2018届高三数学每天一练半小时(77)独立重复试验与二项分布

训练目标(1)对独立重复试验及二项分布正确推断，并能求出相关概率；(2)能解决简洁的正态分布问题．训练题型 (1)利用二项分布求概率；(2)利用正态曲线的性质求概率． 解题策略(1)生疏独立重复试验及二项分布的特征，理解并熟记二项分布的概率计算公式；(2)把握正态曲线的性质，利用3σ原则解决正态分布下的概率问题.一、选择题1．(2021·天津调研)抛一枚均匀硬币，正反两面消灭的概率都是12，重复这样的投掷，数列{a n }的定义如下：a n ＝1，第n 次投掷消灭正面；a n ＝－1，第n 次投掷消灭反面．若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则大事“S 8＝2”发生的概率是( ) A.1256B.13128C.12D.7322．(2022·重庆二诊)已知随机变量ξ～B (n ，p )，且其均值和方差分别为2.4和1.44，则参数n ，p 的值分别为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.13．(2021·大连月考)甲、乙两人进行象棋竞赛，竞赛接受五局三胜制，无论哪一方先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.894．设随机变量ξ听从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( ) A.73 B.53 C ．5D ．35.(2022·广东中山一中等七校联考)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·22()2ei i x μσ--(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ36．甲、乙两人参与某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的均值E (ξ)的值为( ) A.43 B.119C ．1D.897．(2021·西安调研)下列随机变量X 听从二项分布的是( ) ①重复抛掷一枚骰子n 次，消灭点数是3的倍数的次数X ；②某射手击中目标的概率为0.9，从开头射击到击中目标所需的射击次数X ；③一批产品共有N 件，其中M 件为次品，接受有放回的抽取方法，X 表示n 次抽取中消灭次品的件数(M <N )； ④一批产品共有N 件，其中M 件为次品，接受不放回的抽取方法，X 表示n 次抽取中消灭次品的件数(M <N )． A ．②③B ．①④C ．③④D ．①③8．已知随机变量X 听从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243C.13243D.80243二、填空题9．在4次独立重复试验中，大事A 发生的概率相同，若大事A 至少发生1次的概率是6581，则大事A 在每次试验中消灭的概率是________．10．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9； ②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________．11．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．12．已知X～N(μ，σ2)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20 000人参与的考试，数学成果大致听从正态分布N(100,100)，则本次考试120分以上的同学约有________人.答案精析1．D [大事S 8＝2表示反复抛掷8次硬币，其中消灭正面的次数是5，其概率P ＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝732.] 2．B [∵ξ～B (n ，p )，故⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np (1－p )＝1.44.解得p ＝0.4，n ＝6.]3．A [甲以3∶1的比分获胜，即前三局甲胜二局，第四局甲胜，所求的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＝827.故选A.] 4．A [由于ξ听从正态分布N (3,4)，且P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋22＝3，解得a ＝73.]5．D [当σ肯定时，曲线的位置由μ确定；当μ肯定时，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，结合图象知，故选D.]6．A [由题意可知，ξ听从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，所以E (ξ)＝2×23＝43.]7．D [①由于每抛掷一枚骰子消灭点数是3的倍数的概率都是相等的，且相互独立，故X 听从二项分布；②对于某射手从开头射击到击中目标所需的射击次数X ，每次试验与前面各次试验的结果有关，故X 不听从二项分布；③由于接受有放回的抽取方法，所以每次抽取消灭次品的概率都是相等的，且相互独立，故X 听从二项分布；④由于接受不放回的抽取方法，所以每次抽取消灭次品的概率不相等，故X 不听从二项分布．故选D.]8．D [已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，P (X ＝k )＝C k n p k ·(1－p )n －k，当X ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (X ＝2)＝C 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－2＝C 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.]9.13解析 设大事A 在每次试验中消灭的概率为p ，依题意1－(1－p )4＝6581，∴p ＝13.10．①③解析 在n 次独立重复试验中，每次大事发生的概率都相等，①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以正确的概率应为C 340.93×0.1，②错误；利用对立大事，③正确．11.827解析 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设“申请A 片区房源”为大事A ，则P (A )＝13，所以恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. 12．500解析 依题意可知μ＝100，σ＝10.由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，所以P (80<X ≤120)＝0.95， 因此本次考试120分以上的同学约有20 000×(1－0.95)2＝500(人)．。

