最新高考数学练习题限时训练(50)答案
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限时训练（五十）答案部分一、选择题二、填空题 13.25 14.3 15. 2 16. 20172018解析部分1.解析 由题可得()()2i 1i 2i 13i 1i 222z +++===+-，所以13i 22z =-.故选B. 2.解析 由题得{}2,4B =，所以{}1,2,4,5AB =.故选C.3.解析 由题得2xz y =，24y =，且0y <，所以8xyz =-.故选A.4.解析 由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1，高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=.故选A. 5.解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示，当直线2y x z =-的截距最大时，z 最小，联立5302330x y y -+=⎧⎨++=⎩，解得30x y =-⎧⎨=⎩，所以()min 236z =⨯-=-.故选A.6.解析 先排两位爸爸，有2种排法，中间4个空位排在一起的有3种情况，所以孩子的排法有1232C A 6⨯=（种），最后排妈妈，有2种排法，所以共有262=24⨯⨯（种）.故选B.7.解析 由题可得C 和D 所说的互相矛盾，故一真一假.若C 为假，则D 为真，同时B 为真；若C 为真，则D 为假，A,B 都为假，由此可从B 的话判断获特等奖的是3号同学.故选C. 8.解析 10,1,21,2,2i S A i S A ===→===→2,1,1i S A ===-→13,1,24,2,5,1,12i S A i S A i S A==-=→==-=→==-=-→6,1,2i S A ===，由此可得S 的值以6为周期循环，循环体为1,2,1,1,2,1---.因为i 的初始值为0，2016i =时结束循环，且2017=63361⨯+，所以1S =.故选B.9.解析 由题可得圆()22:34C x y -+=，设双曲线的渐近线方程为y kx =±，则2=，解得245k =，即2245b a =，所以该双曲线的离心率e ==.故选D.10.解析 如图所示，因为11A BCD ，所以1EBA ∠为异面直线BE 与1CD 所成的角，在1A BE △中，BE =11A E =，1A B =1=10EBA ∠.故选D.11.解析 由题可得()3,3OC mOA nOB m n m n =-=+-，则(3OC ==t ==10OC t .因为[]1,2m n +∈，在直角坐标系中表示如图阴影部分所示，则t 2t ≤210OC ≤.故选D.12.解析 因为11e xax =，22ex ax =，所以2121e x x x x -=.设21xt x =，则1t >，21x tx=，所以ED 1DB 1A 1C 1ABC()11e t x t -=，所以1ln 1tx t =-，所以()12111212ln 2=11t t x x t x t t t +-⎛⎫+-=+-=-⨯ ⎪-+⎝⎭14ln 211t t t t +⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭.令()4ln 21g t t t =-++，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()()10g t g >=，所以1220x x +->，即122x x +>.选项A 正确；方程()e x f x ax=-有两个不等的零点，即y a =与e x y x =有两个不同的交点.因为e xy x=的导函数()2e 1x x y x -'=，所以e xy x=在()0-∞，上单调递减且0y <，在()0,1上单调递减且e y >，在()1+∞，上单调递增且e y >，所以e a >且1201x x <<<.选项B错误；21211111ln 11x x tx t t ⎛⎫⎫-=-=-=+⎪⎪ -⎭⎭⎝.令()ln h t t =，则()2110h t t '=-=<，所以()()10h t h <=.又因为10+>，所以1210x x -<，即121x x <.选项C 错误；由()e 0x f x a '=-=，得ln 1x a =>，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，所以()e x f x ax=-有极小值点0ln x a =.由11e xax =，22ex ax =，得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+，因此12122ln ln ln x x a x x +=++，()12122ln ln ln10x x a x x +-=<=，所以1202ln 2x x a x +<=.选项D 正确.故选D.13.解析 222s i n c o s t a n 2s i n c o s s i n c o s t a n 15θθθθθθθθ===++. 14.解析 由题可得11y a x '=-+，0'12x y a ==-=，所以3a =.15.解析 由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中0.02p =，100n =，所以()2E X np ==.16.解析 将原式因式分解可得()()1110n n n n S S +-+=⎡⎤⎣⎦，又因为数列的各项为正数，所以()11111n S n n n n ==-++，所以12201711111223S S S +++=-+-++1112017=12017201820182018--=.高难拉分攻坚特训(一) 1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ， ∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a≠12时，f(x)有2个极值点；当a＝12时，f(x)没有极值点．(2)由f(x)＋e x≥x3＋x得x e x－x3－ax2－x≥0. 当x>0时，e x－x2－ax－1≥0，即a≤e x－x2－1x对任意的x>0恒成立．设g(x)＝e x－x2－1x，则g′(x)＝(x－1)(e x－x－1)x2.设h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1.∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即e x>x＋1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。
