上海初中数学一模冲刺讲义(二)教师版

中考数学模拟冲刺卷2 华东师大版一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母填写在该题后面的括号中．1．若x＜-3,则2)3(4++x等于（）A．7+x B．7-x C. 1-x D．1+x2．3)1242764810(÷+-的结果是（）A．27 B. 28 C. 29 D.303. 观察右图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B. 4n+4 C. 4n-4 D. 4n4. 若关于x的方程k x2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥-1 B. k≥-1且k≠0 C. k≤1 D. k≤1且k≠05. 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40° B. 80° C. 120° D. 150°6. 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积S随着旋转角度N的变化而变化，下面表示S与N 的关系的图象大致是（）。

7．（如图）小明随机地在如图所示的正三角形及内区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．21 B.π63 C.π93 D.π338. 如图,已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与BC边相切，若正方形的边长为2，则⊙O的半径为（）得分评卷人（第7题）（第6题）A ．34B. 45C.35 D. 1 9. 下列命题中是真命题的有（ ）①两个端点能够重合的弧是等弧 ②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 ③长度相等的弧是等弧 ④半径相等的圆是等圆 ⑤直径是最大的弦 ⑥半圆所对的弦是直径 A ．3个B. 4个C. 5个D. 6个10. 如图⊙M 与x 轴相切于原点，平行于Y 轴的直线交圆于P 、Q 两点，P点在Q 点的下方，若P 点的坐标是（2，1），则圆心M 的坐标是（ ） A ．（0，3） B. (0, 25) C. （0，2）D.（0，23）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数212-+=x x y 有意义，则x 范围是_________.12．1999)2010)(2008(=--a a ，则=-+-2)2010(2)2008(a a __________. 13. ⊙O 的半径为7cm ，⊙O 内有一点P ，OP=5cm ，则经过P 点所有弦中，弦长为整数的有______条。

$、主题-------- 一次函数的图像与性质（★）1. 能够理解一次函数的概念及一次函数与正比例函数的关系；2. 会判断一次函数经过的象限和图像的增减；3. 能够求出平移后的函数图像；4. 会求一次函数与坐标轴的交点及两个一次函数的交点坐标；5. 理解一次函数与一次不等式之间的关系。

知识结构函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且k工0）k > 0b > 0b=0b v 0 k v 0b > 0b=0b v 01. 本部分建议时长5分钟.2. 请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成1. 本部分建议时长20分钟.2. 进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题3. 在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4. 教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题•(★) (1)已知y2(m 3)x m 2m 2是正比例函数，则m= .(★) (2)当m=时，函数：y (m 3)x2m 1 4x 5(x 0)是一个一次函数答案：-1，,0“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略: 次函数的概念(1) 一次函数：形如y kx b(k,b为常数,且k 0)的函数叫做一次函数;(2) 正比例函数：形如y kx(k 0,k为常数)的函数叫做正比例函数；(3) 正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形我来试一试2(★) (1)若函数y=( a+ 1) x a a1为正比例函数,则a的值为A. -1B.OC.1D.-1(★) (2)在一次函数y (m 3)x m 1 x 3,若x 0,则m的取值为解答：1.B; 2.m=2例题2(★) ( 1).函数y=-x-1的图像不经过( )象限.A.第一 B .第二 C .第三 D .第四2(★) ( 2)、正比例函数y= -—x中，y随着x的增大而。

