哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第三次调研考试理科数学试卷一、选择题（每题5分，共60分） 1.已知两个集合(){}2ln 2A x y x x ==-++，{}210B x x =+≤，则A B =I（ ）A. 1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. ()1,e -D. ()2,e【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，然后利用交集的定义求出集合A B I . 【详解】由题意得(){}{}{}()222ln 220201,2A x y x x x x x x x x ==-++=-++>=--<=-，{}1210,2B x x ⎛⎤=+≤=-∞- ⎥⎝⎦，因此，11,2A B ⎛⎤=-- ⎥⎝⎦I .故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数函数定义域与一次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 2.已知a R ∈，若复数21a iz i-=+为纯虚数，则a =（ ） 13 B. 13C. 2D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，然后得出该复数的实部为零，虚部不为零，可求出实数a 的值. 【详解】()()()()()()2122222111222a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-Q ，由于复数z 为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =.故选：C.【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，同时也考查了复数的除法运算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 3.已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A. ①③ B. ②④C. ③④D. ①【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即可得出正确选项. 【详解】对于命题①，若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥，该命题正确； 对于命题②，若//m α，//n β，且//m n ，则α与β平行或相交，命题②错误； 对于命题③，若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则α与β平行、垂直或斜交，命题③错误； 对于命题④，//n βQ ，过直线n 作平面γ，使得l βγ=I ，则//n l ，//m n Q ，//m l ∴，m α⊥Q ，l α∴⊥，l β⊂Q ，则αβ⊥，命题④错误.故选：D.【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.如果实数x 、y ，满足条件122211y x y x y x ⎧≤+⎪⎪≥-⎨⎪≥--⎪⎩，则4z x y =-的最大值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 9-【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线4z x y=-，利用直线4z x y=-在x轴上的截距最大，找出目标函数4z x y=-取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组122211y xy xy x⎧≤+⎪⎪≥-⎨⎪≥--⎪⎩所表示的可行域如下图所示：联立12221y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得23xy=⎧⎨=⎩，得点()2,3A，平移直线4z x y=-，可知，当直线4z x y=-经过可行域的顶点()2,3A时，该直线在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max4235z=⨯-=.因此，4z x y=-的最大值为5，故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用数形结合思想并通过线性目标函数在坐标轴上截距的最值来找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的焦点到渐近线的距离为23，则该双曲线的实轴的长为( ) A. 2 B.C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求出焦点到渐近线的距离为2b =，再结合双曲线的离心率得出a 的值，即可得出该双曲线的实轴长.【详解】设双曲线的焦距为()20c c >， 双曲线的右焦点到渐近线0bx ay +=222b b a==+，Q 该双曲线的离心率为22243c a b a a a a++===2a = 因此，双曲线的实轴长为222a =. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线实轴长的计算，同时也考查了双曲线的渐近线方程与离心率，考查运算求解能力，属于中等题.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A. 23岁 B. 32岁C. 35岁D. 38岁【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案． 【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ， 由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90o 榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为4，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器的表面积的最小值为200π，则正四棱柱的高为（ ）A. 26B. 230C. 51D. 10【答案】B 【解析】 【分析】计算出球形容器的半径为R 的值，设正四棱柱的高为h ，由题意可知，当球形容器为底面边长分别为4、8，高为h 的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小，根据长方体的体对角线长为外接球直径可求出h 的值.【详解】设正四棱柱的高为h ，设球形容器的半径为R ，则24200R ππ=，得52R =由题意可知，当球形容器为底面边长分别为4、8，高为h 的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小，222482102h R ++==230h =. 因此，正四棱柱的高为230.故选：B.【点睛】本题考查长方体的外接球问题，理解长方体的体对角长是其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9.已知将函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭向右平移12π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且2(0)2f =，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A. ()cos 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 94f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()cos 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 1()cos 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规律，三角函数的图象的对称性，可得 12ωπϕ-+＝k π，k ∈Z ，4πϕ=，求得ω的值，可得函数f （x ）的解析式．