河南中等职业学校期中高一数学试题

第1篇考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，则函数的对称轴为：A. $x=\frac{3}{4}$B. $x=1$C. $x=\frac{1}{2}$D. $x=0$2. 下列各数中，有理数是：A. $\sqrt{3}$B. $\pi$C. $\frac{1}{2}$D. $\sqrt{2}$3. 若$a+b=0$，则$ab$的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不确定4. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，则下列结论正确的是：A. $\angle ABD=\angle ACD$B. $\angle ABD=\angle ABC$C. $\angle ACD=\angle ABC$D. $\angle ABD=\angle ACB$5. 下列函数中，是奇函数的是：A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=|x|$C. $f(x)=\sqrt{x}$D. $f(x)=x^3$6. 下列各数中，无理数是：A. $\sqrt{9}$B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$C. $\sqrt{4}$D. $\sqrt{16}$7. 若$a^2+b^2=2$，则$(a+b)^2$的最大值为：A. 4B. 6C. 8D. 108. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,4)，则线段AB的中点坐标为：A. (1,2)B. (1,3)C. (2,3)D. (3,4)9. 下列各式中，正确的是：A. $a^2+b^2=(a+b)^2$B. $a^2+b^2=(a-b)^2$C. $a^2+b^2=2ab$D. $a^2+b^2=ab$10. 下列函数中，是单调递减函数的是：A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=\frac{1}{x}$D. $f(x)=x^3$二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11. 若$a+b=3$，$ab=4$，则$a^2+b^2=$ ________。

2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。

2023-2024学年河南省中等职业学校职教高教联合体高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共20小题，1～10小题每小题2分，11～20小题每题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分）A ．{-2，-1，0，1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{0，1}1．（2分）已知集合A ={-1，0，1}，B ={x |-3<x <3，x ∈N }，则A ∪B =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2分）“a 2=a ”是“a >0”的（ ）√A ．[0，2]B ．（0，2）C ．（-∞，0）∪（2，+∞）D ．（-∞，0]∪[2，+∞）3．（2分）不等式x 2-2x ≥0的解集为（ ）A ．（-∞，-1）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，0）D ．（0，+∞）4．（2分）已知函数y =f （x ）是（-∞，+∞）上的增函数，且f （2x -3）>f （5x ），则实数x 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（-1，1）C ．（-1，0）D ．（-1，1]5．（2分）函数f （x ）=1−x 21+x+（x -1）0的定义域为（ ）√A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2分）2022°角的终边在（ ）A ．15B ．16C ．20D ．247．（3分）若数列1，a ,b ,10为等差数列，则2a +b 的值为（ ）8．（2分）直线3x -y +1=0的倾斜角为（ ）√A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°A ．10B ．24C ．60D ．1209．（2分）本届冬奥会短道速滑2000米混合接力由武大靖、任子威等五名运动员参赛，若武大靖滑最后一棒（第四棒），则不同出赛方案总数为（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3210．（2分）如图所示，O 为边长为1的正六边形ABCDEF 的中心，则|OA +OC |=（ ）→→√√A ．223B ．-223C ．-223或223D ．-23或2311．（3分）已知sinα=13，α∈（π2，π），则cos （π-α）的值为（ ）√√√√A ．若a >b ,则ac 2>bc 2B ．若a >b >0，则1a >1b C ．若a <b <0，则ba>a bD ．若a >b ,1a>1b，则a >0，b <012．（3分）对于实数a ,b ,c ,下列各选项正确的是（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π13．（3分）函数y =sinxcosx +1的最小正周期是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（3分）一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是（ ）15．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）A ．13B ．12C ．23D ．34A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面16．（3分）设α，β为两个平面，则下列各选项可以推出α∥β的是（ ）A ．1B ．3C ．83D ．3217．（3分）椭圆x 22+y 2m=1的焦点在y 轴上，离心率为12，则m 的取值为（ ）√A ．y 2=8x B ．y 2=4x C ．y 2=±8x D ．y 2=±4x18．（3分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24−y 22=1上，则抛物线的方程为（ ）A ．[3，+∞）B ．（-∞，-3]C ．[-3，3]D ．（-∞，-3]∪[3，+∞）19．（3分）点M （x ,y ）在圆x 2+（y -2）2=1 上运动，则yx的取值范围是（ ）√√√√√√A ．12B ．81C ．27D ．12020．（3分）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ，它指的是在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数。