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题03相似图形的相关概念（60题）一．选择题（共24小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若＝，则的值是（）A．B．C．D．12．（2022秋•徐汇区期末）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定3．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG5．（2022秋•浦东新区校级期末）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：26．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB7．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S＝（）四边形FGCBA．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：218．（2022秋•青浦区校级期末）如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6B．9C．12D．139．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．（2022秋•黄浦区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在腰AB、CD上，且EF∥BC，下列比例成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝11．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AB＝AC•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•CD＝AB•BC12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．813．（2022秋•青浦区校级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝14．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．15．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．16．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形17．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）18．（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（）A．以点E、F、A为顶点的三角形B．以点E、F、B为顶点的三角形C．以点E、F、C为顶点的三角形D．以点E、F、D为顶点的三角形19．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm20．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC 的为（）A．＝B．＝C．＝D．＝21．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝22．（2022秋•静安区期末）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且23．（2022秋•静安区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含45°角的直角三角形必相似二．填空题（共36小题）25．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．26．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．27．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是．28．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知AD∥EB∥FC，AB＝4，EF＝2，则BC⋅DE＝．29．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段AB＝2，P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝．30．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长cm．31．（2022秋•静安区期末）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．32．（2022秋•黄浦区校级期末）Rt△ABC两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，△DEF最长边为20，则△DEF面积为．33．（2022秋•嘉定区校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，那么AP＝cm．34．（2022秋•嘉定区校级期末）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长等于．35．（2022秋•徐汇区校级期末）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AP＝﹣1，则AB＝．36．（2022秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是．37．（2022秋•金山区校级期末）如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为．38．（2022秋•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．39．（2022秋•闵行区期末）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝．（保留根号）40．（2022秋•闵行区期末）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件：即可（只需填写一个）．41．（2022秋•徐汇区期末）已知线段AB＝10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP＝．42．（2022秋•青浦区校级期末）如果两个相似三角形的相似比为1：3，那么它们的周长比为．43．（2022秋•黄浦区校级期末）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．44．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．45．（2022秋•黄浦区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为．46．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．47．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，△ABC中，DE∥BC，AB＝9，DB＝3，则△ADE与四边形DBCE的面积比是．48．（2022秋•杨浦区校级期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝．49．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q 分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．50．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．51．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，＝45cm2，则△ACD的面积是cm2．若S△ABC52．（2022秋•浦东新区期末）已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是．53．（2022秋•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是．54．（2022秋•金山区校级期末）已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AB＝2，AP＞BP，那么AP＝．55．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，过点E作DE⊥AB，垂足为点D，并交AC的延长线于点F，联结AE，如果AE＝6，CE＝2，的值为．56．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE＝6，那么EF的值是．57．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC＝6cm，那么DE等于cm．58．（2022秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．59．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD 的长是．60．（2022秋•青浦区校级期末）已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题03相似图形的相关概念（60题）一．选择题（共24小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若＝，则的值是（）A．B．C．D．1【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵＝，∴＝，∵a∥b∥c，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此定理是解题的关键．2．（2022秋•徐汇区期末）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．3．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．【分析】由锐角的正弦定义，即可判断．【解答】解：A、不一定等于sinβ，故A符合题意；B、△ABC是直角三角形，sinβ＝，正确，故B不符合题意；C、CD⊥AB，∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∠ACD＝∠B，sinβ＝，正确，故C不符合题意；D、△BCD是直角三角形，sinβ＝，正确，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．4．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE，不能判定HG∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．（2022秋•浦东新区校级期末）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∵∠DCE＝∠B，∴∠ADE＝∠DCE，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B＝∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．7．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S ＝（）四边形FGCBA．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△积比等于相似比的平方，即可求得S△ADEABC的面积分别是3a，21a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，∴S△ADE设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，25a，＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，则S四边形DFGE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：21．∴S△ADE故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6B．9C．12D．13【分析】证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∴＝，即＝，解得，AB＝9，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：∵GE∥BD，∴，△AEG∽△ABD，∴，∵GF∥AC，∴，，△DGF∽△DAC，∴，∴，，，＝1，∴只有选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．10．（2022秋•黄浦区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在腰AB、CD上，且EF∥BC，下列比例成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由平行线分线段成比例的性质可直接求解．【解答】解：∵AB∥CB，EF∥BC，∴AB∥EF∥BC，∴，故选：D．【点评】本题考查了梯形的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质可求解．11．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AB＝AC•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•CD＝AB•BC【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A正确，不符合题意，D不正确，符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．13．（2022秋•青浦区校级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝＝S△DCB，则S△AOB＝S△DOC，于是可对A选项进行判断；根据平【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC行线分线段成比例定理得到＝，再利用三角形面积公式得到＝，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD 的距离等于点A到BC的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：如图，∵AD∥BC，＝S△DCB，∴S△ABC+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，即S△AOBS△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形和三角形面积公式．14．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．15．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．16．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．17．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．18．（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（）A．以点E、F、A为顶点的三角形B．以点E、F、B为顶点的三角形C．以点E、F、C为顶点的三角形D．以点E、F、D为顶点的三角形【分析】△EFG中∠EGF＝135°，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C．【解答】解：由题意可得，△EFG中∠EGF＝135°，EG＝2，GF＝，EF＝．A、△EFA中，∠AEF＞135°，则△EFA与△EFG不相似，故本选项不符合题意；B、△EFB中，∠BEF＞135°，则△EFB与△EFG不相似，故本选项不符合题意；C、△EFC中，EF＝，CE＝，CF＝5，∵＝＝＝，∴△EFG∽△FCE，即△EFC与△EFG相似，故本选项符合题意；D、△EFD中，90°＜∠DEF＜135°，则△EFD与△EFG不相似，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．19．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝2，∵CD＝4cm．∴AB＝8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣8）÷2＝1（cm），故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．20．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC 的为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【解答】解：如图：A、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；B、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；C、当，能判定DE∥BC，符合题意；D、当时，能判定DE∥BC，而当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．21．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．22．（2022秋•静安区期末）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．23．（2022秋•静安区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．24．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含45°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项不符合题意；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项不符合题意；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个含45°角的直角三角形必相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．二．填空题（共36小题）25．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于6．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．26．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是（）cm．【分析】根据黄金分割点的定义即可进行解答．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，线段MN的长是10cm，线段MP为较长线段，∴MP＝10×＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．【点评】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念以及黄金分割比为．27．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是 6.4．【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得BC＝1.6，∴AC＝AB+BC＝4.8+1.6＝6.4．故答案为：6.4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．28．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知AD∥EB∥FC，AB＝4，EF＝2，则BC⋅DE＝8．【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥EB∥FC，∴，∵AB＝4，EF＝2，∴BC•DE＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．29．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段AB＝2，P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝﹣1．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为计算．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝﹣1，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．30．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．31．（2022秋•静安区期末）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．32．（2022秋•黄浦区校级期末）Rt△ABC两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，△DEF最长边为20，则△DEF面积为96．【分析】根据相似三角形的性质得到△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵Rt△ABC的两直角边之比为3：4，△DEF与△ABC相似，∴△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，设一条直角边为3x，则另一条直角边为4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，解得：x1＝4，x2＝﹣4（舍去），∴△DEF的一条直角边为12，则另一条直角边为16，＝×12×16＝96．∴S△DEF故答案为：96．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．33．（2022秋•嘉定区校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，那么AP＝（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，。

