高三数学：n次独立重复试验与二项分布经典教案

课题 独立重复试验与二项分布教学目标 知识与能力 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，会判断一个具体问题是否服从二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法 启发引导、主动探究，从具体事例中归纳出数学概念，体现从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法。

情感,态度与价值观 培养学生学习数学的兴趣、锲而不舍的钻研精神；初步认识数学的应用价值、科学价值重点 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题难点 理解并会运用二项分布模型求概率 教师 王冰 教具 多媒体课件教 学 过 程一 复习回顾：引言:前面我们学习互斥事件，条件概率，相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，请同学们回顾概率公式概率公式：P （A+B)=P(A)+P(B)(A,B 为互斥事件）推广：如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅=++⋅+ P(B/A)=P(AB)/P(A)P(AB)=P(A)P(B)(A,B 为相互独立事件）推广：如果事件12,,,n A A A 相互独立，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅二 新课引入：1.吻合模型求概率会非常方便, 那么求概率还有什么模型呢？首先我们来分析下面的试验，它们有什么共同特点?课件（1）(由学生回答）独立重复试验的特征：（1）每次试验是在同样条件下进行的.（2）各次试验中的事件是相互独立的.（3）每次试验都只有两种结果，即某事件要么发生要么不发生.（4）每次试验，某事件发生的概率是相同的.3.给出n 次独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验4下面我们以独立重复试验为背景，探究新的概率模型：教科书56探究：投掷一枚图钉，连续掷3次，出现k 次针尖向上概率问题的讨论5定义：随机变量X 的二项分布：一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则k n k k n p p C k X P --==)1()(，（k ＝0,1,2,…，n ）．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。

独立重复试验与二项分布【教学目标】1．正确理解n次独立重复试验的定义2．掌握二次分布模型3．会利用二项分布模型解决实际问题【教学重难点】重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

难点：二项分布模型的构建。

【教学用具】不透明袋子，白、黄乒乓球各一个【教学过程】一、创设情境，导入新课：取球游戏：不透明袋子内有一白一黄2个乒乓球，同学有放回地从袋中取球6次，取出的球至少三次为黄色，学生胜，否则老师胜。

问题：在这一个实验中，前一次取出的结果是否影响后一次的结果？既每次取出的结果是否相互独立？归纳这一实验特点：①在相同条件下②重复做同一实验③实验结果只有对立的两个例1：“重复抛一枚硬币 8 次，其有5次正面向上”例2：重复掷一粒骰子3次，其中有2次出现 1 点的概率。

学生归纳：各次实验结果不会受其它次试验结果影响。

定义：在相同条件重复做的n次试验称为n次独立重复试验。

二、提出问题，探究新知：游戏中，每次取球时，取到黄球的概率为p，则没取到黄球的概率 1-p连续取球3次，就是做了3次独立重复试验，用A i（i=1，2，3）表示事件“第i次取到黄球”，用{X=k}（k=0，1，2，3）表示事件“仅出现k次黄球”（组织学生讨论、交流解决问题）事件情况：321321321321321321321321}3{)()()(}2{)()()(}1{}0{A A A X A A A A A A A A A X A A A A A A A A A X A A A X ======== 概率的计算：3321232132132123213213213321321)()3()1(3)()()()2()1(3)()()()1()1()()()()()0(P A A A P X P P P A A A P A A A P A A A P X P P P A A A P A A A P A A A P X P P A P A P A P A A A P X P ===-=++==-=++==-=++===观察归纳 )3,2,1,0()1()(33=-==-k P P C k X P k k k 归纳总结（二项分布定义）在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：),...2,1,0()1()(n k P P C k X P k n k k n =-==-则称随机变量X 服从二项分布记作 ～ B （n ，p ）。

2.2.3独立重复试验与二项分布（第一课时）教学目标：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =.称A 与B 独立二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)n P P -+展开式的第1k +项 例1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． 例2．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.82lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次课堂小节：本节课学习了n 次独立重复试验的模型及二项分布。

