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2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷（4）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．若1n x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ．563．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)4．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．BC ．6D ．5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．tan570°=（ ）A B ．C D 7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．458．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加11．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π12．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A ．8B ．17C ．29D ．836．若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A 、B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ） A ．200 B ．350 C ．400 D ．5008．圆O 的半径为3，一条弦AB=4，P 为圆O 上任意一点，则•的取值范围为（ ）A ．[﹣16，0]B ．[0，16]C ．[﹣4，20]D ．[﹣20，4]9．设函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题（ ）①∀x ∈R ，f （f （x ））=1；②∃x 0，y 0∈R ，f （x 0+y 0）=f （x 0）+f （y 0）；③函数f （x ）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣AB1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】利用交集定义、集合相等的定义直接求解．【解答】解：∵集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n∈Z}，∴M≠P，N∩P=∅，M∩N=∅，故选：B．2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再求出其共轭复数得答案．【解答】解：∵（2+i）i=﹣1+2i，∴复数（2+i）i的共轭复数为﹣1﹣2i，其虚部为﹣2．故选：B．3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y【考点】轨迹方程．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．故选：D．4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}对任意的m，n∈N*满足a n•a m=a n+m，且，可得a2，a3，a4，a5．即可．【解答】解：∵数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，∴a2=a1a1=，a3=a1•a2=．那么a4=a2•a2=．a5=a3•a2=．故选：A．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．8 B．17 C．29 D．83【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=3，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=8，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=29，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为29，故选：C6．若，则=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A、B两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A药品至少100箱，B药品箱数不少于A药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（）A．200 B．350 C．400 D．500【考点】简单线性规划的应用．【分析】设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，根据约束条件对目标函数的范围进行验证即可【解答】解：设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，若x+y=500，又因为≥x，∴y≥250，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=75+0.15y＞100，不合题意．若x+y=400，又因为y≥x，∴y≥200，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=60+0.15y≥90，合题意．故选：C8．圆O的半径为3，一条弦AB=4，P为圆O上任意一点，则•的取值范围为（）A．[﹣16，0]B．[0，16]C．[﹣4，20]D．[﹣20，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得BC=AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法则，可得•==，代入数量积即可得出•的取值范围．【解答】解：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．则BC=AB=2．∴cos∠OBA=．∴•===．==．∵cos∈[﹣1，1]，∴12cos﹣8∈[﹣20，4]．故选：D．9．设函数，则关于函数f（x）有以下四个命题（）①∀x∈R，f（f（x））=1；②∃x0，y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由，可得f（x）=0或1，则∀x∈R，f（f（x））=1，故①正确；当时，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正确；∵x为有理数，则﹣x为有理数，x为无理数，则﹣x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．∴真命题的个数是4个．故选：A．10．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（0）=f（），由此得到a=b，再根据函数f′（x）的图象的一个对称中心是，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，∴f（0）=f（），即b=asin（ω•）+bcos（ω•）=a，∴f（x）=asinωx+acosωx=a•sin（ωx+）．又函数f'′（x）=a•ω•cos（ωx+）的图象的一个对称中心是，∴a•ωcos（ω•+）=0，∴ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=8k+2，故取ω=2，则f（x）的最小正周期是=π，故选：C．B1C1D1的内切球O球面上的11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣A动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】轨迹方程．【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，B1C1D1的棱长为2，∵正方体ABCD﹣A∴O到过D，C，N的平面的距离为1，∴截面圆的半径为：=2，∴点P的轨迹周长为：2π×2=4π．故选：C．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】令f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象得出a的范围．【解答】解：f（x）关于y轴对称的函数为h（x）=f（﹣x）=x+2﹣x﹣（x＞0），令h（x）=g（x）得2﹣x﹣=log2（x+a）（x＞0），则方程2﹣x﹣=log2（x+a）在（0，+∞）上有解，作出y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象如图所示：当a≤0时，函数y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象在（0，+∞）上必有交点，符合题意；若a＞0，若两图象在（0，+∞）上有交点，则log2a，解得0，综上，a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为48．【考点】分层抽样方法．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n 的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，∴共有个体（5+1）×8=48，故答案为：48．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由此构造关于x的方程，解得答案．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+π•（）2×1.6=12.6，∵π=3．解得x=3，故答案为：3．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故答案为：16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由公差d是的约数，得到d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项，∴公差d是的约数，∴d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），∴d的所有可能取值之和为：=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE 中，求解BE即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S△，然后求解最大值．ABE【解答】解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：，∴．∵BC=CD，∴，又，∴．在Rt△BDE中，所以．（2）设∠ABE=α，∵，∴．在△ABE中，由正弦定理，得，∴．∴=．∵，∴．∴当，即时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．证明CG⊥C1E．DE⊥CG，推出CG⊥平面A1DE，即可证明平面CDG⊥平面A1DE．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1DE的法向量，平面A1BF的法向量，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．【解答】解：（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明如下：由于DE∥AC且，∴，故D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．在正方形CBB1C1中，，故∠CHE=90°，即CG⊥C1E．又A1C1⊥平面CBB1C1，CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又因为C1E∩DE=E，故CG⊥平面A1DE，从而平面CDG ⊥平面A1DE．（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，于是可以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以A1（2，0，2），D（1，1，0），E（0，1，0），B（0，2，0），F （0，1，2），G（0，2.1），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，1，0）．由（1）知平面A1DE的法向量为=（0，2，1），设平面A1BF的法向量为=（x，y，z），则，即：，令x=1得，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，则cosθ===．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．进而得出数学期望．【解答】解：（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，，．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．因为E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），所以方案二更适合．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，直线AD：y=k2x+1，同理有，推出k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．【解答】解：（1）由题设知，，，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD 若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a ≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，min利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1⇒t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，可得其左焦点，即可得出m．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y=m．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．可得曲线C的直角坐标方程：2（x2+y2）﹣（x2﹣y2）=12，∴曲线C的标准方程为，则其左焦点为，故，曲线C的方程．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，得t'2﹣2t'﹣2=0，则|FA|•|FB|=|t'1t'2|=2，第31页（共31页），故．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=x +2．（1）当a=1时，求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集； （2）求证：中至少有一个不小于． 【考点】反证法的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集；（2）利用反证法证明即可．【解答】（1）解：当a=1时，|2x ﹣1|+|2x +1|≤x +2，无解；，解得；，解得．综上，不等式的解集为． （2）证明：若都小于， 则，前两式相加得与第三式矛盾．故中至少有一个不小于．。
贵州省安顺市2024年数学（高考）统编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0B．C．2D．1第(3)题技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍第(4)题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是A ．2B．3C．4D．4第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．第(7)题设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（）A．最小正周期为B．奇函数C．在上单调递增D．关于中心对称第(2)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则第(3)题双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（）A．存在直线，使得B．在运动的过程中，始终有C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2.7 函数与方程挖命题【考情探究】分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.2.预计函数与方程的有关问题可能在2020年的高考中出现,复习时应重视.破考点【考点集训】考点函数的零点与方程的根1.(2018浙江镇海中学5月模拟,9)已知函数f(x)=--则方程f(f(x))-2=0的实根个数为( )A.3B.4C.5D.6答案B2.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 33.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实--数解,则a的取值范围是.答案(4,8)炼技法【方法集训】方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案C2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x2+ax+b)·e x+c的极值点(其中a,b,c为实常数).若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程f2(x)+(a+2)·f(x)+a+b=0的不同实根的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案C方法2 函数零点的应用(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是.答案过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点函数的零点与方程的根1.(2018课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)2.(2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C. D.1答案C3.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)答案B4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=--函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.∞ B.-∞C. D.