【详解】将函数()()002f x cos x ＞，＜＜πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移12π个单位长度后，可得y ＝cos （ωx 12ωπϕ-+）的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得 12ωπϕ-+＝k π，k ∈Z ．再根据()202f =，可得cos 22ϕ=，∴4πϕ=，∴124ωππ-+=k π，∴ω＝12k +3，则当ω＝3取最小值时，函数f （x ）的解析式为f （x ）＝cos （3x 4π+）， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题． 10.若23a =，log 3b π=，2log ec π=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D.b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】比较b 、c 与零的大小关系，可得出0b >，0c <，再比较3b 与3a 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数log y x π=在()0,∞+上为增函数，则log 3log 10b ππ=>=. 对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log log 10ec π=<=.3233log 3log 3log 23b a ππππ==>==Q ，0b a ∴>>，因此，b a c >>. 故选：B.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.11.N 为圆223x y +=上的一个动点，平面内动点00(,)M x y 满足03y ≥且60OMN ∠=o(O 为坐标原点)，则动点M 运动的区域面积为（ ） A.4+33πB.4233π- C.233π+ D.8233π- 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，然后过点M 作圆223x y +=的切线MP ，可得出60OMP OMN ∠≥∠=o ，利用锐角三角函数得出33sin 2OMP OM ∠=≥，可得出2OM ≤，由题意得出动点M 运动的区域为两个圆心角为60o 的弓形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案. 【详解】如下图所示：过点M 作圆223x y +=的切线MP ，连接OM 、OP ，则OP PM ⊥，3OP =且60OMP OMN ∠≥∠=o ，由锐角三角函数的定义得33sin OMP ∠=≥， 2OM ∴≤，过点(3C 作圆223x y +=的切线交圆224x y +=于A 、B 两点，则点M 的轨迹为图中阴影部分所表示的区域，为两个弓形，3sin OC OAC OA ∠==，则60OAC ∠=o ，OAB ∴∆为等边三角形，则60AOB ∠=o ， 因此，动点M 运动的区域的面积为2114222323623ππ⎛⨯⨯⨯-⨯=- ⎝故选：B.【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数()f x 是定义在[]100,100-上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()()2xf x x e =-，若方程 ()()210f x mf x -+=⎡⎤⎣⎦有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. 152e m e --<<- B. 152e m e --≤<- C. 522m -<<- D. 12e m e--≤<-【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出函数()y f x =是周期为4的周期函数，可得出方程()()210f x mf x -+=⎡⎤⎣⎦在区间[]22-,上有6个不同的实根，令()t f x =，利用导数分析函数()t f x =在区间[]0,2的单调性和极值，作出函数()t f x =在区间[]0,2上的图象，设方程210t mt -+=的两根分别为1t 、()212t t t >，可得出120t -<<，22e t -<<-，然后利用二次函数零点分布列出关于实数m 不等式组，解出即可.【详解】()()22f x f x +=-Q ，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于()100100504--=，且方程()()210f x mf x-+=⎡⎤⎣⎦有300个不同的实数根，则方程()()210f x mf x-+=⎡⎤⎣⎦在区间[]22-,上有6个零点.令()t f x=，则方程为210t mt-+=，当02x≤≤时，()()2xf x x e=-，则()()1xf x x e'=-.令()0f x'≤，得01x≤≤；令()0f x'≥，得12x≤≤.所以，函数()t f x=在区间[]0,1上单调递减，在区间[]1,2上单调递增，且()02f=-，()1f e=-，()20f=，作出函数()t f x=在区间[]22-,上的图象如下图所示：设关于t的方程210t mt-+=的两根分别为1t、()212t t t>，可得出120t-<<，22e t-<<-，设()21g t t mt=-+，则函数()y g t=在区间(),2e--和()2,0-各有一个零点，所以()()()2102250010g e e meg mg⎧-=++>⎪-=+<⎨⎪=>⎩，解得152e me--<<-，故选：A.【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数的取值范围，将问题转化为函数在一个周期内的零点个数是解题的关键，考查数形结合思想应用，属于难题.二、填空题（每题5分，共20分）13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m︒=.若24m n+=，则m n+=_________.【答案】22【解析】 【分析】利用同角的基本关系式，可得24cos 18n =︒，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 【详解】因为2sin18m =︒，24m n +=，所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒， 2sin182cos182245)22sin 63sin 63m n +︒+︒︒+︒===︒︒22【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题14.若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+取得最小值时,b 的值为_________． 【答案】12【解析】 【分析】由题意知，直线()100,0ax by a b ++=>>过圆心，可得出41a b +=，然后将代数式4a b +和122a b +相乘，利用基本不等式求出122a b+的最小值，并利用等号成立的条件求出b 的值. 