当前位置：文档之家 › 平面向量基本定理系数的等和线

平面向量基本定理系数的等和线

  • 格式：doc
  • 大小：360.99 KB
  • 文档页数：4

lAQBOA1B1PlOABCC1平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】

（一） 平面向量共线定理

已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然

（二） 等和线

平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB时，1k；

（2） 当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；

（3） 当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；

（4） 当等和线过O点时，0k；

（5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、 确定等值线为1的线；2

2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

【典型例题】

例1、 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角

为0120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。

若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值

是__________。

（1）跟踪练习：已知O为ABC的外心，若1cos3ABC，AOABAC，则的最大值为_______

(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，

E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.

AOBC(3)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λ AB→＋μ AD→，则λ＋μ的最大值为( )

A．3 B．22

C.5 D．2

(4)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0,1) B．(1，＋∞)

C．(1，2] D．(－1,0)

例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点,AB满足||||2OAOBOAOB，则点集{|,||||1,,}POPOAOBR所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形OAB中，060AOB，C为弧AB上不与,AB重合的一个动点，

OCxOAyOB，若uxy (0)存在最大值，则的取值范围为__________.

跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，

设AExADyAP，则2xy的最小值为_____________.

SMBACDQNPBDOAC【强化训练】

1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF，则xy

的取值范围__________.

2、如图，在平行四边形ABCD中，,MN为CD边的三等份点，S为,AMBN的交点，P为边AB上的一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN，则xy的取值范围__________.

3、设,DE分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC

（12,为实数），则12的值为_____________.

4、梯形ABCD中，ADAB，1ADDC，3AB，P为三角形BCD内一点（包括边界），APxAByAD，则xy的取值范围__________.

5、已知||1,||3OAOB，0OAOB，点C在AOB内，且030AOC，设OCmOAnOB，则mn的值为____________.

6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设ACxDEyAP，则xy的最小值为_____________.

7、已知||||1OMON，(,OPxOMyONxy为实数）。若PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则xy 取值的集合为_______。

8、平面内有三个向量,,OAOBOC，其中,OAOB夹角为0120，,OAOC的夹角为030，且||||1OAOB，

||23OC，若OCmOAnOB，则mn的值为____________________。

9、如图，,,ABC是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围为___________。

10、已知O为ABC的外心，若(0,0),(2,0)AB，21,3ACBAC，且AOABAC，则=________.

11、已知,ab是两个互相垂直的单位向量，且1cacb，则对任意的正实数t，1||ctabt的最小值为_______________.

合集下载

平面向量的等和线定理的证明

平面向量的等和线定理的证明

- 1 - 平面向量的等和线定理的证明

平面向量的等和线定理是指，如果在平面上有一组向量，使得它们的和等于一个固定向量，则这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线，称为等和线。本文将介绍平面向量的等和线定理的证明。

首先，假设有一组向量v1、v2、v3、...、vn，它们的和等于向量s，即：

v1 + v2 + v3 + ... + vn = s

我们要证明，这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线为等和线。为了证明这一点，我们需要证明两个部分：

一、等和线上任意一点的向量和等于向量s。

二、等和线上任意一点的向量和小于向量s，且任意一点的向量和大于向量s的点都不在等和线上。

首先，证明一。假设p是等和线上的任意一点，则有：

p = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn

其中，a1、a2、a3、...、an是任意实数。我们将上式两边同时乘以一个实数k，则有：

kp = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn

由于v1、v2、v3、...、vn是一组向量，所以它们的和也可以表示为：

v1 + v2 + v3 + ... + vn = s

将等号两边同时乘以k，则有：

kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn = ks - 2 - 由此可知，kp + ks也可以表示为：

kp + ks = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn + kv1 + kv2

+ kv3 + ... + kvn

将等式右边的所有向量都合并起来，则有：

kp + ks = (ka1 + k)v1 + (ka2 + k)v2 + (ka3 + k)v3 + ... +

(kan + k)vn

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(原卷版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(原卷版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题

【考点分析】

考点一：平面向量等和线问题

①平面向量共线定理

已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然。

①平面向量等和线问题

平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

注意：

1.当等和线恰为直线AB时，1k；

2.当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；

3.当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；

4.当等和线过O点时，0k；

5.若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【典型例题】

题型一： 平面向量等和线求系数和问题

【例1】如图，在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若满足APmABnAD，则nm的最大值为（ ）

A．3 B．22 C．5 D．2

lAQBOA1B1P【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若APxAByAC，则22xy的最大值为（ ）

A．83 B．2 C．43 D．1

【例3】在ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若ANABAC（，R），则的取值范围是（ ）

A．10,3 B．11,32 C．[0,1] D．[1,2]

【例4】如图，已知点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行，若OPxOByOA，当12x时，y的取值范围是（ ）

A．0,1 B．1,12 C．13,22 D．13,22 【例5】在扇形OAB中，60AOB，C为弧AB上的一动点，若OCxOAyOB，则3xy的取值范围是_________．