独立重复试验与二项分布
一、教学内容解析
本节内容是高中数学人民教育出版社B版《选修2-3》中的2.2.3节独立重复试验与二项分布.在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从二项分布，它的实际应用广泛，理论上也非常重要.本节课是从生活实际入手，了解独立重复试验，推导概率公式，掌握二项分布，实现建立数学模型，认知数学理论，进而应用于实际，本节课的重点是独立重复试验，以及对伯努利概型和有关二项分布问题的理解.
二、教学目标设置
（1）理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布.
（2）通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，学生充分体会知识的发现过程，并体会由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法.学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.
三、学生学情分析
通过前面的学习，高二学生已经掌握了如下概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、离散型随机变量的分布列、条件概率、相互独立事件概率的求法等有关内容.高中学生虽然具有一定的抽象思维能力，但是从实际中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困难的，需要老师的启发引导，在启发引导下学生能够概括n次独立重复试验的特点，能够总结出n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是二项分布模型的构建.
四、教学策略分析
从掷硬币和掷骰子的试验入手，引导学生总结归纳独立重复试验的概念，深刻理解独立重复试验的内涵.遵循特殊到一般的认识规律，学生由浅入深地探索伯努利概型的概率公式并引入二项分布.学生利用所学知识解决他们熟悉的生活实例中的概率问题，体会“数学来源于生活，并服务于生活”的理念，进而产生成就感.
五、教学过程设计
1。

