高考数学压轴专题最新备战高考《函数与导数》全集汇编含解析

【高中数学】数学《函数与导数》复习知识点

一、选择题

1．曲线2yx=与直线yx所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．16 B．13 C．12 D．56

【答案】A

【解析】

曲线2yx与直线yx的交点坐标为0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为1223100111|236xxdxxx ，故选A.

2．设复数zabi（i为虚数单位，,abR），若,ab满足关系式2abt，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )

A．[0,1] B．[1,1] C．(0,1)(1,) D．(1,)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xyt，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为,xy，

2axaybt ，即2xyt ，

因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，

则当0x时，11t 且10t ，

解得0t且1t ，

即t的取值范围是0,11,U.

故选：C

【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

3．函数2sinfxxxx的图象大致为（ ） A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分析函数yfx的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间0,上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

因为22sinsinfxxxxxxxfx，且定义域R关于原点对称，所以函数yfx为偶函数，故排除B项；

2sinsinfxxxxxxx，设singxxx，则1cos0gxx恒成立，所以函数ygx单调递增，所以当0x时，00gxg，

任取120xx，则120gxgx，所以，1122xgxxgx，12fxfx，

所以，函数yfx在0,上为增函数，故排除C、D选项.

故选：A.

【点睛】 本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

4．设定义在(0,)的函数fx的导函数为fx，且满足()()3fxfxx，则关于x的不等式31(3)(3)03xfxf的解集为（ ）

A．3,6 B．0,3 C．0,6 D．6,

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件，构造函数3()()gxxfx，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

【详解】

解：Q3(1)(3)(3)03xfxf，

3(3)(3)27xfxf（3）0，

3(3)(3)27xfxf（3），

Q定义在(0,)的函数()fx，

3x，

令3()()gxxfx，

不等式3(3)(3)27xfxf（3），

即为(3)gxg（3），

323()(())3()()gxxfxxfxxfx，

Q()()3fxfxx，

()3()xfxfx，

()3()0xfxfx，

32()3()0xfxxfx，

()0gx，

()gx单调递增，

又因为由上可知(3)gxg（3），

33x，3xQ，

36x． 故选：A．

【点睛】

本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．

5．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（ ）

A．7 B．4 C．0 D．﹣4

【答案】A

【解析】

,'1'fxxgxfxgxQ，因为函数fxxgx的图像在点2x处的切线方程是1yx，所以23,'21ff，

2'2221'27ggff，故选A．

6．已知奇函数fx在R上是增函数，若21log5af，2log4.1bf，0.82cf，则,,abc的大小关系为( )

A．abc B．bac C．cba D．cab

【答案】C

【解析】

由题意：221loglog55aff，

且：0.822log5log4.12,122，

据此：0.822log5log4.12，

结合函数的单调性有：0.822log5log4.12fff，

即,abccba.

本题选择C选项.

【考点】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

7．在二项式26()2axx的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2yx=和圆22xya及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）

A．146 B．146 C．4 D．16

【答案】B

【解析】

【分析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．

【详解】

（x2+a2x）6展开式中，由通项公式可得122r162rrrraTCxx ,

令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为4462aC，可得4462aC＝15，解得a＝2．

曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）

所以阴影部分的面积为1223100111-x-x|442346dxxx．

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

8．已知函数f（x）＝（k＋4k）lnx＋24xx－，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为

A．（85，＋∞） B．（165，＋∞） C．[85，＋∞） D．[165，＋∞）

【答案】B

【解析】

【分析】

利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2

的取值范围．

【详解】 由题得f′（x）=4kkx﹣24x﹣1=﹣2244xkxkx=﹣24xkxkx，（x＞0，k＞0）

由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），

即21144kkxx﹣1=24kkx﹣224x﹣1，

化简得4（x1+x2）=（k+4k）x1x2，

而x1x2＜212()2xx，

4（x1+x2）＜（k+4k）212()2xx，

即x1+x2＞164kk对k∈[4，+∞）恒成立，

令g（k）=k+4k，

则g′（k）=1﹣24k=222kkk＞0对k∈[4，+∞）恒成立，

∴g（k）≥g（4）=5，

∴164kk≤165，

∴x1+x2＞165，

故x1+x2的取值范围为（165，+∞）.

故答案为B

【点睛】

本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题

的关键，属于中档题.

9．函数log(3)1ayx（0a且1a）的图像恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中·0mn，则41mn的最小值为（）

A．16 B．24 C．50 D．25 【答案】D

【解析】

【分析】

由题A（4，1），点A在直线上得4m+n＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

【详解】

令x﹣3＝1，解得x＝4，y＝1，

则函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），

∴4m+n＝1，

∴41mn（41mn）（4m+n）＝16+14n4mmn

≥17+24n4mmn17+8＝25，当且仅当m＝n15时取等号，

故则41mn的最小值为25，

故选D．

【点睛】

本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．

10．函数1lnfxxx的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

通过函数在2x处函数有意义，在2x处函数无意义，可排除A、D；通过判断当1x时，函数的单调性可排除C，即可得结果.

【详解】