重庆市万州区2017-2018学年高二数学10月月考试题理

2017-2018学年重庆市万州二中高二（上）入学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9 C．8 D．72．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B的值为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．不存在4．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣85．如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，46．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．在数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n=，则a n=（）﹣1A．B．C．D．8．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．89．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=711．等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．12．已知正项等比数列{a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）A．9 B．18 C．27 D．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式≤3的解集是．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=．16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边长，且acosB +bcosA=2ccosC ． （1）求角C 的值；（2）若c=4，a +b=7，求S △ABC 的值．19．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1﹣a n =2，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 4+1．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．20．已知函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣8，g （x ）=2x 2﹣4x ﹣16， （1）求不等式g （x ）＜0的解集；（2）若对一切x ＞2，均有f （x ）≥（m +2）x ﹣m ﹣15成立，求实数m 的取值范围．21．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量=（2sinB ，﹣），=（cos2B ，﹣1）且∥．（1）求锐角B 的大小；（2）如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．22．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ，n ∈N * （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有成立？若存在，求出m 的值：若不存在，请说明理由．23．已知A ，B 是函数f （x ）=+log 2的图象上任意两点，且=（+），点M（，m ）． （I ）求m 的值；（II ）若S n =f （）+f （）+…+f （），n ∈N *，且n ≥2，求S n ．（III）已知a n=，其中n∈N*．T n为数列{a n}的前项和，若T n＞λ（S n+1）对+1一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．2017-2018学年重庆市万州二中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．【解答】解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选A．2．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的向量的坐标，写出要用的8﹣的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选C．3．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B的值为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．不存在【考点】正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，即可求出B的度数．【解答】解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＞a，∴B＞A，则B=45°或135°．故选C4．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．5．如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】正确读出相关数据，再利用平均数和方差公式计算．【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于．故选C6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a=2bcosC ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 【考点】三角形的形状判断．【分析】在△ABC 中，由a=2bcosC 利用余弦定理可得 a=2b •，化简可得 b 2=c 2，从而得出结论．【解答】解：在△ABC 中，∵a=2bcosC ，由余弦定理可得 a=2b •，化简可得 b 2=c 2，b=c ，故三角形为等腰三角形， 故选A ．7．在数列{a n }中，a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=，则a n =（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】累加法：先变形得，a n ﹣a n ﹣1==，由a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1），可得a n （n ≥2），注意检验a 1是否适合．【解答】解：a n ﹣a n ﹣1==，则，，，…，以上各式相加得，，所以（n ≥2），又a 1=1，所以， 故选A ．8．设a ＞0，b ＞0，若是3a 与3b 的等比中项，则+的最小值（ ）A ．2B ．C ．4D ．8 【考点】基本不等式．【分析】由于a ＞0，b ＞0，是3a 与3b 的等比中项，可得，可得a +b=1．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，是3a 与3b 的等比中项，∴，化为3a +b =3，化为a +b=1．则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【考点】程序框图．【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．11．等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】数列的求和．【分析】由已知结合等差数列的性质可得，=，代入等差数列的求和公式即可求解【解答】解：∵∴即=则===1故选B12．已知正项等比数列{a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）A．9 B．18 C．27 D．36【考点】等比数列的通项公式．