考点分析 年份 200820092010201120122013201420152016题型 解答21 解答21 解答21 解答21 解答21 解答22 解答22 解答22 解答21 分值1010 101010 10101010内容 圆背景下求线 段梯形背景下求 余弦值 及线段 长度圆背景 下求三 角比 圆背景 下求弦 长锐角三 角比、 解直角 三角形锐角三 角比的 应用解直角 三角形解直角 三角形 的应用相似三 角形的 性质考点一：与锐角三角比相关的计算：（1） 熟练的掌握三个特殊角的四个特殊值； （2） 将锐角放在直角三角形中，通过作垂线构造．【例1】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，cosB =513，BC =26． 求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．CBA图4D几何计算与证明模块一：几何计算【巩固】如图，在梯形ABCD 中，81260AD BC AB DC BC B ===∠=，，，∥°，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．【例2】 如图所示，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为E ，已知315cos 5AC A ==，，. （1）求线段CD 的长； （2）求sin DBE ∠的值．【巩固】如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作 AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．（1）求sin B 的值；（2）如果CD ＝5，求BE 的值．ADCBED BC A A BCDEH AABQDPMN考点二：锐角三角比的应用将实际问题转化到直角三角形中，建立合适的直角三角形．【例3】 某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，0143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）． （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80， tan 37° ≈ 0.75．）【巩固】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米?（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)．图7-1图7-2图7-3AEFAE FAE FBC考点三：圆内相关的计算圆内常做的两种辅助线：1、连半径，构造等腰或直角三角形；2、做垂线，根据垂径定理解直角三角形．【例4】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN 的长．【例5】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin 67.4°=1213，cos 67.4° = 513，tan 67.4° =125）AB COSN67.4°北南COABDM N图5【巩固】已知：如图，在ABC∆中，3tan ,14445ABCA AB∠=︒==，；（1）求：ABC∆的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．年份200820092010201120122013201420152016题型解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23分值121212121212121212内容判定特殊的四边形开放性求边相等（四边形）菱形背景证明位置关系梯形背景下特殊的四边形菱形背景下判定特殊的四边形平行四边形的判定及性质四边形相似三角形四边形相似三角形圆、平行四边形的判定模块二：几何证明考点四：三角形背景下相关证明 两种证明方向：1、通过证明全等，寻找边与角的关系；2、通过相似，证明边、角之间的关系．【例6】 在△ABC 中，点D 在边AC 上，DB =BC ，点E 是CD 的中点，点F 是AB 的中点．（1）求证：EF =12AB ；（2）过点A 作AG ∥EF ，交BE 的延长线于点G ，求证：△ABE ≌△AGE ．【例7】 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ， 求证：B A DGC ∠=∠+∠．ABFEDC图6FEDABC【巩固】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =DC ，CF 平分 ∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC ≌△DFC ； （2）AD =DE ．考点五：四边形背景下相关证明1、熟练的掌握特殊的平行四边形的性质；2、利用特殊的平行四边形的性质得出相应的边之间的关系．其中特殊的平行四边形的判定定理也是常考的一个知识点．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ． （1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．ABDFCE ABCD EF【例9】已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．【例10】如图所示，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE 与BD相交于点G.（1）求证：BE DF=；（2）当DF ADFC DF=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．EDCBAFGAB CDEOAB CDE FO【例11】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB．【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上， 且OE ＝OB ，联结DE ． （1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．F BCEDAOEDCBA【回家作业】1、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =， DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值；2. 如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AD =CD ，AB =3， BC =5．求：（1）tan ACD ∠的值； （2）梯形ABCD 的面积．ABCDOABCD E3、 小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC 在地面上的影长AB 为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米. （1）求旗杆BC 的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A B 、两点之间的D 处（A D B 、、三点在一条直线上），测得旗杆BC 的顶端C 的仰角为α，且tan 0.8α=，求此时小明与旗杆之间的距离．4、已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， AE BD =；（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =， 求证：四边形AGCE 是平行四边形．ABCDE ODABCD EFMN（第7题图）5、如图9-1，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，AE =BE ， 点M 是AE 的中点，联结CM ，点G 在线段CM 上，作∠GDN =∠AEB 交边BC 于N . （1）如图9-2，当点G 和点M 重合时，求证：四边形DMEN 是菱形； （2）如图9-1，当点G 和点M 、C 不重合时，求证：DG =DN ．6、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF ． （1）求证：BE ＝DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点G ，使OG ＝OA ，连接EG 、FG ．判断四边形AE GF 是什么特殊四边形，并证明你的结论．7、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，联结BD ． （1）求证：四边形DBEM 是平行四边形； （2）联结CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时， 求证：MN =2DB ．ABCD EN G M图9-2 ABC D ENM G图9-2ABCD EF GO8、 已知：如图，四边形ABCD 中，DB BC ⊥，DB 平分ADC ∠，点E 为边CD 的中点，AB BE ⊥．（1）求证：2BD AD DC =⋅； （2）联结AE ，当BD BC =时， 求证：ABCE 为平行四边形．9. 已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交 AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）如果AE=EG ，求证：2AC BC BG =⋅．ABCD EFG。

