平面向量

理化空间　

炙手可热的平面向量　

李刚　

河北省唐山市开平区第二十三中学０６３０２１　

平面向量是高中新课标的重要内容，具有代数形式和几　

何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与　

函数、三角、解析几何等内容交叉渗透，使数学问题的情境新　

颖别致，自然流畅．，因此以平面向量知识为载体，以数形转化　

思想方法为主线的交汇创新题已成为试题命制的热点。以下　

就以近年高考和模拟题中以向量为背景的交汇创新题的类型　

予以归纳和剖析．　

１．平面向量与函数的交汇创新题　

平面向量与函数的交汇创新题主要以函数知识为背景，　

以平面向量知识为依托，沟通与函数的有机联系，着重考查函　

数的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力。　

例１已知向量ａ＝（ｘ２，ｘ＋１），ｂ＝（１－ｘ，０，若函数．　）：ａ・ｂ在　

区间（一１，１）上是增函数，求ｔ的　

取值范围。　

解：依定义ｆ（ｘ）＝　（１－　）＋ｆ（　＋１）：一ｘ’＋　＋ｔＸ＋，・　

则，　）＝－３ｘ。＋２　＋，，　

若．，（　）在（一１，１）上是增函数，则在（一１，１）上恒有，　）≥　

Ｏ　

．。．厂　）≥ｏ§，　３ｘ　一２ｘ在（一１，１）上恒成立　

考虑函数ｇｔｘ）＝３ｘ　２ｘ，由于ｇ　）的图象是对称轴为　，　

开口向上的抛物线，故要使ｆ　３ｘ　一２　（一１，１）上恒成立　

，　ｇ（－Ｄ，即ｔ≥５　而当ｔ≥５时，厂ｒ（　）在（一ｌ，１）上满足，ｒ（　）＞０，即．，（　）在（一　

ｌ，１）上是增函数　

故ｔ的取值范围是ｔ≥５　

点评：通过向量数量积的定义转化为三次函数，化归为已　

知单调性利用导数逆求参数ｔ的范围。　

２．平面向量与三角的交汇创新题　

平面向量与三角的交汇创新题主要依托平面向量的模、　

数量积、夹角等公式等，通过数形转化，实现与三角的有机整　

合，来考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。　

例３设二＝（口ｌ，口２），；＝ｏ）。，ｂ２），定义一种向量积：二　；＝（ａ　ｂ　，　

ａ２１）２）．已知点Ｐ（ｅ，ｓｉｎＯ），　（２，　，；＝　，０）　点Ｑ在ｙ－－ｉｆ（ｘ）的图象上　

1

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a

结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λaμa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

2

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )

1 平面向量

一.基本知识点

1、在表示两向量的夹角和两条直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①两直线所成的角的取值范围依次是.2,0②向量的夹角的取值范围是[0，π],并且分同向,反向,垂直三种特殊情况.

2、你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量，（）向量的模——有向线段的长度，2||a

，）单位向量（1||30a （）零向量，4000||，（）相等的向量长度相等方向相同5ab

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

babba∥存在唯一实数，使()0

（7）向量的加、减法：

3、平面向量基本定理（向量的分解定理）：为该平面任一向量，的非零向量，是平面内的两个不共线，aee21则存在唯一的实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。

4、向量的坐标表示设，，，axybxy1122，则，，，abxyyyxyxy11121122，

axyxy1111，，

若，，，AxyBxy1122,则，ABxxyy2121，

||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式

5、平面向量的数量积

（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0

数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos

（2）数量积的运算法则

2 ①··abba②··()abcacbc

③·，·，abxyxyxxyy11221212

平面向量及应用

温州八中 林胜杰

向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

【考点梳理】

一、考试内容

1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。

2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。

3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。

4．平移及平移公式。

二、考试要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2．掌握向量的加法与减法。

3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。

4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

三、考点精析

1．平面向量知识结构

2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

（3）表示法

①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。

②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)