高二数学 抛物线及其标准方程

高二数学 抛物线及其标准方程

一、三维目标

（一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程

（二）过程与方法

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

（三）情感态度与价值观

进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、教学过程

（一）复习旧知

在初中，我们学习过了二次函数2yaxbxc，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）24yx，（2）24yx的图象（展示两个函数图象）：

（二）讲授新课

1.课题引入

在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物；再看一张图片，这是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥---赵州桥，大家觉得它的拱底是什么曲线？

（学生易回答是抛物线）

师：事实上，它并不是抛物线，而是圆的一段劣弧。

到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？

这就是我们今天要研究的内容。

（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程）

2.抛物线的定义

P64 信息技术应用（课堂中展示画图过程）

先看一个实验：

如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）

可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值）

（定义引入）：

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。（板书）

思考？若F在l上呢？（学生思考、讨论、画图）

此时退化为过F点且与直线 l 垂直的一条直线。

3.抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点,Mxy满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点,Mxy的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？ 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。

问题 设焦点F到准线l的距离为(0)pp，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程。

（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）

1 2

3

222(0)ypxpp 222(0)ypxpp 22(0)ypxp

注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。

2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算

3.强调P的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解,xy为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程

（选择标准方程）

师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？

（学生选择，说明1.对称轴 2.焦点

3.方程无常数项，顶点在原点）

师：我们把方程22(0)ypxp叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p，准线方程是2px。（幻灯片展示下列表格的第一行）

师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

（抛物线展示下列表格的第一列）（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）

图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 )0(22ppxy )0,2(p 2px

向左 )0(22ppxy )0,2(p 2px

向上 )0(22ppyx )2,0(p 2py

向下 )0(22ppyx )2,0(p 2py

对表格的说明：统观四种情况

（1）(0)pp表示焦点F到准线l的距离；

（2）抛物线标准方程中若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）

（3）若标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为x轴或y轴的正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为x轴或y轴的负方向；（符号决定开口方向）

（4）焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的41，准线方程中的数值是一次项系数的41。

4.例题讲解

例1（1）已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点是0,2F，求它的标准方程。

分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，再利用焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的41，准线方程中的数值是一次项系数的41，得到焦点坐标和准线方程。

（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再利用41关系写出方程。

解：（1）因为3p，所以抛物线的焦点坐标为3,02，准线方程为32x

（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为28xy。

随堂练习1P67练习1，2

练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

2112xy（）

22250yx（）

23160xy（）

练习2根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是30F，

（2）准线方程是14x

（3）焦点到准线的距离是2

思考？你能说明二次函数2(0)yaxa的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。

学生思考，教师引导学生从抛物线的标准方程角度说明

例2 （1）00,)Mxy（是抛物线22(0)ypxp上一点，则点M到准线的距离是02px，

点M到焦点的距离是02px。 （2）00,)Mxy（是抛物线22(0)ypxp上一点，则点M到焦点的距离是02px，。

（3）00,)Mxy（是抛物线22(0)xpyp上一点，则点M到焦点的距离是02py，。

（4）00,)Mxy（是抛物线22(0)xpyp上一点，则点M到焦点的距离是02py，。

小结：求抛物线上点到焦点的距离可以转化成求点到准线的距离来计算。

当抛物线焦点在x轴上时，点M到焦点的距离只与M的横坐标有关系，

当抛物线焦点在y轴上时，点M到焦点的距离只与M的纵坐标有关系。

随堂练习2P67练习3 （时间有多于则完成）

练习3

（1）1.抛物线22(0)ypxp上一点M到焦点距离是()2paa，则点M到准线的距离是 ，点M的横坐标是 。

（2）抛物线212yx上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。

5.课堂小结

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容： 1、抛物线的定义及其标准方程（注意四种形式的异同）；

2、已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法：关键是：定轴向——求p值——写方程；

已知抛物线的标准方程，求抛物线的焦点与准线方程，关键要确定轴向。

3、抛物线上点M到焦点F距离的求解方法：可以转化成点M到准线距离。

6.课后作业

（1）P73 A组1，2，3

思考？过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点，若125yy，求线段AB的长。

7.板书设计

§2.4.1 抛物线及其标准方程

一、抛物线的定义

二、抛物线的标准方程

三种建系方案图

例题及练习

投影屏幕

五、后记