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⾓动量⾓动量第六⼩组：陈⼩松兰婷李强徐继张⽟（组长）outline本章知识框架及总结（张⽟）?本章经典例题讲解与剖析（徐继）?⾓动量的发展与现状（兰婷）⾓动量的知识框架⾓动量⾓动量的算符表⽰（包括分量、⾓动量的平⽅等）⾓动量的对易关系l r p =×v v v $,z x y l l i l = h ⾓动量的本征值⾓动量的矩阵元（矩阵表⽰）⾃旋⾓动量⼆、⾓动量算符１、定义：⾓动量算符分量式为??L rp =×v v v ()()()()()()x z y y x z z y x L yp zp y z i y z i z y z yL zp xp z x i z x i x z x zL xp yp x y i x y i y x y x=?=?=??=?=?=??=?=?=??h h h h h h pv２、⾓动量平⽅算符定义：利⽤直⾓坐标和球坐标变量之间的关系可得222222222()()()x y zL L L L L y z z x x y zy x z y x ==++ =??+?+? v h (,,)(,,)x y z r θ?→2222sin cos sin sin cos /cos /x r r x y z y r z r z r tan y x θ?θ?θθ?==++==== ?(sin cos )?(cos sin )?x y z L i ctg L i ctg L i ?θ?θ?θ?θ?=+?=??=??h h h x y z θ?和３、⾓动量分量算符：222222222?11?(sin )sin sin z L L ?θθθθθ??=?? ???=?+ ??? h h (17) 2222??z z L i L ?=?=h h ?z L z ⼆、⾓动量算符之间的对易关系⼒学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系和恒等式(19)之⼀，可以导出其它⼒学量之间的对易关系。
一、基本概念1. 简述量子力学的基本假设。
2. 解释波粒二象性及其意义。
3. 什么是测不准原理？举例说明。
4. 什么是薛定谔方程？其物理意义是什么？5. 什么是量子态？如何表示？6. 什么是本征态和本征值？举例说明。
7. 什么是叠加原理？举例说明。
8. 什么是量子纠缠？举例说明。
9. 什么是量子隧穿效应？举例说明。
10. 什么是量子退相干？举例说明。
二、一维势阱1. 画出无限深势阱的势能分布图。
2. 写出无限深势阱中粒子的波函数和能级公式。
3. 计算无限深势阱中粒子在第一激发态时的能量。
4. 画出无限深势阱中粒子在第一激发态时的波函数图。
5. 证明无限深势阱中粒子的波函数满足薛定谔方程。
6. 讨论无限深势阱中粒子波函数的归一化条件。
7. 举例说明无限深势阱中粒子波函数的物理意义。
8. 讨论无限深势阱中粒子波函数的时间演化。
9. 举例说明无限深势阱中粒子波函数的空间演化。
10. 讨论无限深势阱中粒子波函数的相干性。
三、谐振子1. 画出谐振子的势能分布图。
2. 写出谐振子波函数和能级公式。
3. 计算谐振子基态能量。
4. 画出谐振子基态波函数图。
5. 证明谐振子波函数满足薛定谔方程。
6. 讨论谐振子波函数的归一化条件。
7. 举例说明谐振子波函数的物理意义。
8. 讨论谐振子波函数的时间演化。
9. 举例说明谐振子波函数的空间演化。
10. 讨论谐振子波函数的相干性。
四、量子力学中的算符1. 什么是算符？举例说明。
2. 什么是厄米算符？举例说明。
3. 什么是本征值和本征态？举例说明。
4. 什么是算符的对易关系？举例说明。
5. 什么是算符的谱分解？举例说明。
6. 什么是算符的期望值？举例说明。
7. 什么是算符的本征态展开？举例说明。
8. 什么是算符的投影算符？举例说明。
9. 什么是算符的逆算符？举例说明。
10. 什么是算符的线性组合？举例说明。
五、多粒子系统1. 什么是多粒子系统？举例说明。
2. 什么是费米子和玻色子？举例说明。
专题讲座6-角动量与自旋在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系L L i L ⨯= 即及2[, ]=0.L L 即222[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有2222,x y z L L L L =++下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2L 和（比如说）z L 的共同本征态：2L f f λ= 和 .z L f f μ=引入算苻我们有()11, ()22x y L L L L L L i+-+-=+=-††, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)L ±与z L 的对易关系为[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±所以[, ].z L L L ±±=±当然，也有2[, ]0.L L ±=定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 22()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===所以L f±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。
