1.2.1 函数的概念(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.1函数的概念教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．函数是数学中最主要的概念之一.函数的概念贯穿中学数学始终，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作深刻理解，才能正确灵活地加以应用，学生对函数概念理解程度会直接影响整个高中数学的学习，因此本节课非常重要.课时分配 函数概念需要1课时 教学目标重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.难点：符号(),y f x x A =∈的含义，函数定义域和值域的区间表示.知识点：函数概念；构成函数的要素；函数相同的判别方法，求一些简单函数的定义域和值域.能力点:抽象概括能力的应用.教育点:体会探究的乐趣，激发学习的热情.自主探究点: 函数概念，构成函数的要素.考试点: 求一些简单函数的定义域和值域.易错易混点: 对应关系在刻画函数概念中的作用.拓展点： 函数概念发展历程.教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课:1、 回顾、实例引入（１）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ,如果给定了一个x 值,相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.（2）请同学们回顾一下我们在初中学习了哪些函数？（板书）c bx ax y xk y b kx y kx y ++==+==2,,, 请同学们再次回顾在初中物理及日常生活中见到哪些符合上述函数的实例？（对应板书）【师生活动】学生回答【设计意图】通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础.（3）在加油站为汽车加油，油价为每升7.2元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为38升时停止，问金额y 元与加油量x 升之间的关系式是什么？【师生活动】学生回答【设计意图】通过实例使学生进一步认识生活中充满变量间的依赖关系；激发学生学习数学的兴趣，提高发散思维能力.二、探究新知(一)思考：（课本P 15）给出三个实例：１．一枚炮弹发射，经26s 后落地击中目标，射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位:m ）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.２．近几十年来，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图）３．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

1．21函数的概念1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．重点、难点2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．重点3．能够正确使用区间表示数集．易混点[基础·初探]教材整理1函数的相关概念阅读教材的值，直接把m g2为自变量的f的函数值．【自主解答】1f2＝错误!＝错误!，g2＝22＋2＝62fg2＝f6＝错误!1．f表示自变量为的函数，如f＝2－3，而fa表示的是当＝a时的函数值，如f＝2－3中f2＝2×2－3＝12．求fga时，一般要遵循由里到外的原则．[再练一题]2．已知f＝3＋2＋3，求f1，ft，f2a－1和ff－1的值【导学号：】【解】f1＝13＋2×1＋3＝6；ft＝t3＋2t＋3；f2a－1＝2a－13＋22a－1＋3＝8a3－12a2＋10a；ff－1＝f－13＋2×－1＋3＝f0＝3求函数的定义域1f＝错误!；2f＝错误!；3f＝错误!＋错误!【精彩点拨】根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式组，进而解不等式求解．【自主解答】1∵≠2时，分式错误!有意义，∴这个函数的定义域是错误!2∵3＋2≥0，即≥－错误!时，根式错误!才有意义，∴这个函数的定义域是错误!3∵要使函数有意义，必须错误!⇒错误!∴这个函数的定义域是错误!求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③＝0要求≠02．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[再练一题]3．函数＝错误!＋2＋10的定义域为【解析】要使函数有意义，则错误!即错误!即＜错误!且≠－错误!，故函数的定义域为错误!，故选B【答案】 B[探究共研型]求抽象函数的定义域探究11设函数f＝错误!2若函数＝f的定义域是[0，＋∞，那么函数＝f＋1的定义域是什么？【提示】1f＋1＝错误!令＋1≥0，解得≥－1，所以f＋1＝错误!的定义域为[－1，＋∞．2函数＝f的定义域是[0，＋∞，所以令＋1≥0，解得≥－1，所以函数＝f＋1的定义域是[－1，＋∞．探究2若函数＝f＋1的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝＋1的范围是什么？函数＝f的定义域是什么？【提示】这里的“[1,2]”是自变量的取值范围．因为∈[1,2]，所以＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝＋1的范围是[2,3]，所以函数＝f的定义域是[2,3]．1已知函数＝f的定义域为[－2,3]，求函数＝f2－3的定义域；2已知函数＝f2－3的定义域是[－2,3]，求函数＝f＋2的定义域．【精彩点拨】1由函数＝f的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2－3≤3即可．2由函数＝f2－3的定义域，先求函数＝f的定义域，再求函数＝f＋2的定义域．【自主解答】1因为函数＝f的定义域为[－2,3]，即∈[－2,3]，函数＝f2－3中2－3的范围与函数＝f中的范围相同，所以－2≤2－3≤3，解得错误!≤≤3，所以函数＝f2－3的定义域为错误!2因为∈[－2,3]，所以2－3∈[－7,3]，即函数＝f的定义域为[－7,3]，令－7≤＋2≤3，解得－9≤≤1，所以函数＝f＋2的定义域为[－9,1]．若已知函数＝f()的定义域为[a，b]，则函数＝f(g())的定义域可由a≤g()≤b解得；若已知函数＝f(g())的定义域为[a，b]，则函数＝f()的定义域为函数＝g()在∈[a，b]的值域[再练一题]4．已知函数f的定义域为[2,6]，则函数g＝f＋1＋错误!的定义域为________ 【导学号：】【解析】由题意可得错误!解得3≤≤5，所以g的定义域为[3,5]．【答案】[3,5]1．下列图象中表示函数图象的是【解析】根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C【答案】 C2．下列函数中，与函数＝相等的是A．＝错误!2B．＝错误!C．＝|| D．＝错误!【解析】函数＝的定义域为R；＝错误!2的定义域为[0，＋∞；＝错误!＝||，对应关系不同；。