2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±2．已知非零向量(4,0)a k =- ，(6,2)b k =+，若a b ∥ ，则||a = （）A ．8B ．C ．6D ．3．17tan6π=（）A ．3-B ．3C ．D ．4．如图，在ABC △中，E 为边AB 的中点，2BD DC =，则DE = （）A ．1263AB AC-+B ．5163AB AC+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD ，选取与碑基C 在同一水平面内的两个测量点A ，B ．现测得30BAC ∠=︒，105ABC ︒∠=，156AB =米，在点B 处测得碑顶D 的仰角为30︒，则纪念碑高CD 为（）A ．262米B ．392米C ．266米D ．393米6．已知向量,a b 满足||2||||2a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数()2cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则||θ的最小值为（）A ．16B ．13C ．12D ．18．如图，在ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点F ，则cos AFE ∠=（）A ．32114-B ．217-C ．714-D ．17-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3b =，60A =︒，a 为常数，满足条件的ABC △唯一确定，则a 的值可能为（）A ．2B 3C ．112D ．3210．已知向量(1,3)a =，(,2)(0)b x x =-> ，且()a b b +⊥ ，则（）A ．与b 同向的单位向量为55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．a 与b 的夹角为4πC ．||a b +=D ．a 在b上的投影向量是(1,2)-11．已知函数()|sin |cos f x x x =（注：sin 22sin cos x x x =⋅），则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 图象的一条对称轴为直线2x π=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若扇形的弧长为43π，圆心角为6π，则扇形的面积为__________．13．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，则C =__________．14．如图，在面积为3的ABC △中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则254PB PC BC⋅+ 的最小值为__________．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量,a b 满足||a = ，||2b = ，且|2|a b +=（Ⅰ）求,a b 〈〉；（Ⅱ）在ABC △中，若AB a = ，AC b = ，求||BC．16．（15分）已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称．（Ⅰ）求()f x 的解析式及零点；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移524π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（15分）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）完善下面的表格，并画出()f x 在[0,]π上的大致图象；x6ππx ωϕ+π32π2π()f x 02-0（Ⅲ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．18．（17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8a =，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-．（Ⅰ）求ABC △面积的最大值；（Ⅱ）若8,AB AC D ⋅=为边BC 的中点，求线段AD 的长度．19．（17分）如图，记OA a = ，OB b = ，OC c = ，已知||2||2b a ==，,60a b ︒〈〉= ．（Ⅰ）若点D 在线段OA 上，且13OD OA =，求BD BA ⋅ 的值；（Ⅱ）若向量c a - 与b 方向相同，且||3c =，求ACB ∠；（Ⅲ）若()0b c c -⋅=，求||a c - 的最大值．2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B命题意图本题考查由三角函数的定义求参数．解析由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．2．答案C命题意图本题考查由向量平行的坐标表示求出k ，再求向量的模．解析a b ∥ ，(4)(2)0k k ∴-+=，4k ∴=（舍去），或2k =-，(6,0)a ∴= ，即||6a =．3．答案A 命题意图本题考查正切函数的诱导公式．解析173tantan 3tan tan 66663πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．答案D命题意图本题考查平面向量基本定理在平面几何中的应用．解析E 为AB 的中点，2BD DC =，212112()323263DE DB BE CB AB AB AC AB AB AC ∴=+=-=--=- ．5．答案C命题意图本题考查利用正弦定理解决高度测量问题．解析在ABC △中，1803010545ACB ︒︒︒︒∠=--=，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即156sin 45sin 30BC =︒︒，解得BC =，在Rt BCD △中，tan 303CD BC =⋅︒==6．答案B命题意图本题考查投影数量的定义及平面向量数量积的运算．解析222||2524a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅= ，12a b ∴⋅=- ，a ∴ 在b方向上的投影数量为1||cos ,||2||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅〈〉=⋅==- ．7．答案D命题意图本题考查利用余弦函数图像求解析式，利用余弦函数的对称性求参数．