§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；
(4)cos θ＝a·b|a||b|；
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．( )
平面向量的数量积及运算律
【基础知识精讲】
1.平面向量的数量积的定义及几何意义
(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.
(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0
特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.
综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件
两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).
(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.
我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.
2.向量数量积的性质：
设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：
(1) ·=·=｜｜cosθ
(2) ⊥·=0 (3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.
(4)cosθ= (θ为，的夹角)
(5)｜·｜≤｜｜·｜｜
3.平面向量的数量积的运算律
(1)交换律： ·=·
(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：
数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。以下是其中一些常见的物理意义：
1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。我们知道，加速度a等于速度v的变化率。因此，v = at。将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v
= (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。 几何意义：
数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。以下是其中一些常见的几何意义：
1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。这意味着它们之间的夹角为直角，即90度。而如果两个向量的数量积为正值，则它们之间的夹角为锐角；如果数量积为负值，则意味着它们之间的夹角为钝角。
初三数学教材平面向量的数量积与向量积
平面向量在初三数学教材中占据着重要的地位，其中数量积和向量积是我们需要重点学习和掌握的概念。数量积与向量积是平面向量运算中的两个重要概念，它们具有不同的性质和应用场景。下面将分别对数量积和向量积进行详细介绍。
1. 数量积
数量积又称为内积或点积，表示为两个向量的数量积是一个标量。设有向量a和向量b，它们的数量积定义为：
a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角。从公式中可以看出，数量积等于向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。
数量积具有以下性质：
(1) 交换律和分配律：a·b = b·a，(a+b)·c = a·c + b·c
(2) 公式变形：a·b = 0，则a与b垂直或其中一个向量为零向量。
(3) 利用数量积可以计算向量的模：|a| = √(a·a)
在初三数学教材中，数量积常用于计算向量的模、判断向量的垂直性以及求解几何问题，如判断一个四边形是否为矩形、证明两条直线的垂直等。 2. 向量积
向量积又称为外积或叉积，表示为两个向量的向量积是一个向量。设有向量a和向量b，它们的向量积定义为：
a × b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角，n表示垂直于平面的单位向量，其方向由右手法则确定。
向量积具有以下性质：
(1) 反交换律。a × b = - (b × a)
(2) 与数量积的关系。|a × b| = |a| |b| sinθ
(3) 公式变形。a × b = 0，则a与b共线或其中一个向量为零向量。
向量积的应用主要集中在解决平面向量的方向问题，如求解平面向量的垂直平分线、判断两条直线的位置关系等。
在初三数学教材中，平面向量的数量积与向量积是计算和解决各种几何问题中不可或缺的工具。通过深入学习和理解这两个概念，同学们可以更好地掌握和运用平面向量的知识。