河北省容城中学高中数学《1.2.1 函数的概念》教案新人教A版必修1一、教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：投影仪 .四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0)y =ax 2+b x +c (a ≠0)y =xk (k ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

五步教学设计模式教学案：必修1 主备人：禹丽芹一、教学目标：能说出函数的定义，能用集合与对应的语言刻画函数，记住构成函数的要素；会判断一个对应是否为函数；会根据函数的要素判断两个函数是否相等；会用区间表示数集。

教学重点：函数的定义，函数的构成要素及函数定义的应用，用区间表示数集。

教学难点：函数定义的理解。

二、预习导学（一）知识梳理（以问题或填空题的形式呈现）1、函数的概念：2、函数相等：3、区间：三、问题引领，知识探究问题1、函数定义中集合A 、B 有什么要求？问题2、函数定义中由A 到B 时什么性质对应（一对一、多对一、一对多)?问题3、函数符号“)(x f y =”中)(x f 含义是什么？例1 ：判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的函数。

（1）21:,,xy x f R B R A =→== （2）x y x f R B N A ±=→==:,,（3）2:*,,-=→==x y x f N B N A（4）4)3(,3)2()1(,},3,2,1{=====f f f R B A变式1：集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．A. B. C. D.问题4：何为两个函数相等？例2：下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=.变式2：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）22x x y x y ==与；（2）⎩⎨⎧<-≥==0,20,22x x x x y x y 与；（3）)()(u f y x f y ==与。