解析由图可知(0)2cos 1f ϕ==，则1cos 2ϕ=，又02πϕ-<<，3πϕ∴=-，又502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据五点法作图原理，得5232ππω⨯-=，解得,()2cos 333f x x πππω⎛⎫=∴=- ⎪⎝⎭，从而()2cos (1)33f x x ππθθ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦，()f x θ+ 的图象关于y 轴对称，()f x θ∴+为偶函数，(1),3k k πθπ∴-=∈Z ，得min ||1θ=．8．答案C命题意图本题考查余弦定理．解析因为60DAB ∠=︒，AE AD =，所以ADE △是等边三角形，所以60AED ∠=︒．因为AFE CFD ∽，所以EF DF =12AE CD =，所以1133EF ED AE ==．设1EF =，则3AE =，在AEF △中，由余弦定理可得AF==，所以222cos 14AFE ∠=-．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查判定三角形解的个数问题．解析若满足条件的ABC △唯一确定，则3sin sin 602a b A ==︒=或a b ≥=，故A ，B ，D 正确．10．答案ACD 命题意图本题考查向量的垂直、夹角、模、投影向量及单位向量等概念．解析()a b b +⊥ ，()0a b b ∴+⋅=，(1,1)(,2)0x x ∴+⋅-=，解得1x =或2x =-（舍去）．对于A ，(1,2)b =- ，∴与b 同向的单位向量为525,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅，则3,4a b π〈〉= ，故B 错误；对于C ，(1,3)(1,2)(2,1)a b +=+-=，||a b ∴+=，故C 正确；对于D ，a 在b上的投影向量是||cos ,,(1,2)255||b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅〈〉⋅=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．11．答案BC命题意图本题考查诱导公式，求正（余）弦型函数的最小正周期、单调性、对称中心及对称轴．解析对于A ，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ+=++=-=- ，π∴不是()f x 的周期，故A 错误；对于B ， 当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x >，1()|sin |cos sin cos sin 22f x x x x x x ∴===，又3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1()sin 22f x x ∴=在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；对于C ，设()f x 图象上任意一点(,)M x y ，则M 关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的对称点为(,)M x y π'---，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ--=----=-=- ，()f x ∴的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；对于D ，设()f x 图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于直线2x π=的对称点为(,)P x y π'-，()sin()cos()sin (cos )()()f x x x x x f x f x πππ-=--=-=-≠ ，()f x ∴的图像不关于直线2x π=对称，故D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案163π命题意图本题考查扇形的弧长、面积的有关计算．解析设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ．l r θ= ，即436r ππ=⋅，8r ∴=，1141682233S l r ππ∴=⋅=⨯⨯=扇形．13．答案23π命题意图本题考查正（余）弦定理的应用．解析()(sin sin sin )sin a b c A B C a B +++-= ，由正弦定理变形得()()a b c a b c ab +++-=，222a b c ab ∴+-=-，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，23C π∴=．14．答案6命题意图本题考查平面向量在平面几何中的应用．解析如图，取BC 边的中点D ，连接PD ．22221()()()()4PC PB PD DC PD DB PD DC PD DC PD DC PD BC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，22252||||4PB PC BC PD BC PD BC ∴⋅+=+⋅≥ ，当且仅当||||PD BC =时取等号．设点A 到BC 边的距离为h ，则1||||||32PD BC h BC ⋅≥= ，当PD BC ⊥时取等号，254PB PC BC ∴⋅+ 的最小值为6，当且仅当PD BC ⊥且PD BC =时取得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查平面向量及其应用．解析（Ⅰ）22222(2)447a b a b a a b b +=+=+⋅+=，342cos ,167a b ∴+〈〉+=，cos ,2a b ∴〈〉=- ，又[],0,a b π∈，5,6a b π∴= ．（Ⅱ）在ABC △中，BC AC AB b a =-=-，2222||()2BC b a b a a b ∴=-=+-⋅ 34322132⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，||BC ∴=．16．命题意图本题考查三角函数的对称性、单调性以及图象变换．解析（Ⅰ）()sin(2)22x f x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭ 的图象关于直线8x π=对称，2()82k k ππϕπ∴⨯+=+∈Z ，得()4k k πϕπ=+∈Z ，又22ππϕ-<< ，4πϕ∴=，()sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令2()4x k k ππ+=∈Z ，得()28k x k ππ=-∈Z ，()f x ∴的零点为()28k x k ππ=-∈Z ．