答案D5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)6.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2cos--2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.教师专用题组考点函数的零点与方程的根1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案A2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=∈其中集合D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案83.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.答案 44.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)5.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)6.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2·=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo-.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0. 又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.评析本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数f(x)=ax2+bx-(a>0)有两个不同的零点x1,x2,则( )A.x1+x2<0,x1x2<0B.x1+x2>0,x1x2>0C.x1+x2<0,x1x2>0D.x1+x2>0,x1x2<0答案A-若两个函数的图象只有一个交2.(2019届浙江高考模拟试卷(四),7)已知函数f(x)=ax+1,g(x)=点,则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪-D.-答案C3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),4)a=1是方程x2-cos x+|a|=0有唯一根的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),7)已知实数a∈(1,),则方程-+|x|=的不同解的个数为( )A.0B.2C.3D.4答案D设方程f(x)=t(t∈R)的四5.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),9)已知函数f(x)=-个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( )A.x1+x2+x3+x4=40B.x1x2=1C.x3x4=361D.x3x4-20(x3+x4)+399=0答案C6.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,8)已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( )A. B.1 C. D.2答案C7.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共8分)8.(2019届浙江高考模拟试卷(四),17)函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在(0,2)上有两个零点x1,x2,且|x1-x2|≥1,则a2+a-3b的取值范围为.答案-9.(2018浙江诸暨高三5月适应性考试,17)已知a,b,c∈R+(a>c),关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等实根,且函数f(x)=|x2-ax+b|+cx的最小值是c2,则= .答案 5。
2019年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为（）A. 1B. −1C. iD. −i2.已知集合A={x|x2+2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B=（）A. [−2,−1]B. [−1,2)C. [−2,1]D. [1,2)3.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012−2013年研发投入占营收比增量相比2017−2018年增量大B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加C. 2015−2016年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加4.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米（）A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石5.已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A. −4B. −3C. −2D. −16.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A. 4√5，8B. 4√5,83C. 4(√5+1),83D. 8，87.已知函数f（x）=e x-e-x-2x（x∈R），则不等式f（1+x）+f（1-x2）≥0的解集是（）A. [−1,2]B. [−2,1]C. (−∞,−1]∪[2,+∞)D. (−∞,−2]∪[1,+∞)8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆（x-4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 2√33C. √3D. 329.某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 212B（吨） 12 8A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=（）A. 72B. 3C. 52D. 211.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的，如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，则它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率为（）A. 1136B. 49C. 2536D. 5912.已知函数f（x）=|lg（x-1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则实数2a+b的取值范围是（）A. [3+2√2,+∞)B. (3+2√2,+∞)C. [6,+∞)D. (6,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=（2，3），b⃗ =（x，4），若a⃗ ⊥（a⃗-b⃗ ），则x=______．14.在平面四边形ABCD中，∠D=90°，∠BAD=120°，CD=√3，AC=2，AB=3，则BC=______．15.数列{a n}满足a1+2a2+……+na n=4-n+22n−1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和T n=______．16.已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知f（x）=sin（π2-x）sin x-√3cos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值．（2）讨论f（x）在[π6，2π3]上的单调性．18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF⏜的中点．（Ⅰ）设P是CE⏜上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2，求二面角E-AG-C的大小．20.已知两直线方程l1：y=√22x与l2：y=-√22x，点A在l1上运动，点B在l2上运动，且线段AB的长为定值2√2．（Ⅰ）求线段AB的中点C的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l1：y=kx+m与点C的轨迹相交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM•k ON=54，求原点O 的直线l的距离的取值范围．21.已知f（x）=ax+1-x lnx的图象在A（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行．（1）求函数f（x）的极值；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），f(x1)−f(x2)x1−x2＞m(x1+x2)，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=√3sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ=θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0=3π4时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．23.已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+1；（Ⅱ）若对x，y∈R，有|x-y-1|≤13，|2y+1|≤16，求证：f（x）≤56．答案和解析1.【答案】B【解析】解：（1+i）z=2，∴z===1-i．则复数z的虚部为-1．故选：B．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：（x-1）（x+3）≥0，解得：x≤-3或x≥1，即A=（-∞，-3]∪[1，+∞），∵B=[-2，2），∴A∩B=[1，2），故选：D．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】D【解析】解：从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降，并非连续 12 年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．根据图形给出的信息，分析判断即可．本题考查识图能力．属基础题．4.【答案】C【解析】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴d==-18，3a1+3×（-18）=180，解得a1=78（石）．∴乙应该分得白米78-18=60石．故选：C．今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，利用通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•=5，解得a=-1，故选：D．由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a•=5，由此解得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选：B．由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f（x）=e x-e-x-2x的定义域为R，∵f（-x）=e-x-e x+2x=-（e x-e-x-2x）=-f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=e x+e-x-2≥．∴f（x）是R上的增函数．由f（1+x）+f（1-x2）≥0，得f（1+x）≥-f（1-x2）=f（x2-1），则1+x≥x2-1，即x2-x-2≤0，解得：-1≤x≤2．∴不等式f（1+x）+f（1-x2）≥0的解集是：[-1，2]．故选：A．由定义说明函数为奇函数，利用导数得到函数为R上的增函数，把不等式f（1+x）+f（1-x2）≥0转化为一元二次不等式求解．本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x-4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2-4a2=c2，解得e==．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=-x+，平移直线y=-x+由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为-=-2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=-2（x-2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设甲，乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x＜24，0≤y＜24，它们中的任何一条船不需要等待码头空出，则只需|y-x|≥4，设“它们中的任何一条船不需要等待码头空出”为事件A，则由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：C．先设甲，乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x＜24，0≤y＜24，它们中的任何一条船不需要等待码头空出，则只需|y-x|≥4，再作出不等式表示的平面区域，由几何概型中的面积型可得：P（A）= ==，本题考查了几何概型中的面积型及解决实际问题的能力，属中档题12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=|lg（x-1）|，∵f（a）=f（b），∴|lg（a-1）|=|lg（b-1）|，又∵1＜a＜b，∴-lg（a-1）=lg（b-1），∴lg（a-1）+lg（b-1）=0∴（a-1）（b-1）=1，整理可得，ab=a+b，∴则2a+b=（2a+b ）（）=3当且仅当且即a=1+，b=时取等号∴2a+b的取值范围是[3+2，+∞）故选：A．由已知结合对数的运算性质可知，（a-1）（b-1）=1，整理可得，，然后根据2a+b=（2a+b）（）．根据基本不等式即可求解本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，要注意本题中1的代换技巧13.【答案】12【解析】解：；∵；∴；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．14.【答案】√7【解析】解：如图所示，在△ACD中，∠D=90°，，AC=2，∴sin∠CAD=，∠CAD为锐角，∴∠CAD=60°．∴∠BAC=60°．在△ABC中，∴BC2=22+32-2×2×3cos60°=7．∴BC=．故答案为：．如图所示，在△ACD中，∠D=90°，，AC=2，利用sin∠CAD=，可得∠CAD，可得∠BAC．在△ABC中，再利用余弦定理即可得出．本题考查了直角三角形的性质、数形结合方法、勾股定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】2(1−12n)【解析】解：数列{a n}满足a1+2a2+……+na n=4-①，当n≥2时，a1+2a2+……+（n-1）a n-1=4-②，①-②得：，则：．当n=1时，首项符合通项，故：，则：，=，=．故答案为：首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】9π2【解析】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d217.【答案】解：（1）f（x）=sin（π2-x）sin x-√3cos2x=cos x sinx-√3•1+cos2x2=12sin2x-√32cos2x-√32=sin（2x-π3）-√32，故该函数的最大值为1-√32，它的最小正周期为2π2=π，（2）令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，求得kπ-π12≤x≤kπ+5π12，可得函数的增区间为为[kπ-π12，kπ+5π12]，k∈Z；再结合x∈[π6，2π3]可得函数的增区间为[π6，5π12]．令2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2，求得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，可得函数的增区间为为[kπ+5π12，kπ+11π12]，k∈Z；再结合x∈[π6，2π3]可得函数的减区间为[5π12，2π3]．【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值、周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）在[，]上的单调性．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值、周期性和单调性，属于中档题．18.【答案】解：（1）当n≥16时，y=16×（10-5）=80；当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：y={80(n≥16)10n−80(n≤15)(n∈N)（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P （X =60）=频数总数=1010+20+16+16+15+13+10=10100=0.1，P （X =70）=201000.2，P （X =80）=1-0.1-0.2=0.7， X 的分布列为 X 60 70 80 P0.10.20.7EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX =162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii ）购进17枝时，当天的利润的期望为y =（14×5-3×5）×0.1+（15×5-2×5）×0.2+（16×5-1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝 【解析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数； （2）（i ）X 可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论． 本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ， 所以BE ⊥平面ABP ，…（2分） 又BP ⊂平面ABP ，…（3分） 所以BE ⊥BP ，又∠EBC =120°， 因此∠CBP =30°…（4分）（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A （0，0，3）E （2，0，0），G(1，√3，3)，C(−1，√3，0)，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−3)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3，0)，CG⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，3)，…（6分） 设m⃗⃗⃗ =（x 1，y 1，z 1）是平面AEG 的一个法向量． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0{m ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{2x 1−3z 1=0x 1+√3y 1=0，取z 1=2，可得平面AEG 的一个法向量m⃗⃗⃗ =（3，-√3，2）．…（8分） 设n⃗ =（x 2，y 2，z 2）是平面ACG 的一个法向量． 由{n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{x 2+√3y 2=02x 2+3z 2=0，取z 2=-2，可得平面ACG 的一个法向量n ⃗ =（3，-√3，-2）．…（10分） 所以cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12． 因此二面角E -AG -C 的大小为60°．…（12分）【解析】（Ⅰ）由AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，得BE ⊥平面ABP ，从而BE ⊥BP ，由此能求出∠CBP=30°． （Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AG-C 的大小．本题考查角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵点A 在l 1：y =√22x 上运动，点B 在l 2：y =−√22x 上运动， ∴设A （x 1，√22x 1），B （x 2，−√22x 2），线段AB 的中点C （x ，y ），则有x =x 1+x 22，y =√22x 1−√22x 22，∴x 1+x 2=2x ，x 1−x 2=2√2y ，∵线段AB 的长为定值2√2，∴(x 1−x 2)2+(√22x 1+√22x 2)2=8，即(2√2y)2+(√2x)2=8，化简得x 24+y 2=1．∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2-4=0，△=（8km ）2-4（4k 2+1）（4m 2-4）＞0，化简得m 2＜4k 2+1①． x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 若k OM ⋅k ON =54，则y 1y 2x1x 2=54，即4y 1y 2=5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=5x 1x 2， 即(4k 2−5)⋅4m 2−44k 2+1+4km ⋅(−8km4k2+1)+4m 2=0，化简得m 2+k 2=54②． 由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54， ∵O 到直线l 的距离d =|m|√1+k 2，∴d 2=m 21+k2=54−k 21+k 2=−1+94(1+k 2)．又∵120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2√147）．【解析】（Ⅰ）利用已知条件设，B （，C （x ，y ），建立x ，y 与x 1，x 2的关系，利用线段AB的长化简计算即可；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得m2＜4k2+1，再由k OM•k ON =，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O 到直线l的距离，则取值范围可求．本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=ax+1-x lnx的导数为f′（x）=a-1-ln x，可得f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线斜率为a-1，由切线与直线x-y=0平行，可得a-1=1，即a=2，f（x）=2x+1-x lnx，f′（x）=1-ln x，由f′（x）＞0，可得0＜x＜e，由f′（x）＜0，可得x＞e，则f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，可得f（x）在x=e处取得极大值，且为e+1，无极小值；（2）可设x1＞x2，若∀x1，x2∈（0，+∞），f(x1)−f(x2)x1−x2＞m(x1+x2)，可得f（x1）-f（x2）＞mx12-mx22，即有f（x1）-mx12＞f（x2）-mx22，设g（x）=f（x）-mx2在（0，+∞）为增函数，即有g′（x）=1-ln x-2mx≥0对x＞0恒成立，可得2m≤1−lnxx在x＞0恒成立，由h（x）=1−lnxx 的导数为h′（x）=lnx−2x2得：当h′（x）=0，可得x=e2，h（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，即有h（x）在x=e2处取得极小值，且为最小值-1e2，可得2m≤-1e2，解得m≤-12e2，则实数m的取值范围是（-∞，-12e2]．【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a，求出f（x）的导数和单调区间，即可得到所求极值；（2）设x1＞x2，可得f（x1）-f（x2）＞mx12-mx22，设g（x）=f（x）-mx2在（0，+∞）为增函数，设g（x）=f （x）-mx2在（0，+∞）为增函数，求得g（x）的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求m的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想，考查不等式恒成立问题解法，运用参数分离和构造函数是解题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）将θ0=3π4代入C1的极坐标方程ρ=4cosθ得ρA=4cos3π4=-2√2，将θ0=3π4代入C2得ρB=√3sin3π4=√62，∴|AB|=|ρA-ρB|=2√2+√62．（Ⅱ）∵ρA=4cosθ，ρB=√3sinθ，∴AB的中点的极径ρ=ρA+ρB2=2cosθ+√32sinθ，ρ2=2ρcosθ+√32ρsinθ，∴x2+y2=2x+√32y，即AB的中点轨迹的直角坐标方程为x2y2-2x-√32y=0．【解析】（Ⅰ）根据|AB|=|ρA-ρB|可得；（Ⅱ）根据ρ中=得中点轨迹的极坐标方程，再根据互化公式化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）＜|x|+1，所以|2x-1|＜|x|+1，即{x≥122x−1＜x+1，或{0＜x＜121−2x＜x+1，或{1−2x<−x+1x≤0，解得12≤x＜2，或0＜x＜12，或∅．所以不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）因为|x-y-1|≤13，|2y+1|≤16，所以f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2×13+16=56．【解析】（Ⅰ）由条件|2x-1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
素养提升练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·福州一中二模)已知i 为虚数单位，则i1＋i的实部与虚部之积等于( ) A ．－14 B.14 C.14i D ．－14i 答案 B 解析 因为i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，所以i 1＋i的实部与虚部之积为12×12＝14.故选B. 2．(2019·汉中二模)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0，x ∈Z }，B ＝{m,2}，若A ⊆B ，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 A ＝{x |1<x <4，x ∈Z }＝{2,3}，又A ⊆B ， ∴m ＝3.故选C.3．(2019·皖江名校联考)2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少； ③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 2017年的快递业务总数为242.4＋948＋9.6＝1200万件，故2018年的快递业务总数为1200×1.25＝1500万件，故①正确．由此2018年9～12月同城业务量完成件数为1500×20%＝300万件＞242.4万件，所以比2017年有所提升，故②错误.2018年9～12月国际及港澳台业务量为1500×1.4%＝21万件，21÷9.6＝2.1875，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，故③正确．综上所述，正确的结论有2个，故选B.4．(2019·株洲一模)在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为( ) A.16 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 由x 2－x <0，得0<x <1.∴在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为1－02－(－2)＝14.故选D.5．(2019·安阳一模)设F 1，F 2分别为离心率e ＝5的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 A解析 由题意知e ＝5＝c a ，∴ba ＝2，故渐近线方程为y ＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝2x ，得y ＝±2c 5，由双曲线与圆的对称性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c 5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又5＝ca ，得a ＝1，c ＝5，b ＝2，故选A.6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 7．(2019·马鞍山一模)函数f (x )＝sin xx ＋x 2－2|x |的大致图象为( )答案 D解析 f (1)＝sin1＋1－2＝sin1－1<0，排除B ，C ，当x ＝0时，sin x ＝x ＝0，则x →0时，sin x x →1，f (x )→1＋0＝1，排除A ，故选D.8．(2019·南宁二模)已知△ABC 的一内角A ＝π3，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设AO →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 由题意可知，O 为△ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆O 中，∠CAB 所对应的圆心角为2π3，点B ，C 为定点，点A 为优弧上的动点，则点A ，B ，C ，O 满足题中的已知条件，延长AO 交BC 于点D ，设AO →＝λAD →，由题意可知，AD →＝1λAO →＝m λAB →＋n λAC →，由于B ，C ，D 三点共线，据此可得，m λ＋n λ＝1，则m ＋n ＝λ，则m ＋n 的最大值即λ＝|AO →||AD →|的最大值，由于|AO →|为定值，故|AD →|最小时，m ＋n 取得最大值，由几何关系易知当AB ＝AC 时，|AD →|取得最小值，此时λ＝|AO →||AD →|＝23.故选A.9．(2019·合肥二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析 解法一：如图所示，以线段F 1A 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －c 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，化为x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0.直线F 1B 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，联立⎩⎨⎧bx －cy ＋bc ＝0，x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac 2－b 2c a 2，abc －b 3＋a 2b a 2， k AP ＝abc ＋bc 2ac 2－b 2c －a 3，kF 2B ＝－bc . ∵F 2B ∥AP ，∴ac ＋c 2ac 2－b 2c －a 3＝－1c ， 化为e 2＝12，e ∈(0,1)，解得e ＝22.故选D. 解法二：F 1A 为圆的直径，∴∠F 1P A ＝90°. ∵F 2B ∥AP ，∴∠F 1BF 2＝90°，∴2a 2＝(2c )2，解得e ＝22.故选D.10．(2019·郑州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，则y ＝sin x 的图象向左平移________个单位，可以得到y ＝cos(x ＋a ＋b )的图象．( )A.π4B.π3C.π2 D ．π 答案 D解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，故f (x )＝f (－x )，所以sin(x ＋a )＝cos(－x ＋b )＝cos(x －b )，整理得2k π＋a ＝π2－b (k ∈Z )，所以a ＋b ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则y ＝cos(x ＋a ＋b )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π2＝－sin x ，即y ＝sin x 的图象向左平移π个单位， 得到y ＝sin(x ＋π)＝－sin x .故选D.11．(2019·大同一模)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，AB ⊥AC ，则该三棱锥体积的最大值是( )A.323B.163C.643 D ．64 答案 A解析 设AB ＝m ，AC ＝n ，则S △ABC ＝12mn ，△ABC 外接圆的直径为m 2＋n 2，如图，三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×12mn ×PO 1＝13×12mn ×⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3≤13×m 2＋n 24⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3，设t ＝m 2＋n 24，则f (t )＝13t (9－t ＋3)，f ′(t )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9－t －t 29－t ＋3，令f ′(t )＝0，得t ＝8，f (t )在(0,8)上递增，在[8,9]上递减，∴f (t )max ＝f (8)＝323，即该三棱锥体积的最大值是323.故选A.12．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1} D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} 答案 D解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．(1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况． 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·宝鸡二模)已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α的值为________．答案3 5解析因为曲线f(x)＝23x3，所以函数f(x)的导函数f′(x)＝2x2，可得f′(1)＝2，因为曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，所以tanα＝f′(1)＝2，所以sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α－12tanα＋1＝4－14＋1＝35.14．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．答案 5解析第一次循环，S＝12，x＝2；第二次循环，S＝12＋22＝32，x＝3；第三次循环，S＝32＋32＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋42＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5.15．(2019·郴州二模)某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种．答案156解析安排6名老师到4个班，其中按1,1,2,2分法，共有C16C15C24C22＝180种，刘老师和王老师分配到一个班，共有C14C13A22＝24种，所以刘老师和王老师不在一起的安排方案有180－24＝156种．16．(2019·海南二模)已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且BE ＝3，则菱形ABCD 面积的最大值为________．答案 12解析 设AE ＝x ，则AB ＝AD ＝2x ，∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴⎩⎨⎧ AB ＋AE >BE ，AB －AE <BE ，即⎩⎨⎧ 2x ＋x >3，2x －x <3⇒⎩⎨⎧x >1，x <3，∴x ∈(1,3)，设∠BAE ＝θ，在△ABE 中，由余弦定理可知9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos θ，即cos θ＝5x 2－94x 2，S菱形ABCD ＝2x ·2x ·sin θ＝4x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝－9(x 4－10x 2＋9)，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，则S 菱形ABCD ＝－9[(t －5)2－16]， 当t ＝5时，即x ＝5时，S 菱形ABCD 有最大值12.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·潍坊市三模)设数列{a n }满足a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2＋2n ＋1a n 的前n 项和S n .