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人教版高中数学必修5第二章：第4讲数列求和三大方法 学案

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1<教师备案>数列的形式多样，除了较简单的等差和等比数列外，还有很多其它各种数列，求和方法也相对灵活多样，本讲讨论主要的几种数列求和方法．考点1： 分组求和知识点睛知识切片满分晋级数列3级 等比数列深入数列4级数列求和三大方法数列5级 求数列通项方法汇总第4讲数列求和 三大方法2有些数列，直接求和不易进行，可以将便于求和的项放在一起进行分组求和． 如①有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论； ②有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组；③有些数列首尾项相加后为定值，可以用倒序相加的方法．<教师备案>分组求和：如果对数列{}n a 求前n 项和时，n a 本身恰好是若干比较简单的通项的组合， 那么就可以将之转化为求几个更简单的数列（一般是等差或等比数列）的和，这种方法称为分组求和．除了将复杂的通项拆成简单的通项以外，分组求和还有另外一种形式（准确点说应该叫“分项求和”）：如果n a 的通项是分段表示的，那么计算n S 时可以根据n a 的通项形式，将类似的项进行组合，例如：若*21()22n nn n k a k n k=-⎧=∈⎨=⎩N ，，，则135246()()n S a a a a a a =+++++++ 这时候必须要对n S 中n 的取值分奇偶情形讨论．如例1⑴即为直接拆分，例1⑵需要分类讨论和局部分组求和，例1⑶即为奇偶分组，例1⑷讨论奇偶项；例2是倒序相加求和．【铺垫】求下列数列的前n 项和⑴1111123424816，，，，；⑵2211121221222n -+++++++，，，，，．⑶数列{}n a 的通项公式25,,n n n a n b a =-=求{}n b 的前n 项和n T ．【解析】 ⑴n S ()11122nn n +=+-⑵n S 122n n +=--．⑶ 224,248,3n n n n T n n n ⎧-⎪=⎨-+⎪⎩≤≥．【点评】数列求和，首先考虑能否直接用等差、等比数列的求和公式求和；其次，考虑能否转化（拆项、合并等）为等差、等比数列，再用公式求和．本题通过拆项、合并，构建出等差、等比数列，实现了由非特殊数列求和向特殊数列求和的转化．【例1】 ⑴求数列的前n 项和：21111114732n n a a a-+++⋅⋅⋅+-，，，，，…⑵（目标班专用）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8，且231a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和．⑶求数列111159248，，，，，⋅⋅⋅的前12项和．【追问】如果问的是前n 项和该如何处理？从此问可以引出关于n 为奇偶不同情况的讨论．⑷在数列{}n a 中，115a =，116(123)5n n n a a n +++==，，，求此数列的前n 项和n S 的公式． 【解析】 ⑴当1a =时，n S ＝(31)2n n+经典精讲3当1a ≠时，n S ＝1(31)12n a a n na ---+- ⑵ 24131110222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥⑶ 前12项和为61672-．【追问】122221121222112222n n n n n n k k S n n n k k -**⎧⎛⎫⎪++-=-∈ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-+-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎩N N ，，，， ⑷ n S =5145n n-⨯ *()n ∈N ． 【点评】 分组法求和有两种思路，一是根据数列分类再分别求和；二是根据奇偶分类．之所以对奇偶分类也是两两分组必然会导致对总项数奇偶的讨论．【拓展】已知函数()2cos πf n n n =，且()()1n a f n f n =++，则12100a a a +++=_______【解析】 100-；<教师备案> 倒序相加法：倒序相加可以看成特殊的分组求和，和一般的分组求和法区别只在于其分组是确定的．倒序相加是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个1()n a a +．若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和．此方法在函数中也有应用．【例2】 ⑴已知()221x f x x =+，求()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；⑵已知()442xx f x =+，求121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；⑶求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒；⑷已知00x y >>，，()lg xy a =，求122lg lg()lg()lg n n n n S x x y x y y --=++++【解析】 ⑴72； ⑵ 500；⑶ 892S =⑷ 1(1)2S n n a =+．考点2： 裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：知识点睛4①111(1)1n n n n =-++； ②()1n n k =+ ； ③()()112n n n =++ ；④111n n n n =+-++<教师备案>裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．