【详解】圆()()224116x y +++=的圆心坐标为()4,1--，由题意可知，直线()100,0ax by a b ++=>>过圆心()4,1--，则410a b --+=， 得41a b +=， 由基本不等式得()121288442482222a b a ba b a b a b b a b a⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82410,0a bb a a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，即当1812a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，12b =.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用基本不等式等号成立求参数的值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.15.已知向量a r 、b r 满足()cos 2019,sin 2019a =o or ，22a b +=r r 3b =r ，则a r 、b r 的夹角余弦值等于_______． 【答案】13- 【解析】 【分析】设a r 、b r的夹角为θ，计算出a r 的值，将等式22a b +=r r 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求出cos θ的值.【详解】设a r 、b r 的夹角为θ，()cos 2019,sin 2019a =o or Q ，22cos 2019sin 20191a ∴=+=o o r，在等式22a b +=r r 两边平方得2228a a b b +⋅+=r r r r ，即222cos 8a a b b θ+⋅+=r r r r ，即1213cos 98θ+⨯⨯⨯+=，解得1cos 3θ=-. 因此，a r 、b r的夹角余弦值等于13-. 故答案为：13-.【点睛】本题考查利用平面向量的模计算向量夹角的余弦值，一般在求解时要将向量模的等式两边平方，结合平面向量数量积的运算律和定义进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 外一点P 满足212PF F F ⊥，且212PF F F =，线段1PF 、2PF 分别交椭圆C 于点A 、B ，若1PA AF =，则22BF PF =_______．【答案】2 【解析】 【分析】作出图形，由题意得出A 为线段1PF 的中点，可得出2a c =，且有b c =，并计算出点B 的坐标，即可得出22BF PF 的值.【详解】如下图所示，设椭圆的焦距为()20c c >，则2122PF F F c ==，1PA AF =Q ，A ∴为1PF 的中点，12AF AF ∴=，且21AF PF ⊥，由椭圆的定义得122AF AF a +=，12AF AF a ∴==，由勾股定理得2221212AF AF F F +=，即()2222a c =，可得2a c =，则22b a c c =-=， 椭圆的标准方程为222212x y c c +=，设点B 的坐标为(),c t ，则222212c t c c+=，2212t c ∴=，则222BF t c ==，因此，2222224c BF PF c ==.故答案为：24.【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定a 、b 、c 的等量关系，并求出相关点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题. 三、解答题（共70分）17.已知数列}{n a 和}{n b ，}{n a 前n 项和为n S ，且2n S n n =+，}{n b 是各项均为正数的等比数列，且3125b =，12331+25b b b +=． （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列{}4n n a b -的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =，115n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()11515n nT n n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）令1n =求出1a 的值，然后由2n ≥，得出1n n n a S S -=-，然后检验1a 是否符合n a 在2n ≥时的表达式，即可得出数列{}n a 的通项公式，并设数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出1b 和q 的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出n b ； （2）求出数列{}n b 的前n 项和n B ，然后利用分组求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦. 12a =也适合上式，所以，()2n a n n N *=∈.设数列{}n b 的公比为q ，则0q >，由()2312123112531125b b q b b b b q q ⎧==⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，两式相除得23010q q --=，0q >Q ，解得15q =，11b =，11115n n n b b q --∴==； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n B ，则()11115151114515n n nn b q B q --⎛⎫===- ⎪-⎝⎭-，()()5114141151455n n n nn T S B n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-=+-⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.18.在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）66. 【解析】 【分析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值.【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，EQ 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BO G =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形， 1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ， ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a 、(10,3C a 、(3C 、()0,0,0E 、334D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,3AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r ，得2a = (113AC AC ==-u u u u r u u u r Q ，33,0,44ED ⎛=- ⎝⎭u u u r ，21,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r ，由330420n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得23y x z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.令1x =，可得2y =，3z =DEF 的一个法向量为(2,3n =r，1111116cos ,626A C n A C n A C n ⋅===⨯⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值为66【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19.