河北省武邑中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

河北武邑中学2017～2018学年下学期高二期末考试

数 学 试 题（理科）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1. 若直线1x的倾斜角为，则（ ）

A.等于0 B.等于4 C.等于2 D.不存在

2.已知实数a、b、c、d成等差数列,且曲线y=ln(+2)-取得极大值的点坐标为(b,c),则a+d 等于（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

3.已知函数f()=sin-cos,且xfxf2,其中的导函数是xfxf，则

xxx2sincossin122=（

）

A 519 B. 519 C. 311 D. 311

4.设nm、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：

①若，//m，则m ②若m，n，则nm//

③若m，nm，则//n

④若n，n，则// .

其中真命题的序号为（ ）

A. ①③

B. ②③

C. ①④ D. ②④

5．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法

D．分层抽样法

6.焦点为6,0且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线方程是(

)

A.1241222yx B.1241222xy C.1122422xy D.1122422yx

7.如图，已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都

x y O x y O x y O x y

O

相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面

直线AB与1CC所成的角的余弦值为（ ）

A.34 B.54 C.74 D.34

8．椭圆2212516xy的左、右焦点分别为12,FF，弦AB过1F，若2ABF的内切圆的周长为2， ,AB两点的坐标分别为11,xy， 22,xy，则21yy（ ）

A. 35 B．310 C．320 D．35

9.如图，正方形ABCD内的图形自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A.41 B 4 C 21 D 8

10. 在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是（ ）

A． B． C． D．

11.如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是( )

A．直线 B．抛物线

C．离心率为223的椭圆 D．离心率为3的双曲线

12. 设直线l1，l2分别是函数f()＝－lnx，0＜x＜1，lnx，x＞1 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )

A．(0，1) B．(0，2) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设复数11izi，则z

。

14. 已知'()fx是函数f()的导函数，)0(1ln22)(fxxfx,则)1(f________.

15.已知抛物线24yx的准线与双曲线22214xya交于,AB两点，点F为抛物线的交点，若FAB为正三角形，则双曲线的离心率是

．

16.已知直线:21440lmxmym上总存在点M，使得过M点作的圆C：

222430xyxy的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （本小题满分10分）命题:p方程2221mxmy表示双曲线；命题:q不等式21120mxmx的解集是R. pq为假， pq为真，求m的取值范围.

18．（本小题满分12分）三棱柱111CBAABC中，NM、分别是BA1、11CB上的点，且12BMAM，112CNBN。设ABa，ACb，1AAc.

（Ⅰ）试用,,abc表示向量MN；

（Ⅱ）若90BAC，1160BAACAA，11ABACAA，求MN的长.。

B1C1A1NMCBA

19．(本小题满分12分)已知点P(2,2)，圆C：2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程.

20．（本小题满分12分）已知曲线3:()Cfxxx

（1）求曲线C在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）求与直线53yx平行的曲线C的切线方程．

21.（本小题满分12分）已知函数xaxxfln1)(()aR．

（1）讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数)(xf在1x处取得极值，且对任意0,x,2)(bxxf恒成立，

求实数b的取值范围；

（3）当1eyx时，求证：)1ln()1ln(yxeyx．

22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别为棱AD、PC的中点.

(1)求异面直线EF和PB所成角的大小;

(2)求证平面PCE⊥平面PBC;

(3)求二面角E－PC－D的大小.

理科数学评分细则

1.C 2.D 3. A 4. D 5.D. 6.B 7.D 8．B 9.D 10. C. 11. C． 12.A

13．1 222(1)122,1(1)(1)12iiiiziziii 14. 2ln 15.573

16.210m

17. （本小题满分10分）

解：p真 20mm 02m，

q真 1m或1{ 0m 19m ∴19m

p真q假 01m p假q真 29m

∴m范围为{|0129}mmm或

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）1111MNMAABBN1111133BAABBC

11111()()33333caabaabc。…………6分

（Ⅱ）2()222222abcabcabbcca

111110211211522，

||5abc，15||||33MNabc…………12分

19．(本小题满分12分)

解：(1)圆C的方程可化为2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4．

设M(，y)，则CM→＝(，y－4)，MP→＝(2－,2－y)．

由题设知CM→·MP→＝0，故(2－)＋(y－4)(2－y)＝0，即(－1)2＋(y－3)2＝2．…………6分

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(－1)2＋(y－3)2＝2．

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为＋3y－8＝0．………12分

20．（本小题满分12分） 解：（1）∵，∴，求导数得，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即．………6分

（2）设与直线平行的切线的切点为，

则切线的斜率为．

又∵所求切线与直线平行，∴，

解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，

即或．………12分

21.（本小题满分12分）

解：（1）xaxxaxf11)(，

当0a时，()0fx在),0(上恒成立，

函数)(xf 在),0(单调递减，∴)(xf在),0(上没有极值点；

当0a时，()0fx得10xa，()0fx得1xa，

∴)(xf在(10,)a上递减，在(1),a上递增，即)(xf在ax1处有极小值．

∴当0a时)(xf在),0(上没有极值点，

当0a时，)(xf在),0(上有一个极值点． ··············· 4分

（注：分类讨论少一个扣一分。）

（2）∵函数)(xf在1x处取得极值，∴1a， ………………………………………5分

∴bxxxbxxfln112)(， ……………………………………………………6分

令xxxxgln11)(，可得)(xg在2,0e上递减，在,2e上递增，………………7分

∴22min11)()(eegxg，即211be． ················· 8分

（3）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(yexeyxeyxyx， ··········· 9分

令)1ln()(xexgx，则只要证明)(xg在),1(e上单调递增，

又∵)1(ln11)1ln()(2xxxexgx，

显然函数11)1ln()(xxxh在),1(e上单调递增．

∴011)(exh，即0)(xg，

∴)(xg在),1(e上单调递增，即)1ln()1ln(yexeyx，

∴当1eyx时，有)1ln()1ln(yxeyx． ..........................................................12分

22．（本题满分12分）

22、