比例的基本性质 1、比例的基本性质：=←⎯→=b d ad bc a c。

2、反比性质：=←⎯→=b d a c a c b d 。

3、更比性质：=←⎯→=bd c dac a b 。

4、比例问题中关于k 的使用（设k 法）：（1）对比例问题，常用的处理方法是将“一份”看成k （当=b a 21，设=a k ，=b k 2）； （2）对于比例连等式，常用处理方法是设“公比”为k （当=b d a c ，设公比==b dk a c）。

5、合比性质：(1)=←⎯→=++b d b d a c a b c d（合比性质）； (2) =←⎯→=−−b d b da c abcd （分比性质）。

6、等比性质： 如果===b d n a c m ...+++≠b d n (...0)，那么+++=+++b d n ba c m a ......。

注意点：使用等比性质的前提是各式各分母的和不等于零．．．．．．．．．．．（+++≠b d n ...0）。

黄金分割在线段AB 上取一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，这样的分割方法叫做把线段AB 黄金分割。

点C 就叫做线段AB 的黄金分割点。

在线段AB 倍得到点C ，则点C 就是AB 的黄金分割点。

注意点：一条线段上的黄金分割点有两个。

注意点：黄金分割是一种特殊的比例中项问题， 必须同时满足：=b ca b与=+c a b （稍短:稍长=稍长:总长）。

黄金比例0.618:1 = 1:1.618 = 0.382:0.618 ） ⎝⎭⎪⎪=⎫22132；⎝⎭⎪ ⎪=⎛⎫2213。

三角形重心性质重心落在三角形每条中线上； 重心落在每条中线的三等分点处。

✧ 技巧当题目中出现重心时，通常需要做出中线。

≈0.618≈0.618==平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例（平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况）。

