高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

3.1.2 瞬时变化率—导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．曲线上一点处的切线设曲线C 上的一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 3．瞬时加速度运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )． 4．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．5．导函数若函数y ＝f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．6．函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[基础自测]1．判断正误：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，ΔyΔx＞0.( )【解析】 (1)√.Δx 是自变量的增量，可正可负，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与它的正负无关． (2)×.Δy 可以为0，如常数函数． (3)×.ΔyΔx 也可能是负数或0.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．函数f (x )＝x 2在点(1,1)处切线的斜率是________． 【解析】 k ＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ，当Δx →0时，k →2，故所求的切线的斜率是2.【答案】 23．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2－2，则汽车在t ＝3秒时加速度为__________．【解析】 a ＝ΔvΔt＝3＋Δt2－2－－Δt＝6＋Δt ，当Δt →0时，a →6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6[合 作 探 究·攻 重 难](1)一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)． (2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v (t )＝t 2＋1，求汽车在t ＝1 s 时的加速度.【导学号：95902184】[思路探究] (1)设时间变化量Δt →求位移增量Δs →求平均速度Δs Δt →令Δt →0→结论.(2)设时间变化量Δt →求速度增量Δv →求平均加速度ΔvΔt →令Δt →0→结论【自主解答】 (1)设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt →8，所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.(2)设这辆车在t ＝1附近的时间变化量为Δt ，则速度的增量Δv ＝[(1＋Δt )2＋1]－(12＋1)＝(Δt )2＋2Δt ，Δv Δt ＝Δt ＋2，当Δt →0时，Δv Δt →2，所以汽车在t ＝1 s 时的加速度为2. [规律方法](1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； ②求平均速率v －＝ΔsΔt；③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于v .(2)求瞬时加速度的步骤： ①求平均加速度ΔvΔt ；②令Δt →0，求瞬时加速度. [跟踪训练]1．若一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝__________时的瞬时速度为1.【解析】 因为ΔsΔt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，所以当Δt →0时，Δs Δt 趋近于14t 0，即14t 0＝1，t 0＝114.【答案】 114求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数.【导学号：95902185】[思路探究] 方法一：先求Δy ，再求出ΔyΔx ，令Δx →0，可求f ′(1)，先求出f ′(x )，再求出f ′(x )在x ＝1处的值．方法二：先求出ΔyΔx ，当Δx 无限趋于0时，即可求出f ′(x )在x ＝1处的值．【自主解答】 方法一：∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋11＋Δx＝Δx －Δx ＋＋11＋Δx＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→0，∴f ′(1)＝0.方法二：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx＝x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝1－1x ＋Δx x，当Δx 无限趋于0时，1－1x ＋Δx x 无限趋近于1－1x2，即f ′(x )＝1－1x2，故f ′(1)＝0.函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为1－112＝0.[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求当Δx →0时，ΔyΔx的值，即f ′(x 0).[跟踪训练]2．根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y ＝x 2在x ＝1处的导数；(2)求y ＝x 2＋1x ＋5在点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，192处的导数．【解】 (1)∵Δy ＝(1＋Δx )2－12＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx＝2＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx ＝2＋Δx 无限趋近于2，所以f ′(1)＝2.(2)∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx＋Δx，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴当Δx →0时，Δy Δx →4－14＝154，故f ′(2)＝154.[探究问题] 1．平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是什么？【提示】 平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是过点P (x 0，f (x 0))和Q (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))割线的斜率．2．在探究1中，若让Δx →0，割线PQ 是如何变化的？【提示】 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即Δx →0时，割线PQ 有一个极限位置PT ，我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线．3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？【提示】 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f ′(x 0)．4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．求双曲线y ＝1x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12的切线方程.【导学号：95902186】[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.【自主解答】Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝12＋Δx －12Δx＝－1＋Δx，当Δx →0时，Δy Δx →－14，即k ＝f ′(2)＝－14.所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1.[规律方法]1．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程．即点P 的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P 处的切线斜率为f ′(x 0)，则点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；如果曲线y ＝f (x )在点P 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x ＝x 0.2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．[跟踪训练]3．已知直线y ＝3x ＋a 和曲线y ＝x 3相切，求实数a 的值． 【解】 设切点为M (x 0，y 0)，则Δy Δx ＝x 0＋Δx3－x 3Δx＝3x 20＋3x 0(Δx )＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，3x 20＋3x 0(Δx )＋(Δx )2无限趋近于3x 20. 由题意得，3x 20＝3，解得x 0＝1或x 0＝－1. 所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 将点(1,1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝－2； 将点(－1，－1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝2. 综上可知，a ＝－2或a ＝2.[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)＝________.【解析】 ∵f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝a Δx ＋b Δx2Δx＝a ＋b ·Δx ，当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→a ，∴f ′(x 0)＝a .【答案】 a2．已知曲线y ＝13x 3＋43，则以点P (2,4)为切点的切线方程是________.【导学号：95902187】【解析】 ∵Δy Δx＝13x ＋Δx3－x 3]Δx＝x 2＋13(Δx 2)＋Δx ·x ，当Δx →0时，Δy Δx →x 2，所以f ′(x )＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4. 【答案】 y ＝4x －43．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 【解析】 Δy Δx＝f－1＋Δx －f －Δx＝a －1＋Δx3＋2－a －3－2Δx＝3a －3a Δx ＋a (Δx )2当Δx →0时，ΔyΔx →3a ，所以f ′(－1)＝3a ＝3，即a ＝1.【答案】 14.如图3­1­3所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝x ＋5，则f (3)－f ′(3)＝__________.图3­1­3【解析】 由导数的几何意义知f ′(3)＝－1，又f (3)＝－3＋5＝2， ∴f (3)－f ′(3)＝2－(－1)＝3. 【答案】 35．以初速度v 0 (v 0＞0)做竖直上抛运动的物体，t 时刻的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0时的瞬时速度.【导学号：95902188】【解】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt →v 0－gt 0， ∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0.。