高考数学重点专项：独立重复试验与二项分布（含详细解析部分）问题导学一、独立重复试验活动与探究1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．迁移与应用1．(2013四川广元模拟)打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为()A．C41000.84×0.296B．0.84C．0.84×0.296D．0.24×0.2962．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________．(1)n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．(2)独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．二、二项分布活动与探究2某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．迁移与应用1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，则击中目标的次数X的概率分布列为__________．2．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．三、二项分布的综合应用活动与探究3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．迁移与应用某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．相同预习交流1提示：①在相同条件下重复做n次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)，A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．2．C k n p k(1－p)n－k成功概率预习交流2(1)提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊与一般的关系．(2)提示：B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8．5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝25C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝05C×(0.2)5＋15C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．∴所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02．∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．迁移与应用1．A解析：由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C4100·0．84×0．296．2．827解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝13，∴恰有2人申请A片区的概率为P(2)＝24C·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827．活动与探究2思路分析：本题符合二项分布模型，根据题意，可直接利用二项分布的概率计算方法解答．解：由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为13，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，即X～B⎝⎛⎭⎫4，13，∴P (X＝k)＝4C k·⎝⎛⎭⎫13k·⎝⎛⎭⎫234－k＝4C k·24－k81(k＝0,1,2,3,4)，∴X的分布列为迁移与应用1．由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝C k4×0.8k×0.24－k，k＝0,1,2,3,4，∴P(X＝0)＝C04×0.80×0.24＝0.001 6，P(X＝1)＝C14×0.81×0.23＝0.025 6，P (X ＝2)＝C 24×0.82×0.22＝0.153 6，P (X ＝3)＝C 34×0.83×0.21＝0.409 6，P (X ＝4)＝C 44×0.84×0.20＝0.409 6． ∴X 的概率分布列为2．解：(1)记事件A 3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13．∴某个家庭获奖的概率为13．(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13． ∴P (X ＝0)＝05C ·⎝⎛⎭⎫130·⎝⎛⎭⎫235＝32243，P (X ＝1)＝15C ·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫234＝80243，P (X ＝2)＝25C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫233＝80243，P (X ＝3)＝35C ·⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫232＝40243，P (X ＝4)＝45C ·⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫231＝10243，P (X ＝5)＝55C ·⎝⎛⎭⎫135·⎝⎛⎭⎫230＝1243． ∴X 的分布列为活动与探究3 思路分析：解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23． P (ξ＝0)＝03C ×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝13C ×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝23C ×⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝33C ×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝23C ×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛ 23×13×12＋13×⎭⎫23×12＋13×13×12＝1081． P (D )＝827×⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝4243． ∴P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1081＋4243＝34243．迁移与应用 解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ．因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 发生的概率为：P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427． (2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827． 由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89． 当堂检测1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) A ．49125 B ．48125 C ．1625 D ．925答案：B 解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B 43,5⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P (X ＝2)＝C23×214155⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝48125．故选B ．2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B 162⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则P (ξ≤3)等于( )A ．1132B ．732C ．2132D ．764答案：C 解析：P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝6666012366661111C C C C 2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++＝2132． 3．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为__________． 答案：49解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为2123214C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)答案：①③ 解析：②中恰好击中目标3次的概率应为34C ×0.93×0.1＝0.93×0.4，①③正确．5．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：(1)甲坑不需要补种的概率； 答案：解：因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875． (2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； 答案：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为21371C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭．(3)有坑需要补种的概率．(精确到0.001)答案：方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫⎪⎝⎭，所以有坑需要补种的概率为1－378⎛⎫⎪⎝⎭≈0.330．方法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；3个坑都需要补种的概率为33317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330．。

