一、单选题1．若集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5A ={}15B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ． {}1,5{}15x x <<{}2,3,4{}1,2,3,4,5【答案】C【分析】根据交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义知：.{}2,3,4A B = 故选：C.2．若两个平行平面与同一平面相交，则所得两条交线（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】B【分析】根据平面与平面平行的性质，即可求解.【详解】根据平面与平面平行的性质，可得两个平行平面与同一平面相交，则所得两条交线平行. 故选：B.3．函数的单调递减区间为（ ） ()26f x x x c =-++A ．B ．C ．D ．[)6,+∞[)3,+∞(],3-∞(],6-∞【答案】B 【分析】由二次函数性质可直接得到结果.【详解】为开口方向向下，对称轴为的二次函数，()f x 3x =的单调递减区间为.()f x \[)3,+∞故选：B.4．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线与平面的位置关系为（ ） a b a αb a A ．平行B ．相交C ．直线在平面内D ．平行或直线在平面内b αb α【答案】D【分析】根据线面平行的性质，得到直线必与平面内的某直线平行，再由，即可得出结a αa b ∥果.【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行，a αm 又，所以；a b ∥b m 因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内.b αb α【点睛】本题主要考查线面位置关系，熟记线面平行的性质以及直线与平面位置关系即可，属于常考题型.5．函数的图象大致为（ ） 1()f x x x =-A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用函数的解析式，直接判断.【详解】函数在是增函数，并且是奇函数， ()1f x x x=-()0,∞+故选：C6．在正方体中，直线与直线的位置关系为（ ）1111ABCD A B C D -1A B AC A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定 【答案】B【分析】由异面直线的判断方法可直接得到结论. 【详解】平面，又平面，平面，，1A B ABCD B =AC ⊂ABCD B ∈ABCD B AC ∉与为异面直线.1A B ∴AC 故选：B.7．设，，，则的大小关系为（ ）0.11.1a = 1.80.9b =lg 0.3c =,,a b c A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c a b >>b c a >>【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系.0,1【详解】，.0.100 1.81.1 1.110.90.90lg1lg 0.3>==>>=> a b c ∴>>故选：A.8．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）2()2xf x x +=-A ． B ．(2)1f x -+(2)1f x --C ． D ．(2)1f x ++(2)1f x +-【答案】C【分析】具体检验每一个选项，结合奇函数定义可得结果.【详解】解：由题意可得，4()1222xf x x x +=--+-=对于A ，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.()4214f x x -+=-对于B ，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；()42124x f x -=---对于C ，是奇函数；()421f x x ++=-对于D ，不是奇函数；()4212f x x +-=--故选：C9．已知函数是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）()()21,1,1x a x x f x a x ⎧-+≥=⎨<⎩A ． B ．1a >312a <<C ． D ．12a <<312a <≤【答案】D【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解参数的取值范围即可.【详解】根据题意可列不等式如下，解得 ，选项D 正确()20121a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-+≥⎩312a <≤故选：D.10．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）ABCD AB CD A ．B ．C ．D ．90 60 45 30 【答案】A【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.CD E CD ⊥ABE AB CD ⊥【详解】取中点，连接， CD E ,AE BE均为等边三角形，为中点，，，,ACD BCD E CD AE CD ∴⊥BE CD ⊥，平面，平面，AE BE E ⋂= ,AE BE ⊂ABE CD \^ABE 又平面，，即异面直线与所成的角为.AB ⊂ABE AB CD ∴⊥AB CD 90 故选：A.11．已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是,m n ,αβ（ ）A ．若，则m α⊂m β⊥B ．若，则,m n αβ⊂⊂m n ⊥C ．若，则,m m αβ⊄⊥//m αD ．若，则,m n m αβ⋂=⊥n α⊥【答案】C【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，,m n ,αβ对于A 中，若，可能，所以A 不正确；m α⊂//m α对于B 中，若，则或相交或异面，所以B 不正确；,m n αβ⊂⊂//m n 对于C 中，由，可得或，又由，所以，所以C 正确； m β⊥m α⊂//m αm α⊄//m α对于D 中，由面面垂直的性质，可知只有时，才有，所以D 不正确.n β⊂n α⊥故选：C.12．