甘肃省玉门一中2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版缺答案

高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足z+i=（i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则双曲线的渐近方程是（）A．y=x B．y=x C．y=±2x D．y=±4x3．（5分）一动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相外切，且与直线l：x=1相切，则动圆圆心轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”D．对于命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥05．（5分）直线l与椭圆C：=1相交于A，B两点，若直线l的方程为x ﹣2y+1=0，则线段AB的中点坐标是（）A．（﹣，﹣）B．（，﹣） C．（1，1） D．（﹣，）6．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.27．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．2 D．49．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）10．（5分）抛物线C：y2=12x的准线与x轴交于点P，A是抛物线C上的一点，F 是抛物线C的焦点，若|AP|=|AF|，则点A的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．211．（5分）已知f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（1，2）B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4）D．（1，2）∪（3，4）12．（5分）关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=3lnx+x+2在点P处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．14．（5分）若椭圆=1的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为．15．（5分）已知函数f（x）=在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1=x（x＞0）求得x=，类似上述过程，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O点，AB=BC=2，异面直线DB与D1C所成的角的余弦值（Ⅰ）求此长方体的体积；（Ⅱ）求截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值；（Ⅲ）在棱B1B上找一点P，使得PD⊥平面D1AC．20．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1）且边AC，BC所在的直线的斜率之积等于m（m≠0）（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型；（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．22．（10分）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足z+i=（i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z+i=，得，则=1+2i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则双曲线的渐近方程是（）A．y=x B．y=x C．y=±2x D．y=±4x【分析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c，再由双曲线的a，b，c的关系，解方程可得a=1，由双曲线的渐近线方程即可得到所求．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（，0），可得双曲线的c=，即有a2+4=5，解得a=1，则双曲线的方程为x2﹣=1，即有双曲线的渐近方程是y=±2x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）一动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相外切，且与直线l：x=1相切，则动圆圆心轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x【分析】设P点坐标为（x，y），A（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，从而|PA|﹣d=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程．【解答】解：设P点坐标为（x，y），A（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r∴|PA|﹣d=1，即：﹣（1﹣x）=1，化简得：y2=﹣8x．∴动圆圆心轨迹方程为y2=﹣8x．故选：D．【点评】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”D．对于命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 【分析】A．利用逆否命题的定义即可判断出．B．若p∧q为假命题，则p、q至少一个为假命题，即可判断出正误；C．由x2﹣3x+2=0解得x=1，2，即可判断出；D．利用￢p的定义即可判断出．【解答】解：A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B．若p∧q为假命题，则p、q至少一个为假命题，因此不正确；C．由x2﹣3x+2=0解得x=1，2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”，正确；D．命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）直线l与椭圆C：=1相交于A，B两点，若直线l的方程为x ﹣2y+1=0，则线段AB的中点坐标是（）A．（﹣，﹣）B．（，﹣） C．（1，1） D．（﹣，）【分析】把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，运用韦达定理，中点坐标公式可得线段AB的中点的纵坐标，代入直线x﹣2y=﹣1可得线段AB的中点的横坐标，可得答案．【解答】解：把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，由根与系数的关系可得：y1+y2=，故线段AB的中点的纵坐标是，把y=代入直线x﹣2y=﹣1可得x=﹣，故线段AB的中点坐标是（﹣，）．故选：D．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，一元二次方程根与系数的关系，把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，是解题的关键．6．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．7．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．8．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】运用离心率公式，焦点到渐近线的距离为，可得b，可得双曲线的几何量，求解焦距即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，可得，b=，可得c2=4a2=a2+b2，解得a2=1，c=2，所以2c=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】推导出函数f（x）为奇函数，且函数f（x）是减函数，从而不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0等价为f（x+1）＞f（2x﹣2），进而x+1＜2x﹣2，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，∴f（﹣x）=﹣sinx+x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是减函数，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0等价为f（x+1）＞﹣f（2﹣2x）=f（2x﹣2），即x+1＜2x﹣2，解得x＞3，故不等式的解集为（3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数奇偶性、增减性的合理运用．