讲完①后结合铺垫让学生对②进行总结．然后可以讲例题3的⑵⑶，讲完以后可以让学生尝试③及例3⑷，从裂项中选出一个合适的，比如()()()()()1111111212212n n n n n n n n n n ⎛⎫=-=- ⎪+++++++⎝⎭就不是很实用．【铺垫】求下列数列的前n 项和⑴111122334⨯⨯⨯，，，； ⑵()11111324352n n ⨯⨯⨯+，，，，，． 【解析】 ⑴1n n S n =+ ⑵ n S 31142224n n =--++．【例3】 ⑴数列{}n a 的通项公式11n a n n=++，若它的前n 项和为2，则项数n 为 ．⑵已知数列{}n a ：1，112+，1123++，，1123n++++，…，求它的前n 项和． ⑶（目标班专用）已知数列{}n a 为等差数列，首项1a a =，公差0d ≠，且0()n a n *≠∈N ，11n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和n S ，则10S = ． ⑷若等式2111123234(1)(2)4(1)(2)an bnn n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+++对于所有的正整数n 都成立，则a =_____，b =_______．【追问】已知数列()122334451n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，，，，，，，求该数列前n 项和n S ． 【解析】 ⑴ 8；⑵ 12n n S a a a =+++21nn =+．⑶ ()1010a a d +⑷13a b ==，经典精讲5【追问】()()123n n n n S ++=【例4】已知函数()()y f x x =∈R 满足1()(1)2f x f x +-=， ⑴ 求12f ⎛⎫⎪⎝⎭和11()n f f n n n *-⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 的值； ⑵ 若数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式； ⑶ 若数列{}n b 满足12233411,4n nn n n a b S b b b b b b b b +==++++，求n S ．【解析】 ⑴ 1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑵ 14n n a +=；⑶ 1223341n n n S b b b b b b b b +=++++2(2)nn =+．【备选】已知正项数列{}n a 中，11a =，点()1n n a a +，（*n ∈N ）在函数21y x =+的图象上，数列{}n b的前n 项和2n n S b =-．⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵设1211log n n n c a b ++-=，求{}n c 的前n 项和n T ．n 112n n b -=．⑵ 1n nT n =+．【备选】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知0n b >（*n ∈N ），111a b ==，233a b a +=，()5325S T b =+．⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 求和：1212231nn n b b bTT T T T T ++++． 【解析】 ⑴ 43n a n =-，12n n b -=．⑵1212231n n n b b b TT T T T T ++++1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭6考点3：错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅ 的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列．<教师备案>此种方法在等比数列初步中涉及过，教师在讲解过程中根据学生掌握情况适当调整，让学生理解用错位相减法的数列通项的式子结构．这种方法有固定的套路和解题步骤，唯一需要留意的是运算过程中首项和尾项的系数和指数．【铺垫】求数列{}2n n ⋅的前n 项和．【解析】()1212n n S n +=+-．【例5】 ⑴求数列()1212n n ⎧⎫+⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．⑵求数列1123n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【解析】 ⑴ 2552n n n S +=-．⑵ 1133n n nS -+=-+．【例6】设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=，*n ∈N ． ⑴ 求数列{}n a 的通项； ⑵ 设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解析】 ⑴ *1()3n n a n =∈N ⑵ ()132134n n n S ++-⋅=【挑战4分钟】 求和：①2135211222n n --++++；②22531333nn -+++答案：①12362n n -+-；②776443nn+-⋅．