在ABC ∆中，2cos 2BC C AB AC -=，cos 3B C =. （1）求B 和C ；（2）若4AB =，D 是BC 边上一点，且ABD ∆3sin ADC ∠. 【答案】（1）6B C π==；（2）77. 【解析】 【分析】（1）利用边角互化思想得出()2sin cos sin 2sin 2sin A C C B A C -==+，利用两角和的正弦公式展开可得出1cos 2A =-，可求得23A π=，再由2cos 333B C B π⎛⎫==+⎪⎝⎭，展开后得出tan B 的值，求出B 的值，最后利用三角形的内角和定理可求出C 的值；（2）利用三角形的面积公式求出BD 的值，再利用余弦定理求出AD 的值，利用正弦定理求出sin ADB ∠的值，再利用诱导公式可求出sin ADC ∠的值.【详解】（1）2cos 2BC C AB AC -=Q ，()2sin cos sin 2sin 2sin A C C B A C -==+，即2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C CA C A C -=+，2cos sin sin A C C ∴=-，sin 0C >Q ，2cos 1A ∴=-，得1cos 2A =-，0A π<<Q ，23A π∴=， ()233cos 3sin 3sin 3sin sin cos 32BC A B B B B π⎛⎫==+=+=-+ ⎪⎝⎭Q ， 整理得3sin cos B B =，3tan B ∴=，0B Q π<<，6B π∴=，则6C A B ππ=--=；（2）如下图所示：ABD ∆的面积为111sin 43222ABD S AB BD B BD ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=，3BD ∴= 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，7AD ∴=，由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，得14sin 272sin 77AB B ADB AD ⨯∠===， ()27sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠=【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了利用余弦定理和正弦定理解三角形，在解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦定理和余弦定理来解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆C 的左顶点M ，且与椭圆C 的另一个交点为N ，直线2NF 与椭圆C 的另一个交点为P ，若1PF MN ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）)62y x =+或)62y x =+.【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由椭圆C 的离心率得出2a c =，进而得出3b c =，可将椭圆C 的标准方程化为2222143x y c c+=，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆的标准方程，求出c 的值，可得出a 与b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）由题意得知直线l 与x 轴不重合且不垂直于x 轴，可设直线l 的方程为()20x my m =-≠，并将该直线方程与椭圆C 的方程联立，求出点N 的坐标，可求出直线2NF 的方程，并根据1PF MN ⊥求出直线1PF 的方程，再将直线2NF 和1PF 的方程联立，求出交点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆C 的方程，求出m 的值，即可得出直线l 的方程. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >， 由于椭圆C 的离心率为12c a =，2a c ∴=，223b a c c ∴=-， 则椭圆C 的标准方程为2222143x y c c+=，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆C 的标准方程得222312143c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 得1c =，2a ∴=，3b =C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 与x 轴不重合与不垂直于x 轴，设直线l 的方程为()20x my m =-≠，设点()11N x y ,，则10y ≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立2221243x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120m y my +-=，解得121234m y m =+，2211221268223434m m x my m m -∴=-=-=++，则点2226812,3434m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 直线2NF 的斜率为222212434684134mm m k m m m +==---+，所以，直线2NF 的方程为2414m x y m -=+， 1PF MN ⊥Q ，直线1PF 的斜率为k m '=-，所以，直线1PF 的方程为11x y m=--，联立直线1PF 和2NF 的方程241411m x y m x y m ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2288m x m y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点2288,m P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆C 的方程，得222288143m m m ⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4292081920m m --=，即()()2298240m m +-=，解得6m =± 因此，直线l 的方程为()6212y x =+或)6212y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，求出相关点的坐标，同时也要注意根据一些点在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，来列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21.已知()x tf x ex +=-在1x =处的切线是x 轴.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()()ln 10f x m x x --+≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）[)1,-+∞. 