}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数【分析】可判数列{a n+a n+1列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n}也是各项均为正的等比数列，+1则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=9，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′=，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：36．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式≤3的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集．【解答】解：由≤3，得﹣3≤0，即，则，解得：x＜0或．∴不等式≤3的解集是．故答案为：．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．【考点】几何概型．【分析】事件“x2+y2≤”包含的基本事件对应的图形为图中扇形面积OHK内部，所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，求出它们的面积并利用几何概型公式，即可算出所求概率．【解答】解：设两数分别为x、y，则所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，其面积为S=1；记“两数平方和不大于”为事件B，则B=“x2+y2≤”，事件B包含的基本事件为图中扇形面积OHK内部，其半径为、圆心角是直角，面积为S'==．∴事件B发生的概率为P（B）=．故答案为：15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=．【考点】等差数列的性质．【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，∴S30=60．故答案为：60．16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：=λ+μ丨丨2=（λ+μ）2，=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ••，=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ•丨丨•丨丨cos∠BAD，由∠BAD=60°，AB=1，AD=，AP=，∴=λ2+2μ2+λμ×，∴（λ+μ）2=+λμ≤+（）2，λ+μ≤，故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量．（2）第一问做出的样本容量可以把上面的过程写出来．（3）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150∴第二小组的频率是=0.08（2）样本容量是=150（3）∵次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1﹣）=132∴全体高一学生的达标率为=0.8818．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值；的值．（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理与和差化积即可得出．（2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．∴sinC=sin（A+B）=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，即，∴ab=11，∴．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a4+1．+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．﹣a n=2可知数列{a n}是首项为1、公差为2的等差数列，进而【分析】（1）通过a1=1、a n+1计算即得结论；（2）通过（1）可知c n=（2n﹣1）•2n﹣1，利用错位相减法计算即得结论．﹣a n=2，【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴b1=a1=1，b4=a4+1=8，∴公比q===2，∴b n=2n﹣1；（2）由（1）可知c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n﹣1，∴S n=1•20+3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，错位相减得：﹣S n=1+2（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n，∴S n=﹣1﹣2（21+22+…+2n﹣1）+（2n﹣1）•2n=﹣1﹣2•+（2n﹣1）•2n=3+（2n﹣3）•2n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．21．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；的最大值．（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC【考点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB•（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC的最大值为．则S△ABC22．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ，n ∈N * （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有成立？若存在，求出m 的值：若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件a n +2=2a n +1﹣a n ，可得，从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式；（2）利用10﹣2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；（3先裂项求和，再根据对任意n ∈N*成立，得对任意n ∈N*成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数m=7．【解答】解：（1）由题意，，∴{a n }为等差数列，设公差为d ， 由题意得2=8+3d ⇒d=﹣2， ∴a n =8﹣2（n ﹣1）=10﹣2n（2）若10﹣2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=n ≥6时，S n =a 1+a 2+…+a 5﹣a 6﹣a 7…﹣a n =S 5﹣（S n ﹣S 5）=2S 5﹣S n =n 2﹣9n +40故（3）∵∴若对任意n ∈N*成立，即对任意n ∈N*成立，∵的最小值是，∴，∴m 的最大整数值是7．即存在最大整数m=7，使对任意n ∈N*，均有23．已知A，B是函数f（x）=+log2的图象上任意两点，且=（+），点M（，m）．（I）求m的值；（II）若S n=f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2，求S n．（III）已知a n=，其中n∈N*．T n为数列{a n}的前项和，若T n＞λ（S n+1）对+1一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】（1）可知M是AB的中点，根据中点坐标公式求得x1和x2的关系，代入函数解析式即可求得m的值；（2）由（1）可知，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，采用倒序相加法，即可求求得S n；+1），（3）由题意可知当n≥2时，，求得数列{a n}的前n项和T n，由T n＞λ（S n+1采用分离变量即可求得λ的表达式，即可求得λ的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴M是AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x1+x2=1，则x1=1﹣x2，x2=1﹣x1，而=，=，=∴．（2）由（1）知：x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，，，两式相加，得：=，∴（n≥2，n∈N）．（3）当n≥2时，，，+1），得，由T n＞λ（S n+1∴对任意n≥2，n∈N*都成立，，当且仅当n=2时等号成立，∴．故λ的取值范围是（﹣∞，）．2016年10月14日。