2016年中考冲刺一、基本模型CD双高模型“山顶洞”模型“风筝”型或“钻石”型平行线+角平分线角平分线+垂直，延长相交证全等垂径定理勾股定理“中点”的畅想二、记忆部分1外离：外切：相交：内切：内含：2、n边形的内角和；外角和；从一个顶点出发可以引条对角线，共条对角线3、你学过的中心对称图形有4AB=5、圆的周长公式；面积公式；弧长公式；扇形面积公式6、写出二次函数的对称轴7求根公式89、特殊角锐角三角比：10= …11、基本的尺规作图三、题目扫描1、下列各运算中，正确的运算是（）【答案】B2则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上； BC 3； D【答案】C3、下列命题正确的是（ ）【答案】C4、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，根据下列条件，一定能判断AD//BC 的是（ ）【答案】DBC5、下列函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系【答案】D6、在1、2、3三个数中随机抽取一个数，其中确定事件是（）A.抽取的数是素数；B.抽取的数是合数；C.抽取的数是奇数；D.抽取的数是偶数．【答案】B7=8【答案】-2或19= ．【答案】110的解是．11【答案】212、关于xk 的取值范围 是13、在平面直角坐标系中，点A y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形的周长为______ __ 【答案】1814【答案】-115、已知在Rt△ABC 中，∠A = BC = a ，点D 在边BC上，将这个三角 形沿直线AD 折叠，点C 恰好落在边AB 上，那么BD = （用a 的代数式表示）．16、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 为AB 的中点，BC=3DBC 沿着CD 翻折后, 点B 落到点E ，那么AE 的长为 ．【答案】717、在Rt△ABC C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B' 正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D18【答案】619、已知△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，若AB=13，BC=10，试求tan∠DBC的值．【答案】4520、已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，45MAN ∠=，将MAN ∠绕着正方形的顶点A 旋转，边AM 、AN 分别交两条角平分线于点M 、N ，联结MN ；（1）求证：ABM ∆∽ADN ∆；（2）联结BD ，当BAM ∠的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明；【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN ，∴△ABM ∽△NDA ；（2）解：∵四边形BMND 为矩形，∴BM=DN ，∵△ABM ∽△NDA ，∴=，∴BM 2=AB 2，NMD C BA∴BM=AB ，∴∠BAM=∠BMA==22.5°．21、已知：如图，在△ABC 中，AB AC =，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ．…………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．……………（1分）∴∠BDE=∠CED ．………………………………………………………………（1分） ∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE．………………………………………（2分）（2）由△DEF∽△BDE，得EFDE DE DB =．………………………………………（1分） ∴EF DB DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分） 由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE ．………………………………………（1分）∵∠GDE=∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．………………………………………（1分） ∴DFDE DE DG =．……………………………………………………………………（1分） ∴DF DG DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分） ∴EF DB DF DG ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）22、解决三角形面积问题的方法及由此推出的相似三角形面积之比及同高（等高）、同底（等底）时如何思考；或通过中间量进行转化★如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一动点，过点E 作EF ∥DC 交射线BC 于点F ．联结EC ，设BE= x ，ECFBDC S y S ∆∆=．（1）求BD 的长；（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结DF ，若△BDF 与△BDA 相似，试求BF 的长．【答案】解：（1）过点A作A H⊥B D于点H,∵AD∥BC，AB＝AD=5∴∠ABD=∠ADB=∠D BC, BH＝HD………………………（1分）在Rt△ABH(1分) ∴BH=DH=4，…………………………………………（1分）∴BD=8 …………………………………………………（1分）（2）∵EF∥DC∵△EFC与△EFB2分）由EF∥DC可得：△FEB∽△CDB1分）（2分，1分）（3）∵AD∥BC ∴∠ADB=∠D BC,∵△BDF与△BDA相似①∠BFD=∠A，可证四边形ABFD是平行四边形∴BF=AD=5．………………………………………………（2分）②∠BFD=∠ABD，∴ DB=DF．可求得：BF=645．………………………………………（2分）综上所述，当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或645．★已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．23、已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221经过点)0,3(-A 、)23,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标；（2）求CAP ∠tan 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t的代数式表示△QAC的面积.【答案】解：（1）将A（﹣3，0）、C（0，﹣）．代入得解得所以抛物线的表达式为y=x2+x﹣．其顶点P的坐标为（﹣1，﹣2）．…（1分）（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H．设直线AP的表达式为y=kx+b，将A（﹣3，0）、P（1，﹣2）代入，得，解得．∴y=﹣x﹣3．进而可得G（0，﹣3）．∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°=．在Rt△AOG中，AG==3，∴AH=AG﹣HG=∴tan∠CAP==．（3）设Q（t，t2+t﹣），由Q在第四象限，得|t|=t，|t2+t﹣|=﹣t2﹣t+）．联结OQ，易得S△QAC=S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ．∵S△AOC=×|﹣3|×|﹣|=，S△QOC=×|﹣|×t=t，S△AOQ=×|﹣3|×|t2+t﹣|=﹣t2﹣t+，∴S△QAC=+t﹣（﹣t2﹣t+）=t2+t．24（1）求抛物线的表达式；（2标；（3）在（2）的条件下，.【答案】（1（2（325、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（3，0），C（5，6）代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）如图1，过点D作ND⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，顶点坐标为D（1，﹣2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（5，6），D（1，﹣2）．∴AN=2，ND=2，CM=6，AM=1+5=6，∴AN=ND，CM=AM，AD=，AC=，∴∠NAD=∠ADN=45°，∠CAM=∠ACM=45°，∴∠CAE=∠DAE=45°，当△CAE∽△DAE时，，不合题意，舍去；当△CAE∽△EAD时，，即，AE=，当点E在点A的右边时，点E为（﹣1，0）；当点E在点A的左边时，点E为（﹣﹣1，0）；∴E（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．（3）如图2，当FC ⊥AC 时，（FC+AD ）•AC=16，即，解得：FC=，则；当FD ⊥AD 时，（FD+AC ）•AD=16，即，解得：FD=，∴AF=，∴OF=AF ﹣AO=4﹣1=3 则F 2（3，0）．26、已知：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，5==CD AB ，6=AD ，12=BC ．点E 在AD 边上，2:1:=ED AE ，连结CE ．点P 是AB 边上的一个动点，过点P 作PQ CE ∥，交BC 于点Q ．设x BP =，y CQ =．(1) 求B cos 的值；(2) 求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）联结EQ ，试探索△EQC 有无可能是直角三角形，若有可能，试求出x 的值；若不能，请简要说明理由。