解 (1)由n ＝1得a 1＝2， 因为a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n ，当n ≥2时，a 1·2a 2·3a 3·…·(n －1)a n －1＝2n －1， 由两式作商得，a n ＝2n (n >1且n ∈N *)， 又因为a 1＝2符合上式， 所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)设b n ＝2＋2n ＋1a n ，则b n ＝n ＋n ·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n )， 设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， ①所以2T n ＝22＋2·23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， ② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以S n ＝T n ＋n (n ＋1)2， 即S n ＝(n －1)·2n ＋1＋n (n ＋1)2＋2.18．(本小题满分12分)(2019·湖南、湖北八市十二校联合调研)近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：(1)根据散点图判断，在推广期内y ＝a ＋bx 与y ＝c ·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2：表2：8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．参考数据：⎝ ⎛⎭⎪其中v i ＝lg y i ，v －＝17∑i ＝1v i 参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝∑ni ＝1u i v i －n u －v－∑n i ＝1u 2i －n u－2，a ^＝v －－β^u －.解 (1)根据散点图判断，y ＝c ·d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型．(2)∵y ＝c ·d x ，两边同时取常用对数得，lg y ＝lg (c ·d x )＝lg c ＋x lg d ； 设lg y ＝v ，∴v ＝lg c ＋x lg d ，∵x －＝4，v －＝1.54，∑7i ＝1x 2i ＝140，∴lg d ^＝∑7i ＝1x i v i －7x v∑7i ＝1x 2i －7x －2＝50.12－7×4×1.54140－7×42＝728＝0.25.把样本中心点(4,1.54)代入v ＝lg c ＋x lg d ，得 lg c^＝0.54 ， ∴v^＝0.54＋0.25x ，∴lg y ^＝0.54＋0.25x ， ∴y 关于x 的回归方程式为y ^＝100.54＋0.25x ＝100.54×(100.25)x ＝3.47×100.25x ， 把x ＝8代入上式，y ^＝3.47×102＝347. 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4， P (Z ＝2)＝0.1；P (Z ＝1.8)＝0.3×12＝0.15；P (Z ＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7；P (Z ＝1.4)＝0.3×16＝0.05， 分布列为：2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．19．(本小题满分12分)(2019·广州市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且AD＝PB.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)若AD⊥PB，求二面角D－PB－C的余弦值．解(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AD＝AB＝BD.因为O为AD的中点，所以OB⊥AD.在△APD中，∠APD＝90°，O为AD的中点，所以PO＝12AD＝AO.设AD＝PB＝2a，则OB＝3a，PO＝OA＝a，因为PO2＋OB2＝a2＋3a2＝4a2＝PB2，所以OP⊥OB.因为OP∩AD＝O，OP⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，所以OB⊥平面P AD.因为OB⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD.(2)解法一：因为AD⊥PB，AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .由(1)得PO ⊥OB ，AD ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0,1)， 所以PD →＝(－1,0，－1)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝AD →＝(－2,0,0)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝－x 1－z 1＝0，n ·PB →＝3y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则x 1＝－3，z 1＝3， 所以n ＝(－3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝－2x 2＝0，m ·PB →＝3y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝3， 所以m ＝(0,1，3)．设二面角D －PB －C 为θ，由于θ为锐角， 所以|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝42×7＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277. 解法二：因为AD ⊥PB ， AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .所以PO ＝a ，PD ＝2a . 过点D 作DH ⊥PB ，H 为垂足，过点H 作HG ∥BC 交PC 于点G ，连接DG ，因为AD ⊥PB ，BC ∥AD ， 所以BC ⊥PB ，即HG ⊥PB .所以∠DHG 为二面角D －PB －C 的平面角． 在等腰△BDP 中，BD ＝BP ＝2a ，PD ＝2a ， 根据等面积法可以求得DH ＝72a . 进而可以求得PH ＝12a ， 所以HG ＝12a ，PG ＝22a .在△PDC 中，PD ＝2a ，DC ＝2a ，PC ＝22a ， 所以cos ∠DPC ＝PD 2＋PC 2－DC 22PD ·PC＝34.在△PDG 中，PD ＝2a ，PG ＝22a ，cos ∠DPC ＝34， 所以DG 2＝PD 2＋PG 2－2PD ·PG ·cos ∠DPG ＝a 2，即DG ＝a . 在△DHG 中，DH ＝72a ，HG ＝12a ，DG ＝a ，所以cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·HG ＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277.20．(本小题满分12分)(2019·扬州一模)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－2，y )， ∴OP →＝(x ，y )，OQ →＝(－2，y )．∵OP →·OQ →＝0，∴OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x . 所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T .设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，∴x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2， ∴直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋2x 21－2x 1＋12x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0，解得x 3＝14x 1或x 3＝x 1.∵x 3＝14x 1＝x 2，∴BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB . ∴S △MBD ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|2y 2|，且△MBD 的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|， ∴S △MBD ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|·r ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|2y 2|， ∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝11x 2＋12＋1y 22＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12，令t ＝x 2＋12，则t >1， ∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1＝2－1， 即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝ln x 2－ax ＋bx (a ，b >0)，对任意x >0，都有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝ln x 2－ax ＋b x ＋ln 2x －4a x ＋xb 4＝0，得b ＝4a ，f (x )＝ln x 2－ax ＋4a x ，f ′(x )＝1x －a －4a x 2＝－ax 2＋x －4ax 2(x >0)．令h (x )＝－ax 2＋x －4a ，若Δ＝1－16a 2≤0时，求得a ≥14，此时h (x )≤0，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．若Δ＝1－16a 2＞0，即0<a <14时，h (x )有两个零点， x 1＝1－1－16a 22a >0，x 2＝1＋1－16a 22a >0，h (x )开口向下，当0<x <x 1时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x 1<x <x 2时，h (x )＞0，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >x 2时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥14时，f (x )单调递减；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增．(2)由(1)知当a ≥14时，f (x )单调递减，不可能有三个不同的零点；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (2)＝ln 22－2a ＋2a ＝0，又x 1x 2＝4，有x 1<2<x 2，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (x 1)<f (2)＝0，f (x 2)>f (2)＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3， 令g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3，g ′(a )＝－4a 2a 2＋1a 2＋12a 2＝12a 4－2a ＋1a 2，令h (a )＝12a 4－2a ＋1，h ′(a )＝48a 3－2，由h ′(a )＝48a 3－2＝0，求得a 0＝1324>14，当0<a <14时，h (a )单调递减，h (a )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝364－12＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递增， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3ln 2－4＋116<0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2<0，f (x 2)>0，1a 2>x 2， 由零点存在性定理知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1a 2有一个根，设为x 0， 又f (x 0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0,0<4x 0<x 1，4x 0是f (x )的另一个零点，故当0<a <14时，f (x )存在三个不同的零点，分别为4x 0，2，x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郴州三模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)，点M (0，－2)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其形状；(2)曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，若1|MA |＋1|MB |＝174，求sin α的值． 解 (1)由ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4cos θ－4sin θ，所以ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.即x 2＋y 2＝4x －4y ，(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.所以曲线C 2是以(2，－2)为圆心，22为半径的圆． (2)将⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α代入(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.整理得t 2－4t cos α－4＝0.设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝－4.1|MA |＋1|MB |＝|MA |＋|MB ||MA ||MB |＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2|4＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 24＝16cos 2α＋164＝174. 解得cos 2α＝116，则sin α＝154.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·郴州三摸)已知f (x )＝|ax ＋2|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3x 的解集； (2)若f (1)≤M ，f (2)≤M ，证明：M ≥23.解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>3x 可化为|2x ＋2|>3x . 当x ≤－1时，－2x －2>3x ，x <－25，所以x ≤－1；当x>－1时，2x＋2>3x，x<2，所以－1<x<2.所以不等式f(x)>3x的解集是(－∞，2)．(2)证明：由f(1)≤M，f(2)≤M，得M≥|a＋2|，M≥|2a＋2|，3M＝2M＋M≥2|a＋2|＋|2a＋2|，又2|a＋2|＋|2a＋2|≥|4－2|＝2，所以3M≥2，即M≥2 3.。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
专题四 导数及其应用、定积分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 2．(2019·陕西九校质量考评)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ex ，x ≥0，－x ，x ＜0，又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2＋1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋1e ，－2D.⎝⎛⎭⎪⎫2，e 2＋1e 答案 A解析 由已知有f (x )＝xe x (x ≥0)，f ′(x )＝1－x e x ， 易得0≤x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0， 即f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1， 设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，等价于t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0＜m 2＜1e ＜m 1，即h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＜0，解得t ＜－e 2＋1e ，故选A.3．(2019·福建漳州高三下学期第二次教学质量监测)已知f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4，g (x )＝x 2－3a e x ，A ＝{x |f (x )＝0}，B ＝{x |g (x )＝0}，若存在x 1∈A ，x 2∈B ，使得|x 1－x 2|＜1，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13e ，43e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，83e 2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，8e 2 答案 B解析 因为f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4＝(e x －e 2)(e x ＋2e 2)，令f (x )＝0，解得x 1＝2， 又|x 1－x 2|＜1，则|2－x 2|＜1，即1＜x 2＜3，即g (x )＝x 2－3a e x 在(1,3)上存在零点， 即x 2－3a e x ＝0在(1,3)上有解， 得3a ＝x 2e x 在(1,3)上有解， 设h (x )＝x 2e x ，x ∈(1,3)， 由h ′(x )＝x (2－x )e x ，所以h (x )在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数， 又h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3＞h (1)， 所以1e ＜h (x )≤4e 2，所以只需1e ＜3a ≤4e 2， 即13e ＜a ≤43e 2，故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0答案 C解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C.5. (2019·娄底二模)如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则( )A ．