例3：把下列数集用区间表示。

（1）}2|{≥x x （2）}0|{<x x（3）}62,11|{<≤<<-x x x 或变式3：集合}52|{<≤x x 用区间表示为 集合}5|{≤x x 用区间表示为四、目标检测1、下列图像中，能表示函数)(x f y =图像的是（ ）2、判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）N x x y R x x y ∈-=∈-=,1,1与； （2）2242+⋅-=-=x x y x y 与；（3）xu x y 1111+=+=与； 3、集合{}321≤<=x x x 或用区间表示为五、分层配餐A 组1、与函数)(222R x x x y ∈+-=是相等的函数是（ ） A.)(222R x x x y ∈+-= B.)(22R x x x y ∈-=C.)0(1)1(2≤+-=x x yD.)(1)1(2R x x y ∈+-= 2、函数图像与直线1=x 的交点最多有（ ）A.0个 B ．1个 C ．2个 D ．以上都不对 3、已知区间]12,[+a a ，则实数a 范围是 （ ） A.RB.31-≥aC.31->aD.31-<a 4、集合{}1,51≠<≤-x x x 且用区间表示为B 组5、设集合 )13,5[),10,[=-∞=B A ，则=)(B A C U （用区间表示）6、下列给的集合不能用区间表示的是（ ）A.}11|{<<-x xB.}55|{≤≤x xC.}2|{≤x xD.}|{R x x ∈C 组7、判断下列函数是否是实数集R 上的函数： （1）;13:+x x f 对应到把 （2）;1:+x x g 对应到把 （3）;521:-x x h 对应到把 （4）;63:+x x f 对应到把。

§1.2.1函数的概念教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）.（Ⅱ）函数感性认识教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集，对应关系 （*）.从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.例子（2）中数集，，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应. 例子（3）中数集，且对于数集A 中的每一个时间（年份），按表格，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应. （III ）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A 、B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个x ，按照某个对应关系，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作.（IV )理性认识函数的定义{026}A x x =≤≤{0845}B h h =≤≤21305h t t =-{19792001}A t t =≤≤{026}B S S =≤≤{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==:f A B →设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range ).定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f (x )是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y =f (x )不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f (x )表示外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示；自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a )来表示.如函数f (x )=x 2+3x +1,当x =2时的函数值是：f (2)=22+3×2+1=11.注意：f (a )是常量，f (x )是变量，f (a )是函数f (x )中当自变量x =a 时的函数值.（2）定义域是自变量x 的取值范围；注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y =x 2(x y =x 2(x >0)； y =1与y =x 0 ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm ，长是宽的2倍，其面积为y =2x 2，此函数的定义域为x >0,而不是.（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定.(V )区间的概念设a 、b 是两个实数，且a <b ，规定：（投影1）:f A B →(),y f x x A =∈{()}f x x A ∈与)R ∈R x ∈说明：① 对于，，，都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b -a 为区间长度；② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3<x <7（一般不用）；集合表示法：；区间表示法：； ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x a , x >a , x b , x <b 的实数x 的集合分别表示为[a ,+∞]、（a ,+∞）、(-∞,b )、(-∞,b ).例题分析：（投影2）例1．已知y ＝f (x )的定义域为[1,2]，(1)求f (2x ＋1)的定义域；(2)求g (x )＝f (1＋x )＋f (2－x )的定义域．解析： (1)设2x ＋1＝t ，由于y ＝f (t )的定义域为[1,2]，∴1≤t ≤2,1≤2x ＋1≤2，解得0≤x ≤12. 即f (2x ＋1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)要使函数g (x )有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤21≤2－x ≤2 即0≤x ≤1∴函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[0,1]．例2．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5]；(4)y ＝x ＋2x －1；(5)y ＝3x ＋2x －1. 解析: (1)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．[]b ,a ()b ,a [)b a ，(]b ,a {}7x 3x <<()73，≥≤∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)配方得y ＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5]，由图知2≤y ≤11.即函数的值域为[2,11]．(4)令u ＝2x －1，则u ≥0，x ＝u 2＋12， ∴y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12.∴函数的值域为[12，＋∞)． (5)y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3. ∴函数的值域为{y |y ≠3}．分析：当确定用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.例3．判断下列各组函数是否为相等函数：(1)f(x)＝(3)(5)()3x xf xx+-=+，g(x)＝x－5；(2)f(x)＝2x＋1(x∈Z)，g(x)＝2x＋1(x∈R)；(3)f(x)＝|x＋1|，1,1, ()1, 1.x xg xx x+≥-⎧=⎨--<-⎩解析：(1)(2)不是，(3)是．对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)(2)中两组函数均不是相等函数；对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同.只有完全一致时，这两个函数才算相同.（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3.课时小结：本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法.函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题.。