考点分析 年份 2008 2009 201020112012 2013 2014 2015 2016 题型 解答19解答19解答19 解答19解答19解答19解答19解答19解答19分值10 10 10 10 10 10 10 10 10内容实数的 运算代数式 计算实数的 运算实数的 运算实数的 运算实数的 运算实数的 运算分式化 简与求 值 实数的 运算题型 解答20 解答20 解答20 解答20 解答20 解答20 解答20 解答20解答20分值10 10 10 10 10 10 10 10 10内容解分式 方程解二元 二次方 程组解分式 方程解二元 二次方 程组解分式 方程解二元 二次方 程组解分式 方程解不等 式组解分式 方程考点一：实数的运算： 注意一般的运算顺序及符号．【例1】 计算：（1）01(3)271232--+-++；（2）1122112(31)32221-⎛⎫⨯-++- ⎪ ⎪-⎝⎭． 【答案】（1）23-； （2）3．代数运算及函数模块一：代数运算注：1．01(0)a a =≠；2.n m n ma a =；3.1(0)a a≠．【解析】（1）0(3)1-11=-=-（2）112211)32-⨯+-⎝⎭1(31132=+-=．【例2】先化简，再求值：2222211()a ab ba b a b-+÷--，其中11a b==，．【答案】．【解析】解：原式＝2()()()a b b aa b a b ab--÷+-aba b=-+，当11a b==，时，原式＝4=．【巩固】（10111()2π--+；（21382+；（3）先化简，再求值：221(1)211a aa a a+÷+++-，其中2sin451a=︒-．【答案】（1）2；（3）1-【解析】（10111()2π--+112=-+=（2138222+=-+-=（3）2211(1)2111a a aa a a a+-÷+=++-+，将02sin4511 a=-=-代入，得221(1)1211a aa a a+÷+==++-．210-30-2-2考点二：不等式组的运算不等式组的取值法则是：“同大取大，同小取小，大小取中间”． 【例3】 （1）不等式240x +≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）求不等式组1023x x x ->⎧⎨+>⎩的解集是____________．【答案】（1）C ； （2）x>1．【解析】（1）不等式的解集为2x ≤-，在数轴上表示为C ；（2）由x -1>0，得x >1，由2x +3>x ，得x >32-，得原不等式组的解集为x >1．【总结】考察不等式的解法和数轴的表示，注意有等号需要用实心点及不等式组解集的求法．【例4】 解不等式组：4261139x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】-3<2x ≤．【解析】4261139x x x x >-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩①②由①得：x >-3，由②得：2x ≤，综上得：-3<2x ≤，在数轴上画出解集，如下图所示：【巩固】1.不等式组1228x x ->⎧⎨<⎩①②的解集是________________；2. 解不等式组：()2131 5 5 2x x x x ->-⎧⎪⎨-<+⎪⎩①②，并写出它的所有非负整数解．【答案】1．3<x <4； 2．0和1．【解析】（1）由①得：x>3，由②得：x<4，故原不等式组的解集是3<x<4；（2）由①可得：2x<；由②可得：53 x>-，∴不等式组的解集为523x-<<，∴它的所有非负整数为0，1．【总结】考察不等式组的解法，注意非负整数解的确定．考点三：方程的运算分式方程及二元二次方程组是中考中常涉及的内容，注意在求分式方程的解后，要检验是不是方程的增根．【例5】解方程：1512x xx x-+=-．【答案】12x=，21x=-．【解析】[方法一]设1xyx-=，则原方程化为152yy+=，整理得：22520y y-+=，∴11 2y=，22y=；当12y=时，112xx-=，得2x=；当2y=时，12xx-=，得1x=-，经检验：12x=，21x=-是原方程的根；∴原方程的解为：12x=，21x=-；[方法二]去分母，得：222(1)25(1)x x x x-+=-，整理得：220x x--=，解得：12x=，21x=-，经检验：12x=，21x=-是原方程的根，∴原方程的解为：12x=，21x=-．【总结】本题考察了分式方程的解法，注意检验方程的根的情况．【例6】 解方程：2121111x x x x +-=--+． 【答案】01(x x ==-；舍）．【解析】通分后，原方程可化为：2201x x x +=-，解得：1201x x ==-，，经检验，当x =-1时原方程分母为零，x =-1为原方程的增根， 所以原方程的根为x =0．【总结】注意分式方程的时候一定要检验是否是增根的情况【巩固】1．解方程：22101x x x x---=-； 2．解方程：261393x x x x +=+--． 【答案】1．12122x x ==，； 2．x =1 ．【解析】1．去分母，得：()()()221110x x x x x x ⋅----⋅⋅-=，即()()222110x x x x ----=，化简得：22520x x -+=， 解得：12122x x ==，，经检验：12122x x ==，均是原方程的根，所以原方程的解为：12122x x ==，；2． 去分母，得：(3)63x x x -+=+， 化简得： 2430x x -+=， 解得：1213x x ==，， 经检验：x =3是方程的增根， 所以原方程的根为x =1．【总结】解分式方程的方法通常为去分母法，注意解完之后一定要验根．【例7】 解方程组： 22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 【答案】12124121x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，．【解析】22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩①② 由②得x =2y 或x =-y 和①将原方程组转换为以下的方程组 222x y x y x y x y ⎧-=--=-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩和， 解得原方程组的解为：12124121x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，．【总结】本题考察了二元二次方程组的问题，常用直接代入法或降次消元法解决．【巩固】解方程组：21220y x x xy -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②【答案】12122130x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩， ． 【解析】由方程①得y = x +1，③将③代入②，得：22(1)20x x x -+-=， 整理，得220x x --= 解得：1221x x ==-，分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， 所以原方程组的解为：12122130x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩，． 【总结】本题考察了二元二次方程组的解法．考点四、方程的简单应用本小结主要针对中考中常出现的一元二次方程和分式方程的应用进行简单的梳理，这类题型主要出现在填空题中，难度系数较低，主要是寻找到等量关系，列出方程即可．