【例7】 （目标班专用）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242121n n S n n S n +==+，，，， 经典精讲知识点睛732n nn -1n -1332132nnn -1n -1332132nnn -1n -13321⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】 ⑴ n a n =⑵ 12(1),12(1),1(1)1n n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩1．已知数列222221234n ，，，，，，，求该数列的前n 项和n S ． 【解析】 方法一：从代数角度看，可以按如下形式对2n 进行变形： ∵()()()32322111331n n n n n n n n +-=++++=++，∴()3321313n n n n +---= ()()33323131111333n n n n n n n +---⎡⎤==+---⎣⎦ 所以，()()33111133nn i S i i i =⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦∑ ①其中2222123n S n =++++．①式中的三次方项构成了一个可消去的数列，剩余部分是一个等差数列，这样问题就得以解决了，因此对①式两边累加得：()()()()33111111213236n n n n S n n n n +⎡⎤=+---=++⎣⎦．类似的方法适用于三次，四次或更高次方求和的情况． 方法二：我们可以通过几何法来解决：2222123n S n =+++⋅⋅⋅+相当于把如下三角形里所有的数加在一起．32nnn -1n -13321为了把三角形里所有的数加在一起，我们可以对图形进行如下操作：82n +12n +12n +12n +12n +12n +12n +12n +12n +12n +1即把三角形旋转到如图所示的三个位置，然后把每个三角形的对应位置相加就可以得出这样一个三角形：所以一共是()12n n +个21n +相加，就是()()11212n n n ++，再除以三就可以了．所以()()11216n S n n n =++．2．已知数列333331234n ，，，，，，，求该数列的前n 项和n S ． 【解析】 ∵()()()422422321114641n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=+++-=+++⎣⎦⎣⎦，∴()442316414n n n n n +----=()()4424342164113114424n n n n n n n n n +----⎡⎤==+----⎣⎦ 所以，()44211311424nn i S i i i i =⎡⎤⎡⎤=+----⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ ①其中3333123n S n =++++．①式中的四次方项构成了一个可消去的数列，一个平方数列求和，以及一个等差数列，这样问题就得以解决了，因此对①式两边累加得： ()()()()()4242113111111211426244n n n S n n n n n n n +⎡⎤=+--⋅++--=+⎣⎦．【演练1】设数列(){}11n n --⋅的前n 项和为n S ，则2003S 等于（ ）实战演练9A ．2003-B ．1002-C ．2003D ．1002【解析】 D【演练2】数列{}n a 的通项公式是2141n a n =-，求它的前10项和．【解析】 101021S =．【演练3】已知()22xf x =+，则()()()()()54056f f f f f -+-+++++= ______【解析】32；【演练4】a 为整数，数列{}n b 的通项n b a n =-，求{}n b 的前100项和n S ． 【解析】 当1a ≤时， 1005050100S a =-； 当1100a <≤时， 100S 21015050a a =-+当100a >时， 1001005050S a =-．【演练5】已知函数23123()()n n f x a x a x a x a x x n *=++++∈∈R N ，，且对一切正整数n 都有2(1)f n =成立． ⑴ 求数列{}n a 的通项n a ； ⑵ 求1223111n n a a a a a a +1+++． 【解析】 ⑴ 21()n a n n *=-∈N ．⑵ 21n n +．【演练6】 已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴ 2n a n =．⑵ n S =1(21)332n n +-+．（全国高中数学联赛辽宁省初赛试题） 设2n n a =，n b n =，（1,2,3...n =），n A 、n B 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和． 记n n n n n n n c a B b A a b =+-，则数列{}n c 的前10项和为（ ）A ．10253+B ．11253+C ．9110(21)⨯-D ．10110(21)⨯-【解析】 D ；()112,,22,2n n n n n n n n a b n A B ++===-=．于是()12222n n n n n c n n +=+⋅-．不妨设()1112,22n niin n i i i i P i Q ==+=⋅=⋅∑∑，于是()11ni n n i c P Q n n ==+-+∑．大千世界102(1)123222nn n n Q +=⨯+⨯++⋅……① 231(1)(1)212322222n n n n n n n Q +-+=⨯+⨯++⋅+⋅……②①-②得121(1)1222222n n n n n Q n ++-=⨯+⨯++⋅-⋅即1(1)22n n n n n Q P ++=⋅-，即1(1)2(1)22n n n n n n Q P n n +++=⋅=+⋅∴()()()11121nni n n i c P Q n n n n ==+-+=+-∑．将10n =代入即可．。