2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

第五节 n 次独立重复试验与二项分布[最新考纲] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．1(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与–B ，–A 与B ，–A 与–B 也相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件． ( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． ( ) (3)公式P (AB )＝P (A )P (B )对任意两个事件都成立． ( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516 B.316 C.58 D.38A [∵X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，∴P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫126＝516.故选A.] 3．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝12P (A )，∴P (A )＝34.]4．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．81125 [P ＝C 230.620.4＋C 330.63＝81125.]5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．0.38 [设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A –B ＋–A B ，∴P (A –B ＋–A B )＝P (A –B )＋P (–A B )＝P (A )P (–B )＋P (–A )P (B )＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]1．从1,2,3,4,5中任取2B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12B [法一：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.法二：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1.故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14.] 2．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )A.13B.15C.19D.320A [因为“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个第一个出场的概率相等，故“C 第一个出场”的概率是13.]3．(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0.72 [设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9，根据条件概率公式得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，，这是求条件概率的通法A )，再求事件＝【例1】 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．[解] (1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (–A –B –C )＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝P (–A –B –C )＝13×14×25＝130；P (ξ＝1)＝P (–A –B –C )＋P (–A –B –C )＋P (–A –B –C )＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360；P (ξ＝2)＝P (AB –C )＋P (A –B C )＋P (–A BC )＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920； P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×34×35＝310.设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．[解] 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k (k ＝1,2,3,4,5)，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (–A k )＝13.(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 1–A 2)＋P (–A 1A 2)＝P (A 1)P (–A 2)＋P (–A 1)P (A 2)＝23×13＋13×23＝49. 法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49.(2)X 的所有可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (–A 1 –A 2)＝23×23＋13×13＝59，P (X ＝3)＝P (A 1–A 2 –A 3)＋P (–A 1A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1–A 2A 3A 4)＋P (–A 1A 2–A 3 –A 4)＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.综上，X 的分布列为【例2】 (2019·2株．假定银杏移栽的成活率为34，垂柳移栽的成活率为23，且各株大树是否成活互不影响．(1)求两种大树各成活1株的概率；(2)设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列． [解] (1)记“银杏大树成活1株”为事件A ，“垂柳大树成活1株”为事件B ，则“两种大树各成活1株”为事件A B.由题可知P (A )＝C 12·34·14＝38，P (B )＝C 12·23·13＝49，由于事件A 与B 相互独立，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝16.(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫132＝1144；P (ξ＝1)＝C 12·34·14·⎝⎛⎭⎫132＋C 12·23·13·⎝⎛⎭⎫142＝572；P (ξ＝2)＝16＋⎝⎛⎭⎫342·⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫232＝37144； P (ξ＝3)＝C 12·34·14·⎝⎛⎭⎫232＋C 12·23·13·⎝⎛⎭⎫342＝512；P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫342·⎝⎛⎭⎫232＝14.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0,1,2， X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130， P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865， P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130， ∴X 的分布列为 X 0 1 2P 63130 2865 11130(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，310， P (X ＝k )＝C k 2⎝⎛⎭⎫1－3102－k ⎝⎛⎭⎫310k ，所以P (Y ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫7102＝49100，P (Y ＝1)＝C 12·310·710＝2150，P (Y ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫3102＝9100. ∴Y 的分布列为 Y 0 1 2P 49100 2150 91001．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]2．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45A [已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.]课后限时集训(五十七)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( )A.1112B.16C.130D.215D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (–C )＝23×14×45＝215.]2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512.]4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25，故选C.] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4–A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1–A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881.] 二、填空题6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫34，1 [设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意，得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23P 2(1－P )＜C 33P 3，∴3P 2(1－P )＜P 3.∵0＜P ＜1，∴34＜P ＜1.]7．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格率为45，乙的及格率为25，丙的及格率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________．2425 [设“甲及格”为事件A ，“乙及格”为事件B ，“丙及格”为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (–A )＝15，P (–B )＝35，P (–C )＝13，则P (–A –B –C )＝P (–A )P (–B )P (–C )＝15×35×13＝125，∴三人中至少有一人及格的概率P ＝1－P (–A –B –C )＝2425.]8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.14[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果． 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果．所以P (B )＝49，P (AB )＝19.所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1949＝14.] 三、解答题9．(2019·洛阳模拟)某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试．“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .(1)P (–C )＝P (–A 1 –A 2)＋P (–A 1A 2 –B 1 –B 2)＋P (A 1–B 1 –B 2)＝P (–A 1)P (–A 2)＋P (–A 1)P (A 2)P (–B 1)P (–B 2)＋P (A 1)·P (–B 1)P (–B 2)＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－342＋12×⎝⎛⎭⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564. (2)依题意知ξ＝2,3,4，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (–A 1 –A 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (–A 1)P (–A 2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1–B 1B 2)＋P (–A 1A 2B 1)＋P (A 1–B 1 –B 2)＝P (A 1)P (–B 1)P (B 2)＋P (–A 1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)P (–B 1)P (–B 2)＝516，P (ξ＝4)＝P (–A 1A 2–B 1)＝P (–A 1)P (A 2)P (–B 1)＝116.故投篮的次数ξ的分布列为：10.从某企业生产的某种产品中抽取示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列．[解] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x ＋2x ＋x ＝1，解得x ＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X ～B (n ，p )，其中n ＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率为p ＝0.6.因为X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 03×0.60×0.43＝0.064，P (X ＝1)＝C 13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432，P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216.所以X 的分布列为1.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为( )A.14B.12C.34D.45C [记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B.若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.] 2．经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P (ξ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2B [根据题意得，P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫34k ⎝⎛⎭⎫1－345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫145＝145，P (ξ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫144＝1545，P (ξ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫342×⎝⎛⎭⎫143＝9045，P (ξ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫142＝27045，P (ξ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫344×⎝⎛⎭⎫141＝40545，P (ξ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫345×⎝⎛⎭⎫140＝24345，故当k ＝4时，P (ξ＝k )最大．] 3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3为两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．②④ [P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为511，即P (B |A 1)＝511，故②正确；由于P (B )≠P (B |A 1)，故B 与A 1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]4．(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝⎛⎭⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (X ＝2)＝C 24·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝⎛⎭⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝⎛⎭⎫134＝181. ∴X，即X ＝0，∵81＜90%≤81，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P(X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y第五节 n 次独立重复试验与二项分布[考纲传真] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．1(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与–B ，–A 与B ，–A 与–B 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． ( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． ( ) (3)公式P (AB )＝P (A )P (B )对任意两个事件都成立． ( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布． ( )2．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58 D.383．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( ) A.316 B.1316C.34D.144．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．1．从1,2,3,4,5中任取2B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.122．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )A.13B.15C.19D.3203．(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． ，这是求条件概率的通法A )，再求事件＝【例1】 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．【例2】 (2019·2株．假定银杏移栽的成活率为34，垂柳移栽的成活率为23，且各株大树是否成活互不影响．(1)求两种大树各成活1株的概率；(2)设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列．品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．1．(·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45课后限时集训(五十七) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( )A.1112B.16C.130D.2152．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.164．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.125．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19二、填空题6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值范围为________．7．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格率为45，乙的及格率为25，丙的及格率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________．8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.三、解答题 9．(2019·洛阳模拟)某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试．“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．10.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列．B 组 能力提升1.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为( )A.14B.12C.34D.452．经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P (ξ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3为两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．4．(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．。

