2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用 理

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用2．导数的几何意义．函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．2.导数的四则运算法则．(1)[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；(2)[u (x )v (x )]′＝u ′(x )·v (x )＋u (x )·v ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）·v （x ）－u （x ）·v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．3．复合函数求导．复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′．1．函数的单调性与导数的关系．一般地，在某个区间(a，b)内：(1)如果f′(x)＞0⇒函数f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0⇒函数f(x)在这个区间内单调递减；(3)如果f′(x)＝0⇒函数f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数的关系．一般地，对于函数y＝f(x)：(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称x＝a为f(x)的极小值点，f(a)叫函数f(x)的极小值．(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称x＝b为f(x)的极大值点，f(b)叫函数f(x)的极大值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×) (4)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.(×) (5)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(6)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．(√)2．(2015·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是(D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解析：∵ f (0)＝－1＋a ＜0，∴ x 0＝0.又∵ x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又∵ a ＜1，∴ 32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D.3．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为3.解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.5．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x .答案：(1)y ′＝18x 2＋4x －3 (2)y ′＝2x sin x ＋x 2cos x一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(B )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵y＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ，由y′≤0，解得－1≤x ≤1，又x ＞0，∴0＜x≤1.故选B .2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为(A )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B ．[－1，0]C ．[0，1]D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：设P(x 0，y 0)， ∵y′＝2x ＋2，∴曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴斜率范围是[0，1]．即2x 0＋2∈[0，1]，∴x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.3．若f(x)＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是(C )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：∵f′(x)＝－x 2－2x ＋b x ＋2＝－（x ＋1）2＋b ＋1x ＋2.则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0. ∴b ≤－1.4．(2015·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(A )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f(x)上解析：A 中－1是f(x)的零点，则有a －b ＋c ＝0.①B 中1是f(x)的极值点，则有b ＝－2a.②C 中3是f(x)的极值，则有4ac －b24a＝3.③D 中点(2，8)在曲线y ＝f(x)上，则有4a ＋2b ＋c ＝8.④联立①②③解得a ＝－34， b ＝32， c ＝94.联立②③④解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，从而可判断A 错误，故选A .5．(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a(a∈R)的图象不可能的是(B )解析：当a ＝0时，两函数图象如D 所示，当a ≠0时，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，令y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝0得：x ＝1a 或x ＝13a ，y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a .当a ＜0时，由1a ＜12a ＜13a 知B 不对，当a ＞0时，由1a ＞12a ＞13a知A ，C 正确． 6．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(A )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减，由因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0，当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＜0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.答案：A7．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为(A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43二、填空题9．(2015·陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e．解析：由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e . 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)，且在点P 处有相同的切线．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的单调区间，并指出函数F (x )在该区间上的单调性．解析：(1)因为函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，4b ＋c ＝0.得a ＝－8，4b ＋c ＝0.故f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8.又当x ＝2时，f ′(x )＝16，又g ′(x )＝2bx ， 所以2b ×2＝16，得b ＝4，c ＝－16. 所以a ＝－8，b ＝4，c ＝－16. (2)因为F (x )＝2x 3＋4x 2－8x －16， 所以F ′(x )＝6x 2＋8x －8.由F ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞23；由F ′(x )＜0，得－2＜x ＜23.所以，当x ∈(－∞，－2)时，F (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，F (x )也是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，23时，F (x )是减函数．11．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解析：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1， 即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m－m >e －1； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m＋m >e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]．。