P 1<P 2B ．P 1>P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定答案 B解析 根据题意，阴影部分的面积的一半为⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2－1， 于是此点取自阴影部分的概率为P 1＝2×2－1π2＝4(2－1)π＞4(1.4－1)3.2＝12.又P 2＝1－P 1<12，故P 1>P 2.故选B.6．(2019·内江一模)若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ， f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则f ′(x )＝3x 2＋1x －1， 则有k ＝f ′(1)＝3，则tan θ＝3， 又由0≤θ<π，则θ＝π3.故选B.7．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14 f (x )d x ＝( )A.14B.143 C ．7 D.212 答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14f (x )d x ＝⎠⎛-11x |x |d x ＋⎠⎛14x d x ＝0＋23x 32 ⎪⎪⎪41＝143.故选B.8．(2019·益阳市高三期末)已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若恒成立，则m 的最大值为( ) A ．e B. e C.1e D ．1 答案 A解析 对不等式两边同时取对数得ln<ln，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，即ln x 1x1<ln x 2x 2恒成立，设f (x )＝ln xx ，x ∈(0，m )，∵x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，则函数f (x )在(0，m )上为增函数，函数的导数f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，由f ′(x )>0得1－ln x >0得ln x <1，得0<x <e ，即函数f (x )的增区间为(0，e)，则m 的最大值为e.故选A.9．(2019·大庆铁人中学高三一模)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，导函数记为f ′(x )，当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为－45，则f (1)＝( )A.25B.35C.45 D ．1 答案 A解析 当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，可得x >1时,2f (x )＋xf ′(x )>0；1>x >0时，2f (x )＋xf ′(x )<0，令g(x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)．∴g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]，可得x >1时，g ′(x )>0；1>x >0时，g ′(x )<0，可得函数g(x )在x ＝1处取得极小值，∴g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0，f ′(1)＝－45，∴f (1)＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝25.故选A.10．(2019·江西新余四中、上高二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 66B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 63 答案 B解析 结合题意可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)可以转换为f (2mx －ln x －3)≥f (3)对应于x ∈[1,3]恒成立，即|2mx －ln x －3|≤3，即0≤2mx －ln x ≤6对x ∈[1,3]恒成立， 即2m ≥ln xx 且2m ≤6＋ln x x 对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 在[1，e)上递增，在(e,3]上递减．所以g (x )max ＝1e .令h (x )＝6＋ln x x ，则当x ∈[1,3]时，h ′(x )＝－5－ln xx 2<0，故h (x )在[1,3]上递减．所以h (x )min ＝6＋ln 33.故m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36.故选B.11．(2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立， 即a ≤xln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e ]．故选C.12．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知函数f (x )＝2x ＋e 2x －k ，g (x )＝ln (2x ＋4)－4e k －2x (e 为自然对数的底数)，若关于x 的不等式f (x )≤g (x )＋1有解，则k 的值为( )A ．－2－ln 2B ．2－ln 2C ．－3－ln 2D ．3－ln 2 答案 C解析 由f (x )≤g (x )＋1即e 2x －k ＋4e k －2x ≤ln (2x ＋4)－2x ＋1(x >－2)， (*) 而e2x －k＋4e k －2x ≥2e2x －k·4ek －2x＝4，当且仅当e2x －k＝2，即x ＝ln 2＋k2.记h (x )＝ln (2x ＋4)－2x ＋1，则h ′(x )＝1x ＋2－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，得h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝4，若(*)成立，则x ＝ln 2＋k 2＝－32，得k ＝－3－ln 2.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·武邑中学二调)设函数f (x )＝x 3－3x 2－ax ＋5－a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤13，54解析 设g (x )＝x 3－3x 2＋5，h (x )＝a (x ＋1)， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， 当x ＜0或x ＞2时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝2时，g (x )取得极小值g (2)＝1， 作出g (x )与h (x )的函数图象如图：显然当a ≤0时，g (x )＞h (x )在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )＝g (x )－h (x )＜0无正整数解；要使存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，显然x 0＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥h (1)，g (2)＜h (2)，g (3)≥h (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2a ，1＜3a ，5≥4a ，解得13＜a ≤54.14．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .15．(2019·武汉市二月调研)函数y ＝x ln (x ＋a )的图象在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，则实数a 的值为________．答案 e解析 y ′＝ln (x ＋a )＋xx ＋a，当x ＝0时，y ＝ln a ＝1，解得a ＝e. 16．(2019·江苏南通重点中学模拟)若函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”．已知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则实数m 的值为________．答案 4解析 根据题意，由于函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”，则可知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则在给定区间是递增函数，开口向上，则对称轴－4－m2≤0，∴m ≤4，g (x )x ＝x 2＋(4－m )x ＋m x ＝x ＋m x ＋4－m 在(0,2]上单调递减，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫g (x )x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋4－m ′＝1－m x 2≤0，x ∈(0,2]，∴1－m 4≤0，m ≥4.综上所得m ＝4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·漳州质量监测)已知函数f (x )＝x ln x . (1)若函数g (x )＝f (x )x 2－1x ，求g (x )的极值； (2)证明：f (x )＋1＜e x －x 2.(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，e32 ≈4.48，e 2≈7.39)解 (1)∵g (x )＝ln x －1x (x ＞0)， 故g ′(x )＝2－ln xx 2，令g ′(x )＞0，解得0＜x ＜e 2， 令g ′(x )＜0，解得x ＞e 2，故g (x )在(0，e 2)单调递增，在(e 2，＋∞)单调递减， 故g (x )的极大值＝g (e 2)＝1e 2. (2)证明：要证f (x )＋1＜e x －x 2. 即证e x －x 2－x ln x －1＞0，先证明ln x ≤x －1，取h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1－xx ，易知h (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，故h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故x ln x ≤x (x －1)，e x －x 2－x ln x －1≥e x －2x 2＋x －1，故只需证明当x＞0时，e x－2x2＋x－1＞0恒成立，令k(x)＝e x－2x2＋x－1(x≥0)，则k′(x)＝e x－4x＋1，令F(x)＝k′(x)，则F′(x)＝e x－4，令F′(x)＝0，解得x＝2ln 2，故x∈(0,2ln 2]时，F′(x)≤0，F(x)单调递减，即k′(x)单调递减，x∈(2ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，即k′(x)单调递增，且k′(2ln 2)＝5－8ln 2＜0，k′(0)＝2＞0，k′(2)＝e2－8＋1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈(0,2ln 2)，∃x2∈(2ln 2,2)，使得k′(x1)＝k′(x2)＝0，故0＜x＜x1或x＞x2时，k′(x)＞0，k(x)单调递增，当x1＜x＜x2时，k′(x)＜0，k(x)单调递减，故k(x)的最小值是k(0)＝0或k(x2)，由k′(x2)＝0，得e x2＝4x2－1，k(x2)＝e x2－2x22＋x2－1＝－(x2－2)(2x2－1)，∵x2∈(2ln 2,2)，∴k(x2)＞0，故x＞0时，k(x)＞0，原不等式成立．18．(本小题满分12分)(2019·张掖一诊)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．解(1)因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，所以f′(x)＝1x＋2ax＋b，因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)因为f ′(x )＝(2ax －1)(x －1)x .令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，当12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. 当a ＞0，x 2＝12a ＞0；当12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增．所以最大值1可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2.当1≤12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，e上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾， 当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，不符合题意．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2. 19．(本小题满分12分)(2019·四川成都一诊)已知函数f (x )＝－a ln x －e xx ＋ax ，a ∈R .(1)当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立，求实数b的取值范围．解 (1)由题意，知f ′(x )＝－a x －x e x－exx 2＋a ＝(ax －e x)(x －1)x 2.∵当a <0，x >0时，有ax －e x <0.∴当x >1时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立．即x e x －ln x ＋(1－b )x ≥1恒成立， 即b －1≤e x －ln x x －1x 恒成立， 令g (x )＝e x －ln x x －1x .则g ′(x )＝e x－1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x＋ln x x 2.令h (x )＝x 2e x＋ln x ．则h ′(x )＝(x 2＋2x )e x＋1x .∵当x >0时，有h ′(x )>0. ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且 h (1)＝e>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 4－ln 2<0.∴函数h (x )有唯一的零点x 0，且12<x 0<1.∴当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 即g (x 0)为g (x )在定义域内的最小值． ∴b －1≤e x 0 －ln x 0x 0－1x 0.∵h (x 0)＝0，得x 0e x 0 ＝－ln x 0x 0，12<x 0<1.(*)令k (x )＝x e x ，12<x <1.∴方程(*)等价于k (x )＝k (－ln x )，12<x <1. 而k ′(x )＝(x ＋1)e x 在(0，＋∞)上恒大于零， ∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增．故k (x )＝k (－ln x )等价于x ＝－ln x ，12<x <1. 设函数m (x )＝x ＋ln x ，12<x <1.易知m (x )单调递增．又m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0，m (1)＝1>0，∴x 0是函数m (x )的唯一零点． 即ln x 0＝－x 0，e x 0 ＝1x 0.故g(x)的最小值g(x0)＝e x0－ln x0x0－1x0＝1x0－(－x0)x0－1x0＝1.∴实数b的取值范围为(－∞，2]．20．(本小题满分12分)(2019·开封模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1e x.(1)当a＝b＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(1)＝1，且方程f(x)＝1在区间(0,1)内有解，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－1e x，当a＝b＝1时，f′(x)＝－x2＋xe x，f′(x)>0，得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上单调递增；f′(x)<0，得x<0或x>1，∴f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)的极小值为f(0)＝1，极大值为f(1)＝3e.(2)由f(1)＝1得b＝e－1－a，由f(x)＝1得e x＝ax2＋bx＋1，设g(x)＝e x－ax2－bx－1，则g(x)在(0,1)内有零点，设x0为g(x)在(0,1)内的一个零点，由g(0)＝g(1)＝0知g(x)在(0，x0)和(x0,1)不单调．设h(x)＝g′(x)，则h(x)在(0，x0)和(x0,1)上均存在零点，即h(x)在(0,1)上至少有两个零点．g′(x)＝e x－2ax－b，h′(x)＝e x－2a，当a≤12时，h′(x)>0，h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)不可能有两个及两个以上零点，当a≥e2时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)不可能有两个及两个以上零点，当12<a<e2时，令h′(x)＝0得x＝ln (2a)∈(0,1)，∴h (x )在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，1)上单调递增，h (x )在(0,1)上存在最小值h (ln (2a ))，若h (x )有两个零点，则有h (ln (2a ))<0，h (0)>0，h (1)>0， h (ln (2a ))＝3a －2a ln (2a )＋1－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<a <e 2，设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1<x <e)，则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1<x <e 时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增； 当e<x <e 时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减． ∴φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e<0， ∴h (ln (2a ))<0恒成立．