课题：独立重复试验与二项分布BGST 运用：1、课程标准：使学生正确理解独立重复试验与二项分布的意义，解决一些简单的实 际应用问题。

2、学习目标：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。

3、教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

4、教学难点：二项分布模型的构建。

5、考点解读：古典概型使用公式时，确定m 和n 是关键；几何概型要统一度量；会计算n 次独立重复试验中恰好发生k 次。

独立重复试验与二项分布一、复习引入（大约2分钟）：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P A B =3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =，称A 与B4. 离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布：如果离散型随机变量X 的分布列为 则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。

二点分布二、概念形成（大约10分钟）实例1：将一枚均匀硬币随机掷10次，求正好出现5次正面的概率。

思考1、前一次结果是否影响后一次？也就是每次的结果是否相互独立？2、每次试验的结果有几个？结论1、各次试验结果不会受其他次试验结果影响；2、本小节涉及的每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及 ，并且事件A 发生的概率相同。

在相同条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。

实例2：姚明在某场比赛中得到4次罚球机会，假设每次投篮都互不影响。

如果姚明投篮命中的概率为p,求投中X次的概率。

A表示事件“第k次投中”分析：用k一般的，事件A在n次试验中发生k次，共有种情形，由试验的独立性知道A在k 次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是（在一次试验中事件A发生的概率是p）,那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有两个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率。