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.1.2瞬时变化率导
数导学案3 苏教版选修1-1
学习方针：
通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了
解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感触感染变量数
学的思想方式．
教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
教学难点：对导数的几何意义理解．
课前预习：
1.导数的定义．
2.导数的几何意义：
3.导函数：
4.求函数
)
(x
f
y 在某一点处的导数的一般步骤：
课堂探究：
2.求下列函数在相应位置的导数
（1）
1
)
(2+
=x
x
f，2
=
x（2）1
2
)
(-
=x
x
f，2
=
x
（3）
3
)
(=
x
f，2
=
x
3.求
2
2+
=x
y在点x＝a处的导数．
4.已知
课堂检测：。

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3.1 导数的概念及运算1。

导数与导函数的概念（1）设函数y＝f（x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a,b)，若Δx无限趋近于0时,比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative),记作f′(x0)。

（2)如果函数y＝f（x）在开区间(a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数。

记作f′（x）或y′。

2.导数的几何意义函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x）在点P(x0,f(x0））处的切线的斜率k，即k＝f′(x0）。

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x）＝C(C为常数）f′（x)＝0f（x）＝xα（α为常数）f′（x）＝αxα－1f(x)＝sin x f′（x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x）＝－sin xf（x）＝e x f′（x)＝e xf(x）＝a x（a>0，a≠1）f′(x)＝a x ln af（x）＝ln x f′(x）＝错误!f（x）＝log a x（a>0，a≠1)f′（x)＝错误!4。

3．1.2 瞬时变化率——导数(二)学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的意义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．知识点一导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为____________________．知识点二导数与导函数的关系思考导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？梳理(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是________________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．(2)f′(x0)的意义f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的____________．类型一求函数的导函数例1 求函数y＝－x2＋3x的导函数．反思与感悟利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝x －1x的导函数．类型二 导数几何意义的应用 命题角度1 求曲线过某点的切线方程例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)； (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．命题角度2 导数几何意义在图象上的应用例3 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)反思与感悟 (1)弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键． (2)导数与函数图象升降的关系①若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)<0(即切线的斜率小于零)， 则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的； ②导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．2．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.3．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 4．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．提醒：完成作业 第3章 §3.1 3.1.2(二)答案精析问题导学 知识点一 斜率 f ′(x 0)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)知识点二思考 函数f (x )在一点处的导数f ′(x 0)是f (x )的导函数f ′(x )在x ＝x 0的函数值．f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．梳理 (1)任一点 自变量x f ′(x ) (2)函数值 题型探究例1 解 ∵Δy Δx ＝－x ＋Δx2＋x ＋Δx －－x 2＋3xΔx＝3－2x －Δx ，∴当Δx →0时，3－2x －Δx →3－2x ， 故函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3－2x . 跟踪训练1 解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝Δx ＋Δxxx ＋Δx ，∴ΔyΔx ＝1＋1xx ＋Δx，∴当Δx →0时，1＋1xx ＋Δx →1＋1x2，∴函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1＋1x2.例2 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，则Δy Δx ＝14x 0＋Δx 2－14x 20Δx ＝12x 0＋14Δx . 当Δx →0时，Δy Δx ＝12x 0＋14Δx 无限趋近于12x 0，所以切线的斜率为12x 0.则14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1.即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程．跟踪训练2 解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， ΔyΔx＝x 0＋Δx2＋x 0＋Δx ＋1－x 20＋x 0＋Δx＝2x 0＋1＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx ＝2x 0＋1＋Δx 无限趋近于2x 0＋1，∴切线的斜率为2x 0＋1，则k ＝x 20＋x 0＋－0x 0－－1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2. 跟踪训练3 ① 当堂训练1．f ′(x A )<f ′(x B ) 2.1 3.2 4.3 5.1。