2.3.3 独立重复试验与二项分布(二)一、解答题。

1. 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9．求发生险情时，下列事件的概率： 3台都未报警；恰有1台报警；恰有2台报警．2. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A.12 B.512C.14D.163. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．4. 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响． 假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．5. （2018四川南充高三第一次适应性考试）一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图（如图）．求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以频率分布直方图中的频率作为概率）6. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动六次后位于点(4,2)的概率是（ ）A.(12)6B.C 62(12)6C.C 64(12)4D.C 64C 62(12)67. 高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．8. 某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率为0.5．求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；设阿明投篮投中次数为X ，求X 的分布列；若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率．参考答案与试题解析2.3.3 独立重复试验与二项分布(二)一、解答题。

1．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A、P1=P2B、P1＜P2C、P1＞P2D、以上三种情况都有可能答案：D解析：每箱的选中的概率为1/10，总概率为1-0.910；题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

2．设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=p k•（1-p）1-k（k=0，1），则Eξ、Dξ的值分别是（）A、0和1B、p和p2C、p和1-pD、p和（1-p）p答案：D解析：设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=p k•（1-p）1-k（k=0，1），则P（ξ=0）=p，P（ξ=1）=1-pEξ=0×p+1×（1-p）=1-p，Dξ=[0-（1-p）]2×p+[1-（1-p）]2×（1-p）=p（1-p）．题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

二项分布是在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变。

3．已知随机变量x服从二项分布x～B（6，1/3），则P（x=2）=（）A、3/16B、4/243C、16/243D、80/243答案：D解析：x～B（6，13）表示6此独立重复试验，每次实验成功概率为1/3，P（x=2）表示6次试验中成功两次的概率．题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

二项分布是在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变。

高中数学独立重复试验与二项分布综合测试题（附答案）独立重复试验与二项分布一、选择题1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为()A．1－pkB．(1－p)kpn－kC．(1－p)kD．Ckn(1－p)kpn－k[答案] D[解析] 在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P(A)＝1－p，故P(X＝k)＝Ckn(1－p)kpn－k，故答案选D.2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A.13B.25C.56D.34[答案] A[解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13，故答案选A.3．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为() A．3.3210－5 B．3.3210－9C．6.6410－5 D．6.6410－9[答案] B[解析] 相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P＝C4100.0024(1－0.002)63.3210－9，应选B.4．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于()A.316B.4243C.13243D.80243[答案] D[解析] 已知X～B6，13，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝13时有P(X＝2)＝C261321－136－2＝C26132234＝80243.5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.16625B.96625C.192625D.256625[答案] B[解析] P＝C24452152＝96625.6．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(＝3)＝()A．C2314234 B．C2334214C.14234D.34214[答案] C7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为()A．0.930.1B．0.93C．C340.930.1D．1－0.13[答案] C[解析] 由独立重复试验公式可知选C.8．(2019保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(12)5 B．C25(12)5C．C35(12)3 D．C25C35(12)5[答案] B[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2＝C35(12)5＝C25(12)5.二、填空题9．已知随机变量X～B(5，13)，则P(X4)＝________. [答案] 1124310．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(MN)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数．[答案] ①③[解析] 对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(＝k)＝Ckn13k23n －k，符合二项分布的定义，即有～B(n，13)．对于②，的取值是1,2,3，……，P(＝k)＝0.90.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有～Bn，MN.故应填①③.11．(2019湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.9477[解析] 本题主要考查二项分布．C340.930.1＋(0.9)4＝0.9477.12．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.[答案] 10[解析] 当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2019k1220－k＝1220Ck20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．三、解答题13．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列．[解析] 设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2.所以解出该题人数X的分布列为X 0 1 2P 0.64 0.32 0.0414.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01) [解析] 10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X＝9)＝C9100.990.110.39.15．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．[解析] 因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以一个坑不需要补种的概率为1－18＝78. 3个坑都不需要补种的概率为C031807830.670，恰有1个坑需要补种的概率为C131817820.287，恰有2个坑需要补种的概率为C231827810.041，3个坑都需要补种的概率为C331837800.002.补种费用X的分布列为X 0 10 20 30P 0.670 0.287 0.041 0.00216.(2019全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．[解析] (1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋BC，而P(A)＝0.50.5＝0.25，P(B)＝20.50.5＝0.5，P(C)＝0.3 故P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.50.3＝0.4.(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296 P(X＝1)＝C140.4(1－0.4)3＝0.3456P(X＝2)＝C240.42(1－0.4)2＝0.3456P(X＝3)＝C340.43(1－0.4)＝0.1536P(X＝4)＝0.44＝0.0256。