10．（5分）抛物线C：y2=12x的准线与x轴交于点P，A是抛物线C上的一点，F 是抛物线C的焦点，若|AP|=|AF|，则点A的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．2【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，可得P，F的坐标，设出A（m，n），代入抛物线的方程，由|AP|=|AF|，运用两点的距离公式，化简整理，解方程即可得到所求坐标．【解答】解：抛物线C：y2=12x的焦点F（3，0），准线方程为x=﹣3，可得P（﹣3，0），设A（m，n），且12m=n2，①若|AP|=|AF|，可得=•，化简可得m2﹣18m+9+n2=0，②由①②可得m2﹣6m+9=0，解得m=3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要是焦点和准线方程的运用，考查两点的距离公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）已知f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（1，2） B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4）D．（1，2）∪（3，4）【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：，函数的极值点为：x=2，x=4，要使f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数可得m＜2＜m+1或m＜4＜m+1，解得m∈（1，2）∪（3，4）．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值点以及函数的单调性的判断，考查计算能力．12．（5分）关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=3lnx+x+2在点P处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是（1，3）．【分析】设切点P（m，n），可得n=4m﹣1，3lnm+m+2=n，求出曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得m的方程，解得m=1，n=3，即可得到所求P的坐标．【解答】解：设切点P（m，n），可得n=4m﹣1，3lnm+m+2=n，由y=3lnx+x+2的导数为y′=+1，由切线方程4x﹣y﹣1=0，可得1+=4，解得m=1，n=3．即有切点P（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用切线方程是解题的关键，属于基础题．14．（5分）若椭圆=1的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4．【分析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为=1，∴a2=6，b2=4，可得c2=a2﹣b2=2，即a=，c=，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，则有m+n=2a=2，m2+n2=4c2=8，即（m+m）2=m2+n2+2mn，则24=8+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|•|PF2|=8．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×8=4．故答案为：4．【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．15．（5分）已知函数f（x）=在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是[﹣，0] ．【分析】利用导数判断f（x）在[﹣2，0]上的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的最小值，得出f（x）在（0，2]的最小值的范围，讨论a的符号得出f（x）在（0，2]上的单调性，根据最小值的范围列不等式求出a的范围．【解答】解：x≤0时，f′（x）=3x2+12x+9，令f′（x）=0得x=﹣1或x=﹣3．∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，在（﹣1，0]上单调递增，∴f（x）在[﹣2，0]上的最小值为f（﹣1）=﹣1．∵f（x）在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，∴f（x）在（0，2]上的最小值大于或等于﹣1．若a=0，则f（x）=0在（0，2]上恒成立，符合题意；若a＞0，则f（x）=alnx在（0，2]上单调递增，且x→0时，f（x）→﹣∞，不符合题意；若a＜0，则f（x）=alnx（0，2]上单调递减，f（x）的最小值为f（2）=aln2≥﹣1，解得：﹣≤a＜0，综上，﹣≤a≤0．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1=x（x＞0）求得x=，类似上述过程，则=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=﹣1舍去．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．【分析】（1）先求出函数的表达式，通过求导得出斜率k的值，再求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）先求出函数的导数，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而求出函数的单调区间．【解答】解：（1）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（2）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0得x=﹣a或，∵a＞0，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得x＜﹣a或，此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和．【点评】本题考查了导数的应用，求曲线的切线方程，考查了函数的单调性，是一道基础题．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O点，AB=BC=2，异面直线DB与D1C所成的角的余弦值（Ⅰ）求此长方体的体积；（Ⅱ）求截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值；（Ⅲ）在棱B1B上找一点P，使得PD⊥平面D1AC．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出此长方体的体积．（Ⅱ）求出平面ABCD的一个法向量和平面D1AC的法向量，利用向量法能求出截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值．（Ⅲ）设P（2，2，z），则=（2，2，z），由PD⊥平面D1AC，利用向量法能求出棱B1B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D1AC．【解答】解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），设D1（0，0，h），则=（2，2，0），=（0，2，﹣h），∵异面直线DB与D1C所成的角的余弦值，∴cos＜，＞===，解得h=4，∴此长方体的体积V=Sh=2×2×4=16．