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。

重庆市万州二中高二数学上学期10月月考试题文注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1.直线2x －3y －4=0与直线mx +(m +1)y +1=0互相垂直，则实数m =（ ） A. 2 B. 52- C. 53- D. －32.已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x 则直线的倾斜角为（ ）A. 60B.C. 30D. 33030或3.直线mx +y －m +2=0恒经过定点（ ） A. (1,－1) B. (1,2) C. (1,－2)D. (1,1)4.直线l 过点A （-2,4） ，且与点B （1,3-）的距离最远，那么l 的方程为（ ）A x-y+6=0B x-y--6=0C x+y+6=0D x+y--6=05.已知点A (2,－3)、B (－3,－2),直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A 、k ≥43或k ≤－4 B 、k ≥43或k ≤－41 C 、－4≤k ≤43 D 、43≤k ≤4 6.若直线1x y a b+=（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），则a+b 的最小值等于（ ） A ．2B ． 3C ． 4D ． 57.某锥体的正视图和侧视图如下图,,则该锥体的俯视图可以是A. B. C. D.8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）A ．43πB ．63πC ．6πD ．46π9.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A.π322B.π33 C .π332 D .π32 10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π11.过点M （2，1）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，O 为原点，且S △OPQ =4，则符合条件的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.已知点P 在直线x+3y ﹣2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则00y x 的取值范围是（ ）A．[﹣，0）B．（﹣，0） C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）第II卷（非选择题）二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分）13.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是_______14.一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l: x－y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是__________．15.已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是．A，B（0，1）到直线l的距离分别为1和2，则这样16.已知在平面直角坐标系中，点(22,0)的直线l共有条．三、解答题：（共70分）17.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；（II）求四棱锥P-ABCD的体积.18.已知直线l ：x+y ﹣1=0，（1）若直线1l 过点（3，2）且1l ∥l ，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过l 与直线2x ﹣y+7=0的交点，且2l ⊥l ，求直线2l 的方程．19.已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．20.已知直线l 经过点(2,1)P -.（1）若直线l 的方向向量为(2,3)--，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l 的方程.21.已知直线l ：kx ﹣y ﹣2﹣k=0（k ∈R ）．（1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．22.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB,AD 边分别为x 轴正半轴， y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上（包括端点）。

彭中高15级2018年10月月考数学组(B)第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．要得到函数y=sin2x的图象，只需将y=sin(2x+)的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．已知、是平面向量，若，，则与的夹角是( ) （A）（B）（C）（D）3．在等差数列中，，，则（）A、48B、50C、60D、804．平面平面，则直线的位置关系是A、平行B、相交C、异面D、平行或异面5．两圆和的位置关系为( )A.相交B.外切C.内切D.相离6．入射光线线在直线：上，经过轴反射到直线上，再经过轴反射到直线上，则直线的方程为（）A．B．C． D．7．若直线平分圆，则的最小值是( )A． B． C．2 D．58．在圆x2+y2＝5x内，过点P有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差，那么n的取值集合为（）A． {3，4，5，6} B．{4，5，6} C． {4，5，6，7} D． {3，4，5}9．若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,则有( )(A)ab>0,bc>0 (B)ab>0,bc<0(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<010．如果圆与x轴相切于原点，则（）A．E≠0，D=F=0 B．D≠0，E≠0，F=0C．D≠0，E=F=0 D．F≠0，D=E=011．已知点在直线上运动，则的最小值为（）A．B．C．D．12．如图正方体中,点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题4分，共16分）13．．直线恒过定点____________.14．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．15．已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是 .16．已知圆C：，点P是圆M：上的动点，过P作圆C 的切线，切点为E、F，则的最大值是_____________.三、解答题（前5题每题12分，22题14分，共74分）17．(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.18．.设函数f(x)=，其中向量=(2cosx,1), =(cosx,sin2x), x∈R.求f(x)的最小正周期；并求的值域和单调区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f(A)=2,a=,b+c=3(b＞c),求b、c 的长.19．（本小题满分14分）已知，圆C：，直线：.(1) 当a为何值时，直线与圆C相切；(2) 当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程.20．已知单调递增的等比数列满足，是，的等差中项。