【例8】 （1）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ， 那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）；（2）某工厂七月份的产量是100万元，计划第三季度的总产值要达到364万．如果每月产量的增长率相同，求这个增长率． 【答案】（1）2100(1)m -；（2）20%．【解析】（1）原价是100元的商品第一次降价后的价格是100（1-m ），第二次降价后的价 格是2100(1)m -；（2）设每个月的增长率是x ，则七月份产量是100万，八月份的产量是100（1+x ）， 九月份的产量是2100(1)x +，第三季度的总产量为100+100（1+x ）+2100(1)x +=364， 解得：10.2x =，2 3.2x =-（舍），即八九月份的增长率是20%．【总结】本题考察了一元二次方程的应用类问题，直接套用增长率和降低率的公式即可，注意第（2）小题是季度产量．【例9】 某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积在原计划上要增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算，要完成新计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【答案】40万亩．【解析】设原计划平均每年完成的绿化面积为x 万亩，根据题意，可列出方程200200(120%)120x x +-=+，解得：1240100x x ==-，， 经检验，1240100x x ==-，均是原方程的根，但2100x =-不符合题意，故舍去， 即计划平均每年完成绿化面积40万亩．【总结】本题考察了分式方程的应用，注意解完要检验．【巩固】（1）一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同，已知在第三年末，这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆第二、第三年的折旧率．（2）某中学八年级学生到离校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时出发．已知先遣队的行进速度是大部队的行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地，求先遣队与大部队的行进速度．【答案】（１）15%；（2）先遣队的速度是6千米/小时，大部队的速度是5千米/小时．【答案】（1）设这辆车第二、三年的年折旧率是x，根据题意可得220(120%)(1)11.56x--=，整理解得：x1=0.15，x2=1.85（舍），即这辆车第二、三年中的折旧率为15%；（2）设大部队的行进速度是x千米/小时，则先遣队的行进速度为1.2x千米/小时，根据题意，可列出方程151511.22x x=-，解得：x=5，经检验，x=5是原方程的根，且符合题意．当x=5时，1.2x=6，即大部队的行进速度是5千米/小时，先遣队的行进速度是6千米/小时．【总结】本题主要考查方程在实际问题中的运用，注意分式方程要检验．考点分析年份20122013201420152016题型解答22解答21解答21解答21解答22分值1010101010内容一次函数的应用一次函数、反比例函数一次函数的应用反比例、一次函数的应用一次函数的应用模块二：一次函数考点九：一次函数的应用---实际问题类【例10】 1、一辆汽车在行驶过程中，路程 y （千米）与时间 x （小时）之间的函数关系如图3所示 当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为 y = 60 x ，那么当 1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为_____________.2、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发， 设慢车行驶的时间为x (h )，两车之间的距离为y (km )，图中的折线表示 y 与x 之间的函数关系．根据图像进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离为_____________km ． （2）求慢车和快车的速度；（3）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【答案】1、y =100x -40；2、（1）900；（2）慢车75 km /h ，快车150km /h ； （3）()22590046y x x =-≤≤．【解析】1、设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，由当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为 y = 60 x ， 得y =kx +b 过（1，60）和（2，160）两点， 即602160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10040k b =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为y =100x -40；2、（1）由题意得：甲、乙两地之间的距离为900km ；（2）由图像可得，慢车速度为900÷12=75 （km /h ）， 快车速度为（900÷4）-75=150（km /h ）；（3）由题意得：900÷150=6小时， 即快车行驶到乙地用时6小时，此时，慢车距离乙地的距离为6×75=450即点C 坐标为()6450，， 因为()40B ，，所以利用待定系数法可得线段BC 的解析式为：()22590046y x x =-≤≤． 【总结】本题考察了函数在实际生活中的应用，注意认真观察图形．12160 图3A BC Dx/hy/km9004 12 注意：解题的过程中注意画好行程图，与一次函数的图像相结合【例11】 为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在我市范围内每月(30天)的通话时间x (分钟)与通话费y (元)的关系如图所示，分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式，如果小方3月份通话时间为170分钟，他选择哪种卡比较合适． 【答案】选便民卡．【解析】11295y x =+；212y x =．当x =170时，163y =，265y =，12y y <． 所以选便民卡．【总结】考查一次函数在实际问题中的应用．【例12】 研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止．结合风速与时间的图像，回答下列问题： （1）在y 轴括号内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时?（3）求出当x ≥25时，风速y (千米/时)与时间x (小时)之间的函数关系式． （4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间? 【答案】（1）8，32；（2）57小时；（3）57y x =-+；（4）30小时．【解析】（1）2×4=8，则8+4×（10-4）=32； （2）32÷1+25=57小时；（3）根据图象，CD 经过点（25，32）、（57，0），利用待定系数法可求得：57(2557)y x x =-+≤≤； （4）（57-20）-（20-8）÷4-4=30， ∴强沙尘暴持续30小时．