【解析】 【分析】（1）由题意得出()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可求出实数t 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后利用导数求出函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间；（2）先证明出当1x ≥时，1ln x x -≥，由()()ln 10f x m x x --+≥得出()1ln 1ln ln x x e m x x m x e m x -+-≥+=+，构造函数()xg x e mx =+，可知该函数()y g x =在区间[)0,+∞上单调递增，由()0g x '≥得出x m e ≥-对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，由此可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()x t f x e x +=-Q ，()1x tf x e +'∴=-，由题意可得()()11110110t t f e f e ++⎧=-=⎪⎨=-='⎪⎩， 解得1t =-，()1x f x ex -∴=-，定义域为R ，则()1e 1x f x -'=-.令()110x f x e-'=-<，即11x e -<，得10x -<，解得1x <；令()110x f x e -'=->，即11x e ->，得10x ->，解得1x >.因此，函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞； （2）构造函数()1ln h x x x =--，其中1x ≥，则()1110x h x x x-'=-=≥， 则函数()1ln h x x x =--在区间[)1,+∞上单调递增，当1x ≥时，()()10h x h ≥=. 所以，当1x ≥时，1ln x x -≥.由()()ln 10f x m x x --+≥，得()1ln 10x e x m x m x ---+-≥，即()1ln 1ln ln x x em x x m x e m x -+-≥+=+，构造函数()x g x e mx =+，则()()1ln g x g x -≥，1x ≥Q ，则10x -≥，ln 0x ≥， 所以，函数()xg x e mx =+在区间[)0,+∞上为增函数，则()0xg x e m '=+≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，()max1xm e∴≥-=-.因此，实数m 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】本题考查了利用切线方程求参数的值、利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题巧妙地利用构造新函数，转化为新函数在区间上的单调性，并借助导数求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线1C 上2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线:l θϕ=与曲线2C 交于点P ，将射线l 绕极点逆时针方向旋转2π交曲线2C 于点Q . （1）求曲线2C 的参数方程； （2）求POQ ∆面积的最大值．【答案】（1）2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（22.【解析】 【分析】（1）根据伸缩变换结合曲线1C 的参数方程可得出曲线2C 的参数方程；（2）将曲线2C 的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点P 的极坐标为()1,ρϕ，点Q 的极坐标为2,2πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆C 的极坐标方程，得出21ρ和22ρ关于ϕ的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出POQ ∆面积的最大值． 【详解】（1）由于曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线1C 2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，则曲线2C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）将曲线2C 的参数方程化为普通方程得2212x y +=，化为极坐标方程得2222cos sin 12ρθρθ+=，即2221sin ρθ=+， 设点P 的极坐标为()1,ρϕ，点Q 的极坐标为2,2πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆C 的极坐标方程得21221sin ρϕ=+，2222221cos 1sin 2ρπϕϕ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭， POQ ∴∆的面积为()()12222211222sin cos 1sin 1cos POQ S ρρϕϕϕϕ∆===+++()2212sin cos 2sin 22ϕϕϕ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭当sin 20ϕ=时，POQ ∆222=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 23..已知函数()23f x x a x b =++-.（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x ≥+的解集；（2）若0a >，0b >且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值． 【答案】（1）31,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；（2）3.【解析】 【分析】（1）将1a =，0b =代入不等式()31f x x ≥+，得出112x +≥，利用绝对值的几何意义解出该不等式即可；（2）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，分段各支函数的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2，可求出3a b +的值.【详解】（1）当1a =，0b =时，()213f x x x =++，由()31f x x ≥+， 即21331x x x ++≥+，得112x +≥，即112x +≤-或112x +≥，解得32x ≤-或21x ≥-. 此时，不等式()31f x x ≥+的解集为31,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；（2）0a >Q ，0b >，则03ba -<<. 当x a ≤-时，()()()232352f x x a x b x a x b x b a =++-=-+--=-+-， 此时，函数()y f x =单调递减，则()()3f x f a a b ≥-=+； 当3bx ≥时，()()()232352f x x a x b x a x b x a b =++-=++-=+-， 此时，函数()y f x =单调递增，则()2233b b f x f a ⎛⎫≥=+⎪⎝⎭； 当a x b -<<时，则()()()23232f x x a x b x a x b x a b =++-=+--=-++， 此时，函数()y f x =单调递减，则()()3b f f x f a ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即()2233ba f x ab +<<+. 所以，()min 22233b bf x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得33a b +=. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值函数的最值求参数的值，解题时要对绝对值函数采取去绝对值的方法，将函数表示为分段函数，并分析函数的单调性，利用函数单调性求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.。
