平面向量系数和

- 1 - 平面向量的等和线定理的证明

平面向量的等和线定理是指，如果在平面上有一组向量，使得它们的和等于一个固定向量，则这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线，称为等和线。本文将介绍平面向量的等和线定理的证明。

首先，假设有一组向量v1、v2、v3、...、vn，它们的和等于向量s，即：

v1 + v2 + v3 + ... + vn = s

我们要证明，这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线为等和线。为了证明这一点，我们需要证明两个部分：

一、等和线上任意一点的向量和等于向量s。

二、等和线上任意一点的向量和小于向量s，且任意一点的向量和大于向量s的点都不在等和线上。

首先，证明一。假设p是等和线上的任意一点，则有：

p = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn

其中，a1、a2、a3、...、an是任意实数。我们将上式两边同时乘以一个实数k，则有：

kp = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn

由于v1、v2、v3、...、vn是一组向量，所以它们的和也可以表示为：

v1 + v2 + v3 + ... + vn = s

将等号两边同时乘以k，则有：

kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn = ks - 2 - 由此可知，kp + ks也可以表示为：

kp + ks = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn + kv1 + kv2

+ kv3 + ... + kvn

将等式右边的所有向量都合并起来，则有：

kp + ks = (ka1 + k)v1 + (ka2 + k)v2 + (ka3 + k)v3 + ... +

(kan + k)vn

1妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题

【题型归纳目录】

题型一：x+y问题(系数为1)

题型二：mx+ny问题(系数不为1)题型三：mx-ny问题

题型四：m

x+n

y问题

题型五：y

x问题

题型六：x2+y2问题

【方法技巧与总结】

(1)平面向量共线定理

已知OA=λOB+μOC

，若λ+μ=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。

(2)等和线

平面内一组基底OA,OB

及任一向量OP

，OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或者在

平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称

为等和线。

①当等和线恰为直线AB时，k=1；

②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；

③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1,+∞)；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【典型例题】

题型一：x+y问题(系数为1)

1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN

=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是()

A.0,1

3B.1

3,1

2C.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

2【解析】由题意，设AN=tAM

，0≤t≤1，

当t=0时，AN=0，所以λAB+μAC=0，

所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；

当0

所以tAM=λAB+μAC

，即AM=λ

tAB+μ

tAC

，

因为M、B、C三点共线，所以λ

t+μ

t=1，即λ+μ=t∈0,1.

综上，λ+μ的取值范围是[0,1].

故选：C.

2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC中，M为边BC上的任意一

点，点N在线段AM上，且满足AN=1

微专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心

1.平面向量等和线定理

平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP→，OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝|OP||OF|＝|OB1||OB|＝|OA1||OA|，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.

(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，

(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；

(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；

(4)当等和线过O点时，k＝0.

2.三角形“四心”

(1)点O是△P1P2P3的重心⇔OP1→＋OP2→＋OP3→＝0⇔S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝13S△P1P2P3；

(2)点O是△P1P2P3的垂心⇔OP1→·OP2→＝OP2→·OP3→＝OP3→·OP1→⇔tan P1·OP1→＋tan

P2·OP2→＋tan P3·OP3→＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tan P1∶

tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)；

(3)点O是△P1P2P3的内心⇔aOP1→＋bOP2→＋cOP3→＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)；

(4)点O是△P1P2P3的外心⇔|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|⇔OP1→sin∠P2OP3＋OP2→sin∠P1OP3＋OP3→sin∠P1OP2＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin

2P3.

3.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA→＋S△PAC·PB→＋S△PAB·PC→＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

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高三数学平面向量考点解析

1、 高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。

2、 平面向量的三种形式：

（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；

（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；

（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。

3、平面向量的相关概念，

（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。

（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。

（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。

（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。

（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。

（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。规定零向量和任意向量都平行且垂直。 精品资料欢迎阅读