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人教版高中数学必修五教案：数列求和

人教版高中数学必修五教案：数列求和

课题数列求和课型复习课课时： 1 授课时间：教学目标知识与技能：数列求和方法．过程与方法：求和方法及其获取思路．情感态度与价值观：通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点数列求和方法及其获取思路．教学难点数列求和方法及其获取思路．教学手段多媒体辅助教学教学方法先学后教，讲练结合教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）)(211121nnnnnnn aanSaaaSaaaS+=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例1．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：（2）11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=nnnnnnn aaSqaaaaqSaaaaS例2．求和：)0()12(5332≠-++++xxnxxx n3．分组法求和二次备课例3求数列 1614,813,412,211的前n 项和； 例4．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a aa a aa a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解]1)1([11)]([11 11111122aa a n a a a a n a a a a a a a S n nn n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和 例6．求和：n++++++++++21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ,12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n a a a S n n 例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n三、课堂小结1．常用数列求和方法有：(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、作业（.1616814412).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.（3）．在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10板书设计数列求和倒序相加法：二、例题讲解 三、总结 四、作业布置教学反思。

高中数学 专题1 数列及其数列求和教案 新人教A版必修5

高中数学 专题1 数列及其数列求和教案 新人教A版必修5

专题1：数列及其数列求和►解读考纲（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的问题．►重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1．定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2． 通项公式与前n 项和公式}{n a 为等差数列：d n a a n )1(1-+= 2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+= }{n b 为等比数列：)1(11≠=-q qb b n n qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠ 3． 常用性质}{n a 为等差数列，则有（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，211-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(*N n m dm n a a m n ∈-+=（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=⇔为常数)⇔),(2R q p qn pn S n ∈+= （7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ，1+n na a S S ＝偶奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1-n n S S ＝偶奇 （10）⎩⎨⎧=≥-=-111)2(S a n S S a n n n}{n a 为等比数列，则有（1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） ),(*N n m q a a mn m n ∈=-（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ⋅=⋅，特殊的：若m+n=2r ,则有：2r n m a a a =⋅ （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ⋅，}{nnb a ，{n ca }为等比数列（0≠c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0()0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cqa n n nn二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，n da n d s n )2(212-+=二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++nn n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。

高中数学 数列的求和教案 新人教B版必修5

高中数学 数列的求和教案 新人教B版必修5

教学课题： 数列的求和教学目的：和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列； 教学前的准备：（1） 基本公式：① 等差数列的前n 项和公式;2)1(1dn n na s n -+= 2)(1n n a a n s +=；② 等比数列的前n 项和公式);0,1(11)1(11≠≠⎩⎨⎧--=--=n n n n a q q qa a qq a s)1(1==q na s n（2）特殊数列求和---常用数列前n 项和（记忆）;2)1(321+=++++n n n;)12(5312n n =-++++;6)12)(1(3212222++=++++n n n n;4)1(321223333+=++++n n n过程： 对于非等差数列、等比数列的特殊数列，求其前n 项和的一般方法是：先求数列的通项公式，再分析数列通项公式结构的特征，然后转化为等差数列、等比数列求和或采用消项的方法求和。

知识点1：公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可）例1：求2222222210099654321+--+-+-+- 之和分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式；[解] 原式=)99100()56()34()12(22222222-++-+-+-=)99100)(99100()56)(56()34)(34()12)(12(-+++-++-++-+=1991173++++ 其中n=50;由等差数列求和公式，得：50502)1993(5050=+=s ；例2：求数列 ),2)(1(,,654,432,321++⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n 的前n 项和；分析：根据通项公式n n n n n n a n23)2)(1(23++=++=的结构特征，可将原数列分解为基本数列求和。

[解] ：因为n n n a n2323++=，所以)321(2)321(3)321(22223333n n n s n ++++++++++++++= =2)1(26)12)(1(3)1(4122+⋅+++⋅++n n n n n n n =)3)(2)(1(41+++n n n n （利用基本求和式） 知识点2： 分组结合法（分组求和法、拆项法）若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

人教版高中数学必修5《数列》教案

人教版高中数学必修5《数列》教案

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2nn f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列．7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k q k q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4B ．3C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( )A ．216B ．－216C ．217D ．－217 6．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．P山有木兮木有枝，心悦君兮君不知。