《1.2.1 函数的概念（第1课时）》教学设计一.教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 本节《2.1.1函数的概念》是人教A 版高中数学必修1《2.1函数及其表示》的第一课时. 在初中，学生所学的函数概念只是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量间的依赖关系. 在后来，人们逐渐认识到了变量的取值范围（即高中函数概念中的定义域与值域）的重要性. 而初中函数的概念，导致了深入解析变量及其变量间的依赖关系有了局限性，倘若仅仅依靠变量的观点，那么有些函数的研究就难以做到深入浅出. 譬如：⎩⎨⎧=.01)(为无理数时，当为有理数时，，当x x x f 对于该函数，如果只用变量的观点来解释，会显得勉强粗糙，也难以道明x 的物理意义. 然而，使用集合与对应的语言来刻画的话，就非常自然、顺畅.另外，函数是中学数学中最重要的概念之一，其思想与方法更是贯穿整个高中数学内容的始终. 它不仅对前面第一章所学的集合作了巩固、发展以及延拓，更重要的是学好后续知识的基础与工具. 由于它这种承上启下的作用，函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、平面向量、解析几何、导数等内容联系密切，渗透交叉. 总而言之，函数知识在现实生活、社会、经济、军事等学科中有着广泛的应用. 本节课将使用集合与对应语言进一步刻画函数的概念，让学生感知建立函数模型的过程与方法，引导学生探知客观世界变化规律的本质. 为此，本课时设计设定的教学重点是：函数概念的形成.二.学生学情分析尽管函数比较抽象，但在学习通过集合与对应语言刻画函数之前，学生已经掌握了函数是变量间的依赖关系，同时也初步具备了生活中函数实例的基本经验，能简单运算有关一次函数、二次函数以及反比例函数模型的问题，加之函数现象本来就是源于生活，高于生活. 同时，这一学年段的学生普遍思维活跃、求知探索欲强、自我表现欲望强，这些因素都为本节课的学习提供了一定的非认知基础.教材选用了运动、自然界、经济生活的实例进行分析，然后从实例中抽象概括出集合与对应语言来定义函数概念，对学生的抽象思维、归纳能力要求甚高，能很好地提高了学生的抽象思维能力与知识应用能力，为基本初等函数的学习打下坚实的理论基础. 据此，本课时设计设定的教学难点是：函数符号)(x f y =的理解，函数概念的整体性认识.三.教学目标1.知识与技能(1)理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例；(2)会求简单函数的定义域、解析式与值域；(3)掌握构成函数的三要素，学会判定两个函数相等，理解函数的整体性.2.过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般，再从一般到特殊”的分析问题能力以及抽象概括能力，实现感性认识到理性认识的升华.3.情感态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象美、简洁美.四.教学重点与难点1.教学重点：体会函数是重要的数学模型；函数的概念；函数的三要素.2.教学难点：函数符号)y 的理解，函数概念的整体性认识.f(x五.教学策略古人云：“运筹帷幄之中，决胜千里之外. ”良好的教学策略，对教学有着至关重要的促进作用. 依据本节课教学内容、学情实际和教学目标要求，设计以下教学策略：1. 本节课是以“人教版A版(必修1)第二章第一节第一课时”之内容为核心组织教学，并依据学生实际和认知特点对教材内容顺序做了两点调整：一是教材给出函数的定义后，紧接的具体函数分析(一次函数、二次函数以及反比例函数)调整到本节教学的最后，直接通过例子求定义域和理解函数概念的整体性，便于学生深入理解函数的定义. 二是将教材中区间概念内容调整到第二课时，保证函数概念教学的连贯性、整体性和课堂教学的精炼.2. 本节课为概念式教学，依据学生学情分析，为激发、调动学生学习兴趣和主动性，教学中采取情景式引入、问题式教学和探究式启发.3. 针对本节课“函数概念的形成”教学重点，围绕学生函数概念的递进认知为中心进行设计. 具体通过三个实例中变量对应关系的认知及自变量取值范围(定义域)，引导学生递进理解、归纳出函数的概念. 继而设计若干对应关系，通过是否为函数的判断，帮助学生深入分析和理解“并非所有对应关系都是函数”、“一一对应与多对一”、“定义中的关键词(如唯一、确定)”、“三要素及其关系”以及“集合B与值域的关系”等疑难问题. 最后基于集合与函数概念的联系，巩固与夯实对函数概念的理解.4. 针对函数概念的抽象性，教学过程中计划采取自主合作探究式学习策略，建立小组讨论、交流、合作的课堂氛围，激发学生学习和探究的兴趣.5.针对概念学习的连贯性，教学反馈计划通过小组回答问题、作业布置、教师观察等方式进行教学效果的反馈与反思.六.教学基本流程图七.教学过程设计五.实验演示动一动：请将A盒子中的所有小球放入B盒子中.思考：A中的小球和B中的格子都标示有数字：1，2，3，4，可以把A,B看成两个非空数集，那么每一种放法是从A到B的一个函数吗？若是，它的值域是什么？师：启发学生思考每一种方法实质就是一个对应关系，通过对应关系，可以出现多对一，但不可一对多，同时，通过实验结果理解值域是集合B的一个子集.生：小组合作讨论每一种放法是否为从集合A到集合B的一个函数.若是，则求它的值域.师：强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同，用集合与对应的语言来描述函数可以摆脱物理运动的束缚.通过放小球的实验，将函数概念中：①对应关系f；②函数关系中多对一的情况；③值域是集合B的子集.等较为抽象的问题具体化，形象化，生活化.六.夯实新知例1:拓展实例1，抛开炮弹运动变化的背景，保持集合A和对应关系f不变，分别缩小和扩大集合B，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数，若是，值域是什么？集合A，B和对应关系都不变，辨析对应关系f是否为从集合B到集合A的函数.例2: 拓展实例2，抛开臭氧层空洞面积S随时间t的变化的背景，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.例3: 拓展实例3，抛开恩格尔系数r随时间t的变化的背景，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.师：启发学生抛开物理运动的背景，利用集合与对应的语言描述函数关系.同时，让学生感受用集合与对应语言描述函数的必要性.并通过实例的拓展强调对应关系的方向.生：结合函数的定义，利用集合与对应的语言描述函数关系，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.辨析函数概念，强化值域的定义，感受用集合与对应语言描述函数的必要性，强调对应关系的方向.体现从特殊到一般，再从一般到特殊的推理思想，实现由感性认识到理性认识的升华.附：知识清单：一. 知识梳理1.2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x)，x ∈A ，y ∈B 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集. (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. 3.函数的表示方法有：解析法、图象法和列表法. 4.分段函数若一个函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的仍然是一个函数. 5.。