（Ⅱ）355()sin 3sin 32241246g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3232262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，可得22253939k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ，故()g x 的单调递减区间为2225,()3939k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．命题意图本题考查求函数解析式、用“五点法”画图、求三角函数的值域．解析（Ⅰ）由()f x 的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，可知最小正周期T π=，222T ππωπ∴===．由一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭，得2A =，由72sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即7sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得72()32k k ππϕπ+=+∈Z ，得112()6k k πϕπ=-∈Z ，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）完善表格如下：x6π512π23π1112ππx ωϕ+6π2ππ32π2π136π()f x 122-01()f x 在[0,]π上的大致图象如图：（Ⅲ）,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故()f x 的值域为[1,2]-．18．命题意图本题考查正（余）弦定理、三角形面积公式以及不等式的应用．解析（Ⅰ）()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=- ，由正弦定理可得()()()a b a b c c b -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，故3A π=．2222a b c bc bc bc bc =+-≥-= ，64bc ∴≤，当且仅当b c =时取等号．1sin 24ABC S bc A bc ∴==≤△故ABC △面积的最大值为．（Ⅱ）D 是边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+ ，()()2222221111()||2||4442AD AB AC AB AB AC AC b c AB AC ∴=+=+⋅+=++⋅ ．8AB AC ⋅= ，cos 8bc A ∴=，16bc ∴=，又由（Ⅰ）知22264b c bc a +-==，2280b c ∴+=，2118082442AD ∴=⨯+⨯=，||AD ∴= 即线段AD的长度为．19．命题意图本题考查向量的基本运算．解析（Ⅰ）由题可知13BD BO OD a b =+=- ，BA a b =- ，又||||cos ,12cos601a b a b a b ⋅=〈〉=⨯︒= ，2211414()4333333BD BA a b a b a a b b ⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ．（Ⅱ）设(0)c a b λλ-=> ，则c a b λ=+ ，222222()21423c a b a b a b λλλλλ∴=+=++⋅=++= ，解得12λ=或1λ=-（舍去）．12CA a c b ∴=-=- ，12CB b c b a =-=- ，1||||12CA b ∴==，||1CB == ，211111cos 22422||||CA CB b b a b a b CA C A B CB ⋅⎛⎫∴==-⋅-=-+⋅=- ⎭∠⎪⎝ ，120ACB ∴=∠︒．（Ⅲ）()0b c c -⋅= ，0CB OC ∴⋅= ，22()112cos600a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯︒= ，0OA BA ∴⋅= ．,,,O A C B ∴四点均在以OB 为直径的圆上，AC ∴的最大值为该圆的直径，为2，即||a c - 的最大值为2．。

河南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.与终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．B．C．D．2.从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )A．A与B互斥B．A与互斥C．任何两个均互斥D．任何两个均不互斥3.对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．增加一个单位时，平均增加个单位C．样本数据中时，可能有D．样本数据中时，一定有4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为（1）；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为（2）．则完成（1）（2）这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法5.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填的是（）A．B．C．D．6.先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A．B．C．D．7.下列各数中最小的数为( )A．B．C．D．8.函数的值域是（）A．B．C．D．9.从1，2，3，4，5这5个数字中，不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是（）A．B．C．D．10.若点在直线上，则=（）A．B．C．D．11.如图：两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为,,则,的大小关系是：（）A．=B．>C．<D．无法比较12.如果且，则角为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角二、填空题1.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是．2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P 的坐标，则点P落在圆内的概率为．3.已知sin θ＝，cos θ＝，若θ为第二象限角，则tan θ .4.如果输入X=14并执行右侧的程序框图，那么其输出的结果的值是三、解答题1.已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？2.