高考达标检测（五十一） n 次独立重复试验与二项分布一、选择题1．(2017·陕西模拟)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0、80，做对两道题的概率为0、60，则预估做对第二道题的概率是( )A ．0、80B ．0、75C ．0、60D ．0、48解析:选B 设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ， 则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0、8·P (B )＝0、6，故P (B )＝0、75、2．(2017·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B 、12C 、13D 、14解析:选B 设事件A :第一次抛出的是偶数点，B :第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P ABP A＝12×1212＝12、3．(2016·郑州二模)设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( )A 、881B 、1681C 、827 D 、3281解析:选D P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827，即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23(舍去)，故P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝3281、 4．(2016·江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15、假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A 、5960 B 、35C 、12D 、160解析:选B “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45、由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35、5．(2017·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)的值为( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析:选D 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P (X ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38、6．(2017·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A 、12B 、13 C 、14 D 、16解析:选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3、由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16、二、填空题7．(2016·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________、解析:依题意，随机试验共有9个不同的基本结果， 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果．所以P (B )＝49，P (AB )＝19、所以P (A |B )＝P ABP B＝1949＝14、 答案:148．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12、质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析:移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次．故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516、答案:5169．(2017·海淀期末)已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0、7,0、6，且每次试跳成功与否之间没有影响．(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析:(1)记“甲在第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙在第i 次试跳成功”为事件B i ，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C 、法一:P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＝0、7×0、4＋0、3×0、6＋0、7×0、6＝0、88、法二:由对立事件的概率计算公式得P (C )＝1－P (A 1 B 1)＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0、3×0、4＝0、88、(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i ，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i ，所以所求概率P ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C 12×0、7×0、3×0、42＋0、72×C 12×0、6×0、4＝0、302 4、答案:(1)0、88 (2)0、302 4 三、解答题10．(2017·唐山模拟)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率； (2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个． 记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列． 解:(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49、(2)X 的所有可能取值为0,5,10,15,20、P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127、X 的分布列为:11．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0、5，0、6，0、75，能通过文考关的概率分别是0、6,0、5,0、4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数ξ的分布列． 解:(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”， 则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0、5×(1－0、6)×(1－0、75)＋(1－0、5)×0、6×(1－0、75)＋(1－0、5)×(1－0、6)×0、75＝0、275、(2)甲被录取的概率为P甲＝0、5×0、6＝0、3，同理P乙＝0、6×0、5＝0、3，P丙＝0、75×0、4＝0、3、∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0、3，故可看成是独立重复试验，即ξ～B(3,0、3)，ξ的可能取值为0,1,2,3，其中P(ξ＝k)＝C k3(0、3)k·(1－0、3)3－k、故P(ξ＝0)＝C03×0、30×(1－0、3)3＝0、343，P(ξ＝1)＝C13×0、3×(1－0、3)2＝0、441，P(ξ＝2)＝C23×0、32×(1－0、3)＝0、189，P(ξ＝3)＝C33×0、33＝0、027，故ξ的分布列为12．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6、9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9、9,11、4)的频数是4、(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．解:(1)由直方图，知成绩在[9、9,11、4)的频率为1－(0、05＋0、22＋0、30＋0、03)×1、5＝0、1、因为成绩在[9、9,11、4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40、又成绩在6、9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0、05×1、5×40＝37、(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340、P (ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝1 3691 600， P (ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P (ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91 600， 故所求分布列为高考达标检测（一） 集 合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B 、 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( )A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)解析:选A 因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A、5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25 D．52解析:选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3、所以元素(x，y)的所有结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是( )A．{a|a<1} B．{a|0≤a<1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析:选B 由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(图略)．若A∩B 中只有一个元素，则0≤a<1，故选B、8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析:选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2、 答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、 答案:①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。