若函数的两个零点分别为m ，n ，则（ ） ()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．以上都不对1mn =1mn >01mn <<【答案】C 【分析】根据题意转化为函数和的图象有两个交点，作出函数的图象，得到2log y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得的范围，得到答案.22log log m n >mn 【详解】由函数，令，即， ()21log 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0f x =21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭作出函数和的图象，如图所示， 2log y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为函数由两个零点，则两个函数的图象有两个交点，其交点的横坐标分别为， ()f x ,m n 不妨设，可得，m n <01m n <<<则满足，所以，即，22log log m n >22log log m n ->222log log log 0m n mn +=<所以.01mn <<故选：C.二、填空题13．如图所示，平行四边形是四边形的直观图，若，，则原四边形O P Q R ''''OPQR 3O P ''=1O R ''=的周长为______．OPQR【答案】10【分析】利用直观图反推原图形，易知其为矩形，进而易求其周长.【详解】由四边形的直观图可知该四边形是矩形，OPQR 如图，且，，3OP O P ''==22OR O R ''==所以原四边形的周长为．OPQR ()23210⨯+=故答案为：10.14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）．半正多面体是由两种或两种以1上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面248体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该半正多面体共有________个面．【答案】26【分析】由图形确定正方形和正三角形个数即可.【详解】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，2则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角54854形；该半正多面体共有个面.∴5485426++++=故答案为：.2615．若某几何体的主视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是下面给出的________．（只填序号）【答案】①③【分析】根据主视图可确定几何体为柱体和球的组合体，分析柱体的类型可得结果.【详解】根据主视图可知，几何体是一个柱体与球的组合体，若柱体为圆柱，则几何体的俯视图可如图①所示；若柱体为正四棱柱，则几何体的俯视图可如图③所示.故答案为：①③.16．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，r R 12,2AB r AAr ==所以，可得，2R ===R所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为， 232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为. 12V V =三、解答题17．已知函数．()()11x f x a a -=>(1)若函数的图象过点，求实数a 的值；()f x ()3,4(2)求关于x 的不等式的解集．()3f x a >【答案】(1)2a =(2)()4,+∞【分析】(1)点代入即可求出结果；()3,4()f x (2)利用指数函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为函数的图象过点，()f x ()3,4则，24a =又∵，1a >∴．2a =（2）由可得，()3f x a >13x a a ->∵，1a >∴，解得，13x ->4x >即不等式的解集为．()4,+∞18．如图，在长方体中，，点为的中点，交于点．证1111ABCD A B C D -AB AD =P 1DD BD AC O 明：(1)直线平面；1//BD PAC (2)平面平面．1BDD ⊥PAC【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；1//PO BD （2）由线面垂直性质和正方形性质可得，，由线面垂直和面面垂直的判定可1DD AC ⊥AC BD ⊥证得结论.【详解】（1）四边形为矩形，为中点，又为中点，， ABCD O ∴BD P 1DD 1//PO BD ∴平面，平面，平面.PO ⊂ PAC 1BD ⊄PAC 1//BD ∴PAC （2）由长方体结构特征知：平面，又平面，；1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1DD AC ∴⊥四边形为矩形，，四边形为正方形，，ABCD AB AD =∴ABCD AC BD ∴⊥又，平面，平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂1BDD AC ∴⊥1BDD 平面，平面平面.AC ⊂ PAC ∴1BDD ⊥PAC 19．函数且．()()()(log 3log 30a a f x x x a =-++>)1a ≠(1)求函数的定义域；()f x(2)当时，求的值域．x ⎡∈-⎣()f x 【答案】(1)()3,3-(2)答案见解析【分析】（1）由对数真数大于零可构造方程组求得定义域；（2）将函数解析式化为，由二次函数值域求法可求得的范围，结合对数()()2log 9a f x x =-29x -函数单调性可求得结果.【详解】（1）由得：，的定义域为. 