北京市西城区抽样测试(数学理).doc
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北京市西城区2010年抽样测试
高三数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项
1. 设集合{1,2,3,4,5}U，{1,2,3}A，{3,4,5}B，则CU()AB等于
A．{1,2,3,4,5} B．{1,2,4,5} √ C．{1,2,5} D．{3}
2. “ln1x”是“1x”的
A．充分不必要条件 √B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3. 若0ba，则下列不等式中正确的是
A．11ab B．ab C．2baab √ D．abab
4. 如图，三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
A．3 B．23 √
C．22 D．4
5. 数列{}na满足11a，23a，1(2)nnana（1,2,n），则3a等于
A．15 √ B．10 C．9 D．5
6. 在数列{}na中，11a，1nnaan，2n．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是
A．8i
B．9i
C．10i √
D．11i
7. 设集合{129}S，，，，集合123{,,}Aaaa是S的子集，且123,,aaa满足123aaa，326aa，那么满足条件的子集A的个数为
A． 78 B．76 C．84 D．83 √ 正（主）视图 A B C A1 B1 C1
1 1
2
结束 开始
输出s 0,0,0ias
否 是 （1）
ssa 1ii
aai
8. 如图，在等腰梯形ABCD中，//ABCD，且2ABAD.
设DAB，(0,)2，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e，则
A．随着角度的增大，1e增大，12ee为定值
B．随着角度的增大，1e减小，12ee为定值 √
C．随着角度的增大，1e增大，12ee也增大
D．随着角度的增大，1e减小，12ee也减小
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.
10. 在261()xx的展开式中，常数项是______.（结果用数值表示）
11. 如图，ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D.若60ABC，1PD，8BD，则PAC________,PA________.
12. 圆12cos,:22sinxCy（为参数）的半径为______, 若圆C与直线0xym相切，则m______.
13. 设,,abc为单位向量，,ab的夹角为60，则()abcc的最大值为_____.
14. 已知函数()elnxfxax的定义域是D，关于函数()fx给出下列命题：
①对于任意(0,)a，函数()fx是D上的减函数； P A B
C
D 60 80 70 90 100 50 0 分数 频率/组距
0.025
0.005 0.045 A B D C
②对于任意(,0)a，函数()fx存在最小值；
③存在(0,)a，使得对于任意的xD，都有()0fx成立；
④存在(,0)a，使得函数()fx有两个零点．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，在四边形ABCD中，3AB，2ADBCCD，60A.
（Ⅰ）求sinABD的值；
（Ⅱ）求BCD的面积.
16.（本小题满分13分）
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.
（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.
17.（本小题满分13分）
如图，四棱柱1111ABCDABCD中，1AD平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱12AA.
（Ⅰ）求证：1//CD平面11ABBA；
（Ⅱ）求直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角11DACA的余弦值.
A
B C D D1 A1
B1 C1 A B C
D
18.（本小题满分13分）
已知0a，函数2()fxxax．设1(,)2ax，记曲线()yfx在点11(,())Mxfx处的切线为l，l与x轴的交点是2(,0)Nx，O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：21212xxxa；
（Ⅱ）若对于任意的1(,)2ax，都有916aOMON成立，求a的取值范围．
19.（本小题满分14分）
如图，椭圆22:14yCx短轴的左右两个端点分别为,AB，直线:1lykx与x轴、y轴分别交于两点,EF，与椭圆交于两点,CD，.
（Ⅰ）若CEFD，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线,ADCB的斜率分别为12,kk，若12:2:1kk，求k的值.
20.（本小题满分14分）
在数列{}na和{}nb中，nnaa，(1)nbanb，1,2,3,n，其中2a且a*N，bR.
（Ⅰ）若11ab，22ab，求数列{}nb的前n项和；
（Ⅱ）证明：当2,2ab时，数列{}nb中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设123{,,,}Aaaa，123{,,,}Bbbb，试问在区间[1,]a上是否存在实数b使得CAB.若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由.
A D
C B x
O y l
E F
北京市西城区2010年抽样测试参考答案
高三数学试卷（理科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B A C D B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 40 10. 15 11.
60，3 12. 2，3或1
13. 31 14. ②④
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.
14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）
15、解：（Ⅰ）已知60A，
由余弦定理得2222cos7BDABADABADA，
解得7BD， …………………3分
由正弦定理，sinsinADBDABDA，
所以sinsinADABDABD. …………………5分
2321277. …………………7分
（Ⅱ）在BCD中，2222cosBDBCCDBCCDC，
所以744222cosC，1cos8C， …………………9分
因为(0,)C，所以37sin8C， …………………11分
所以，BCD的面积137sin24SBCCDC. …………………13分
16、解：（Ⅰ）设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的A B C
D
卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………2分
则2232336()()55125PAC. …………………5分
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1,2,3,4. …………………6分
2(1)5PX， …………………7分
323(2)5410PX， …………………9分
3221(3)5435PX， …………………10分
3211(4)54310PX， …………………11分
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P 25 310 15 110
…………………12分
2311()12342510510EX. …………………13分
17、（Ⅰ）证明：四棱柱1111ABCDABCD中，11//BBCC，
又1CC面11ABBA，所以1//CC平面11ABBA， …………………2分
ABCD是正方形，所以//CDAB，
又CD面11ABBA，所以//CD平面11ABBA， …………………3分
所以平面11//CDDC平面11ABBA，
所以1//CD平面11ABBA. …………………4分
（Ⅱ）解：ABCD是正方形，ADCD，
因为1AD平面ABCD，
所以1ADAD，1ADCD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，. …………………5分
在1ADA中，由已知可得13AD，
所以11(0,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(1,1,3)DAAC，
11(0,1,3),(1,0,3),(1,1,0)BDB，
A
B C D D1 A1
B1 C1
x
y z