独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。

在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。

要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

要点二、独立重复试验的概率公式 1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）．令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=- 令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。

要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

第十二章 排列组合、二项式定理、概率(9)12.9 独立重复试验与二项分布考点诠释重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 难点：判断独立重复试验模型及二项分布.典例精析题型一 相互独立事件同时发生的概率【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.【思路分析】由题意知，甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件为相互独立事件，根据相互独立事件的概率公式列方程求解，对于求至少有一个一等品的概率，可以利用它的对立事件概率来求解.【解析】【方法归纳】相互独立事件是发生的概率互不影响的两个或多个事件.两个相互独立事件同时发生的概率满足P (AB )＝P (A )P (B )，对于求与“至少”、“至多”有关事件的概率，通常转化为求其对立事件的概率.【举一反三】1.在某社区举办的“2012年伦敦奥运会知识有奖问答比赛”中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14.求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. 【解析】题型二 独立重复试验【例2】某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响. (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.【思路分析】本题是典型的独立重复试验问题，(1)利用概率公式计算即可；(2)分三类情况分别计算.【解析】【方法归纳】独立重复试验是同一试验的n 次重复，每次试验成功的概率都相同，恰有k 次试验成功的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . 【举一反三】2.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13.从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求P (ξ≥2).【解析】题型三 二项分布【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；(2)设Y 为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y 的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【思路分析】(1)X ～B (6，13)，利用公式计算并列表；(2)Y 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，分别计算概率得分布列；(3)利用求对立事件的概率解得.【解析】【方法归纳】解决离散型随机变量的分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意分析题中的离散型随机变量服从何种分布.分布列能完整地刻画随机变量X 与相应概率的变化情况，是我们进一步分析随机变量的基础.【举一反三】3.某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(当第n 次出现正面时)，－1(当第n 次出现反面时)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *).(1)求S 8＝2的概率；(2)求S 2≠0且S 8＝2的概率.【解析】体验高考(2011大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望．【解析】【举一反三】(2011重庆)某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中，(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．【解析】。

高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布[基础巩固练]一、选择题1．从1,2,3,4,5中不放回地依次取两个数，事件A ＝{第一次取到的是奇数}，B ＝{第二次取到的是奇数}，则P (B |A )＝( )A.15 B ．310 C ．25D ．12[解析] 解法一：依题意P (A )＝35，P (AB )＝35×24，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×2435＝12.解法二：第一次取到奇数后，第二次取数时还有四个数可取，其中两个奇数，故在第一次取到奇数的条件下，第二次取到奇数的概率为24＝12.[答案] D2．(2019·内蒙古包头调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25 B ．1130 C ．715D ．16[解析] 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.[答案] C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B ．12 C ．712D ．34[解析] 用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生概率为 P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝12×C 15C 16＝512.则所求概率P ＝1－P (A －B －)＝712. [答案] C4．(2019·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.8192C ．0.8D ．0.75[解析] 因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率C 34(0.8)3(1－0.8)＋C 48(0.8)4＝0.8192，故选B.[答案] B5．(2019·河南濮阳模拟)如图，已知电路中4个开头闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B．3 4C．1316D．14[解析]灯泡不亮包括4个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316，故选C.[答案] C二、填空题6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．[解析]由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. [答案] 127．(2019·扬州一模)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．[解析] 解法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.解法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. [答案] 138．(2020·江西抚州一中月考)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．[解析] 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件C ，则P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.[答案] 881 三、解答题9．(2019·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为10.(2019·石家庄模拟)1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵7281<90%≤8081，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为11．(2019·郑州模拟)某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X (单位：mm)对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：) A ．0.7 B ．0.5 C ．0.3D ．0.2[解析] 设事件A 为“年降水量X 至少是100”，事件B 为“工期延误小于30天”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.2＋0.10.2＋0.1＋0.3＝0.5，故选B.[答案] B12．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，若在三次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B ．34 C ．964D ．2764[解析] 假设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，所以事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. [答案] C13．(2019·浙江模拟)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．[解析] 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为24×24＝14.[答案] 13 1414．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p＝14时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，求丙投资两种方案的获利金额的分布列．[解](1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p＋13＋q＝1.又p＝14，∴q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A B－∪A－B∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，∴P(C)＝P(A B－)＋P(A－B)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝12＋12p.∵P(C)＝12＋12p>45，∴p>35.又p＋13＋q＝1，q≥0，∴p≤23.∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为假设丙选择“购买基金”(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为[拓展延伸练]15．(2019·河南郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是( )A.1127B ．1124C．1627D．38[解析]解法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知P(B)＝46＝23，P(B－)＝1－23＝1 3；由条件概率公式知P(A|B)＝49，P(A|B－)＝39＝13.从而P(A)＝P(AB)＋P(A B－)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B－)·P(B－)＝1127.故选A.解法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.故从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.故选A.[答案] A16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入甲袋或乙袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入甲袋中的概率为__________．[解析] 记“小球落入甲袋中”为事件A ，“小球落入乙袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入乙袋中，则小球必须一直向左或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.[答案] 34。