3.1.2 瞬时变化率——导数(二)学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.知识点一 函数的导数思考 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案 函数f (x )在点x 0附近的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→A ，A 就是f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0).梳理 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0).知识点二 导数的几何意义思考 导数f ′(x 0)有什么几何意义？答案 f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 知识点三 导数与导函数的关系思考 导函数f ′(x )和f (x )在一点处的导数f ′(x 0)有何关系？答案 函数f (x )在一点处的导数f ′(x 0)是f (x )的导函数f ′(x )在x ＝x 0的函数值.f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.梳理 (1)导函数的定义若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x ).在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数. (2)f ′(x 0)的意义f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1.函数f (x )在区间(a ，b )内可导就是f (x )对于任意x 0∈(a ，b )都有f ′(x 0)存在.( √ )2.f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点x 0而言的，它是一个确定的值.( √ )3.f ′(x )表示函数f (x )的导函数，简称导数，是对f (x )的定义域或指定的区间(a ，b )而言的.( √ )4.f (x )在其定义域内的每一点x 0都一定有f ′(x 0)存在.( × )类型一 求函数的导函数命题角度1 求函数在某点处的导数 例1 求函数y ＝x 在x ＝1处的导数. 考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数 解 Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1.当Δx →0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1→12，∴y ＝x 在x ＝1处的导数为12.反思与感悟 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)得导数，当Δx →0时，ΔyΔx→f ′(x 0). 关键是在求ΔyΔx 时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用.跟踪训练1 利用定义求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx －Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，从而，当Δx →0时，1－1x (x ＋Δx )→1－1x2，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为0. 命题角度2 求函数的导函数 例2 求函数y ＝－x 2＋3x 的导函数. 考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数解 ∵Δy Δx ＝－(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(－x 2＋3x )Δx＝3－2x －Δx ，∴当Δx →0时，3－2x －Δx →3－2x ， 故函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3－2x .反思与感悟 利用导数的定义求函数的导函数是求函数的导函数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值. 跟踪训练2 求函数f (x )＝x －1x的导函数.考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数 解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝Δx ＋Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1＋1x (x ＋Δx )， ∴当Δx →0时，1＋1x (x ＋Δx )→1＋1x2，∴函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1＋1x2.类型二 导数几何意义的应用例3 (1)求曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1,2)处的切线方程； (2)求曲线y ＝2x 2－7过点P (3,9)的切线方程.考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程解 (1)易证得点P (1,2)在曲线上， 由y ＝x 3＋2x －1，得Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1 ＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3， Δy Δx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2. 当Δx →0时，Δy Δx ＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2→3x 2＋2，即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5. 故点P 处的切线斜率为k ＝5.所以点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.反思与感悟 (1)利用导数的几何意义求曲线在点x ＝x 0处的切线方程的步骤： ①求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0).②根据直线的点斜式方程，得切线为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)(其中y 0＝f (x 0)). (2)利用导数的几何意义求过点P (m ，n )所作的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤： ①设切点坐标为Q (x 0，y 0)，求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0). ②根据直线的点斜式方程写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).③将点P (m ，n )代入切线方程并整理成关于x 0的方程，解此方程求得x 0的值. ④由x 0的值，求出y 0＝f (x 0)及斜率k ＝f ′(x 0)，进而写出切线方程. 跟踪训练3 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程. 考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程 解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx ＝2x 0＋1＋Δx →2x 0＋1，∴切线的斜率为2x 0＋1， 则k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.1.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________.考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 f ′(x A )<f ′(x B )解析 由导数的几何意义知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).2.已知f (x )＝x 2＋3x ，则f ′(x )＝________. 考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数 答案 2x ＋3解析 ∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(x 2＋3x )Δx＝2x Δx ＋(Δx )2＋3Δx Δx＝Δx ＋2x ＋3，∴当Δx →0时，ΔyΔx→2x ＋3，即f ′(x )＝2x ＋3.3.已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 2解析 由题意得Δy Δx ＝a (1＋Δx )2＋b －a －bΔx ＝a Δx ＋2a ，当Δx →0时，ΔyΔx→2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴b a＝2.4.若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)， 由题意得ΔyΔx＝2(x 0＋Δx )2－4(x 0＋Δx )＋P －(2x 20－4x 0＋P )Δx＝2(Δx )2＋4x 0Δx －4Δx Δx＝4x 0＋2Δx －4.当Δx →0时，ΔyΔx →0，即4x 0－4＝0.∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1). ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.5.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a .令2a ＝2，得a ＝1.1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、填空题1.曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线的倾斜角为________.考点 切线方程求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 135°解析 Δy ＝93＋Δx －3＝－3Δx 3＋Δx ，Δy Δx ＝－33＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx →－1，∴切线的斜率为－1.又∵直线的倾斜角α满足0°≤α<180°， ∴α＝135°.2.如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 2解析 f (5)＝－5＋8＝3.由导数的几何意义知，f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 9解析 由导数的定义得Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋11－12Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2，则曲线在点P (1,12)处的切线斜率为3，∴在点P (1,12)处的切线方程为y －12＝3(x －1)， 令x ＝0，则y ＝9.4.已知曲线f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 －7解析 设P (x 0，y 0)，Δy Δx ＝2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx＝4x 0＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→4x 0，由导数的几何意义，可得4x 0＝8，x 0＝2. ∵点P 在切线8x －y －15＝0上， ∴8×2－y 0－15＝0，得y 0＝1， 则f (2)＝1，即8＋a ＝1，得a ＝－7.5.已知函数y ＝f (x )在点(2，3)处的切线方程为y ＝kx －1，则f ′(2)＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 2 2解析 由点(2，3)在直线y ＝kx －1上得 3＝k ×2－1，∴k ＝2 2.根据导数的几何意义得f ′(2)＝2 2.6.设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为______________. 考点 切线方程求解及应用 题点 求切点坐标 答案 (1,0)或(－1，－4)解析 根据导数的定义可求得Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－x Δx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2＋1，当Δx →0时，Δy Δx →3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值趋近于4.设点P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时点P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4).7.