()()() =()(),z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。
我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。
第 6 章不含时微扰理论本章主要内容概要1. 非简并微扰理论：设体系的哈密顿为 0'H H H =+ ，其中 0H 的本征函数已经知道，但 是H 的严格解无法求出，若 'H 对应的能量远小于 0H 对应的能量，这时可由微扰理论近似 求解H 的能量本征值和本征函数。
一级近似下（近似到 'H 一次项），能量本征值为(0)(1)(0)(0)'(0)n n n n n nE E E E H y y =+=+ 能量本征函数为(0)'(0) (0)(1)(0)(0)(0)(0)m n n nnnmn mn m H E E y y y yyyy ¹ =+=+ - å其中 (0)n y 是 0 H 本征值为 (0) n E 的本征函数。
(0)'(0) m n H y y 是微扰哈密顿在 0H 表象中的矩阵元。
二级近似下能量本征值为2(0)'(0)(0)(1)(2)(0)(0)'(0)(0)(0)m nn n n n n n n n mn mH E E E E E H E E y y y y ¹ =++=++ - å2. 简并微扰理论：若 0H 的某个能量是k 度简并的，即有k 本征函数 , 1,2,... i i k y = 对应同 一个能量本征值E （这里略写了对应能级的指标） ，要求能量的一级修正，首先在简并子空 间， 即{ } i y 为基矢的表象求出微扰哈密顿 'H 的矩阵元 'i j Hy y ， 然后解 'H 的本征方程'''11 11121 ''' 22 (1) 21222 ''' 12... ... ............ ... k k k k k k kk c c H H H c c H H H Ec c H H H æöæöæö ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ = ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø M M 由此可以求出k 个能量一级修正 (1)i E （可能有重根，表示简并仅部分消除） ，再把得到的每 个 (1)i E 代入本征方程，对每个 (1)i E 可以得到{ } i c ，对应的零级近似波函数为(0)1kij jj c fy = = å 之所以称 (0)i f 为零级近似波函数是由于它们是 i y的线性组合，仍然为 0H 本征值为E 的本 征函数，并且有 (1)(0)'(0) ii i E H f f = 。
第四章 碱金属原子1. 已知Li 原子光谱主线系最长波长0A 6707=λ，辅线系系限波长A 3519=∞λ.求Li 原子第一激发电势和电离电势.解：主线系最长波长是原子从第一激发态跃迁至基态的光谱线的波长E h hc νλ∆==第一激发电势1eU E =∆34811976.626210310V 1.850V 1.602210 6.70710E hc U e e λ---∆⨯⨯⨯====⨯⨯⨯辅线系系限波长是原子从无穷处向第一激发态跃迁产生的 辅线系~~*2n R n νν∞=-,~~*n n νν∞→∞=192 5.648910J hc eU λ-∞==⨯2 3.526V U =电离电势：U =U 1+U 2=5.376V2. Na 原子的基态3S .已知其共振线波长为58930A ，漫线系第一条的波长为81930A ，基线系第一条的波长为184590A ，主线系的系限波长为24130A 。
试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值. 解：主线系波数~p 22s p ,3,4,(3)()n R Rn n ν=-=-∆-∆~~p 2s ,(3)n Rn νν∞→∞==-∆系限波长：p λ∞=24130A =72.41310m -⨯~1613S 71m 4.144210m 2.41310T ν--∞-===⨯⨯共振线为主线系第一条线, 是原子从3P 到3S 跃迁产生的光谱线 共振线波长：λp1=58930A =75.89310m -⨯~61p13S 3P 71 1.696910m 5.89310mT T ν--=-==⨯⨯1616S 3P 3m 104473.2m 106969.1--⨯=⨯-=T T漫线系（第一辅线系）波数~d 22p d ,3,4,(3)()n R Rn n ν=-=-∆-∆漫线系第一条线是原子从3D 到3P 跃迁产生的光谱线 漫线系第一条光谱线的波长7d18.19310m λ-=⨯167D 3P 31~d m 102206.1m10193.81--⨯=⨯=-=T T ν1616P 3D 3m 102267.1m 102206.1--⨯=⨯-=T T基线系（柏格曼线系）波数,5,4,)()3(2f 2d ~f =∆--∆-=n n RR n ν 基线系第一条线是原子从4F 到3D 跃迁产生的光谱线 基线系第一条光谱线的波长6f1 1.845910m λ-=⨯156F 4D 31fm 104174.5m108459.1--⨯=⨯=-=T T ν 1515D 3F 4m 108496.6m 104174.5--⨯=⨯-=T T3. K 原子共振线波长为7665Å，主线系系限波长为2858Å. 