由h (0)＝1－b ＝a －e ＋2>0，h (1)＝e －2a －b >0，得e －2<a <1.21．(本小题满分12分)(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝e －x －ax (x ∈R )，g (x )＝ln (x ＋m )＋ax ＋1.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈(－m ，＋∞)，恒有f (－x )≥g (x )成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝e －x ＋x ，则 f ′(x )＝－1e x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当x <0时，f ′(x )<0；当x >0时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝0时，函数f (x )取得最小值，其值为f (0)＝1. (2)由(1)得，e x ≥x ＋1恒成立．f (－x )≥g (x )⇒e x ＋ax ≥ln (x ＋m )＋ax ＋1⇒e x ≥ln (x ＋m )＋1.①当x ＋1≥ln (x ＋m )＋1恒成立时，即m ≤e x －x 恒成立时，条件必然满足． 设G (x )＝e x －x ，则G ′(x )＝e x －1，在区间(－∞，0)上，G ′(x )<0，G (x )是减函数，在区间(0，＋∞)上，G ′(x )>0，G (x )是增函数，即G (x )的最小值为G (0)＝1.于是当m ≤1时，条件满足．②当m >1时，f (0)＝1，g (0)＝ln m ＋1>1，即f (0)<g (0)，条件不满足． 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．22．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设函数f (x )＝e x cos x ，g (x )为f (x )的导函数．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0；(3)设x n 为函数u (x )＝f (x )－1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π4，2n π＋π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.解 (1)由已知，有f ′(x )＝e x (cos x －sin x )． 因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )时，有sin x <cos x ，得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .依题意及(1)，有g (x )＝e x (cos x －sin x )， 从而g ′(x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0.因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0.(3)证明：依题意，u (x n )＝f (x n )－1＝0，即e x n cos x n ＝1. 记y n ＝x n －2n π，则y n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且f (y n )＝e y n cos y n ＝e x n －2nπcos(x n －2n π)＝e －2n π(n ∈N )． 由f (y n )＝e －2n π≤1＝f (y 0)及(1)，得y n ≥y 0. 由(2)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，因此g (y n )≤g (y 0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.又由(2)知，f (y n )＋g (y n )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y n ≥0，故π2－y n ≤－f (y n )g (y n )＝－e －2n πg (y n )≤－e －2n πg (y 0)＝e －2n πe y 0 (sin y 0－cos y 0)<e －2n πsin x 0－cos x 0.所以2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.。
2019-2020年高考数学一模试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．4．设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4D．410．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C． D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是（用数字作答）．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．17．为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．21．已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．2016年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由题设条件先求集合M和N，再由交集的运算法则计算M∩N．【解答】解：由题意知M={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，解题时要认真审题，注意对数函数定义域的求法．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数定义是法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z•i=2﹣i，∴﹣i•z•i=﹣i（2﹣i），∴z=﹣1﹣2i，则z的共轭复数=﹣1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数定义是法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的坐标的加减运算求出，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求出m的值．【解答】解：由，所以=．再由（a﹣b）⊥b，所以=．所以m=．故选B．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量减法的坐标运算，是基础题．4．设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据导数几何意义得到曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率g（x），再研究函数y=x2g（x）的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．【解答】解：曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），∴g（x）=cosx，则函数y=x2g（x）=x2•cosx，设f（x）=x2•cosx，则f（﹣x）=f（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B．令x=0，得f（0）=0．排除D．故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及考查学生识别函数的图象的能力，属于基础题．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：由框图，模拟执行程序，可得：S=0，i=1S=1，i=2满足条件S＜30，S=4，i=3满足条件S＜30，S=11，i=4满足条件S＜30，S=26，i=5满足条件S＜30，S=57，i=6不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．故选：C．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题，是算法中一种常见的题型，属于基础题．8．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（﹣2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于中档题．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；换元法；不等式的解法及应用．【分析】运用换元法，设x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+），再由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：可令x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得x，y同号，s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+）≤4﹣2=4﹣2，当且仅当t2=2s2，取得等号，即有所求最大值为4﹣2．故选：C．【点评】本题考查最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．10．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C． D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】化简得b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；从而得（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna ﹣a2﹣（c+2））2表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．【解答】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；∴（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，其表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnx﹣x2与函数y=x+2的图象如下，∵（3lnx﹣x2）′=﹣2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，﹣1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8；故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是﹣64（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（3﹣2x）5的展开式的通项公式：T r+1=35﹣r（﹣2x）r，令r=5，可得：（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数为2×（﹣2）5=﹣64．故答案为：﹣64．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED=×1×1=，S△ABC=S△ABE=×1×=，S△ACD=×1×=，故答案为：【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465．【考点】进行简单的合情推理．【专题】规律型．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．【点评】本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（Ⅱ）∵C=，a+b=13，c=7，∴由余弦定理可得：72=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=132﹣3ab，解得：ab=40，∴S △ABC=absinC=40×=10．【点评】本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题．17．为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．【解答】解：（Ⅰ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，…设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，则；…（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．，，，，…所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．19．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明． 【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1， ∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1， ∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为． ∴．（II ）证明：b n ====，∴数列{b n}的前n项和为T n=++…+=．∴T n＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）化简函数，的表达式，求出函数的导数，求出极值点以及端点的函数值，然后求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）求出函数H（x）的值域为R．求出在[s，+∞）单调递增，其值域为．然后求解函数的值域，通过（1）若s＞e，求解值域，（2）若0＜s≤e，函数的值域，判断是否满足题意，推出实数s的取值集合．【解答】解：（Ⅰ）函数．函数，F（x）=x2﹣lnx，x，令F′（x）=0，得．∴，F（2）=4﹣ln2，且，∴x=2时，函数F（x）取得最大值，最大值为4﹣ln2．…（Ⅱ）∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，∴函数H（x）的值域为R．函数在[s，+∞）单调递增，其值域为．函数，．当x=e时，y'=0．当x＞e时，y'＜0，函数在[e，+∞）单调递减，当0＜x＜e时，y'＞0，函数在（0，e）单调递增．…（1）若s＞e，函数在（0，e）单调递增，在（e，s）单调递减，其值域为，又，不符合题意；（2）若0＜s≤e，函数在（0，s）单调递增，其值域为，由题意得，即s2﹣2elns≤0；令u（s）=s2﹣2elns，．当时，u'（s）＞0，u（s）在单调递增；当，u'（s）＜0，u（s）在单调递减．∴时，u（s）有最小值，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当时，u （s）=0）．由（1）（2）得，u（s）=0，所以．综上所述，实数s的取值集合为．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．21．已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；分析法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆离心率，，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设AB的中点D（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），求出x0，y1+y2=2y0．（y0≠0）又A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆C上，利用平方差法，推出．通过D在椭圆C内部，得到，求出m的范围．（Ⅲ）推出S△TMN==|t|，S△TEF=，利用，通过二次函数的最值求解k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆离心率，又，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，∴椭圆方程：．．…（Ⅱ）设AB的中点D（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x0=2，所以x0=1，y1+y2=2y0．（y0≠0）又A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆C上，所以由②﹣①得，即．…即，l1：y=4y0x+m．当x0=1时，y0=4y0+m，所以．所以D点的坐标为．又D在椭圆C内部，所以，解得且m≠0．…（Ⅲ）因为S△TMN==|t|，直线方程为：y=，联立，得x E=，所以E（，）到直线3x﹣ty﹣t=0的距离d==，直线方程为：y=，联立，得x F=，所以F（，），∴|TF|==，∴S△TEF==••=，所以=，令t2+12=n＞12，则=，当且仅当n=24，即等号成立，所以k的最大值为．…【点评】本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，二次函数的最值的求法，难度比较大．。
