2018年高考数学二轮复习习题 第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题

限时规范训练 A 组——高考热点强化练
一、选择题
1．已知双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1，其渐近线上的点到焦点的最小距离为( )
A.12 B ．1 C.32
D. 3
解析：其最小距离是焦点到渐近线的距离为b ＝ 3. 答案：D
2．(2017²上海浦东新区模拟)方程kx 2
＋4y 2
＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4
D ．0<k <4
解析：椭圆方程为x 24＋y 2
k
＝1，焦点在x 轴上，∴0<k <4.
答案：D
3．已知圆C ：x 2
＋y 2
＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2
＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线
l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )
A ．5 B.41 C.41－2
D ．4
解析：由题得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得
m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.
答案：B
4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2
D ．2 2
解析：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点， 所以S ＝12³2c ³b ＝bc ＝1≤b 2
＋c 2
2＝a
2
2.
所以a 2
≥2.所以a ≥ 2.
所以长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D
5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x
2
2－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→²MF 2→
<0，则y 0
的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
33，33 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－223
，223
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－233
，233
解析：由题意知a 2
＝2，b 2
＝1，所以c 2
＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
所以MF 1→
＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→
＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→
²MF 2→
＝x 2
0－3＋y 2
0＝3y 2
0－1<0， 所以－
33<y 0<3
3
，故选A. 答案：A
6．(2017²河南适应性模拟)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是(4,0)，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．10
解析：本题考查直线和抛物线的位置关系以及焦点弦长公式．因为F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，M (4,0)，由|MA |2＝|MB |2得(4－x 1)2＋y 21＝(4－x 2)2＋y 22 ①，又y 21＝4x 1，y 2
2＝4x 2，代入①中
并展开得16－8x 1＋x 21＋y 21＝16－8x 2＋x 22＋y 22，即x 21－x 2
2＝4x 1－4x 2，得x 1＋x 2＝4，所以|AB |≤|AF |＋|BF |＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋p 2＝6，当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立，所以|AB |max ＝6，故选C.
答案：C
7．(2017²高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．
12
D ．10
解析：因为F 为y 2
＝4x 的焦点，所以F (1,0)．
由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1
k
，
故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1
k
(x －1)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1 ，y 2
＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2
＋4
k
2，x 1x 2＝1，
所以|AB |＝1＋k 2
²|x 1－x 2|＝1＋k 2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k 2
²⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
＋
4k 22－4＝4 1＋k 2
k
2
. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2
)．
所以|AB |＋|DE |＝4 1＋k 2
k
2
＋4(1＋k 2
)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4³2＝16. 当且仅当k 2
＝1k
2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.
答案：A
8．(2017²高考全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠
AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0，3]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0，3]∪[4，＋∞)
解析：法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．
故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x
|y |1－
3＋x |y |²3－x
|y |
＝
23|y |
x 2＋y 2－3
.
又tan ∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2
＝3－3y 2
m
，
则
23|y |3－3y 2
m
＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－3m y
2＝－ 3.解得|y |＝2m
3－m . 又0＜|y |≤m ，即0＜2m 3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.
对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A. 法二：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，
要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b
≥tan 60°＝3，即
3
m
≥3，解得0＜m ≤1.
当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b
≥tan 60°＝3，则
m
3
≥3，解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A. 答案：A 二、填空题
9．已知过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，
则双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：由题意可知双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角小于45°，所以0<b a
<1，即b 2<a 2，c 2－a 2<a 2
，解得1<e < 2. 答案：(1,2)
10．(2017²云南昆明质检)椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值
时，点P 的坐标是________．
解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|²|PF 2|≤⎝
⎛⎭
⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，
当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案：(－3,0)或(3,0)
11．(2017²德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2
b
2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l
交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． 解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短， 则2b
2
a
＝3.所以b 2
＝3，即b ＝ 3.
答案： 3
12．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →
＝0，。