《1.1.2 瞬时变化率——导数》教学案

《1.1.2瞬时变化率与导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。

【教学目标】
1.利用生活中的实际问题，为了描述运动物体任意时刻的速度，引入瞬时变化率的概念。

2.通过伽利略和牛顿的实验推导过程总结瞬时变化率的定义。

3.经过本节课的学习，能够理解并运用瞬时变化率解决实际问题，并能理解导数的涵义。

【学情与内容分析】
上节课从平均速度出发通过极限的方法得到瞬时速度，本节课推广到不限于表达运动过程的函数，抽象概括得到瞬时变化率的概念（又称为函数的导数或者微商），要求学生掌握导数的符号表示和概念，区分导数和导函数，通过实例的演练，掌握求瞬时变化率的步骤，结合具体问题情境，链接其物理意义.
【教学准备】多媒体课件。

【难重点】
重点：瞬时变化率（导数）的概念.
难点：导数和导函数的区别，利用导数或者导函数的定义来求导数或者导函数. 【教学过程】
【板书设计】
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P10 1、2、3题【教学反思】。

1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。

《1.1.3瞬时变化率——导数》教学案(二)瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标(1)理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；(2)运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.二、教学重点、难点重点：瞬时速度和瞬时加速的定义 难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.三、教学过程【复习回顾】1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C 是函数y =f (x )的图象，在曲线C 上取一点P (x ，y )及邻近的一点Q (x +∆x ， f (x + ∆x ))，过P 、Q 两点作割线，，则割线PQ 的斜率为00()()PQ f x x f x k x+∆-=∆. 当∆x →0时，动点Q 将沿曲线趋向于定点P ，从而割线PQ 也将随之变动而趋向于切线PT 的斜率，当△x →0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即K 为()()f x x f x x+∆-∆.在△x →0时的极限值.练习：曲线的方程为y =x 2+1，求曲线在点P (1，2)处的切线方程.解：2200()()(1)1(11)2()f x x f x x x x x x x+∆-+∆+-+∆+∆==∆∆∆ 0x ∆→时，00()()2f x x f x x+∆-→∆∴曲线在点P (1，2)处的切线斜率为2.因此，点p (1，2)切线的方程为y -2=2(x -1)，即 y =2x.【问题情境1】平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？【问题情境2】跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /.分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /.【构建数学】 瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. (2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想；如何得到求瞬时速度的步骤？a 、先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆b 、再求平均速度t s v ∆∆=c 、后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度.(4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.三、例题分析例题1 物体做自由落体运动，运动方程为212S gt =，其中位移单位是m ，时间单位是s ，210/g m s =.求例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设()t s 时的速度为2()3v t t =+，求0()t t s =时轿车的加速度.分析：(1)先求轿车在[]00,t t t t ∈+∆时，轿车的平均加速度.(2)当0t ∆→时，平均加速度a 逼近一个常数，这个常数就是2t s =时运动员的瞬时速度.由例1和例2我们能发现一个问题：位移在时间上的改变量就是速度，而速度在时间上的改变量就是加速度.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时原油的温度)(C为157)(2+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时，原油的瞬时变化率，并说明意义.四、课堂练习1.质点沿x 轴运动，设距离为()x m ，时间为()t s 时，2105x t =+，则当00t t t t ≤≤+∆时，质点的平均速度为 ；当0t t =时，质点的瞬时速度为 ；当00t t t t ≤≤+∆时，质点的平均加速度为 ；当0t t =时，质点的瞬时加速度为 .2.一质点的运动方程为210s t =+(位移单位：m ，时间单位：s )，试求该质点在3t s =的瞬时速度.3.自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212s gt =(g为常数). (1)求0()t t s =时的瞬时速度； (2)分别求1,2,3t s =时的瞬时速度.五、课堂小结本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程，培养学生解决实际问题的能力，学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣，体会到数学的研究方法和内在美.六、课后作业位是1gt 例1:物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.22s =1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==若t 无限趋近于0时， (1)(1)s t s t+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是( )A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的速度B ．9.8/m s 是在1～(1+t )s 这段时间内的速度C ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的速度D ．9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ∆)s 这段时间内的平均速度.2．如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度等于( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33．如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是( ) A ．4 B ．4- C ．4.8 D ．0.84．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且32423s t t t =+-，则物体在运动开始的速度为( )A ．3/m sB ．－3/m sC ．0/m sD ．2/m s5．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是( )A.0B.3C.－2D.t 23-6．枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动，如果它的加速度是525.010/m s ⨯.枪弹从枪筒弹出的时间为31.610s -⨯，求枪弹弹出枪口时的瞬时速度.(位移公式是212s at =，其中a 是加速度，t 是时间)7．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且3242-+=t t s ，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度.8、一块岩石在月球表面上以24m s的速度垂直上抛，()t s 时达到的高度为2240.8h t t =-(单位：m ).(1)求岩石在()t s 时的速度、加速度； (2)多少时间后岩石达到最高点.9．一作直线运动的物体其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t =2秒时的瞬时速度； (3)求t =0到t =2时的平均速度.。