1.2.1函数的概念教学目的：1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性.教学重点：理解函数的概念教学难点：函数的概念教学过程：一、复习回顾，新课引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.问题1：1=y （x ∈R ）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？ 观察对应：二、师生互动，新课讲解：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y =f (x )的值域.值域是集合B 的子集.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A , B 为非空的数集.（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ，y ∈B.（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f .（二）已学函数的定义域和值域请填写下表：（三）函数的值：关于函数值 )(a f题：)(x f =2x +3x +1 则 f (2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样.2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数.（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.例题讲解例1：判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？（1）x 2+y =1；（2）x +y 2=1.【答案】（1）是；（2）不是.例2： 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(. 【解析】函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.解：①∵x -2=0，即x =2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x +2<0，即x <-32时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }，另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x ，∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x } .例3： 已知函数)(x f =32x -5x +2，求f (3), f (-2), f (a +1).解：f (3)=3×23-5×3+2=14；f (-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52；f (a +1)=3(a +1) 2-5(a +1)+2=3a 2+a .例4：下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？（1）()2x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）y =2x x . 解：（1）()2x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是； （2）33x y =＝x （x ∈R ）,y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数；（3）2x y =＝|x |=⎩⎨⎧-x x ,00<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数. （4）定义域不同，所以不是同一个函数.例5： 求下列函数的值域：（1）x y 3=；（2）xy 8=；（3）54+-=x y ；（4）762+-=x x y ． 【解析】在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值． 解：（1）值域为实数集R ；（2）值域为{}0,y y y ≠∈R ；（3）值域为实数集R ；（4）函数762+-=x x y 的最小值是-2，所以值域为{}2-≥y y ． （五）区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设b a ,是两个实数，而且b a <．我们规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),[b a ，],(b a ．这里的实数b a ,都叫做相应区间的端点．实数集R 可用区间表示为),(+∞-∞，我们把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数x 的集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞．“∞” 读作“无穷大”，“-∞” 读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”．区间可在数轴上表示．上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1）[0,)+∞，（2）),(+∞-∞，（3）[0,)+∞，（4）),0()0,(+∞-∞ ．三、课堂小结，巩固反思：函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x =a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量.四、布置作业：1. 已知二次函数y = -x 2+4x +5，(1)当x ∈R 时，求函数的值域；(2)当x ∈[0,3]时，求函数的值域；(3)当x ∈[-1,1]时，求函数的值域.【答案】(1) (-]9,-∞；(2)[5，9]；(3)[0，8]2. 设函数f (x )=x 2+x +21的定义域是[n ,n +1] (n ∈N +)，那么在f (x )的值域中共有____个整数. 【答案】2n +2。