已知函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；(2)完成下面的程序,并根据程序画出其程序框图.INPUT“x=”;xIF ① THENIF ② THENy=2*x-3ELSEy=k/xEND IFELSEy=a*x^2+bEND IFPRINT “y=”;yEND3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学数学成绩之差的绝对值为3的概率．（注：方差，其中为，，…，的平均数）4.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求被选中的概率；（Ⅱ）求和不全被选中的概率．5.设有关于的一元二次方程.（1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间[0,3]中任取的一个数，是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；6.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示（在答题卡上）.（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？河南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.与终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与或的终边相同，因而应选C.2.从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )A．A与B互斥B．A与互斥C．任何两个均互斥D．任何两个均不互斥【答案】A【解析】A与B互斥.A与,B与C都不互斥.应选A.3.对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．增加一个单位时，平均增加个单位C．样本数据中时，可能有D．样本数据中时，一定有【答案】D【解析】线性回归方程根据样本数据得到的一个近似曲线，但它得到的值也是一个近似值.4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为（1）；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为（2）．则完成（1）（2）这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B【解析】（1）数据量比较大，并且有地区差异，易采用分层抽样法.（2）数据量比较小，并且没有层次差异，易采用简单随机抽样.故应选B.5.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】执行完第一次循环体b=2,执行完第二次循环体b=4,执行完第三次循环体b=16,故退出时a=4,所以判官框内应填的是3.6.先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设“至少一次正面朝上”为事件A，则其对立事件为“全部正面朝下”，因为,所以,故选D.7.下列各数中最小的数为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A: ;B: ;C: ; D: ,显然最小的为D.8.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,当x为第一象限角时, y=1;当x为第二象限角时,y=1;当x为第三象限角时,y=-3;当x为第四象限角时,y=1.所以其值域为{1,3},应选C.9.从1，2，3，4，5这5个数字中，不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,应选C.10.若点在直线上，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,故应选A.11.如图：两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为,,则,的大小关系是：（）A．=B．>C．<D．无法比较【答案】A【解析】,应选A.12.如果且，则角为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】说明是第二、三象限角；说明是第二、四象限角；所以是第二象限角,则为第一或第三象限角,应选D.二、填空题1.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是．【答案】48【解析】后两组的频率之和为,所以前三组的频率之和为1-0.25=0.75,所以第2小组的频率为,所以抽取的学生人数是.2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P 的坐标，则点P落在圆内的概率为．【答案】【解析】连续掷两次骰子分别得到的点数m，n组成P(m,n)有36个.其中P(m,n)在圆内的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个.则.3.已知sin θ＝，cos θ＝，若θ为第二象限角，则tan θ .【答案】【解析】根据,所以可得,所以.4.如果输入X=14并执行右侧的程序框图，那么其输出的结果的值是【答案】【解析】本程序是求的值.经计算.三、解答题1.已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？【答案】圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为【解析】(1) 设扇形的弧长为cm,由题意知，,然后再利用,得到S关于R的函数求解即可.解：设扇形的弧长为cm,由题意知，∴ 2分∴6分∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为. 7分此时， 9分故当扇形的圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为. 10分2.已知函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；(2)完成下面的程序,并根据程序画出其程序框图.INPU T“x=”;xIF ① THENIF ② THENy=2*x-3ELSEy=k/xEND IFELSEy=a*x^2+bEND IFPRINT “y=”;yEND【答案】（1）（ 6分） (2)①x>2;②x<4 ；【解析】（１）根据点（2，4），（0，0）可确定a=1,b=0;再根据点可得k=1,解析式确定.解：（1）（ 6分） (2)①x>2;②x<4 ；程序框图如上(4分)3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学数学成绩之差的绝对值为3的概率．（注：方差，其中为，，…，的平均数）【答案】（1）.