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[数学]专题一-函数、导数与不等式PPT课件

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高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题

高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题


1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,

a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.

导数及其应用讲导数在不等式中的应用课件

导数及其应用讲导数在不等式中的应用课件

02
导数符号与单调性关系
当函数在某区间内的导数大于0时，函数在该区间内单调增加；当导数
小于0时，函数单调减少。
03
应用举例
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 7$，其导数为$f'(x) =
3x^2 + 4x - 5$，通过判断导数的符号可以确定该函数在哪些区间内单
调增加或单调减少。
利用导数求解不等式问题
不等式问题的转化
极值与最值的关系
利用导数的性质将不等式问题转 化为求函数极值或最值的问题。
函数的极值点可能是不等式问题 的解，而函数的最大值或最小值 可能是不等式问题的唯一解。
应用举例
例如，对于不等式$x^3 + 2x^2 - 5x - 7 > 0$，可以将其转化为 求函数$f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 7$的最小值问题，通过求导并 判断导数的符号来确定函数的极 值点，从而得到不等式的解。
03
导数在其他领域的应用
导数在经济学中的应用
边际分析和最优化
导数可以用来分析经济函数的边际变 化，帮助确定经济活动的最优化条件 。
弹性分析
经济增长和收敛
导数可以用来研究经济增长的收敛性 和稳定性。
导数可以用来分析需求和供给的弹性 ，从而理解市场价格和产量的变化。
导数在物理学中的应用
运动学
导数可以用来描述物体的 运动状态，例如速度、加 速度和位移。
利用导数解决最值问题
最值问题的转化
利用导数的性质将最值问题转化为求函数极值或最值的问题。
极值与最值的关系
函数的极值点可能是最值问题的解，而函数的最大值或最小值可能是最值问题的唯一解。

第三章 专题1 函数 不等式 导数精品PPT课件

第三章 专题1 函数 不等式 导数精品PPT课件

0, x≤
若函数 0.
g(x)
f
(x) m 有
3
个零点，
则实数 m 的取值范围是（ C ）
A． (0,1]
B． [0,1]
C． (0,1) 21,2xx,x0≤0
2x
1, x 0,
x 12 1,
x
≤0.
函数 g(x) f (x) m 有 3 个零点知
f x m 有三个零点
27.10.2020
专题一 函数、导数、不等式
3
第三章 数学高考知识回顾
专题复习
专题一 函数、导数、不等式、定积分
二、热点题型范例 题型一 函数的图像和性质问题
例1
函数 y
xa x x
(0 a 1) 的图像的大致形状是
(D)
y
xax x
ax, x 0 ax, x 0
27.10.2020
4
第三章 数学高考知识回顾
fxx36x29x 7
第三章 数学高考知识回顾
专题复习 专题一 函数、导数、不等式、定积分
二、热点题型范例 题型二 三次函数问题
fxx36x29x
变式 已知函数 f x ax3 bx2 9x 在 x 3 处取得极大值 0 ．
（1）求 f x 在区间0,1上的最大值；
（2）若过点 P1, m 可作曲线 y f x 的切线有三条，求实数 m 的取值范围．
专题复习
专题一 函数、导数、不等式、定积分
二、热点题型范例 题型一 函数的图像和性质问题
变式：函数 f (x) 2|log2 x| x 1 的大致图像为 （ D ）．
x
y
y
y
y
1
1
1

专题一 第5讲 导数与不等式的证明

专题一 第5讲 导数与不等式的证明
设 h(x)＝x－1－ln x，则 h′(x)＝1－1x＝0⇒x＝1，
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
12
当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，

2015高考总复习数学(文)课件：专题1 函数、导数与不等式

2015高考总复习数学(文)课件：专题1 函数、导数与不等式

【互动探究】
1 2 1.(2013 年北京昌平二模)已知函数 f(x)＝2x －alnx(a>0).
(1)若 a＝2，求 f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求 f(x)在区间[1，e]上的最小值； (3)若 f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求 a 的取值范围.
1 2 2 解：(1)∵a＝2，f(x)＝2x －2lnx，f′(x)＝x－x ， 1 ∴f′(1)＝－1，f(1)＝2， ∴f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋2y－3＝0.
解：(1)方法一，对函数 f(x)求导，
2 1 － x 4 得 f′(x)＝3· 2 . x ＋12
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减. 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
专题一 函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是 历年高考的必考内容之一.自从导数走进高考试题中，就和函数 形影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度 和深度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问
题必不可少的工具.从最近几年全国及各省市新课程数学高考
∴价值损失的百分率为 37.5%.
(3)证明：价值损失的百分率应为
6000m＋n2－6000m2＋6000n2 2mn ＝ 6000m＋n2 m＋n2 1 ≤ ＝ ， m＋n2 2
当且仅当 m＝n 时，等号成立. 损失的百分率最大.
(3)由(2)可知当0<a≤1 或 a≥e2 时，f(x)在(1，e)上是单调递