平面向量基本定理系数等值线

平面向量基本定理系数等值线

数学通讯一２０１３年第ｌ期（下半月）　·专论荟萃·　

平面向量基本定理系数等值线　

潘成银　

（江苏省南京民办实验学校，２１００１９）　

平面向量基本定理：如果ｅ　，ｅ　是同一平面内　

的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一　向量ａ，有且仅有一对实数　ｌ，　２，使ａ＝　ｌ　Ｉ＋　２２ｅ２，我们称Ａ１，　２为平面向量基本定理系数．　

１三点共线定理　定理１　平面内一组基底　，魂及任一向量　一ｏＰＯＰ　ＯＰ＝　１一ＯＡ＋　２一ＯＢ（则Ａ，，　＝　１　＋　，　（　１，　２为实数），贝０　，　

Ｐ，Ｂ三点共线的充要条件是　１＋　２＝１，如图１．设　线段ＡＢ中点为Ｃ，由平面向量加法平行四边形法　则可知　

当Ｐ在点ｃ时，　＝　２＝丢；　

当Ｐ在点Ａ时，　１：１，　

＝０；　当Ｐ在点Ｂ时，　１＝０，　

＝１；　图　１　

当Ｐ在线段ＡＣ上（除端点）时，０＜　２＜　１＜１；　

当Ｐ在线段ＢＣ上（除端点）时，０＜　１＜　２＜１；　当Ｐ在线段ＡＢ延长线上时，　１＜０，　２＞１；　当Ｐ在线段ＢＡ延长线上时，　１＞１，　２＜０．　借助上面的结论，我们可以对平面向量基本定　

理系数的性质作进一步研究．　２等和线　如图２，平面内一组基底　蔬，茄，作直线ｌ∥ＡＢ，直线　

ＯＡ，ＯＢ分别与ｚ交于Ａ１，Ｂ１，　

设　＝ｋ　（ｋ∈Ｒ），则　

若Ｐ为　上任意　图２　

点，ＯＰ＝ＯＡ１＋ＡｌＰ：ＯＡ１＋ｔ　ＡｌＢ１：ＯＡｌ＋ｔ　

（　一　）＝（１一　）ｋ　＋ｔｋ　（ｔ为实数），设　１：（１一ｔ）ｋ，　２＝ｔｋ，则　１十　２＝是，显然ｋ只与　

和直线ＡＢ相对位置有关，而与Ｐ在ｌ上的位置无　关，所以，对于直线ｌ上任意一点Ｐ，以　，　为基　

底的向　的平面向量基本定理的系数和为定值．　反之，对于任意两个向量　，一Ｏ—Ｐ２，　＝　

１　ＯＡ＋２２　ＯＢ，ＯＰｚ＝　３　ＯＡ＋２４　ＯＢ（Ａ１，　２，Ａ３，　

４为实数），若　１十　２＝　３＋　４，移项得　３一Ａ１＝　

点处的切线平行于这些弦．（２）椭圆焦点弦两端点　处的两条切线相交在准线上．（３）设椭圆的中心为　

平面向量的等和线定理的证明 2

平面向量的等和线定理的证明 2

平面向量的等和线定理的证明

平面向量的等和线定理是数学中的一个重要定理，它描述了平面上两个向量的和向量与这两个向量的等和线之间的关系。该定理在向量运算和几何中具有广泛的应用。本文将从基本概念开始，逐步阐述等和线定理的证明过程。

我们先来回顾一下平面向量的基本概念。平面向量是具有大小和方向的量，它可以由有序数对表示。在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为a=(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x轴和y轴上的分量。向量的大小通常用向量的模或长度来表示，记作|a|。

在平面向量的加法中，我们知道，两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的和向量可以表示为c=(a1+b1,a2+b2)。等和线是指平面上所有和向量的终点构成的线段。等和线定理的核心内容是：两个向量的和向量的终点一定在这两个向量的等和线上。

为了证明等和线定理，我们可以通过向量的平移来进行推导。假设有两个向量a和b，我们将向量b的起点与向量a的终点重合，构造一个新的向量c，它的起点与向量a的起点相同，终点与向量b的终点重合。根据向量的平移法则，向量c的终点就是向量a和向量b的和向量的终点。

现在，我们来具体推导一下。设向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，向量c=(a1+b1,a2+b2)。根据向量平移法则，我们将向量b的起点与向量a的终点重合，得到新的向量c。由于向量平移不改变向量的大小和方向，所以向量c的大小和方向与向量a和向量b的和向量相同。

接下来，我们需要证明向量c的终点一定在向量a和向量b的等和线上。根据向量的定义，向量的终点可以通过将向量的起点与向量的分量相加得到。所以，向量a的终点可以表示为A=(0,a2)，向量b的终点可以表示为B=(a1,b2)，向量c的终点可以表示为C=(a1+b1,a2+b2)。

由于向量的终点是通过向量的起点与向量的分量相加得到的，所以我们可以得出以下等式：

C = A + (a1+b1,0) = B + (0,b2)