已知K 原子的基态为4S. 试求4S 、4P 谱项的量子数修正项∆S 、∆P 值各为多少？K 原子的主线系波数,5,4,)()4(2P 2S ~p=∆--∆-=n n RR n ν 2S ~~p )4(,∆-==∞→∞Rn n νν 1617~m 104990.3m 10858.211---∞∞⨯=⨯==p λν 16~S 4m 104990.3-∞⨯==νT而 2S S 4)4(∆-=RT 所以 S4S 4T R =∆- 17m 100973731.1-∞⨯=≈R R 7709.14S =∆-2291.2S =∆K 原子共振线为主线系第一条线, 是原子从4P 到4S 跃迁产生的光谱线1p A 7665=λ167P 4S 41pm 103046.1m10665.7--⨯=⨯=-=T T ν 1616S 4P 4m 101944.2m 103046.1--⨯=⨯-=T T而 2P P 4)4(∆-=RT 所以 P4P 4T R =∆- 17m 100973731.1-∞⨯=≈R R7638.14P4P =-=∆T R第五章 多电子原子1. He 原子的两个电子处在2p3d 电子组态.问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之.已知电子间是LS 耦合.解：p 电子的轨道角动量和自旋角动量量子数分别为,11=l 211=s . d 电子的轨道角动量和自旋角动量量子数分别为,21=l 212=s . 因为是LS 耦合，所以.,,1,212121l l l l l l L -⋯-++=.1,2,3=L.0,1.2121=-+=S s s s s S 或而 .,,1,S L S L S L J -⋯-++=.1,0,1===J S L 原子态为11P . .0,1,2,1,1===J S L 原子态为30,1,2P ..2,0,2===J S L 原子态为12D ..1,2,3,1,2===J S L 原子态为31,2,3D ..3,0,3===J S L 原子态为13F . .2,3,4,1,3===J S L 原子态为32,3,4F .2. 已知He 原子的两个电子被分别激发到2p 和3d 轨道，其所构成的原子态为3D ，问这两电子的轨道角动量p l 1与p l 2之间的夹角，自旋角动量p s 1与p s 2之间的夹角分别为多少？(1). 解：已知原子态为3D ,电子组态为2p3d, 所以2,1,1,221====l l S L因此'1212221211212221222211113733212/)(cos cos 26)1(6)1(22)1(οθθθπ==---=-+==+==+==+=l l l l L l l l l L L l l p p p p P p p p p P L L P l l p hl l p 所以'0'0471061373180=-=οθL(2).1212122s s S s s p p P =======因为所以而'2212221222212221228109312/)(cos cos 2οθθθ=-=---=-+=s s s s S s s s s S p p p p P p p p p P 所以'0'0327028109180=-=οθS4. 试以两个价电子l 1=2和l 2=3为例说明,不论是LS 耦合还是jj 耦合都给出同样数目的可能状态. (1) LS 耦合.3,221==l l.,,1,212121l l l l l l L -⋯-++=.1,23,4,5=L .2121==s s .0,1=S.,,1,S L S L S L J -⋯-++=当S =0时，J =L , L 的5个取值对应5个单重态, 即1=L 时,1=J ,原子态为11P .2=L 时,2=J ,原子态为12D .3=L 时,3=J ,原子态为13F . 4=L 时,4=J ,原子态为14G .5=L 时,5=J ,原子态为15H .当S =1时，.1,,1-+=L L L J代入一个L 值便有一个三重态．