课时提升作业十一独立重复试验与二项分布一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知随机变量X服从二项分布X～B,则P(X=2)= ( )A. B. C. D.【解析】选D.P(X=2)=×=.2.(2018·威海高二检测)在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选C.设事件A每次试验发生的概率为p,则1-(1-p)3=,解得p=,故事件A发生一次的概率为××=.3.在一次反恐演习中,三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹),由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别是0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹击中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率是( )A.0.998B.0.046C.0.936D.0.954【解析】选D.P=0.9×0.9×0.2+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8+0.9×0.9×0.8=0.954.4.某人参加一次考试,4道题中答对3道题则为及格,已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.他答对3道题的概率为·0.43·(1-0.4)=0.153 6,他答对4道题的概率为0.44=0.025 6,故他能及格的概率为0.153 6+0.025 6=0.179 2=.5.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n}:a n=如果S n为数列{a n}的前n项和,那么S7=3的概率为( )A.·B.·C.·D.·【解题指南】由数列{a n}的定义,S7=a1+a2+…+a7和S7=3知7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球.【解析】选B.由S7=3知在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为·.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数X的分布为__________. 【解析】由题意得,在5次独立重复试验中事件“正面向上”发生的次数为X,每次试验中事件“正面向上”发生的概率是0.5,所以X～B(5,0.5).答案:X～B(5,0.5)7.每次试验的成功率为p(0<p<1),重复进行10次试验,其中前7次都未成功,后3次都成功的概率为__________.【解析】由题意得,重复进行10次试验,其中前7次都未成功,后3次都成功的概率为p3(1-p)7.答案:p3(1-p)78.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__________.①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;③有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M<N);④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n 次抽取中出现次品的件数.【解析】对于①,设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”,P(A)= .而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k=0,1,2,…,n)的概率P(ξ=k)=××,符合二项分布的定义,即有ξ～B.对于②,ξ的取值是1,2,3,…,P(ξ=k)=0.9×0.1k-1(k=1,2,3,…),显然不符合二项分布的定义,因此ξ不服从二项分布.③和④的区别是:③是“有放回”抽取,而④是“无放回”抽取,显然④中n 次试验是不独立的,因此ξ不服从二项分布,对于③有ξ～B.故应填①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)9.某校举行综合知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有6次答题的机会,选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛.答对4题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰,已知选手甲答题连续两次答错的概率为(已知甲回答每道题的正确率相同,并且相互之间没有影响).(1)求选手甲回答一个问题的正确率.(2)求选手甲可以进入决赛的概率.【解析】(1)设选手甲回答一个问题的正确率为p1,则(1-p1)2=,故选手甲回答一个问题的正确率p1=.(2)选手甲答了4道题进入决赛的概率为=,选手甲答了5道题进入决赛的概率为=;选手甲答了6道题进入决赛的概率为=;故选手甲可进入决赛的概率p=++=.【补偿训练】(2018·武威高二检测)某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率.(2)其中恰有3次击中目标的概率.【解析】(1)该射手射击了5次,其中只在第一、三、五次击中目标,是在确定的情况下击中目标3次,也即在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又各次射击的结果互不影响,故所求概率为P1=××××=.(2)该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标,符合独立重复试验概率模型,故所求概率为P2=·=.10.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率.(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.【解析】(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=·+=.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A 0 0 3事件B 1 0 2事件C 1 1 1事件D 0 1 2 P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==,因为A,B,C,D互斥,所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.。