若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 3解析 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2. 根据导数的定义可求得Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )－x 3－ax Δx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋a ＋(Δx )2， 当Δx →0时，Δy Δx →3x 2＋a .∴3×12＋a ＝2，∴a ＝－1，b ＝3.8.y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝a (x )的图象如图所示：而下图是其对应导数的图象：则y ＝f (x )对应________；y ＝g (x )对应________；y ＝a (x )对应________. 考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B C A解析 由导数的几何意义知，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )对应B ；y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分切线斜率值趋近负无限，故y ＝g (x )对应C ；y ＝a (x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝a (x )对应A.9.曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为________. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 83解析 ∵Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx→3，∴曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2，则切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23×4＝83.10.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________. 考点 切线方程求解及应用题点 由切线的斜率求参数的值答案 4解析 Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －[(－2)2－(－2)＋c ]Δx＝－5＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→－5. ∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.二、解答题11.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值.考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数解 因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx .当Δx →0时，2x ＋Δx →2x ，即f ′(x )＝2x .同理g ′(x )＝3x 2.由题意可知，2x ＋2＝3x 2，解得x ＝1±73. 12.求过点(2,0)的曲线y ＝x 3的切线方程.考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30).由题意，得所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2，又由导数的定义求得f ′(x 0)＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，切点为(0,0)，k ＝0，直线方程为y ＝0；当x 0＝3时，切点为(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.13.已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离等于17，求直线l 的方程.考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程解 Δy Δx ＝41＋Δx －41Δx ＝－41＋Δx. 当Δx →0时，Δy Δx→－4. ∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.故切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0.设直线l 的方程为4x ＋y ＋c ＝0， 由题意有|c ＋8|17＝17. ∴c ＝9或－25，∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.三、探究与拓展14.用导数的定义，求得函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数为________. 考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 －12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx →0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )→－12，∴f ′(1)＝－12. 15.设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.考点 切线方程求解及应用题点 由切线的斜率求参数的值解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx →0时，Δy Δx→3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)．(2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f xg x ]′＝f ′x g x －f x g ′xg 2x(g (x )≠0)．5．复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________．答案 ④解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值X 围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1e x ≥2，当且仅当e x＝1e x ＝1，即x ＝0时，“＝”成立．∴y ′∈[－1,0)， ∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．(2015·某某)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x－2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1； (5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x)′＋e′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(4)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝________.(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________．(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 (1)x －y －3＝0 (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1， 故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是__________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________．答案 (1)2x －y －1＝0 (2)x －y －1＝0解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________. 答案 －2解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为__________________． (2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 (2)－e 解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)， ∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1. ∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0， ∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.4．求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (14分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况． 规X 解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得在原点处的切线斜率k ＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[5分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[12分]综上，a ＝1或a ＝164.[14分]温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．[方法与技巧]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程． [失误与防X]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 答案 －1解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则曲线在x ＝x 0处的切线斜率k ＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 016(x )＝____________.答案 sin x －cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x .4．设曲线y ＝ax －ln x 在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln x ，则f ′(x )＝a －1x.由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f ′(1)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝______________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 7．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0， 则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9. 8．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为______________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 y ′＝－e x e x ＋12＝－1e x ＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)， 则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)． 当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)， 切线的方程为y －12＝－14(x －0)， 即x ＋4y －2＝0.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.10．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 00203()()－＝1＋y y x x x - 即0020033()()＝(1+)－．y x x x x x -- 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．答案 14解析 由题意可知()1212，f x x -'=g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244＝，a -⨯ 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 12．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大． 13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 14．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

