椭圆-双曲线-抛物线知识点
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椭圆-双曲线-抛物线知识点
椭圆是平面内的一种几何图形，它有两个焦点F1和F2，满足平面内任意一点M到F1和F2的距离之和等于定长2a。即MMF1+MF2=2a（2a>F1F2）。椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为F1F2=2c（c^2=a^2-b^2），离心率e=c/a。椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ（θ为参数），其中a和b分别为长轴和短轴的长度。椭圆的范围为x≤a，y≤b（焦点在x轴上）或x≤b，y≤a（焦点在y轴上）。椭圆的顶点坐标为(±a,0)和(0,±b)，对称轴分别为x轴和y轴，对称中心为原点O。椭圆的准线方程为x=±c/a和y=±c/b，其中c为焦距之一。椭圆上任意一点到给定直线Ax+By+C=0的距离为d=|Aacosθ+Bbsinθ+C|/√(A^2+B^2)。
椭圆的位置关系与直线y=kx+b：
对于标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1的椭圆和直线y=kx+b，可以将其转化为一元二次方程，再用判别式来确定它们的位置关系。
如果判别式大于0，则它们相交于两个点，弦长为AB=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，通径为AB=|y2-y1|。
如果判别式等于0，则它们相切于一个点。 如果判别式小于0，则它们不相交，也不相切。
双曲线的定义和位置关系：
双曲线是平面内与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹。焦点为F1和F2，焦距为F1F2的距离。
双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（焦点在x轴）或y^2/a^2-x^2/b^2=1（焦点在y轴）。范围为x≥a，y∈R或y≥a，x∈R，对称轴为x轴或y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b。
双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，共渐近线的双曲线系方程为x^2/a^2-y^2/b^2=k，其中k为常数。
双曲线的第一定义：
双曲线是平面内与两个定点F和F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹。焦点为F1和F2，焦距为F1F2的距离。
对于点P(x,y)在双曲线上，有MM'=(y^2/a^2-x^2/b^2)^(1/2)，MF1=c，MF2=c，其中c为焦距的一半，即c^2=a^2+b^2. 因此，有MM'-MF1=MF2-MM'，即2a=MM'/MF2，即MM'=(2a)MF2/(MF2+MF1)，即MM'=2a/(e^2-1)^(1/2)，其中e=c/a为离心率。
双曲线的第二定义：
双曲线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹。焦点为F，准线为l，离心率为e。
对于点P(x,y)在双曲线上，有PF=e*PD，其中PD为点P到直线l的距离。因此，有PD=|y-kx-b|/sqrt(k^2+1)，其中直线l的方程为y=kx+b。
又因为PF^2=PD^2+(b^2-a^2e^2)，其中a为焦点到准线的距离的一半，即a=|b/e|。
因此，有(b^2-a^2e^2)(k^2+1)x^2-2ab^2ekx+b^2(y^2-a^2e^2)=0，即标准方程为(b^2-a^2e^2)(x^2/a^2-y^2/b^2)=1.
抛物线和双曲线是二次曲线的两种类型。在平面直角坐标系中，双曲线的方程形式为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$是正实数，且$a\neq b$。抛物线的方程形式为$y^2=2px$或$x^2=2py$，其中$p$是正实数。为了确定双曲线和直线之间的位置关系，可以将双曲线转化为一元二次方程，然后使用判别式来确定。如果二次方程二次项系数为零，则直线和渐近线平行。对于双曲线上的一点，可以使用导数或者$x$和$y$的关系式来确定切线方程。
抛物线是由一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。抛物线的方程形式为$y^2=2px$或$x^2=2py$，其中$p$是正实数。抛物线关于$x$轴对称，也关于$y$轴对称。焦点在对称轴上，位于顶点的反面。抛物线的顶点到准线的距离等于焦点到准线的距离。如果一条直线与抛物线相交，可以使用判别式来确定它们的位置关系，然后可以使用切线方程来确定抛物线上的一点的切线。