（Ⅱ）=（0，0，4）是平面ABCD的一个法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，4），设平面D1AC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2，1），设截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的平面角为θ，则cosθ===，∴截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值为．（Ⅲ）设P（2，2，z），则=（2，2，z），∵PD⊥平面D1AC，∴，解得z=1．∴棱B1B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D1AC．【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1）且边AC，BC所在的直线的斜率之积等于m（m≠0）（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型；（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）设C（x，y），由题意得﹣mx2+y2=1（x≠0），由m＜﹣1，m=﹣1，﹣1＜m＜0三种分类讨论，能顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2），（x1x2≠0），当m=﹣时，轨迹E的方程为（x≠0），依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线MQ与x轴的交点为定点，并能求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），由已知，即﹣mx2+y2=1（x≠0），当m＜﹣1时，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，﹣1）两点的椭圆；当m=﹣1时，轨迹E表示以点（0，0）为圆心，以1为半径，且除去点（0，1），（0，﹣1）两点的圆；当﹣1＜m＜0，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，﹣1）两点的双曲线．证明：（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2），（x1x2≠0），当m=﹣时，轨迹E的方程为（x≠0），依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，联立，整理，得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴，，∵M、Q不重合，则x1≠x2，y1≠﹣y2，∴直线MQ的方程为y﹣y1=，令y=0，得x=x1+=ty1+1+•+1=+1=2，∴直线MQ与x轴的交点为定点，该定点的坐标为（2，0）．【点评】本题考查顶点的轨迹方程的求法，考查曲线类型的判断，考查直线与x 轴的交点为定点的证明，考查圆锥曲线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）（2017春•湖北期末）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图象即可判定；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣x﹣4a，对该函数在∈（a+2，+∞）的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．【解答】解：（1）设，…（1分）令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）递增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）递减，…（2分）∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2﹣1≥2lnx，∴f（x）=x2﹣1…（3分）设，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图象可知，这两个函数的图象在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2…（5分）（或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有两根可得）（2）假设存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，则，对x∈（a+2，+∞）恒成立，即，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）①设，令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）递增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）递减，∴H（x）max=h（2）=ln2﹣1，当0＜a+2＜2即﹣2＜a＜0时，4a＞ln2﹣1，∴，∵a＜0，∴4．故当时，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）当a+2≥2即a≥0时，H（x）在（a+2，+∞）上递减，∴．∵，∴H（a+2）≤H（0）=ln2﹣1＜0，故当a≥0时，对x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）②若（x+2）（x﹣a2）＞0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[﹣1，2]…（11分）由①及②得，．故存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，且a的取值范围为…（12分）【点评】本题考查了函数的零点的个数判定，及函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．22．（10分）（2017春•湖北期末）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．【分析】（1）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，得点P到两条渐近线的距离积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证．（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），P到两条渐近线的距离记为d1，d2∵两条渐近线为x﹣2y=0，x+2y=0…..2'∴…..4’又∵点P在曲线C上，∴=，得（常数）即点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数….6’（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得|PA|2=…8’∵，可得=∴|PA|2==…..9’又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’【点评】本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．。

嘉峪关市一中2017-2018学年第二学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P=（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 2. 复数iiz -=12（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为( ) A.i B. i - C. 1 D. 1-3. 已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ，则=|b |( )B.C. D.54．已知,x y 满足约束条件10210230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34z x y =--的最小值为( )A ．373-B ．9-C ．4-D ．113-5.如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中0A >,0ω>，ππ2ϕ<<），那么12时温度的近似值（精确到1C ︒）是 ()A.25CB.26CC.27CD.28C6．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是( ) A ．