高考数学-导数-专题复习课件

高考数学-导数-专题复习课件

)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3

导数及其应用节导数的应用利用导数证明不等式课件理新ppt


性质2
若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点 x0处连续
性质3
若f(x)在点x0处可导，则f'(x)在点 x0处连续
导数的运算
加法
若f(x)，g(x)在点x0处可导，则f(x)+g(x)在点x0处可导 ，且(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)
乘法
若f(x)，g(x)在点x0处可导，则f·g(x)在点x0处可导， 且(fg)'(x0)=f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0)
导数在极值点与最值点分析中的应用
总结词
导数在极值点与最值点分析中有着广泛的应用，是解决优化问题的关键工具之一。
详细描述
通过求导数，可以找到函数的一阶导数为零的点，这些点称为极值点。在极值点处，函数会发生转折，从递增 变为递减或从递减变为递增。极值点可能是函数的极大值点或极小值点。最值点是函数在整个区间内的最大值 或最小值点。通过求导数并找到极值点，可以进一步确定函数的最大值或最小值。
等式。
利用导数证明不等式的解题思路
确定研究对象
根据不等式的特点，构造函数作为研究对象。
研究性质
利用导数研究构造函数的性质，如单调性、极值和最值等。
得出结论
根据研究结果，得出不等式的结论，如单调性、极值和最值等。
06
导数在优化问题中的应用
导数在优化问题中的重要性
导数能够准确反映函数的变化趋势，帮助我 们解决优化问题
01
引言
课程背景
课程发展历史
简述导数课程的起源、发展和现状。
课程重要性
介绍导数在数学和实际应用中的重要性，如解决优化问题、物理建模等。

高考数学：专题一 第五讲 导数及其应用课件

a>1， 4 即－ aa＋3a－6>0， 3 24a>0.
解得 1<a<6，故 a 的取值范围是(1,6).
题型与方法
方法提炼 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
第五讲
(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；
本 讲 栏 目 开 关
(3)①若求单调区间(或证明单调性)， 只需在函数 f(x)的定义域 内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ② 若 已 知 f(x) 的 单 调 性 ， 则 转 化 为 不 等 式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解.
答案
D
考点与考题
第五讲
1 3.(2012· 课标全国)已知函数 f(x)＝ ， y＝f(x)的图 则 lnx＋1－x 象大致为
本 讲 栏 目 开 关
(
)
考点与考题
第五讲
解析
1 当 x＝1 时，y＝ <0，排除 A； ln 2－1
当 x＝0 时，y 不存在，排除 D；
本 讲 栏 目 开 关
当 x 从负方向无限趋近 0 时，y 趋向于－∞，排除 C，
∴当 f′(x)≥0 时，
即 ex(1＋x)≥0，即 x≥－1，
∴x≥－1 时函数 y＝f(x)为增函数.
同理可求，x<－1 时函数 f(x)为减函数. ∴x＝－1 时，函数 f(x)取得极小值.
考点与考题
第五讲
5.(2011· 课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零 点所在的区间为 1 A.(－ ，0) 4 1 1 C.( ， ) 4 2 ( C ) 1 B.(0， ) 4 1 3 D.( ， ) 2 4

导数及其应用讲导数在不等式中的应用课件pptx

介绍函数极值点的定义和 求解方法，为利用导数求 解极值点提供基础。
方法总结
总结利用导数求解函数极 值点的常用方法，如求导 、判断导数为零的点等。
案例分析
通过典型案例演示如何利 用导数求解极值点。
04
导数的实际应用举例
利用导数求解利润最大化问题
利润函数
首先明确利润函数，即销售收入减去成本和税金 ，通常表示为x的函数。
举例
以y=x^4为例，求该函数的凹凸性和 拐点。该函数的导数为y'=4x^3，在 区间(-oo,0)上，y'<0；在区间(0,)上 ，y'>0。因此，函数在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0,)上单调递增， 故函数在x=0处存在极值点，且该极 值点不是函数的极值点，故函数在 x=0处有拐点
利用导数求解函数的单调性和区间
利用导数求不等式的解
利用导数可以求出一些不等式的解。例如，利 用导数可以求出一些函数的极值点和转折点等 。
利用导数解决一些实际问题
利用导数可以解决一些实际问题，例如，利用 导数可以求出一些最优化的方案，以及利用导 数解决一些经济和金融问题等。
02
导数的定义和性质
导数的定义
函数f在点x0处可导
指当自变量x在点x0处有增量△x时，相应的函数值f(x0+△x)和f(x0)之差 △y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+o(△x)，其中A是与△x无关的常数
利用导数求解函数的极值和最值
总结词
导数的值为0的点可能是函数的极值点或最值点。
详细描述
利用导数求解函数的极值和最值
06
总结与回顾
本章主要内容总结
了解了导数的定义和计算方法 学习了不等式的性质和证明方法