（2）两组同学数学成绩的平均分都为. 乙组四名同学数学成绩的方差为.（3）P（A）=【解析】(1)根据甲、乙两组的平均分相同可建立关于a的方程，解出a的值.（2）先求出平均分,然后再利用方差公式计算.(3)本小题属于古典概型概率问题，先求出从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果．然后再求出两名同学成绩之差的绝对值为3包含4种可能的结果,所以所求概率.解：（1）依题意，得，……2分解得.………………………………………………………………………4分（2）根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为.……………………………5分所以乙组四名同学数学成绩的方差为.……………8分（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果．由茎叶图可知，这两名同学成绩之差的绝对值为3记该事件为A，则该事件A有4种可能的结果，…………10分因此P（A）=……………………………………………………12分4.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求被选中的概率；（Ⅱ）求和不全被选中的概率．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】(1)先求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间有18个基本事件.然后再求出“恰被选中”这一事件包含6个基本事件，所以所求事件的概率为.(2) 本小题易采用对立事件求解.用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件.解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间{，，，，，，，，} 3分由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则{，} 5分事件由6个基本事件组成，因而． 7分（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得．……12分5.设有关于的一元二次方程.（1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间[0,3]中任取的一个数，是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；【答案】（1）；（2）【解析】(1)解本小题的关键是设事件A为“方程有实根”要使方程有实根，则由题设知时，可得.事件A包含的基本事件的个数.然后根据古典概型概率公式求解即可.(2) 试验的全部结果所构成的区域为构成事件A区域为,分别求出其对应区域的面积即可解决此问题.解：设事件A为“方程有实根”要使方程有实根，则由题设知时，可得…………………3分（1）基本事件共有12个：（0，0），(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1，2)，（2，0）,(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，…………………5分事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为…………………7分（2）试验的全部结果所构成的区域为构成事件A区域为即图中的阴影部分故所求的概率为………………12分6.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示（在答题卡上）.（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？【答案】（I）第2组的频数为人, 第3组的频率为,频率分布直方图如下:（Ⅱ）第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.（Ⅲ）【解析】(1) 第2组的频数为人,第3组的频率为,要注意纵坐标为.(2)根据各层在总体中的占比，与应抽的人数在样本中的占比相等即可求出各层应抽取的人数.(3) 本小题属于古典概型.应算出试验的基本事件的总数，再计算出事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型概率计算公式计算即可.解：由题意知，第2组的频数为人,第3组的频率为,频率分布直方图如下:………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人.第4组:人.第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.…………………………………………8分（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的有:共9种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为………………12分。

考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。

2024-2025学年（上）高一数学期中考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟 满分：150第I 卷（选择题）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合， 则（）A ．B ．C ．D ．2．若a ，b ，c 是常数，则“ a>0，且b 2-4ac<0 ”是“对任意，有ax 2+bx+c>0 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数，，的零点分别为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在上的函数（）为偶函数，记，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，，，则（ ）A ．B ．{}|10 A x x =+>2{|230},B x x x =+-<A B = ()1,3-()1,1-()1,-+∞()3,1-x R ∈1y x =+y =2y x=-3y x =x ∈R 20x >0x ≠12()f x x x -=-()e x g x x =+l (n )h x x x =+1x 2x 3x 231x x x <<213x x x <<123x x x <<312x x x <<R ()||123x t f x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R t ∈2(log 5)a f =3(log 4)b f =-(2)c f t =a b c<<c a b<<b a c<<b c a<<()23,033,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()0f x ax +≥[]1,2x ∈-a []2,0-(][),20,-∞-+∞ []0,2[)2,+∞13log 2x =215log 10x =345log 20x =123x x x <<132x x x <<C ．