北京市西城区三年级抽样测试(理)
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2008年北京市西城区三年级抽样测试
数学试卷（理科）
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第一卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在复平面内，复数i12对应的点与原点的距离是 （ ）
A．1 B．2 C．2 D．22
2．函数)2(2xxxy的反函数的定义域为 （ ）
A．),1( B．),0( C．（0，1） D．（1，2）
3．若双曲线122kyx的离心率是2，则实数k的值是 （ ）
A．—3 B．—31 C．3 D．31
4．函数)sin(cossin)(xxxxf的最小正周期是 （ ）
A．4 B．2 C． D．2
5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是 （ ）
A．①、③ B．①、④ C．②、③ D．②、④
6．若集合则},1|||{},045|{2axxBxxxA“)3,2(a”是“AB”的
（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设)(),()(,xfxfeaexfaxx且的导函数是函数R是奇函数，若曲线)(xfy的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为 （ ）
A．22ln B．2ln C．22ln D．2ln
8．设不等式组035321yxyax表示的平面区域是W，若W中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a的取值范围是 （ ）
A．1,2 B．0,1 C．1,0 D．2,1
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
9．已知qaaaqan则成等差数列且的等比数列是公比为,,,,}{342 .
10．在710,)(xax的展开式中的系数是15，则实数a= .
11．5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种.（用数字作答）.
12．已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O—ABC为正四面体，那么A，B两点的球面距离为 ；点O到平面ABC的距离为 .
13．已知两点xybBA4),0,(),0,1(2若抛物线上存在点C使△ABC为等边三角形，则b=
.
14．已知点G是△ABC的重心，那么),,(RACABAG= ；
若||,2,120AGACABA则的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
在△ABC中，.1010cos,55cosBA
（I）求角C；
（II）设,2AB求△ABC的面积.
16．（本小题满分13分）
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出
1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得—1分，现从盒内任取3个球.
（I）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（II）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（III）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
17．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC.
（I）求证：PA⊥平面PBC；
（II）求二面角P—AC—B的大小；
（III）求异面直线AB和PC所成角的大小.
18．（本小题满分13分）
已知函数.ln)(xxxf
（I）求)(xf的最小值；
（II）若对所有aaxxfx求实数都有,1)(1的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知定点C（—1，0）及椭圆5322yx，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.
（I）若线段AB中点的横坐标是21，求直线AB的方程；
（II）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
数列.81),,3,2,1,1(21,1,}{23211aanccaaaaannnn且为常数中
（I）求c的值；
（II）①证明：1nnaa；
②猜测数列}{na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（III）比较nknkaa1139401与的大小，并加以证明.