3.1.2 瞬时变化率——导数(一)学习目标 1.了解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度.知识点一 曲线上一点处的切线思考 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x ，f (x ))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置.这个确定的位置的直线PT 称为过点P 的切线.梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率， 设P (x ，f (x ))，Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))， 则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx.当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率.知识点二 瞬时速度与瞬时加速度思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答案 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率. 梳理 (1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率.(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率.1.曲线上给定一点P ，过点P 可以作该曲线的两条割线.( √ )2.过曲线上任一点可能作不出一条切线.( √ )3.有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.( × )4.平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.( √ )类型一 求曲线在某点处的切线斜率例1 如图，已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求：(1)点P 处的切线的斜率； (2)点P 处的切线方程. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 解 (1)由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x3Δx ＝13×3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝13×[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于x 2.即点P 处的切线的斜率为22＝4.(2)在点P 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想.即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx 无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率.跟踪训练1 利用割线逼近切线的方法分别求曲线y ＝2x 2在x ＝0，x ＝－1，x ＝2处的切线斜率. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率解 设P (x 0，f (x 0))，Q (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，则割线PQ 的斜率k PQ ＝Δy Δx ＝2(x 0＋Δx )2－2x 20x 0＋Δx －x 0＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于4x 0，从而曲线y ＝f (x )在x ＝0，x ＝－1，x ＝2处的切线斜率分别为0，－4，8. 类型二 求瞬时速度、瞬时加速度例2 已知质点M 的运动速度与运动时间的关系为v ＝3t 2＋2(速度单位：cm/s ，时间单位：s)， (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔvΔt ；(2)求质点M 在t ＝2s 时的瞬时加速度. 考点 导数的概念 题点 瞬时加速度解 Δv Δt ＝v (t ＋Δt )－v (t )Δt ＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01 ＝12.03cm/s 2.(2)当Δt 无限趋近于0时，6t ＋3Δt 无限趋近于6t ，则质点M 在t ＝2s 时的瞬时加速度为12cm/s 2.反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别. (2)求瞬时加速度：①求平均加速度ΔvΔt；②令Δt →0，求出瞬时加速度.跟踪训练2 质点M 按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s).若质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度解 ∵ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔSΔt＝4a ＋a Δt . 当Δt 无限趋近于0时，4a ＋a Δt 无限趋近于4a . ∵在t ＝2s 时，瞬时速度为8m/s ， ∴4a ＝8，∴a ＝2.1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 答案 8解析 ∵f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，8＋2Δx 无限趋近于8， ∴曲线f (x )在点A 处的切线斜率为8.2.任一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度 答案 3解析 ∵ΔS Δt ＝S (Δt )－S (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于3. 3.已知物体运动的速度与时间之间的关系：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间段[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________. 考点 导数的概念题点 瞬时加速度 答案 4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋2－5Δt ＝Δt ＋4.当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt 无限趋近于4，故在时间段[1,1＋Δt ]内的平均加速度为4＋Δt ，在t ＝1时的瞬时加速度是4.4.已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为____________. 考点 导数的概念题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0).f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30).5.已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则当Δx 趋近于零时，f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于常数________. 考点 导数的概念 题点 导数的概念的理解 答案 －11 解析 因为f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx，所以f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于常数－11.1.曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率.2.瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度.一、填空题1.若质点A 按照规律S ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度 答案 18解析 因为ΔS Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt＝18Δt ＋3(Δt )2Δt＝18＋3Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于18，所以所求瞬时速度为18.2.曲线f (x )＝x 在点(9,3)处的切线斜率是________. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 答案 16解析 因为Δy Δx ＝f (9＋Δx )－f (9)Δx ＝9＋Δx －3Δx ＝Δx Δx (9＋Δx ＋3)＝19＋Δx ＋3，所以当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于16，即曲线f (x )＝x 在点(9,3)处的切线斜率是16.3.一物体的运动方程为S (t )＝t 2－3t ＋2，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度 答案 2解析 因为ΔS Δt ＝(t 0＋Δt )2－3(t 0＋Δt )＋2－t 20＋3t 0－2Δt ＝(Δt )2＋2Δt ·t 0－3ΔtΔt ＝Δt ＋2t 0－3，所以当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋2t 0－3无限趋近于2t 0－3.