3030x x ->⎧⎨+>⎩33x -<<()f x \()3,3-（2）， ()()()()2log 3log 3log 9a a a f x x x x =-++=-当时，，x ⎡∈-⎣2499x ≤-≤则当时，；当时，；01a <<()log 9log 4a a f x ≤≤1a >()log 4log 9a a f x ≤≤综上所述：当时，的值域为；当时，的值域为. 01a <<()f x []log 9,log 4a a 1a >()f x []log 4,log 9a a 20．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.（1）证明：A 1O ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥C 1-ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）推导出，由此能证明平面．1A O AC ⊥1A O ⊥ABC （2）推导出到平面的距离等于到平面的距离，从而，由此能求出三1C ABC 1A ABC 11C ABC A ABC V V --=棱锥的体积．1C ABC -【详解】（1），且为的中点11AA AC = O AC ，1A O AC ∴⊥又平面平面，平面平面11AA C C ⊥ABC 11AA C C ABC AC =且平面，1A O ⊂11AAC C 平面 1AO ∴⊥ABC （2），平面，平面，11//AC AC 11A C ⊂/ABC AC ⊂ABC 平面，11//A C ∴ABC 即到平面的距离等于到平面的距离1C ABC 1A ABC由（1）知平面且 1A O ⊥ABC 1AO ==三棱锥的体积：∴1C ABC -11111121332C ABC A ABC ABC V V S A O --∆===⨯⨯= 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．21．第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在中国北京举办，届时北京将成为首个同时举办了夏季奥运会和冬季奥运会的城市，进一步增强了民族自信.同时央行发行各种收藏类纪念币和纪念钞.某网店获准销售一种圆形金质纪念币，每枚进价80元，预计这种纪念币5g 以每枚100元的价格销售时该店一天可销售40枚，经过市场调研发现每枚纪念币的销售价格在每枚100元的基础上每减少1元则增加销售4枚，而每增加1元则减少销售1枚，现设每枚纪念章的销售价格为元（且为整数）．x 80140x <<x (1)写出该专营店一天内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)的函数关系y x 式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一天内利润(元)最大，并求出最大值．x y 【答案】(1)且. ()()224760352008010022011200100140x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩x N +∈(2)每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元. 95110900【分析】（1）理解题意后分段写出函数关系式（2）分段函数，在每一段上求出最大值后比较【详解】（1）由题意可得，当单价范围是时，销量为枚，此时利润为x 80100x <≤()404100x +-元；当单价范围是时，销量为枚，此时利润为()()804404x x --x 100140x <≤()40100x --元.()()80140x x --所以函数关系式为且. ()()224760352008010022011200100140x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩x N +∈（2）当时，，对称轴方程为，因为80100x <≤2476035200y x x =-+-95x =，此时. (]9580,100∈()2max 4957609535200900y =-⨯+⨯-=当时，，当且仅当时，可以取100140x <≤()()280140801409002x x y x x -+-⎛⎫=--≤= ⎪⎝⎭110x =y 到最大值.900综上可得，每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元. 9511090022．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中P ABCD -ABCD 60DAB ∠= PA PD =G AD 点．(1)求证：；AD PB ⊥(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．E BC PCF DF AD ⊥【答案】(1)证明见解析(2)当为中点时，；证明见解析F PC DF AD ⊥【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可,BG AD PG AD ⊥⊥证得结论；（2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面，由线面垂直的//DEF PBG AD ⊥DEF 性质可证得结论.【详解】（1）连接， BD四边形为菱形，，又，为等边三角形，ABCD AB AD ∴=60DAB ∠= ABD ∴ 为中点，；G AD BG AD ∴⊥，为中点，，PA PD = G AD PG AD ∴⊥又，平面，平面，BG PG G = ,BG PG ⊂PBG AD ∴⊥PBG 平面，.PB ⊂ PBG AD PB ∴⊥（2）当为中点时，，证明如下：F PC DF AD ⊥分别为中点，，又平面，平面，,E F ,BC PC //EF PB ∴EF ⊄PBG PB ⊂PBG 平面；//EF ∴PBG 分别为中点，，，,E G ,BC AD //BE DG ∴BE DG =四边形为平行四边形，，又平面，平面，∴BEDG //DE BG ∴DE ⊄PBG BG ⊂PBG平面，又，平面， //DE ∴PBG DE EF E = ,DE EF ⊂DEF 平面平面，∴//DEF PBG 由（1）知：平面，平面， AD ⊥PBG AD ∴⊥DEF 平面，.DF ⊂ DEF DF AD ∴⊥。