2017～2018学年高2019级第一学期十月月考试题数学（必修2）本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上．1.直线的倾斜角为 （ ）A. B. C. D.2. 若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）B. 0m < D.3. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A 、B 、C 、D 、4.下列各个条件中，可以确定一个平面的是( )A. 三个点B. 两条不重合直线C. 一个点和一条直线D. 不共点的两两相交的三条直线5．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A -与点()1,2,3B ---关于（ ）对称 A. 原点 B. x 轴 C. y 轴 D. z 轴6.圆()2225x y ++=关于直线y x =对称的圆的方程为( ) A. ()2225x y -+= B. ()2225x y +-= C. ()()22225x y +++= D. ()2225x y ++=7．直线10x ky -+=（k R ∈）与圆224220x y x y ++-+=的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与k 的值有在8. 已知圆1C ：和圆2C ： 2260x y y +-=，则两圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切9.函数12(01)x y a a -=->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D.10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )11.若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ） A. 1± B.12. 在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（ ）A. 1-B. C.13 D. 75-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上． 13．三个平面最多可以将空间分成________部分.14. 在空间直角坐标系中，已知A （2,1,5），B （3,1,4）则AB =________. 15. 若一正方体的体积为27，则其外接球的表面积为__________．16. 设直线(1))nx n y n N +++=∈与两坐标轴围成的三角形面积为n S ，则122017...S S S+++=__________．三．解答题(本大题共6小题，共70分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.17.（本题满分10分）已知两条直线()12:1210,:30l a x y l x ay -++=++=． （Ⅰ）若12//l l ，求实数a 的值； （Ⅱ）若21l l ⊥，求实数a 的值.18. （本题满分12分）四棱锥P ABCD -的四条侧棱长相等，底面ABCD 为正方形，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面ACM ；（Ⅱ）若PA AB =，求异面直线PD 与C M 所成角的正弦值．19. （本题满分12分）已知一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm 。

2019级高二上期10月月考数学试题（理科）本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线033:=-+y x l 错误！未找到引用源。

的倾斜角为 （ ）A.︒30 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2. 与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ） A ．224680x y x y +-+-= B ．224680x y x y +-++=C ．224680x y x y ++--=D ．224680x y x y ++-+=3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知圆C ：x 2+y 2+mx ﹣4=0关于直线x ﹣y+6=0对称的圆的方程为x 2+y 2+12x-6y+32=0， 则实数m 的值（ ）A ．8B ．﹣6C ．6D ．无法确定5.经过点M （2，2）且在两轴上截距相等的直线是（ ）A ．x+y=4B ．x+y=2C ．x=2或y=2D ．x+y=4或x=y6.已平面α和任意一条直线l ，总能在平面α内找到一条直线，使之与直线l （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直7.如图，棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）（ ）A.87 B.1211 C ． 4847 D ．56558．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. 1±B. 4± D. ±9.如右图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）A ．B ． 6C ．． 410．若圆222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对（ ）A11. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）A ．B ．8πC ．9πD ．12π12.已知二次函数b ax x x f 22)(2++=有两个零点21,x x ，且211-21<<<<x x ，则直线03)1(=+--y a bx 的斜率的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3252-， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2352-， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2152-， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3252-- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．13.若两圆122=+y x 和25-422=++）（）（a y x 有三条公切线，则常数=a . 14．如果实数x ，y 满足等式(x-2)2+y 2=1，那么x 2+(y-1)2的最大值为15. 若正三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧棱长为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．16. 设直线(1)()n x n y n N +++∈与两坐标轴围成的三角形面积为n S ，则122017...S S S +++=__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知两条直线()12:1210,:30l a x y l x ay -++=++=．（1）若12//l l ，求实数a 的值；（2）若21l l ⊥，求实数a 的值.18．（本小题满分12分）设直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．19. （本题满分12分）已知一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm 。