D ．二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．若集合，，且，则满足条件的实数a 可以为（ ）A ．B ．0C ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，则11．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．4是的一个周期C ．在上单调递增D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数为偶函数，则.13．已知定义在R 上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则．14．函数的零点个数是.四、解答题（共5小题，共计77分.）15．（13分）化简下列各式：（1）；（2）.16．（15分）求下列各式的值：(1)；312x x x <<321x x x <<{}2|560A x x x =+-=}1{R |0,B x ax a =+=∈B A ⊆1-16130a b <<0c >b c b a c a->-a b >0c <33a c b c <0a b <<22a ab b >>a b <0a b +>()y xf x =R ()()130f x f x -++=[]2,0x ∈-()22x xf x x -=-+()f x 2x =()f x ()f x (]0,2()()0.2120230.52f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()22,0,0x x a x f x bx cx x ⎧-+≥=⎨+<⎩a b c ++=()f x ()2()f x f x =--(1)y f x =+[1,0]x ∈-2()1f x x =-(2022)f =()22 ,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩132111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-()()()()()3333241441121aa a a a a a a aa a a ------+-+-+-++-3log 27(2)；(3)17．（15分）（1）求值：；（2）若，求的值.18．（17分）化简求值：(1)；(2)计算（式中字母均是正数）(3)已知，求的值.19．（17分）计算求值：(1);(2).答案：12log 81ln e+041322245-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭346x y z ==212x y z +-41210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭(115136622382ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13x x -+=1332x x x x ---+-222lg5lg8lg5lg20lg 23++⋅+()()20.532274920.20.0818925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭题号12345678910答案B ADCAACBABCBCD题号11答案ACD12．213．114．215．（1）；（2）.16．(1)3(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根据对数的运算性质计算即可.【详解】（1）（2）（3）.17．（1）（2）0【分析】（1）根据指数幂运算求解；（2）先将指数式化为对数式，利用换底公式结合对数的运算求解.【详解】（1）由题意可得：.（2）显然均不为0，设，可得，所以.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可求解.（2）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可.13x -2a 3-12-3333log 27log 33log 3 3.===1312223log 8log 2log 2 3.1-===--112111ln lg101e 22lne -+=+=-+=-112()04241122133322211124122212214522---⎛⎫-+=+⋅+=++=++= ⎪⎝⎭,,x y z 3461x y z k ===≠346log ,log ,log x k y k z k ===22346212212342log 3log 42log 6log log 10log log log 6k k k k k x y z k k k ⨯+-=+-=+-===3-44a b -（3）根据之间的关系，结合因式分解运算求解.【详解】（1（2）（3）因为，则，可得，则，可得且，所以19．(1)3(2)【分析】（1）根据对数运算法则，即可化简求值；（2）根据分式指数幂的运算法则，化简求值.【详解】（1）原式1221,,x x x x x x ---++-41210.252-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭(1421=414⎛⎫--+⨯ ⎪⎝⎭1=4142--+⨯=3-(115136622382ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1315662=3ab a b⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭-2111332215664=4a b a b b a b⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-=44a b-13x x -+=()212229x x x x --+=++=227x x -+=()212225x x x x ---=+-=1=x x --()()()331221=37118x x x x x x ---+=++-⨯-=1332x x x x ---=+-89-()22lg 52lg 2lg 51lg 2lg 2=++++，，（2）原式22lg10lg 5lg 5lg 2lg 2=+++()2lg 5lg 2lg 5lg 2=+++2lg 5lg 23=++=()()2320.5312372512325⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭-⨯-⎛⎫⎛⎫=-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭472193=-+-89=-。