2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2 瞬时变化率——导数学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2 瞬时变化率——导数学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

1.2 瞬时变化率——导数1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率-—导数的概念及其几何意义．(重点、难点）2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．（重点）3．理解导数与平均变化率的区别与联系．（易错点)［基础·初探］教材整理1 曲线上一点处的切线阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l称为曲线在点P处的切线．判断正误：(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．（）(2）过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )【答案】（1）×(2）×教材整理2 瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P11～P12,完成下列问题．(1）一般地,如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S（t)的平均变化率错误!无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．（2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率错误!无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．判断正误：（1）自变量的改变量Δx是一个较小的量,Δx可正可负但不能为零．( )(2）瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ）【答案】（1)√(2)×2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．【解析】错误!＝错误!＝18＋3Δt,当Δt→0时，错误!＝18＋3×0＝18。

1.1.2瞬时变化率-导数（一）曲线上一点处的切线一、教学目标1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念2．掌握用割线逼近切线的方法．3．会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程，二、问题情景导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流三、教学过程（一）点P 附近的曲线1．平均变化率：函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为 ． 即曲线上两点的连线（割线）的斜率。

显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。

2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了这种思维方式就叫做“逼近思想”。

1.1.2 瞬时速度与导数学习目标：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数在一点处导数的定义．学习过程：探究学习：1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0lim x y x ∆→∆∆. 物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1. 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='， 即f ′(x 0)＝0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆. 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①0lim x y x∆→∆∆存在(惟一确定的值)，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导， ②若0lim x y x∆→∆∆不存在，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处不可导． (2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即v ＝0lim x ∆→Δs Δt ＝0lim x ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . (3)f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x )－f (x 0)x －x 0与定义中的f ′(x 0)意义本质相同. 例题探究：例1：一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．例2：已知某物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4(t 的单位：s ，s 的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s 附近的平均速度．例3：求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．课堂检测：1.设函数f (x )可导，则limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．3．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．4．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．课堂小结：规律方法 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx .参考答案例题探究：例1：解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a Δt 2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0lim x ∆→Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 例2：解：v ＝Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝(25＋3Δt )m/s ，即该物体在4 s 附近的平均速度为(25＋3Δt )m/s.例3：解：因为Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b ) ＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2，故Δy Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2Δx＝(2x ＋a )＋Δx ， lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ， 所以y ′＝2x ＋a .课堂检测：1.【解析】根据导数的定义： lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13f ′(1)． 【答案】C2．【解析】v 初＝s ′|t ＝0＝ 0limt ∆→s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. 【答案】33．【解析】v 0＝0limt ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝0lim t ∆→v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝0lim t ∆→v ·Δt Δt＝v .【答案】相等4．解：运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴0lim t ∆→ Δs Δt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.5．解：由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0Δf Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0Δg Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