2019年福建省三明市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知复数z满足（2+i）z＝﹣i（i是虚数单位则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣1＜4}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，4）D．（1，4）3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，且＝2，设＝，＝，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为（）A．3B．4C．5D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，2，则输出的S是（）A．70B．29C．12D．56．（5分）下列数值最接近的是（）A．B．C．D．7．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°以下能使A1C⊥BC1的是（）A．AB＝AC B．AA1＝AC C．BB1＝AB D．CC1＝BC8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象．如图是y＝g（x）的部分图象，其中A，B是其与x轴的两个交点，C是其上的点，|OA|＝1，且△ABC是等腰直角三角形．则ω与φ的值分别是（）A．B．C．D．9．（5分）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线与中心在原点的双曲线C交于A，B两点，F是C的右焦点，若＝0则C的离心率为（）A．B．C．2D．11．（5分）依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示．以下关于该2018年家庭收入的判断，一定正确的是（）A．至少有60%的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B．收入最低的那20%的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的3.6%C．收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%D．收入最低的那50%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的20%12．（5分）已知函数f（x）的定义域为，其导函数为f'（x）．若f'（x）＝tan x •[f（x）+x]，且f（0）＝0，则下列结论正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）有极大值D．f（x）有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数，则f（f（1））＝．14．（5分）（2x2+x﹣1）5的展开式中，x3的系数为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为．16．（5分）已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积最大时，其外接球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设b n＝log2（S3n+2），数列的前n项和为T n，求证．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABCD是边长为3的菱形．（1）求证：CD∥EF（2）若EF⊥DE，∠BAD＝60°，∠DAE＝30°，AE＝2，CF＝2，求二面角F﹣BC ﹣A的余弦值．19．（12分）某居民区有一个银行网点（以下简称“网点”），网点开设了若干个服务窗口，每个窗口可以办理的业务都相同，每工作日开始办理业务的时间是8点30分，8点30分之前为等待时段，假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点相互独立，根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；（2）假设网点共有1000名储户，将频率视作概率，若不考虑新增储户的情况，解决以下问题：①试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；②储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的服务窗口排队办理业务．记“每工作日上午8点30分时网点每个服务窗口的排队人数（包括正在办理业务的储户）都不超过3为事件A，要使事件A的概率不小于0.75则网点至少需开设多少个服务窗口？参考数据：＝0.3284；＝0.1596；20．（12分）已知F（1，0），P是动点，以PF为直径的圆与圆O：x2+y2＝4内切（1）求P的轨迹E的方程；（2）设A，B是圆O与x轴的交点，过点的直线与E交于M，N两点，直线AM交直线x＝8于点T，求证：B，N，T三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（x﹣ae x）（a＞0）．（1）讨论f（x）极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且（x1+1）（x2+1）+m（x1+x2+2）＜0，求实数m 的取值范围．（二）选考题：本题满分10分，请考生在（22、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，圆C1的参数方程为，（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求C1的极坐标方程；（2）设l与C1，C2异于原点的交点分别是M，N，求△C2MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}＝R，求实数a的取值范围．2019年福建省三明市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由（2+i）z＝﹣i，得z＝，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．【分析】集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|2x﹣1＜4}＝{x|x＜3}，B＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】由D在边AB上，且＝2，可得，然后将用和表示即可得解．【解答】解：∵，∴∴＝＝＝，又＝，＝，∴．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理，属基础题．4．【分析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z＝3x+2y变形为y＝﹣x+z，当此直线经过图中A（0，2）时，在y轴的截距最小，z最小，所以z的最小值为3×0+2×2＝4；故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法．5．【分析】根据程序框图的功能，利用模拟运算法进行计算即可．【解答】解：若a＝1，b＝2，S＝1+4＝5，a＝2，b＝5，n＝3，n＜2否，S＝2+10＝12，a＝5，b＝12，n＝2，n＜2否，S＝5+24＝29，a＝12，b＝29，n＝1，n＜2是，输出S＝29，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6．【分析】利用辅助角公式结合两角和差的三角公式进行化简即可．【解答】解：A.＝2（cos14°+sin14°）＝2sin74°＝2cos16°B.cos24°+sin24°＝2（cos24°+sin24°）＝2sin84°＝2cos6°C.cos64°+sin64°＝2（cos64°+sin64°）＝2sin124°＝2cos34°D.cos74°+sin74°＝2（cos74°+sin74°）＝2sin134°＝2sin46°＞2sin45°＝，则最接近的是cos74°+sin74°，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．7．【分析】利用线面垂直的性质可得AB⊥A1C，若AA1＝AC，可得A1C⊥AC1，利用线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，根据线面垂直的性质可证A1C⊥BC1，即可得解．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，即AB⊥AC，又AA1＝AB，AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面AA1C，又A1C⊂平面AA1C，所以AB⊥A1C，若AA1＝AC，则长方形AA1CC1为正方形，可得：A1C⊥AC1，又AB∩AC1＝A，所以A1C⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥BC1．故选：B．【点评】本题主要考查了线面垂直的性质，线面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．8．【分析】由三角函数图象的性质及三角函数解析式的求法得：由△ABC是等腰直角三角形．所以AB＝4，即＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，由中点坐标公式得线段AB的中点横坐标为＝1，所以φ＝，所以φ＝2k，k∈Z又|φ|＜，所以φ＝，得解．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝2sin[ω（x﹣）+φ]，由△ABC是等腰直角三角形．所以AB＝4，又A（﹣1，0），所以B（3，0），即＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，由中点坐标公式得线段AB的中点横坐标为＝1，所以φ＝，所以φ＝2k，k∈Z又|φ|＜，所以φ＝，故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数解析式的求法，属中档题．9．【分析】由几何概型中的面积型得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩＝8×5＝40，阴影部分的面积S阴＝（1﹣）++++＝+1，则P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：由由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩＝8×5＝40，阴影部分的面积S阴＝（1﹣）++++＝+1，设在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件A，则P（A）＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．10．【分析】设F（c，0），双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），联立直线方程求得A 的坐标，由直角三角形的性质，化简整理可得a＝b，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：设F（c，0），双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），直线代入双曲线方程可得A（，），若＝0，则AF⊥BF，即三角形ABF为直角三角形，可得|OF|＝|AF|，即c＝，又c＝，化简可得a＝b，即有e＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．【分析】设出所有家族年收入总和、家庭数，得出所有家庭的平均收入，基于条件“按年收入从低到高的顺序”的情况，逐一分析各选项的正误，从而得出结果．【解答】解：由各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比的条形图得：设所有家庭年收入总和为100，共有5n个家庭，则所有家庭的平均收入为＝，在A中，第四组、第五组家庭的平均收入均超过，∴极有可能第四组、第五组全部的家庭的收入均超过全部家庭的年平均收入，虽然第三组家庭平均年收入为，由于年收放从低到高的顺序排列，故仍然有可能存在部分家庭年平均收入超过，这样家庭年收入超过的比率有可能超过40%，故A错误；在B中，收入最低的那20%的家庭平均年收入为，为全部家庭平均收入的：＝18%，故B错误；在C中，收入最高的那30%的家庭数应为第四组一半家庭数和第五组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入大于14+44.6＝58.6，收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%，故C正确；在D中，收入最低的那50%的家庭数应该是第三组家庭数的一半第第一、二组家庭数的和，由于按年收入从低到高排列，∴总收入小于：3.6+8.9+7.45＝19.95，收入最低的那50%的家庭年收入总和不会超过全部家庭年收入总和的20%，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图及其性质等基础知识，考查学生阅读统计数表的能力运算求解能力，是基础题．12．【分析】f'（x）＝tan x•[f（x）+x]，x∈，化为：f'（x）cos x﹣f（x）sin x＝x sin x，即[f（x）cos x]′＝x sin x，可得：f（x）＝，利用导数研究其单调性即可得出结论．【解答】解：f'（x）＝tan x•[f（x）+x]，x∈，化为：f'（x）cos x﹣f（x）sin x＝x sin x，∴[f（x）cos x]′＝x sin x，令f（x）cos x＝sin x﹣x cos x+C，∵f（0）＝0，∴C＝0．∴f（x）cos x＝sin x﹣x cos x，化为：f（x）＝，又f'（x）＝tan x•[f（x）+x]＝tan x•[+x]＝tan2x≥0，∴函数f（x）在x∈上单调递增，故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程思想、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（1）＝2，进而可得f（f（1））＝f（2）＝22+2，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f（1）＝log2（5﹣1）＝log24＝2，则f（f（1））＝f（2）＝22+2＝6；故答案为：6．【点评】本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．14．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再根据通项公式，讨论r的值，即可求得x3项的系数．【解答】解：∵（2x2+x﹣1）5 ＝[（2x2+x）﹣1]5展开式的通项公式为T r+1＝•（2x2+x）5﹣r•（﹣1）r，当r＝0或1时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中无x3项；当r＝2时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中x3的系数为1；当r＝3时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中x3的系数为4；当r＝4或5时，二项式（2x2+x）5﹣r，展开式中无x3项；∴所求展开式中x3项的系数为1×+4×（﹣）＝﹣30．故答案为：﹣30．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．【分析】设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系得出A，B两点横坐标的关系，结合＝3求出A，B两点的横坐标，从而可得出AB的中点横坐标．【解答】解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝1．∵＝3，∴x1+1＝3（x2+1），解方程组可得x1＝3，x2＝，∴x1+x2＝，∴AB的中点的横坐标为＝．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，中点坐标公式，属于中档题．16．【分析】作出图形，由平面CAB与平面SAB垂直且CA＝CB时，三棱S﹣ABC的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O，利用几何关系计算出球O的半径，然后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB时，三棱锥S﹣ABC体积达到最大，如右图所示，则有，点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°⇒∠AEB＝90°，由正弦定理可知，，∴AE＝EB＝EC＝，延长CE交AB于点F，延长SD交AB于点F，∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，又∵OE＝DF＝，∴OA＝．∴．故答案为：．【点评】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；（2）求得b n＝log2（S3n+2）＝log223n+1＝3n+1，＝＝（﹣），由裂项相消求和和数列的单调性、不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a1＝2，a n+1＝S n+2，可得a2＝S1+2＝4，n≥2时，a n＝S n﹣1+2，又a n+1＝S n+2，两式相减可得a n+1﹣a n＝S n﹣S n﹣1＝a n，即a n+1＝2a n，可得a n＝a1q n﹣1＝2n；S n＝a n+1﹣2＝2n+1﹣2；（2）证明：b n＝log2（S3n+2）＝log223n+1＝3n+1，＝＝（﹣），前n项和为T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），由于＞0，可得T n＜，（﹣）为递增数列，可得T n≥T1＝，则．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）推导出CD∥AB，从而CD∥平面ABFE，由此能证明CD∥EF．（2）根据余弦定理和勾股定理得DE⊥AD，由EF⊥DE，AB∥CD，得DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，设AB中点为G，连结DG，DB，则DG⊥AB，DG⊥CD，作FH⊥CD 于点H，则HF＝DE＝，以D为坐标原点，DG、DC、DE所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴CD∥AB，又∵CD⊄平面ABEF，AB⊂平面ABFE，∴CD∥平面ABFE，又∵CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABFE＝EF，∴CD∥EF．解：（2）在△ADE中，根据余弦定理，DE2＝DA2+AE2﹣2AD•AE•cos∠DAE，∵AD＝3，AE＝2，∠DAE＝90°，∴DE⊥AD，∵EF⊥DE，AB∥CD，∴DC⊥DE，∵AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，设AB中点为G，连结DG，DB，∵ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴DG⊥AB，∴DG⊥CD，作FH⊥CD于点H，则HF＝DE＝，在Rt△FHC中，CH＝＝1，∴DH＝CD﹣CH＝2，如图，以D为坐标原点，DG、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（，），C（0，3，0），F（0，2，），＝（﹣，，0），＝（0，﹣1，），设平面BCF的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），∵＝（0，0，），∴可取平面ABCr一个法向量为＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝，由图知二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值是．【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（1）根据频率分布直方图，能估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值．