………………2分由AP xAD = , 得(,)AP x ax =.所以(2,)PB PA AB x ax =+=--，(2,)P C P B B C x a a x=+=--. ………4分 所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+，即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分 所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为2242(1)a x a +=+， ………………8分 因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分 所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1. [1,0)- 2. 2-或2e 3. (3,0)(3,)-+∞ 4. {0,1} 5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数41()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分因为1444111()log log ()log ()111x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）由函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称， 所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 当3a ≥时，由30x>，得33x a +>，所以方程|3|3x a +=无解，即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 即33x a +=，或33x a +=-， 整理，得33x a =-，或33x a =--. ○1考察方程33x a =-的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分○2考察方程33x a =--的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分 综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分. 8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，所以0a b c -+=. ○1因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数，所以2()1122x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分由○1○2，得12b =，12a c +=. ………………6分 所以211()22f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意. 所以14a =，12b =，14c =. ………………10分。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。