甲做微商B ．乙做淘宝店C ．丙做微商D ．甲做实体店7.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是( )A B C D 8．执行如下图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．20172018 B ．12018C . 20182019D ．120199．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )A．1-B．2CD110.函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-< B ．'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<- C ．'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<- D ．(3)(2)'(2)'(3)f f f f -<<11．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且1AA AB BC ==，若D ，M 分别是11A B ，1BB 的中点，则异面直线AD 与MC 所成角的余弦值为( ) A ．23 B ．25C ．34D ．5612. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省玉门一中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文（无答案）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.{}{}2,3,4,0,2,3,5A B ==,则B A =( )A.{}0,2,4B.{}2,3C.{}3,5D.{}0,2,3,4,52.若复数ii z +-=2（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数)1ln()(+=x x f 的定义域是( )A. ),0(+∞B. ()1,-+∞C. [)1,0-D. [)1,-+∞4.在等比数列{}n a 中,0>n a ，1691=∙a a ,则5a 的值为( )A.4B.4±C.8D.8± 5.）的值是（那么如果)2(sin ,21)cos(A A +-=+ππ A.21- B.23 C. 23- D.21 6.如图所示，表示函数图象的是 （ ）① ② ③ ④A. ① ④B.①②③C.①③④D. ②③ 7.若向量),1(),4,2(λ==b a ，则当b a //时，λ的值为（ ） A.0 B.21 C ．1 D ．2 8.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A. sin y x =B. 2y x= C. 24y x =-+ D. 3y x =- 9.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则a 的值为（ ）A. 21==a a 或B.1=aC. 2=aD. 10≠>a a 且10.已知命题2:12,:log 1,p x q x -<<<则p 是q 成立的( )条件.A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分有不必要D.充要11.函数x xx f 23)(-=的零点所在区间为（ ）A.），（210B. ）（1,21C. ），（231D. ），（22312.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若27963==S S ，,则789a a a ++= ( ) A.54 B.45 C.36 D.27 13.设向量,a b 满足22-=∙==b a b a ，,则2a b += ( )A. 4B. 32C. 8D. 52 14.已知123a -=,31log 2b =,2log 3c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c >< B. c a b >> C. a b c >> D. c b a >>15.函数32)(2+-=ax x x f 在区间),1[+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是( )A. ),0[+∞B.[1,)+∞C. (,0]-∞D.(,1]-∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）16.已知x x R x p sin ,:<∈∀，则p 命题的否定为：17.已知函数⎩⎨⎧≤>-=0,30,12)(x x x x f x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值为 18..函数11+=-x a y (0a >且1)a ≠的图象必经过点 19..若函数2()f x x ax =+是偶函数,则实数a =20.已知三角形ABC ∆的面积2224a b c s +-=,则C ∠的大小是 三、解答题（本大题共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.（10分）已知全集U=R ，集合1}x |{x >=A ，3}x -1|{x <<=B ，求B A ，B A ，A B C U ）（.22.（12分）计算：（1）已知2tan =α，求ααααcos sin cos 3sin +-的值 （2）已知α是第二象限角, 3sin 5α=,β是第四象限角, 4cos 5β=,求cos()αβ+的值23.(12分)在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若25CA CB =∙，且9a b +=，求c ．24.(12分)函数()22cos sin cos f x x a x x =+,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求实数a ; （2）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间;25.(12分)已知()()2,2,24x f x x x =∈-+ （1）判断()f x 的奇偶性并说明理由； （2）利用定义法证明函数()f x 在()2,2-上是增函数26. (12分)已知等差数列{}n a 中，30,682==a a ；数列{}n b 的前n 项和为n S ,且121=+n n b S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）记n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T。

2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ） A .3 B .4 C . 7 D .8 2．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c > 9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-eB .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e eD .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)（单位：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥．19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，0160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()M A M B O M O A O B+=++． （1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 21.(本小题满分12分）()x x f ln =，()xe x g =．1）求函数()x x f y -=的单调区间；2）求证：函数()x f y =和()x g y=在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立；3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>exx ． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。