二项分布与超几何分布第1课时n次独立重复试验与二项分布学习目标核心素养1．理解n次独立重复试验的模型．重点2．理解二项分布．难点3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养．2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为，乙班取胜的概率是，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？1．n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．思考：独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]1每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；2各次试验结果互不影响；3每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．2．二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记q＝1－，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，，…，n}，而且PX＝＝C错误!q n－，＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．X 01……nP C错误!0q nC错误!1q n－1…C错误!q n－…C错误!n q0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式q＋n＝C错误!0q n＋C错误!1q n－1＋…＋C错误!q n－＋…＋C错误!n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，的二项分布，记作X～Bn，．1．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．2两点分布是特殊的二项分布．3二项分布可以看作是有放回抽样．4n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同．[答案]1×2√3√4×2．若X～B10,，则PX＝8等于A．C错误!××B．C错误!××C．×D．×A[∵X～B10,，∴PX＝8＝C错误!××，故选A]3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．错误![抛掷一枚硬币出现正面的概率为错误!，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!]4．下列说法正确的是________．填序号①某同学投篮的命中率为，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B10,；②某福彩的中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B8，；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B错误!①②[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]独立重复试验的概率错误!错误!击中目标，相互之间没有影响．1求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；2求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解]1记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验．故P A1＝1－P\to A1＝1－错误!错误!＝错误!2记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P A2＝C错误!×错误!错误!＝错误!，PB2＝C错误!×错误!错误!×错误!＝错误!由于甲、乙射击相互独立，故P A2B2＝错误!×错误!＝错误!1．变结论在本例2的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．[解]记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P A3＝C错误!×错误!×错误!＝错误!，PB3＝错误!，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P A3B3＝错误!×错误!＝错误!2．变结论在本例2的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．[解]记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P A4＝C错误!错误!错误!＝错误!，PB4＝C错误!错误!错误!＝错误!，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P A4B4＝错误!×错误!＝错误!独立重复试验概率求法的三个步骤二项分布遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是错误!1求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；2求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[思路点拨]1首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．2注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．[解]1ξ～B错误!，ξ的分布列为Pξ＝＝C错误!错误!错误!错误!错误!，＝0,1,2,3,4,5故ξ的分布列为ξ01234 5P 错误!错误!错误!错误!错误!错误!2η的分布列为Pη＝＝P前个是绿灯，第＋1个是红灯＝错误!错误!·错误!，＝0,1,2,3,4；Pη＝5＝P5个均为绿灯＝错误!错误!故η的分布列为η01234 5P 错误!错误!错误!错误!错误!错误!1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～Bn，中的试验次数n与成功概率2．解决二项分布问题的两个关注点1对于公式PX＝＝C错误!1－n－＝0,1,2，…，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．错误!1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为错误!，且各人的选择相互之间没有影响．1求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；2设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．[解]1设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋\toA∩\toB”，且事件A，B相互独立．∴P A∩B＋\toA∩\toB＝P APB＋P\toAP\toB＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B错误!∴Pξ＝＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝C错误!错误!错误!＝0,1,2,3,4．∴随机变量ξ的分布列为ξ0123 4P 错误!错误!错误!错误!错误!独立重复试验与二项分布的综合应用1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为错误!，乙队中3人答对的概率分别为错误!，错误!，错误!，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．1求随机变量ξ的分布列；2用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P AB．[思路点拨]1由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，＝错误!2AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解]1由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ＝0＝C错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝1＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝2＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝3＝C错误!错误!错误!＝错误!所以ξ的分布列为ξ012 3P 错误!错误!错误!错误!2用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C∪D，且C，D互斥，又PC＝C错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，PD＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，由互斥事件的概率公式得P AB＝PC＋PD＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解错误!2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．[解]因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为错误!错误!＝错误!，所以单个坑不需要补种的概率为1－错误!＝错误!设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，PX＝0＝C错误!×错误!错误!错误!错误!＝错误!，PX＝1＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!＝错误!，PX＝2＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!＝错误!，PX＝3＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!错误!，所以需要补种坑数的分布列为X 012 3P 错误!错误!错误!错误!1．独立重复试验的基本特征1每次试验都在同样条件下进行．2每次试验都只有两种结果：发生与不发生．3各次试验之间相互独立．4每次试验，某事件发生的概率都是一样的．2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义1．某学生通过英语听力测试的概率为错误!，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A[记“恰有1次获得通过”为事件A，则P A＝C错误!错误!·错误!错误!＝错误!故选A]2．某电子管正品率为错误!，次品率为错误!，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则Pξ＝3＝A．C错误!错误!错误!×错误!B．C错误!错误!错误!×错误!\u122×错误!错误!错误!×错误!C[ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是错误!错误!×错误!] 3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是错误!，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．错误![所有同学都不通过的概率为错误!错误!，故至少有一位同学通过的概率为1－错误!错误!＝错误!]4．设X～B4，，且PX＝2＝错误!，那么一次试验成功的概率等于________．错误!或错误![PX＝2＝C错误!21－2＝错误!，即21－2＝错误!错误!·错误!错误!，解得＝错误!或＝错误!]5．教材P79练习BT1改编某气象站天气预报的准确率为80%，计算结果保留两位小数：1“5次预报中恰有2次准确”的概率；2“5次预报中至少有2次准确”的概率．[解]1记“预报1次准确”为事件A，则P A＝5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝C错误!××＝2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为2“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C错误!×＋C错误!××＝72所以所求概率为1－P＝1－72≈所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为。