令2t 0－3＝1，得t 0＝2.4.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则在点P 处的切线的倾斜角为________.考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 答案 45°解析 Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝x ＋12Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于x ，∴曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线斜率为1，倾斜角为45°.5.设f (x )在x 处可导，则当h 无限趋近于0时，f (x ＋h )－f (x －h )h无限趋近于________.考点 导数的概念 题点 导数的概念的理解 答案 2f ′(x )6.若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且在该点处的斜率为1，则a ＋b ＝________. 考点 导数的概念题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数 答案 2解析 ∵f (0)＝1，∴b ＝1. 又Δy Δx ＝f (0＋Δx )2－f (0)Δx ＝Δx ＋a . ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于a ，则a ＝1. ∴a ＋b ＝1＋1＝2.7.一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v ＝t 2＋t ＋2 (速度单位：m/s ；时间单位：s)，则质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度为____________ m/s 2. 考点 导数的概念 题点 瞬时加速度 答案 5 解析 ∵v (2＋Δt )－v (2)Δt＝(2＋Δt )2＋(2＋Δt )＋2－(22＋2＋2)Δt ＝Δt ＋5，∴当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋5无限趋近于5， 即质点在t ＝2s 时的瞬时加速度为5m/s 2.8.函数y ＝x 3＋1在x ＝1时的瞬时变化率是________. 考点 导数的概念 题点 瞬时变化率 答案 3 解析Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3； 当Δx 无限趋近于0时，(Δx )2＋3Δx ＋3无限趋近于3， 所以f (x )在x ＝1时的瞬时变化率是3.9.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋ax 的切线，则a ＝________. 考点 导数的概念题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数 答案 1或134解析 ∵y ＝x 3－3x 2＋ax ，设切点坐标为(x 0，y 0)， ∴Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋a (x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋ax 0)Δx ＝(Δx )2＋(3x 0－3)Δx ＋3x 20－6x 0＋a . ∴当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于3x 20－6x 0＋a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x 0＋a ＝1，x 0＝x 30－3x 20＋ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，a ＝134.10.曲线y ＝x 2上在点________处的切线与x 轴成135°的倾斜角. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14解析 设P (x 0，y 0)是满足条件的点， Δy ＝(x 0＋Δx )2－x 20＝2x 0Δx ＋(Δx )2，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于2x 0， ∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点.二、解答题11.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m/s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度.考点 导数的概念 题点 瞬时速度 解 运动方程为S ＝12at 2.因为ΔS ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0(Δt )＋12a (Δt )2，所以ΔS Δt ＝at 0＋12a (Δt ).所以当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于at 0.由题意知，a ＝5×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800m/s ，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 12.已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x，得t ＝1， ∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x.∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx [1－(x ＋Δx )](1－x )Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx 无限趋近于0时，1(1－x －Δx )(1－x )无限趋近于1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线斜率为1，曲线在点Q 处的切线斜率为14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.13.已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程. 考点 导数的概念题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 解 设切点坐标为(x 0，y 0)， Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－(2x 0＋1)Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[(x 0＋Δx )2－(x 0)2]Δx (x 0＋Δx ＋x 0)＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx 无限趋近于0时，2x 0＋Δx ＋x 0无限趋近于2x 0＋x 0＝1x 0.又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2， 所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4,5)， 切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0. 三、探究与拓展14.设函数f (x )在x ＝2处的导数存在，则当Δx 无限趋近于0时，f (2)－f (2＋Δx )2Δx无限趋近于________. 考点 导数的概念 题点 导数的概念的理解 答案 －12f ′(2)解析 根据题意，由于函数f (x )在x ＝2处的导数存在，f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12×f (2＋Δx )－f (2)Δx ，且当Δx 无限趋近于0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx无限趋近于f ′(2).所以当Δx 无限趋近于0时，f (2)－f (2＋Δx )2Δx 无限趋近于－12f ′(2). 15.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上一点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为________. 考点 导数的概念题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 解析 可设点P 的横坐标为x 0，则Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－x 20－2x 0－3Δx＝2x 0·Δx ＋2·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x 0＋2， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于2x 0＋2. ∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2x 0＋2.由题意，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12， ∴点P 的横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.。