1．1.2 瞬时变化率——导数(一)学习目标 1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义.2.会求简单函数在某点处的导数及切线方程.3.理解导数与平均变化率的区别与联系．知识点一 曲线上一点处的切线思考1 曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？思考2 曲线上在某一点处的切线的含义是什么？设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度思考 运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？ 1．如果Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率． 2．如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．知识点三 导数及其几何意义 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).类型一 求瞬时速度、瞬时加速度例1 已知质点M 的运动速度与运动时间的关系为v ＝3t 2＋2(速度单位：cm/s ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔvΔt ；(2)求质点M 在t ＝2时的瞬时加速度．反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．(2)求瞬时加速度：①求平均加速度ΔvΔt；②令Δt →0，求出瞬时加速度．跟踪训练1 质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型二 求曲线在某点处的切线方程 例2 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？反思与感悟 (1)根据导数的几何意义知函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出曲线在该点处的切线方程．注意若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．跟踪训练2 曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 类型三 求切点的坐标例3 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤： (1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝2x 2相切，求a 的值及切点坐标．1．若做直线运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v (t )＝t 2－2，则在前4 s 内的平均速度是________m/s ，在t ＝4 s 时的瞬时速度是________m/s. 2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率为________．3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.4．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.1．平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0点的瞬时变化率．即有：Δx 趋于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤是一样的：(1)计算Δy ；(2)求Δy Δx ；(3)看Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．提醒：完成作业 1.1.2(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q .思考2曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线． 知识点二思考 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0. 题型探究 例1 解 Δv Δt＝v t ＋Δt －v tΔt＝t ＋Δt2＋2－t 2＋Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01 ＝12.03(cm/s 2)．(2)当Δt 无限趋近于0时，6t ＋3Δt 无限趋近于6t ，则质点M 在t ＝2时的瞬时加速度为12 cm/s 2.跟踪训练1 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝a＋Δt 2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，从而当Δt →0时，4a ＋a Δt →4a ， ∴4a ＝8，即a ＝2. 例2 解 (1)ΔyΔx＝[13＋Δx3＋43]－13×23＋43Δx＝4＋2Δx ＋Δx23，当Δx →0时，ΔyΔx→4.∴曲线C 在横坐标为2的点处切线的斜率为4，又切点的纵坐标为y ＝13×23＋43＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －4＝0，y ＝13x 3＋43，得：x 3－12x ＋16＝0.可化为(x －2)2(x ＋4)＝0，可得x ＝2或x ＝－4， 当x ＝－4时，y ＝－20.故切线与曲线C 还有一个公共点(－4，－20)． 跟踪训练2 9例3 解 设切点坐标为(x 0，y 0)， 则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14，∴切点坐标为(14，98)．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴k ·(－18)＝－1，即k ＝8，∴f ′(x 0)＝4x 0＝8，解得x 0＝2， ∴切点坐标为(2,9)．跟踪训练3 解 设直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)， ∵Δy Δx＝x 0＋Δx2－2x 2Δx＝4x 0＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0.切线l 的斜率为4， ∴4x 0＝4，得x 0＝1， 则y 0＝2x 20＝2，将x 0＝1，y 0＝2代入y ＝4x ＋a ， 得a ＝－2， 切点坐标为(1,2)． 达标检测1．4 8 2.4 3.1 1 4.2。

《1.1.2 瞬时速度与导数》教学案4【教学目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想【重点难点】导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力。

一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、新课讲解设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x x +∆，()f x x +∆)则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 1、曲线上一点处的切线斜率当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点P (x ，f (x ))处的切线的斜率。

()()f x x f x k x+∆-=∆，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x ，f (x ))处切线的斜率。

2．瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体的位移S ( t )的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t =t 0时的瞬时速度，也就是位移对时间的瞬时变化率求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t =t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率3．导数：函数在某点的瞬时变化率)0()()(00→∆→∆-∆+=∆∆x A xx f x x f x y 记作)(0x f ' 三、数学应用例1、已知f (x )=x 2，求曲线在x =2处的切线的斜率。