（2）①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为X，每位储户到网点办理业务的概率为p，则X～B（1000，p），由此能求出每位储户在等待时段到网点办理业务的概率．②由X～B（1000，0.1），设网点共开设了m个服务窗口，则事件A即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过3m”，其概率为P（A）＝，满足＝0.4573＜0.75，由此推导出根据要求，网点到少需开设4个服务窗口．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，∴所求的平均值为：0.04×2+0.24×6+0.48×10+0.16×14+0.08×18＝10，∴估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10．（2）①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为X，每位储户到网点办理业务的概率为p，则X～B（1000，p），∴X的数学期望E（X）＝1000p，将频率视作概率，根据（1）的结论，得1000p＝10，解得p＝0.01，∴每位储户在等待时段到网点办理业务的概率为0.01．②由①知，X～B（1000，0.1），则P（X＝k）＝，设网点共开设了m个服务窗口，则事件A即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过3m”，其概率为P（A）＝，∴满足＝0.1289+0.3284＝0.4573＜0.75，＝0.4573+0.3352＝0.7925＞0.75，∴3m＝12，解得m＝4，∴根据要求，网点至少需开设4个服务窗口．【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】（1）设PF中点为G，由内切得|OG|，|PF|的关系，再利用中位线转化为|PF|与|PF′|（F′（﹣1，0））的和，由椭圆定义可得方程；（2）设M，N的坐标，并求得T的坐标，由直线MN的方程与椭圆方程联立得根与系数关系，然后向量共线的条件去证即可．【解答】解：（1）设PF中点为G，由内切可知，|OG|＝2﹣，即|PF|+2|OG|＝4，取F′（﹣1，0），连接P，F′，由中位线可知，|PF′|＝2|OG|，∴|PF′|+|PF|＝4，故P的轨迹E是以F′，F为焦点的椭圆，a＝2，c＝1，b＝，其方程为：；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知，A（﹣2，0），B（2，0），则，∵直线AM的方程为，∴T（8，），∴，由题意可设直线MN的方程为：x＝my+，由得，，，∵﹣6y2＝＝＝＝0，∴，∴B，N，T三点共线．【点评】此题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，三点共线的证明等，难度较大．21．【分析】（1）求导后根据f（x）的单调性确定极值点即可；（）令x1+1＝t1，x2+1＝t2，将（x1+1）（x2+1）+m（x1+x2+2）＜0，转化为t1t2+m（t1+t2）＜0，进一步求出m的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＝e x（x﹣ae x）（a＞0）．得f'（x）＝e x（x+1﹣2ae x），令f'（x）＝0，则2a＝，令g（x）＝，则g（﹣1）＝0，且g'（x）＝，由g'（x）＝0得x＝0，当x＜0时，g'（x）＞0，此时g（x）递增；当x＞0时，g'（x）＜0，此时g（x）递减，∴，g（x）min＝g（0）＝1，且当x≤﹣1时，g（x）≤0；当x＞﹣1时，g（x）＞0，∴当0＜2a＜1，即0＜a＜时，f（x）有两个极值点；当2a≥1，即时，f（x）没有极值点；（2）不妨设x1＜x2，由（1）知，﹣1＜x1＜0＜x2，且，∴，∴ln（x2+1）﹣ln（x1+1）＝x1﹣x2，即ln（x2+1）﹣ln（x1+1）＝（x2+1）﹣（x1+1），令x1+1＝t1，x2+1＝t2，则0＜t1＜t2，lnt1﹣lnt2＝t1﹣t2，∵（x1+1）（x2+1）+m（x1+x2+2）＜0，即t1t2+m（t1+t2）＜0，∴设，则t＞1，且，易得m＜0，记h（t）＝lnt+m（t﹣），则h（1）＝0，且，令μ（x）＝mt2+t+m，则△＝1﹣4m2，①当时，△≤0，则μ（t）≤0，即h'（t）≤0，∴h（t）在（1，+）上单调递减，则当t＞1时，h（t）＜h（1）＝0，∴时符合题意；②当时，△＞0，μ（t）有两个不同的零点，，，且αβ＝1，，不妨设，则，当时，μ（t）＞0，则h'（x）＞0，∴h（t）在（1，）上单调递增，故存在t0∈（1，β），使得h（t0）＞h（1）＝0，∴当时，不符合题意，综上，m的取值范围为：（﹣，]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．（二）选考题：本题满分10分，请考生在（22、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）化圆的参数方程为普通方程，结合x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ可得曲线C1的极坐标方程；（2）写出直线的极坐标方程，联立C1，C2的极坐标方程与直线的极坐标方程，求得|OM|，|ON|，再由三角形面积公式求解．【解答】解：（1）由，得x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0．∵x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为y＝ρsinθ；（2）∵直线l的斜率为，即倾斜角为，∴其极坐标方程θ＝（ρ∈R）．设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2）．由，得，即|OM|＝ρ1；由，，即|ON|＝ρ2．由C2的极坐标方程得C2（2，0）．∴．．∵，∴△C2MN的面积为．【点评】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）写出分段函数解析式，分段求解函数值域，可得函数最小值，并进一步得到取得最小值时x的取值范围；（2）由{x|f（x）+ax﹣1＞0}＝R，得∀x∈R，f（x）＞﹣ax+1．令g（x）＝﹣ax+1，其图象为过点P（0，1），斜率为﹣a的一条直线，作出图象，分别求出P A，PB所在直线斜率，数形结合得答案．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|化为f（x）＝．当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x＝1＞3；当x＞2时，f（x）＝2x﹣1＞3．∴f（x）的最小值为3．且f（x）取最小值时x的范围是[﹣1，2]；（2）∵{x|f（x）+ax﹣1＞0}＝R，∴∀x∈R，f（x）＞﹣ax+1．令g（x）＝﹣ax+1，其图象为过点P（0，1），斜率为﹣a的一条直线．如图：A（2，3），B（﹣1，3），则直线P A的斜率，直线PB的斜率．∵f（x）＞g（x），∴﹣2＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜2．∴a的取值范围为（﹣1，2）．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．。
2019-2020年高考模拟试卷（四）（数学理）数 学(理科)说明：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。
全卷150分，考试时间120分钟。
2. 将Ⅰ卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。
第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,2,3,4}，Q={2,3,4,6}，则()()Q C P C U U ⋂中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.5 2．已知复数Z 满足()i Z i 333=+，则Z= ( )A.i 2323- B.i 4343- C.i 2323+ D.i A343+ 3．若R k ∈，则“k ＞3”是 “方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个 大圆上，则该正三棱锥的体积是 ( ) A.433 B.33 C. 43 D. 1235．在△ABC 中，C 是直角，则sin 2A+2sinB ( )A.由最大值无最小值B.有最小值无最大值C.由最大值也有最小值D.无最大值也无最小值6．直线bx +ay =ab (a ＜0,b ＜0)的倾斜角是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b arctan B.⎪⎭⎫⎝⎛-b a arctan C.a b arctan -π D.b a arctan -π7.若a ＞0,b ＞0，则不等式a xb <<-1等价于 （ ) A.a x x b 1001<<<<-或 B.bx a 11<<-C.b x a x 11>-<或D.ax b x 11>-<或8．若函数f(x)=㏒a (x 3-ax) (a ＞0,a ≠1)在区间(0,21-)内单调递增，则a 的取值范围 是 ( ) A.)1,41[ B.)1,43[ C.),49[+∞ D.)49,1[ 9．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则f （x ）是 （ ） A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数10．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的3个数都成等差数列的概率为（ ） A.561 B.701 C.3361 D.420111．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则K 的可能值有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 12．对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与直线a 异面；②与直线a 所成的角为定值θ；③与直线a 的距离为定值d ；那么，这样的直线b 有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条第Ⅱ卷注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3. 本卷共10小题，共90分。
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．已知直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2恰有一个公共点，则实数a 的值为 。
14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{n a }是公比为q 的无穷等比数列，下列{n a }的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第 组。
（写出所有符合要求的组号）①1S 与2S ②2a 与3S ③1a 与n a ④q 与n a其中n 为大于1的整数，n S 为{n a }前n 项和。
15．定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是减函数，当x ∈[0,2π)，0)2()sin (sin 2>-++-f m x m x f 恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ 。
16．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点（-3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上，=2，则OC = 。
三、 解答题 (本大题共6小题，共74分). 17．（本题满分10）设f （x ）= x x 2sin 3cos 62- (Ⅰ)求f （x ）的最大值及最小正周期； (Ⅱ)若锐角α满足323)(-=αf ，求t an α54的值。
18．（本题满分12）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43。
假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。
(Ⅰ) 求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(Ⅱ) 求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率；(Ⅲ) 假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击,问乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少? 19．（本题满分12）SA BC N M如图,在三棱锥S-ABC 中，ΔABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32,M,N 分别为AB,SB 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AC 与SB 所成角； （Ⅱ）求二面角 N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。
20．（本题满分12）已知x=1是函数f(x)=m 3x -3(m+1)2x +nx+1的一个极值点，其中m ，n ∈R ，m ＜0. （Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）当x ∈[]1,1-时，函数y=f （x ）的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。
21. （本题满分12） 如图，已知椭圆C ：122=+b y a x （a>b>0）的左、右焦点分别是21,F F ，离心率为e.直线L ：y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，M 是直线L 与椭圆C 的一个公共点，P 是点1F 关于直线L 的对称点。
设AB AM λ=。
（Ⅰ）证明：λ=1-2e ； （Ⅱ）确定λ的值，使得△P 21F F 是等腰三角形。
22．（本题满分12）对于*N n ∈,不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 200所表示的平面区域为n D ,把n D 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列： (11,y x ),(22,y x ),(33,y x ),…,(n n y x ,)。
（Ⅰ）求n x ，n y（Ⅱ）数列{n a }满足11x a =，且2≥n 时)111(2122212-+++=n n y y y y a ，证明当2≥n 时，22211)1(n n a n a n n =-++。
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（111a +）·（211a +）·（311a +）·…·（n a 11+）与4的大小关系。
唐山一中2010年高考模拟试卷（四）数 学(理科) 答案一．选择题：1~4：BDAC ； 5~8：DCDB ； 9~12： DABD 。
二．填空题：13：0，–1，–5414：①④ 15：（–∞，2）16：（–510，5103） 三．解答题：17．解：（I ）f （x ）=1cos 2622xx +=3c os2x －n 2x 12sin 2)32x x -+)36x π++故f （x ）的最大值为3最小正周期T=22ππ= ……………………………………………………9分（II ）由f （α）=3-)336πα++=-cos(2)16πα+=- 又0<α<2π得2666πππαπ<+<+，故26παπ+=，解得512πα=从而4tan tan53πα== …………………………………………12分18．解：(Ⅰ)记“甲连续射击4次，至少有一次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故6427)32(1)(1)(41=-=-=P A P ……………………4分(Ⅱ)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2,则6427)431()43()(,278)321()32()(342342242242=-==-=--C B P C A P…………………………8分(Ⅲ)记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件A 3，”乙第i 次射击未击中”为事件D i (i=1,2,3,4,5),则)(123453D D D D D A =，且41)(=i D P ,由各事件相互独立，故 102445)41411(434141)()()()()(123453=⨯-⨯⨯⨯==D D P D P D P D P A P…………………………12分19．解：（I ）取AC 中点D ，连结SD ，DB 。
因为SA=SC,AB=BC,所以AC ⊥SD 且AC ⊥BD,所以AC ⊥平面SDB.又SB ⊂平面SDB,所以AC ⊥SB.所以异面直线AC 与SB 所成角为900。
…………4分（II ）因为AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC, 所以平面SDC ⊥平面ABC. 过N 作NE ⊥BD 于E ，则NE ⊥平面ABC, 过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF,则NF ⊥CM, 所以∠NFE 为二面角N-CM-B 的平面角。
因为平面SAC ⊥平面ABC, SD ⊥AC,所以SD ⊥平面ABC. 又因为NE ⊥平面ABC ，所以NE ∥SD 。
由于SN=NB,所以NE=21SD=2412212122=-=-AD SA ,且ED=EB. 在正△ABC 中，由平面几何知识可求得EF=2141=MB .在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=22=EF EN所以二面角N-CM-B 的大小是arctan 22. ………………………………8分（III ）在Rt △NEF 中,NF=2322=+EN EF ,所以32321=⋅=∆NF CM S CMN , 3221=⋅=∆BM CM S CMB .设点B 到平面CMN 的距离为h, 因为CMB N CMN B V V --=,NE ⊥平面CMB,所以NE S h S CMB CMN ⋅=⋅∆∆3131 则h=324=⋅∆∆CMNCMB S NE S 即点B 到平面CMN 的距离为324。
………………………………12分20．解：（I ）f ′(x)= 3m 2x -6(m+1)x+n 因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f ′(1)=0,即 3m-6(m+1)+n=0 所以 n=3m+6. ………………………………3分(Ⅱ) 由（I ）知， f ′(x)= 3m 2x -6(m+1)x+3m+6=3m （x-1）[x-（1+m 2）].当m<0时,有1>1+m2.当由表知，当m<0时，f （x ）在（-∞，1+2）内单调递减，在（1+2，1）内单调递增，在（1，∞）内单调递减。