《第八讲n次独立重复试验与二项分布》教学设计（初稿）C ．15D ．120做题方法： 条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )．这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A )．考点二 相互独立事件——多维探究 角度1 相互独立事件同时发生的概率例2 (1)(2022·石家庄质检)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0．8，乙解决这个问题的概率是0．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0．48B ．0．52C ．0．8D ．0．92(2)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是___．(3)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．①求P(X＝2)；②求事件“X＝4且甲获胜”的概率．角度2与相互独立事件相关的数学期望例3(2022·内蒙古包头调研)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲、乙、丙需要调整的概率分别为0．1,0．3,0．4，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件甲、乙中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．做题方法：求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点三独立重复试验的概率与二项分布——师生共研例4(1)(2022·“四省八校”联考)已知随机变量ξ服从二项分布B(n，p)，若E(ξ)＝12，D(ξ)＝3，则n＝____．(2)(2021·山东枣庄期末)2020年是不平凡的一年，世界经济都不同程度地受到疫情的影响．某公司为了促进产品销售，计划从2020年11月起到2021年2月底，利用四个月的时间，开展产品宣传促销活动，为了激励员工，拟制定如下激励措施：从2020年11月1日开始，全部销售员工的销售业绩等级定为0级，每月考核一次，若员工A ．4B ．5C ．6D ．73．(2022·甘肃嘉峪关一中模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A ．25B ．35C ．18125D ．541254．(2022·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．165．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝⎛⎭⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×496．(2022·江苏镇江八校期中联考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以31的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481C ．49D ．897．(2022·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )A ．313B ．413C ．14D ．158．(2021·河南新乡市二模)某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为( )各局比赛结果相互独立，则甲队以32获胜的概率是 .三、解答题14．(2022·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是12，乙、丙两人同时投进的概率是320，甲、丙两人同时投不进的概率是15，且三人各自能否投进相互独立．(1)求乙、丙两人各自投进的概率；(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．15．(2022·陕西汉中质检)清华大学自主招生考试题中要求考生从A ，B ，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A ，B ，C 三题答卷如下表：题 A B C 答卷数180300120(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B ，C 题作答的答卷中各抽出的多少份？(2)测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望E (X )．B 组能力提升（选做题）1．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率均为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为 .2．(2020·天津和平区期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16，现有3名同学独立地从中任取一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为( )A ．136B ．112C ．16D ．133．(2021·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )。

2.2.3 独立重复试验与二项分布【教学目标】①理解n次独立重复试验的模型和二项分布，并能利用它们解决一些简单的实际问题；②认真体会模型化思想在解决问题中的作用，感受概率在生活中的应用，提高数学的应用意识.【教学重点】理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题【教学难点】n次独立重复试验的模型及二项分布的判断一、课前预习1.n次独立重复试验：在_____的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果__________,则称它们为n次独立重复试验.2.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率公式为_________________________________3.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为______________.则X的分布列n,的二项分布，记作：_______________.称为离散型随机变量X服从参数为p二、课上学习例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6.试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）恰有2人活到65岁的概率；（3）恰有1人活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率.例2、设一射手平均每射击10次中靶4次，求在5次射击中：（1）恰击中1次的概率；（2）第二次击中的概率；（3）有且只有第二次击中目标；（4）恰击中2次的概率；（5）第二、三两次击中的概率；（6）至少击中一次的概率.例3、一名学生每天骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. （1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；（2）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率；（3）设Y 为这名学生首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列.三、课后练习1.抛掷一枚质地均匀的骰子100次，求正好出现30次6点的概率.2.有一批种子，每粒发芽的概率为0.9，播下5粒种子.计算：（1）其中恰有4粒发芽的概率；（2）其中至少有4粒发芽的概率；（3）其中恰有3粒没发芽的概率.3.甲、乙两人进行三局二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（ ）36.0.A 216.0.B 432.0.C 648.0.D4.已知每门炮击中飞机的概率为0.6，欲有99%的把握击中来犯的一架敌机，需至少配置这样的高炮.A 3门 .B 4门 .C 5门 .D 6门5.某射手每次击中目标的概率都是0.8，每次射击结果相互独立，他连续射击4次：（1）第一次未中，后三次都击中目标的概率为____________;（2）恰有三次击中目标的概率为___________________.6．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）.A 33351A A - .B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ .C 331()5- .D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 7.若),1.0,5(~B X那么=≤)2(X P （ ） 0729.0.A 00856.0.B 91854.0.C99144.0.D8.100件产品中有5件不合格品，每次取一件，有放回地取三次，求取得不合格品件数X 的分布列.9.某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X 的概率分布.10.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。