课题：函数的概念〔一〕课型：新授课教学目标：〔1〕通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；〔2〕了解构成函数的三要素；〔3〕能够正确使用“区间〞的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回忆函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：〔一〕函数的概念：思考1：〔课本P15〕给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h〔米〕与时间t〔秒〕的变化规律是2=-。

1305h t tB．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

〔见课本P15图〕C．国际上常用恩格尔系数〔食物支出金额÷总支出金额〕反映一个国家人民生活质量的上下。

“八五〞方案以来我们城居民的恩格尔系数如下表。

〔见课本P16表〕讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数〔function 〕，记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域〔domain 〕，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域〔range 〕。

１．２．１函数的概念一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生认识函数的构成要素；明确函数的定义；理解定义域、对应关系、值域的含义；掌握判断两个函数是否相等的方法；正确使用区间表示定义域、值域； 教学目的：引导学生树立函数思想研究变量之间的关系。

教学意义：培养学生通过观察事物的表象，分析事物变化的本质，揭示变量之间内在相互联系、相互制约的关系。

二、教学过程１．在背景材料下，引出函数的定义：一般地，设Ａ，Ｂ是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合Ａ中的任意一个数x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围Ａ叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合Ｂ的子集。

注意：两个非空数集；一对一或多对一；集合Ａ中的任意一个数已知R x ∈，在解析式x y x y x y 2,|||,|2===中，哪些可以成为函数的解析式？ ２．一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域。

３．函数相等具备的条件：定义域、对应关系完全一致。

４．对应关系常见形式：①解析法②图象法③列表法５．理解和正确使用区间符号：),(],,(),,(),,[),,(),,[],,(],,[b b a a b a b a b a b a -∞-∞+∞+∞ 注意：对区间[,],(,],[,),(,)a b a b a b a b 来说，(前提条件b a <)６．求函数定义域：①由问题的实际背景确定；②能使解析式有意义的实数的集合。

注意：通过解析式求定义域，无需化简，应注意自变量取值的等价性。

7.掌握常数函数、一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的值域情况。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．已知函数15)(2+=x x x f ，若2)(=a f ，则=a 。