第七节 独立重复试验与二项分布1．条件概率(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(2)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(3)二项分布是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )(4)相互独立事件一定是互斥事件．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49 B.29 C.427D.227A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.] 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A.310 B.13 C.38D.29B [设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝15，P (AB )＝2×310×9＝115.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.] 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1。

2.2.3 独立重复试验与二项分布一、选择题1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )A.516B.25C.58D.132 答案 A解析 由n 次独立重复试验的定义知，在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是P ＝C 25·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫123＝516. 2.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ≤3)等于( ) A.1132 B.732 C.2132 D.764 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06×⎝⎛⎭⎫126＋C 16·⎝⎛⎭⎫126＋C 26·⎝⎛⎭⎫126＋C 36·⎝⎛⎭⎫126＝2132. 3.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A.0.93B.1－(1－0.9)3C.C 35×0.93×0.12D.C 35×0.13×0.92 答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12.4.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25考点 n 次独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x .由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181，所以(1－x )4＝181，解得x ＝23.5.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 A解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝3×49×13×23＝827，故选A.6.若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则使P (X ＝k )最大的k 的值是( ) A.2 B.3 C.2或3 D.4 答案 B解析 P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫126－k ＝C k 6⎝⎛⎭⎫126， ∴当k ＝3时，C k 6⎝⎛⎭⎫126最大. 7.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235 B.C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132C.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135 D.C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135 考点 n 次独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 D解析 由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选D. 二、填空题8.从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________. 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 0.048 6解析 P ＝C 24×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.9.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________.答案516解析 质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－123＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516.10.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为________. 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 4解析 由1－C 0n⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，得⎝⎛⎭⎫12n <0.1，∴n ≥4. 11.一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________.考点 n 次独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率答案881解析 X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球.则P (X ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232×13＝881. 三、解答题12.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p＝15. (2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23·110·⎝⎛⎭⎫1－1102＋⎝⎛⎭⎫1－1103＝9721 000＝243250. 故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.13.某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为 P ＝C 23⎝⎛⎭⎫132·23＋⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：P (A )＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127， P (B )＝C 13⎝⎛⎭⎫133＝19， P (C )＝C 13C 12⎝⎛⎭⎫133＝29， P (D )＝C 13⎝⎛⎭⎫133＝19， 因为A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A ∪B ∪C ∪D ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1327.14.网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物. (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列.考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝0,1,2,3,4).(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281. (2)易知X 的所有可能取值为0,3,4.P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234 ＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481.所以随机变量X 的分布列是15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X ，求X 的分布列. 解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}. 由题意，知A 1与A 2相互独立，A 1∩A 2与A 1∩A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1∩A 2，B 2＝A 1∩A 2＋A 1∩A 2，C ＝B 1＋B 2. 因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1∩A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1∩A 2＋A 1∩A 2)＝P (A 1∩A 2)＋P (A 1∩A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获奖的概率为710，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，710. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫7100⎝⎛⎭⎫3103＝271 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫7101⎝⎛⎭⎫3102＝1891 000， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫7102⎝⎛⎭⎫3101＝4411 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫7103⎝⎛⎭⎫3100＝3431 000，故X的分布列为。