第4讲 第1课时 导数与不等式


返回
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处有相同的切线， 求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)． 解：(1)f′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝2λx，因为在x＝1处有相同 的切线，所以f′(1)＝g′(1)，则1＝2λ，即λ＝12. (2)证明：若λ＝12，则g(x)＝12(x2－1)，设函数h(x)＝xln x－ 12(x2－1)，则h′(x)＝ln x＋1－x.
综上，当a＞12时，f(x)的单调递增区间是0，1a，
(2，＋∞)，
返回
当a＝12时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，
当0＜a＜12时，f(x)的单调递增区间是(0，2)，1a，＋∞. (2)证明：当a＝0时，要证明f(x)＜2ex－x－4，只需证明ex
＞ln x＋2.
令h(x)＝ex－ln x－2(x＞0)，
返回
设p(x)＝ln x＋1－x，从而p′(x)＝1x－1≤0对任意x∈[1，＋ ∞)恒成立， 所以当x∈[1，＋∞)时，p(x)＝ln x＋1－x≤p(1)＝0， 即h′(x)≤0， 因此函数h(x)＝xln x－12(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减， 即h(x)≤h(1)＝0， 所以当λ＝12，且x≥1时，f(x)≤g(x)成立．
又由x0＋2ln x0＝0，x0∈12，1， 得h(x0)＝ln xx020＋＋2xx0＋0 1＝21x0∈12，1，
∴由m≥h(x)恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1.
返回
解题方略
分离参数解含参不等式问题的思路与关键
(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
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1 1＝23， x·x
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． ∵g(0)＝0，g(2)＝83a－2a2＜0， ∴当 a<0 时，不满足0，32⊆A. ②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2
a
( a，2)
g′(x)
－
0
＋
g(x) 0
－23a2 a
∵g(0)＝0，g( a)＜0，且∵0，32⊆A，
∴g(2)＝83a－2a2≥23.
解得13≤a≤1.
2 83a－2a2
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， ∵g(0)＝0，g(2)＝83a－2a2＜0， ∴当 a≥4 时，不满足0，32⊆A. 综上，实数 a 的取值范围是13，1.
专题一 函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不 可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考 查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思 想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识 内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
(2)若函数 f(x)在0，21上无零点，求 a 的最小值． 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－2x，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
(2)因为 f(x)<0 在区间0，21上恒成立不可能， 故要使函数 f(x)在区间0，21上无零点， 只要对任意的 x∈0，21，f(x)>0 恒成立， 即对 x∈0，21，a>2－x2－lnx1恒成立． 令 l(x)＝2－x2－lnx1，x∈0，12， 则 l′(x)＝－2xx－x－1－122lnx＝2lnxx－＋12x－2 2，
再令 m(x)＝2lnx＋2x－2，x∈0，21， 则 m′(x)＝－x22＋2x＝－2x12－x<0， 故 m(x)在0，21上为减函数， 于是 m(x)>m12＝2－2ln2>0， 从而，l′(x)>0，于是 l(x)在0，21上为增函数，
所以 l(x)<l12＝2－4ln2， 故要使 a>2－x2－lnx1恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， 综上所述，若函数 f(x)在0，21上无零点， 则 a 的最小值为 2－4ln2.
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单 调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
消耗费用为 8 万元；设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为 x(cm)，由题知，每年能源消耗费用 为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8.得 k＝40. 因此 C(x)＝3x4＋0 5，而建造费用为 C1(x)＝6x， 则隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x(0≤x≤10)．
题型一 函数、方程与导数
例 1：已知函数 f(x)＝3x42＋x 3，x∈[0,2]． (1)求 f(x)的值域； (2)设 a≠0，函数 g(x)＝13ax3－a2x，x∈[0,2]．若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝43·x＋1 1x≤43·2
当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立． ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，32. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，32⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝43·x12－＋x122. 令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 又 f(0)＝0，f(1)＝23，f(2)＝185， ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，32.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数 形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以 与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx. (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；