江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》3.1.2瞬时变化率 导数（1）导学案 苏教版选修1-1学习目标：1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；3．理解切线概念的实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转 化问题的能力及数形结合思想．教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．课前预习：1．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？2．如图所示，直线12l l ，为经过曲线上一点P 的两条直线． 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线；在点P 附近能作出一条比21,l l 更加逼近曲线的直线3l 吗？ 在点P 附近能作出一条比321,,l l l 更加逼近曲线的直线吗？3. 切线定义：(割线逼近切线法)4. 求曲线)(x f y=上一点处的切线斜率的一般步骤：（1）______________________________（2）______________________________（3）______________________________课堂探究：1.试求2)(x x f =在点(2,4)处的切线斜率．课堂检测：1．已知2)(xxf=，求曲线)(xfy=在1-=x处的切线斜率和切线方程；2．已知1)(-=xxf，求曲线)(xfy=在1-=x处的切线斜率和切线方程；。

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3.1.1 平均变化率学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点）2。

了解平均变化率概念的形成过程,会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．（难点）[自主预习·探新知］平均变化率1．定义：一般地,函数f（x)在区间［x1,x2]上的平均变化率为错误!。

2．实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．3．意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．[基础自测］1．判断正误:（1)f（x）＝x2，f(x)在［－1,1］上的平均变化率为0。

( ）(2)f（x）＝x2在［－1，0］上的平均变化率小于其在［0，1]上的平均变化率，所以f（x)在[－1,0］上不如在[0,1]上变化的快．( )（3）平均变化率不能反映函数值变化的快慢．（)【解析】(1)√。

f(x）在［－1,1］上的平均变化率为错误!＝错误!＝0.(2）×.f(x)＝x2在[－1,0］和［0，1]上的变化快慢是相同的．(3）×.平均变化率能反映函数值变化的快慢．【答案】(1）√(2)×(3）×2．f(x)＝错误!在［1,2］上的平均变化率为________．【解析】函数f(x）在[1，2]上的平均变化率为错误!＝－错误!.【答案】－错误![合作探究·攻重难］变化率的概念及意义的应用2012年冬至2013年春,我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图3。

2019-2020年高中数学第3章《导数及其应用》瞬时变化率导数（2）
导学案苏教版选修1-1
学习目标：
1．理解并掌握瞬时速度的定义；
2．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；
3．理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力．
教学重点：会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度．
教学难点：理解瞬时速度和瞬时加速度的定义．
课前预习：
平均速度和瞬时速度：
2. 平均加速度和瞬时加速度：
3.跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－
4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度.
(1)计算运动员在2s到2.1s (t∈[2,2.1])内的平均速度.
(2)计算运动员在2s到（2＋△t）s(t∈[2,2＋△t])内的平均速度.
(3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度.
课堂探究：
2.设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时的速度为，
求当s时轿车的瞬时加速度.
课堂检测：
若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为_____________________.。