2017-2018学年重庆市万州区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填涂在答题卡规定的位置上．1．（5分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）满足f（x）=f'（x）的一个函数是（）A．f（x）=1﹣x B．f（x）=x C．f（x）=e x D．f（x）=13．（5分）命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x﹣y≠0 B．若x2+y2≠0，则x≠y=0C．若x2+y2≠0，则x、y都不为零D．若x2+y2≠0，则x、y不都为04．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．6 C．16 D．85．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=26．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β7．（5分）已知p，q为命题，则“p∨q为假”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与α的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行或相交D．平行9．（5分）已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（）A．（1，）B．（，2）C．（，﹣2） D．（4，2）10．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0 B．3x﹣y+2=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=011．（5分）若直线y=k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，g（x）=2x﹣a，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]使|f（x1）﹣g（x2）|≤2，则实数a的取值范围（）A．[1，5]B．[2，5]C．[﹣2，2]D．[5，9]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）曲线f（x）=x2+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=．14．（5分）一个棱长为1的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为．15．（5分）若△ABC的一个顶点是A（3，﹣1），∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，则BC边所在的直线方程为．16．（5分）已知椭圆和双曲线有共同焦点F1F2是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．三．解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.17．（12分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．（1）求直线l的方程．（2）求与直线l平行，且过点（2，3）的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点（2，3）的直线方程．18．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）上的点到左焦点的最短距离为﹣2，长轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．22．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=BC．（1）证明：B1C1∥平面A1BC；（2）证明：A1C⊥平面EDB．2017-2018学年重庆市万州区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填涂在答题卡规定的位置上．1．（5分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴α=．故选：A．2．（5分）满足f（x）=f'（x）的一个函数是（）A．f（x）=1﹣x B．f（x）=x C．f（x）=e x D．f（x）=1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、f（x）=1﹣x，则f′（x）=﹣1，不满足f（x）=f'（x）；对于B、f（x）=x，其导数f′（x）=1，不满足f（x）=f'（x）；对于C、f（x）=e x，其导数f′（x）=e x，满足f（x）=f'（x）；对于D、f（x）=1，其导数f′（x）=0，不满足f（x）=f'（x）；故选：C．3．（5分）命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x﹣y≠0 B．若x2+y2≠0，则x≠y=0C．若x2+y2≠0，则x、y都不为零D．若x2+y2≠0，则x、y不都为0【解答】解：同时否定条件和结论得否命题为：若x2+y2≠0，则x、y不都为0，故选：D．4．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．6 C．16 D．8【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，∴几何体的体积V==8，故选：D．5．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B．6．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β【解答】解：对于A，若a⊂β，显然结论不成立，故A错误；对于B，若a垂直于平面β内的任意一条直线，则a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故B正确；对于C，如果直线a与平面β内的两条平行直线都垂直，则a与β不一定垂直，故C错误；对于D，若平面α内都平行于平面β的两条直线平行，则α与β不一定平行，故D错误．故选：B．7．（5分）已知p，q为命题，则“p∨q为假”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“p∨q为假”，则命题p与q都为假命题；“p∧q为假”，则命题p 与q至少有一个为假命题．∴“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与α的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行或相交D．平行【解答】证明：∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，∵DE⊂平面α，BC⊄平面α，∴BC∥平面α．故选：D．9．（5分）已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（）A．（1，）B．（，2）C．（，﹣2） D．（4，2）【解答】解：由题意可知：A（5，2）在抛物线内部，设P（x，y）则由抛物线的定义可知：丨PF丨=丨PH丨，则|PA|+|PF|=|PA|+丨PH丨，则当A，P，H三点共线时，|PA|+丨PH丨取最小，则y=2，则x=4，故P点坐标为（4，2），故选：D．10．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0 B．3x﹣y+2=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0【解答】解：因为所求直线垂直于直线2x﹣6y+1=0，所以其斜率为k=﹣3，又由曲线y=x3+3x2﹣1求导数得y'=3x2+6x，由3x2+6x=﹣3，解得x=﹣1，则切点为（﹣1，1），所以切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0，故选：A．11．（5分）若直线y=k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：曲线可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=，则实数k的取值范围为（，]．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，g（x）=2x﹣a，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]使|f（x1）﹣g（x2）|≤2，则实数a的取值范围（）A．[1，5]B．[2，5]C．[﹣2，2]D．