北京大学量子力学复习提纲
第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==
(1)
h
p n k λ
==
(2)
2.微观粒子的波粒二象性.
3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为
12.25
h
A λ=≈
(3)
第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:
波函数在空间某一点的强度()2
,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2
w
*
=ψψ=ψ代表几率密度.
2.态叠加原理:
如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加
1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.
3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程
()(),ˆ,r t i H r t t
∂ψ=ψ∂ (4)
定态薛定谔方程
()()ˆH
r E r ψ=ψ (5) 其中
()2
2ˆ2H U r μ
=-∇+ (6)
为哈密顿算符,又称为能量算符,
4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.
5. 波函数的归一化,
1d τ*
∞
ψψ=⎰
(9)
6.求解一维薛定谔方程的几个例子.
一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.
第三章 量子力学中的力学量
1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;
2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念
ˆF ψλψ= (10)
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.
ˆF dx ψφ*
=⎰
()ˆF dx ψφ*
⎰
(11)
实数性: 厄密算符的本征值是实数.
正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.
完全性: 厄密算符ˆF
的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:
()()()n n n
x c x c x d λλψφφλ
=
+∑⎰ (12)
展开系数: ()()n
n
c x x dx φ
ψ*=⎰, (13)
()()c x x dx λλφψ*
=⎰. (14)
2
n
c 是在()x ψ
态中测量力学量F 得到n
λ的几率,
2
c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ
到d λλ+范围内的几率.
4. 2ˆL 和ˆZ
L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+, ˆz
L m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.
5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlm
nl lm r R r Y ψθφθφ= (15)
主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.
6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.
4
22
,
1,2,3,...2s n e E n n
μ=-
= (16)
不考虑电子的自旋是2n 度简并的;
考虑电子的自旋是22n 度简并的.
7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的
体积元内的几率
()2
2
,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ
(17)
计算电子几率的径向分布和角分布.
计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.
()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰
(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.
(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时
具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.
例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角
动量算符ˆz L 相互对易, 则
(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:
4
2
2
2s n e E n
μ=-
,
()
2
1l l +,
m
.
(2) 测不准关系:如果算符ˆF
和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设
ˆF
ˆG -ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF
和ˆG 的均方偏差满足:
()_______
2
ˆF ∆⋅()
_______
2
2
ˆ4
k G ∆≥
(19)
其中 ()
()___________
_______
______2
2
2
22
22F F F F FF F F F ∆=-=-+=-
()
_______
___2
2
2F F F ∆=-, ()_______
___2
2
2G G G ∆=-
(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子