５个L 值共有５乘３等于１５个原子态，分别是：1=L 时,0,1,2=J 原子态为30,1,2P2=L 时,1,2,3=J 原子态为31,2,3D3=L 时,2,3,4=J 原子态为32,3,4F 4=L 时,3,4,5=J 原子态为33,4,5G5=L 时,4,5,6=J 原子态为34,5,6H因此，LS 耦合时共有２０个可能状态． (2) jj 耦合.,...,.2527;2325;21212121j j j j j j J j j s l j s l j -++===-=+=或或或 将每个j 1、j 2 合成J 得：.1,2,3,42523.2,3,4,52723.0,1,2,3,4,52525.1,2,3,4,5,6272521212121============J j j J j j J j j J j j ，合成和，合成和，合成和，合成和4,3,2,15,4,3,25,4,3,2,1,06,5,4,3,2,1)25,23()27,23()25,25()27,25(共20个可能状态所以，无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出20种可能状态．6.已知He原子的一个电子被激发到2p轨道，另一个电子还在1s轨道,试做出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线跃迁.解：在1s2p组态的能级和1s1s基态之间存在中间激发态，电子组态为1s2s.利用LS耦合规则求出各电子组态的原子态如下:1s1s：1S01s2s：1S0、3S11s2p：1P1、3P0,1,2根据选择定则,这些原子态之间可以发生5条光谱线跃迁。
量子力学练习题量子力学中的角动量和自旋的计算量子力学练习题：角动量和自旋的计算量子力学是一门研究微观领域中粒子行为的科学，其中包含了角动量和自旋的计算。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解量子力学中角动量和自旋的计算方法。
题1：一个自由电子的自旋角动量的可能取值是什么？解析：根据量子力学的基本原理，自旋角动量具有离散化的取值，即只能取一些特定的数值。
对于一个自由电子而言，其自旋角动量的可能取值可以表示为s(s+1)ħ，其中ħ为约化普朗克常数，s为自旋量子数。
对于电子而言，自旋量子数s为1/2，代入公式可得可能取值为(1/2)*(1/2+1)*ħ=3/4ħ。
题2：一个处于自旋“向上”态的电子，经过通过磁场后，可能处于哪些自旋态？解析：对于自旋“向上”态的电子，可以表示为|↑>。
当该电子经过一个磁场作用后，会发生自旋量子数的变化。
根据量子力学的原理，自旋量子数的变化值为0或±1。
因此，经过磁场作用后，电子可能处于自旋“向上”态，自旋量子数不变，即|↑>；也有可能由于自旋量子数发生了变化，而变为自旋“向下”态，即|↓>。
题3：对于一个电子而言，如果其自旋量子数为1/2，其可能的角动量量子数是什么？解析：根据量子力学中的角动量量子化条件，电子的角动量量子数为整数倍或半整数倍的自旋量子数。
对于自旋量子数为1/2的电子，其可能的角动量量子数可以表示为j=j'+1/2，其中j为总角动量量子数，j'为轨道角动量量子数。
对于电子而言，轨道角动量量子数只能为整数或半整数。
因此，当自旋量子数为1/2时，可能的角动量量子数为1/2或3/2。
通过以上练习题，我们可以看到量子力学中角动量和自旋的计算方法。
自旋角动量具有离散的取值，其中电子的自旋量子数为1/2时，可能取值为3/4ħ。
自旋态在经过磁场作用后可能发生变化，但仍然存在着自旋“向上”态和自旋“向下”态。
而对于电子的角动量量子数，按照量子化条件，取决于自旋量子数和轨道角动量量子数的关系。
电子的运动和自旋解析1.电子的运动：–电子在原子中的运动可以分为轨道运动和扩散运动。
–轨道运动是指电子在原子核周围特定的轨道上运动，如玻尔模型中的能级。
–扩散运动是指电子在原子核附近的空间中不断变化的运动，无法预测其具体位置。
2.电子的自旋：–电子的自旋是电子的一种内禀角动量，类似于地球的自转。
–自旋量子数描述了电子自旋的状态，主要有两种取值：+1/2和-1/2。
–自旋方向与电子运动方向垂直，具有量子化的特性。
3.电子的运动和自旋的关系：–电子的运动和自旋是两个独立的量子力学变量，它们之间不存在经典物理意义上的直接关系。
–在量子力学框架下，电子的运动和自旋可以通过波函数来描述，波函数包含了电子的位置、动量、自旋等信息。
4.电子的运动和自旋的测量：–电子的运动状态可以通过电子的轨道动量来测量，如电子的动能、动量等。
–电子的自旋状态可以通过自旋角动量的测量来确定，如利用电子自旋共振（ESR）技术。
5.电子的运动和自旋在材料科学中的应用：–电子的运动和自旋是材料物理中的基本概念，对于理解材料的电子性质具有重要意义。
–自旋相关的物理现象如自旋极化、自旋传输等在磁性材料、拓扑绝缘体等领域中具有重要应用。
6.电子的运动和自旋在量子计算中的应用：–电子的自旋状态可以用于量子比特的实现，从而进行量子计算。
–电子的运动状态可以用于实现量子隐形传态、量子纠缠等量子信息处理任务。
7.电子的运动和自旋的实验研究：–电子的运动和自旋可以通过各种实验方法进行研究，如粒子加速器、电子显微镜、光谱学等。
–实验研究对于验证量子力学的正确性、探索新物理现象具有重要意义。
习题及方法：1.习题：一个电子在氢原子中绕核运动，其轨道半径为0.5埃。
求该电子的轨道速度。
解题思路：根据经典物理中的向心力公式，结合玻尔模型，求解电子的轨道速度。
解答：电子的轨道速度v = ωr，其中ω为角频率，r为轨道半径。
根据玻尔模型，电子的角频率ω = e^2/（8ε0h），其中e为电子电荷，ε0为真空电容率，h为普朗克常数。
