高中数学椭圆、双曲线、抛物线知识点
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高中数学椭圆、双曲线、抛物线知识点
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1） 椭圆的定义：平面内与两个定点 Fl,F2的距离的和等于常数（大 于芾芾2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a>|F1F2l表示椭圆；2a4FF2|表示线段； 2a V RF? |没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在X轴上 中心在原点，焦点在y轴上
标准方
程 2 2
冷心=1（a>b>0）
a b 2 2 彩十-= 1（a > b > 0） a b
图形
±>2 X
—jk- AP
l X
1
O彭
B1 ■
顶点 A1 （-a,0）, A2 （a,0）
B1（0,-b）, B2（0,b） A1（4,0）,A2（b,0）
B1 （0,一a）, B2（Q a）
对称轴 xtt, y轴；短轴为2b，长轴为2a
焦 占
八、、 八、FN-c,0）, F2（c,0） F1（0,-c）, F2（0,C）
焦距 | F1F2 |=2C（C A0） c2 =a2 —b2
离心率 e = C（0cec1）（离心率越大，椭圆越扁）
a
通径 2b2
2b （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
a
2 2 3•常用结论：（1）椭圆x2 y2 =l（a b 0）的两个焦点为F「F2，过Fi的直线交 a b
椭圆于A, B两点，则 MBF 2的周长= __________
2 2 （2）设椭圆 务•与=i（a b 0）左、右两个焦点为FiF，过Fi且垂直于
a b 对称轴的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是
|PQ|= _______________
二、双曲线：
（1） 双曲线的定义：平面内与两个定点 F,, F2的距离的差的绝对值等于常数（小
于| F1F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：| PFi | _| PF? | = 2a 与 | PF? | - | PF! |= 2a（ 2a ：：：| |）表示双曲线的一支。
2a =厅十2 |表示两条射线；2a」Ff： |没有轨迹；
（2） 双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上
标准方
程 2 2
x y
2 \ =1(a AO,b AO)
a b 2 2
y2 x2 十“心。)
a b
图形 * 1
y l
Kx
/x
J k
O
顶点 Ai (-a,0), A (a,0) Bi(0,-a),b(0,a)
对称轴 x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a
焦 占
八、、 八、、 Fi(-c,0),F2 (c,0) Fi(0,-c), F2(0,c)
焦距 |FiF2|=2c(c A0) c2 =a2 +b2
离心率 e=£（e>1）（离心率越大，开口越大） a
渐近线 y
a y =±卫 x
b 通径 2b2
a
（3）双曲线的渐近线:
①求双曲线x2 y2〔的渐近线，可令其右边的
a^-b^=l
（4）等轴双曲线为x2 -y^t2，其离心率为 丄
2 2 （4）常用结论：（1）双曲线笃—与=1@>0,心0）的两个焦点为FI,F2，过Fi的直 a2 b2
线交双曲线的同一支于A,B两点，则. ：ABF2的周长= _____________
2 2 （2）设双曲线 笃—与日心丸心。）左、右两个焦点为F1，F2，过F1且垂直
a b
于对称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是
|PQ|= ________________
三、抛物线：
（1） 抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的 轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2） 抛物线的标准方程、图象及几何性质： p 0
焦点在X轴上， 焦点在X轴上， 焦点在y轴上， 焦点在y轴上，
开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
标准方
程 2 小
y =2px 2 小
y =-2px 2 小
x =2py 2 小
x = -2py
1为0,
2
X
②与双曲线笃 2
b-1共渐近线的双曲线系方程是 即得 2 2
因式分解
得到 =0。
2 X
b 2 图形 l i
y
O 乙
K
O
顶点 0(0,0)
对称轴 X轴 y轴
隹 占
八、、 八、、 F^P) y,。） 叫） F（y）
离心率 e = 1
准线 x =巴 x=e y= P y」
2 2 2 2
通径 2 P
焦半径 I PF円X。|峙 IPF冃y°I峙
焦点弦
焦准距 P
四、 弦 长 公 式
| AB |= •. 1 k2 | 捲-x2 |= . 1 k2 ； （x「x2）2 -4x^2 = , 1 k2
1 AI
其中，AJ分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一 元二次方程的判别式和x2的系数
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于x的一元二次方程Ax Bx 0,设， B（x2,y2），由韦达定
理求出x1 x^ -旦；（3）设中点M（xo,yo），由中点坐标公式得X。=匕 立；
A 2
再把x = X。代入直线方程求出y = y。。 法（二）:用点差法，设A（xt, yj， B （x2 , y2），中点M（x。, y。），由点在曲线 上，线段的中点坐标公式，过 A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减,
代入等变形，求出Xo,yo
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程 求e
（求e时，要注意椭圆离心率取值范围是 0< e< 1，而双曲线离心率取值范 围是e>
1）
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题：
1 . （2011 •辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A, B是抛物线上的两点,
|AF + |BF二3,则线段AB的中点M到y轴的距离为（ ）
A. 4
答案：C
2. （2011 •湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p>0）上，另一个顶点是此抛
物线焦点的正三角形个数记为n则（ ）
答案：CB. 1
5
3
B. 5
3
C—5
答案：D
公共的焦点，C2的一条渐近线与以C的长轴为直径的圆相交于 A, B两点•若C 恰好将线段AB三等分，则（ ）
A. a2=等
D. b2 = 2
答案：C
5 . （2011 •福建）设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1, F2，若曲线上存在点 P
满足|PF| :厅问：|P£|= 4： 3: 2,则曲线的离心率等于（ ）
1亠3 2亠
A.2或2 B.§或 2
1 23
C. 2或 2 D.§或
答案：A 3. （2011 •全国U ）已知抛物线
交于A, B两点，贝U cos / AFB=（ C： y2 = 4X的焦点为F,直线y= 2X — 4与C
4. （2011 •浙江）已知椭圆C 2 x
2 + a 2
y
b2^ 2
2 y
1(a>b>0)与双曲线 C： x — - = 1
B. a2= 13
2 C. b2 2 2
x y
6. （2011 •邹城一中5月模拟）设F1, F2是双曲线云一希=1（a>0, b>0）的左、
— — —
右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（OF+ OF）下2卩=0（O为坐标原点），
且| PF| = 3| PF，则双曲线的离心率为（ ）
A^2±1
A. 2
答案：D
、填空题:
7 . （2011 •江西）若椭圆扌+討1的焦点在x轴上，过点（1, 2作圆x2+ y2 二1的切线，切点分别为A, B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭
圆方程是 ________ •
2 2
x y
答案：2+7= 1
5 4
8 （2011 •课标）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1, F2在x轴上，离心率为屮，过F1的直线I交C于A, B两点，且△ ABF的周长为 16,那么C的方程为一
2 2
“宀 x y
答案：W+8二1
2
X 2 B. 2+1
D. , 3+
1 9. （2011 •浙江）设F1, F2分别为椭圆-+ y2= 1的左、右焦点，点 A, B在