[5，9]【解答】解：根据题意，要使得|f（x1）﹣g（x2）|≤2，即﹣2≤f（x1）﹣g（x2）≤2只需满足：f（x）max﹣g（x）max≤2，且f（x）min﹣g（x）min≥﹣2，∵函数f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f'（x）=3x2﹣3，当f'（x）≥0是，即1≤x≤2，函数f（x）单调递增，当f'（x）＜0是，即0≤x＜1，函数f（x）单调递减，∴f（x）min=f（1）=1﹣3﹣1=﹣3，f（0）=﹣1，f（2）=8﹣6﹣1=1，∴f（x）max=1，∵g（x）=2x﹣a在[0，2]单调递增，∴g（x）min=g（0）=1﹣a，g（x）max=g（2）=4﹣a，∴，解得2≤a≤5．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）曲线f（x）=x2+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=7．【解答】解：由题意知，y=x2+3x，则y′=2x+3，∴在点A（2，10）处的切线的斜率k=4+3=7，故答案为：7；14．（5分）一个棱长为1的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为3π．【解答】解：设正方体的棱长为1，正方体的体对角线的长为，即球的直径为，∴球的表面积为：S=4π（）2=3π．故答案为：3π．15．（5分）若△ABC的一个顶点是A（3，﹣1），∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，则BC边所在的直线方程为2x﹣y+5=0．【解答】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．则A（3，﹣1）关于x=0的对称点A′（﹣3，﹣1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A″（﹣1，3）也在直线BC上，由两点式得，=，所求直线BC的方程：2x﹣y+5=0．故答案是：2x﹣y+5=0．16．（5分）已知椭圆和双曲线有共同焦点F1F2是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，即a12+3a22=4c2，变形可得：+=4，又由+≥2，即2≤4，变形可得：≤，即的最大值是；故答案为：三．解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.17．（12分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．（1）求直线l的方程．（2）求与直线l平行，且过点（2，3）的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点（2，3）的直线方程．【解答】解：（1）由点斜式可得：直线l的方程为：y﹣5=﹣（x+2），整理得：3x+4y﹣14=0．（2）设所求直线方程为：3x+4y+m=0，代入（2，3）点，6+12+m=0，解得m=﹣18．∴直线方程为：3x+4y﹣18=0．（3）所求直线方程为：4x﹣3y+n=0，代入（2，3）点，8﹣9+n=0，解得n=1．∴直线方程为：4x﹣3y+1=0．18．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．【解答】解：（1）则∴（2）由（1）可知，则f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，则x=1或﹣1（舍去），当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减，当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）递增∴f（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞）20．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．【解答】解：（1）由△PMB为正三角形得MD⊥PB，由M为AB的中点，得MD∥AP，所以AP⊥PB，可证得AP⊥平面PBC，所以AP⊥BC，又AC⊥BC，所以得BC⊥平面APC．（2）由题意可知，MD⊥平面PBC，∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，，在直角三角形ABC中，M为斜边AB的中点，，在直角三角形CDM中，，∴三角形BCD为等腰三角形，底边BC上的高为4，．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）上的点到左焦点的最短距离为﹣2，长轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：由，得a=，c=2，b=，…．（2分）所以椭圆C的标准方程为：；…（4分）（2）设直线方程为y=k（x﹣2），则，整理得：（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2），=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2），=，要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），所以m=．…（10分）此时=﹣，定点为（，0）．…（12分）22．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=BC．（1）证明：B1C1∥平面A1BC；（2）证明：A1C⊥平面EDB．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中B1C1∥BC，（1分）又BC⊂平面A1BC，且B1C1⊄平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC．（3分）（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中A1A⊥AB，∴Rt△A1AB中AB=A1B又A1A=AB=BC，∴BC=A1B，∴△A1BC是等腰三角形，（6分）∵E是等腰△A1BC底边A1C的中点，∴A1C⊥BE，①又依条件知A1C⊥ED，②且ED∩BE=E，③由①，②，③得A1C⊥平面EDB．（8分）。

重庆市2017-2018学年高二数学10月月考试题理（扫描版）高二上数学月考（理科）参考答案一、选择题：ABDCA ，DBCBD ，BA二、填空题：13．6 14．2 15．2π 16．15π 三、解答题：17．解：(1)证明：由已知，面//ADE 面E BCC 1,面 F AEC 1面AF ADF =,面 F AEC 1面11EC E BCC =，所以 ,1//EC AF ,同理可证：1//FC AE ,所以，四边形F AEC 1为平行四边形；（2）连接EF AC ,1,设O EF AC = 1,H CD AB = 有（1）可知，O 为EF AC ,1的中点，H 为AC,BD 的中点，ABCD OH ⊥，所以23211==CC OH ，212321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=FD . 62242222=++=∴FB18．（1）证明：连接AC ，在菱形ABCD 中，∵60CBA ∠=且AB AC =，∴ABC ∆为等边三角形．∵N 是BC 的中点,∴AN BC ⊥，．∵//AD BC∴AN AD ⊥∵ABCD ⊥平面ADEF ,AN ⊂平面ADEF , ABCD 平面ADEF AD =,∴AN ⊥平面ADEF ．∵DM⊂平面ADEF ,∴AN DM ⊥． ∵矩形ADEF 中，2AD AF =,M 是的中点,∴AMF ∆为等腰直角三角形，∴45AMF ∠=，同理可证45DME ∠=，∴90DAM ∠=，∴DM AM ⊥．∵AM AN N =，AM ⊂平面MNA ，AN ⊂平面MNA ，∴DM ⊥平面MNA ．（2）设AF x =，则22AB AF x ==，AN =,AM =， 在Rt AMN ∆中，由2225MN AN AM ==+得=1x ，AN =,AM DM ==∴A DMN D AMN V V --==19. 解法1：（Ⅰ）如图1，因为⊥1BB 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以1BB AC ⊥。