高中数学抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为

( )

A.y2=8x B.y2=-8x

C.x2=8y D.x2=-8y

2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( )

A.(1,0) B.(2,0)

C.(3,0) D.(-1,0)

3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+

6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )

A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2

C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x

4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( )

A.5 B.4 C.3 D.2

5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )

A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0)

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的

纵坐标是 .

7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为 .

8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.

10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.

11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.

答案解析

1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.

【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?

【解析】由条件可知=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x. 2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,

∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).

3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,∴方程为y2=9x或y=-3x2.

4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=5.

5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.

【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).

【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P点的轨迹是( )

A.抛物线 B.线段

C.直线 D.射线

【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.

6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.

【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),

则解得y0=.

答案:

7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0), ∴=1或-7,解得p=2或-14.

答案:2或-14

8.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.

【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.

答案:2

9.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,∴双曲线的方程为:-=1.

10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.

【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),

则有=|x|+1.

两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,

所以y2=

即点P的轨迹方程为y2=

方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)

到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).

综上,点P的轨迹方程为y2=

【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x<0的情况.

11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.

【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.

如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,

由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.

∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).

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高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范

第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，

先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。