【总结】考查一次函数在实际问题中的应用，注意认真理解图像．30201030201035302010102030A （0,29） B （30,35） xy xy(30,15)25104x (小时)y (千米/时) AB C（ ） （ ）【巩固】1．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y万元与生产数量x 吨的函数关系式如图所示． ①求y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；②当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 【答案】 ① y =－x +11（10x 50）； ② 40． 【解析】（1）直接（10，10）、（50，6）代入 y =kx +b（2） 由题意，可得：1(11)28010x x -+=， 解得：140x =或270x =，由于1050x ≤≤，故40x =， 即该产品的生产数量为40吨．【总结】本题考察了一次函数的应用类问题，注意认真观察图像．2．已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm )之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x (cm ) 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y (℃)35.0…40.042.0（1）求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数的定义域)；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2㎝，求此时体温计的读数．【答案】（1）511944y x =+；（2）37.5．【解析】（1）设函数解析式为y =kx +b ，由题意知，函数图像过点（4.2，35）、（8.2，40）， 即 4.2358.240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解此方程组得函数解析式为511944y x =+；（2）将x =6.2代入函数解析式中即可得到y =37.5， 故此时体温计的读数为37.5℃．【总结】本题考察了一次函数的应用类问题，注意认真观察表格．101≤≤10 5010 xO y63．某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连 续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y （千克）与时间x （时）的函数图像，线段EF 表示B 种机器人的搬运量B y （千克）与时间x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求B y 关于x 的函数解析式；（2）如果A 、B 两种机器人各连续搬运5个小时， 那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】（1）9090B y x =- （16x ≤≤）；（2）150千克．【解析】（1）设B y 关于x 的函数解析式为1B y k x b =+（10k ≠）， 由线段EF 过点(1,0)E 和点(3,180)P ， 得1103180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得19090k b =⎧⎨=-⎩，所以B y 关于x 的函数解析式为9090B y x =-（16x ≤≤）； （2）设A y 关于x 的函数解析式为2A y k x =（20k ≠），由题意，得21803k =，即260k =， ∴60A y x =； 当5x =时，560300A y =⨯=（千克）， 当6x =时，90690450B y =⨯-=（千克）， 450300150-=（千克）； 即如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150 千克．【总结】本题考察了一次函数的应用类问题，注意认真观察图像．FG PO E 1 3 51806y (千克)x （小时）考点十：一次函数的应用2—几何类【例13】已知平面直角坐标系xoy（如图6），直线12y x b=+经过第一、二、三象限，与y轴交于点B ，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数kyx=（k是常量，0k≠）的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．【答案】（1）b=1；（2）4yx =．【解析】（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线12y x b =+令x=0，得到y=b，即OB=b，∵112AOBS OB AC OB=⋅==，∴b=1．（2）由b=1，得到直线112y x=+，将A（2，t）待入函数解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例函数解析式kyx=，得：k=4，则反比例函数的解析式为4yx =．【总结】本题考察了初步的数形结合，由点求函数解析式．【例14】如图所示，直线l1的解析表达式为y=－3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）（1，0）；（2）362y x=-；（3）92；（4）P（6，3）．【解析】（1）令y=－3x+3=0，解得：1x=，所以D（1，0）；（2）因为直线l2经过点A（4，0）、B（3，32 -），故利用待定系数可求得直线l2的解析式为：362y x=-；Ox1y图6ABC（3）联立33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：23x y =⎧⎨=-⎩， ∴C （2，-3），∴193322ADC S =⨯⨯=；（4）令362y x =-=3，解得：6x =，所以P （6，3）．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意面积的准确求解．【巩固】1．已知一次函数y =2x +b 与两坐标轴围成的三角形面积为24，求b 的值． 【答案】±【解析】因为一次函数图像与x 轴的交点坐标为（2b-，0），与y 轴的交点坐标为（0，b ）， 所以三角形的面积12422bS b =⋅⋅=，解得：b =± 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解．2. 已知：一个正比例函数和一个一次函数的图像交于点P （-2、2）且一次函数的图像与y 轴 的交点Q 的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式； （2）求△PQO 的面积．【答案】（1）y x =-，4y x =+；（2）4．【解析】（1）过点（0，0）、（-2，2），利用待定系数法可求得解析式为：y x =-， 过点（-2，2）、（0，4），利用待定系数法可求得解析式为：4y x =+；（2）14242S =⨯⨯=．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解．考点十一：一次函数应用3-文字类【例15】 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t 分钟（3≤t ≤45），则IC 卡上所余的费用y （元）与t （分）之间的关系式是____________． 【答案】50.6y t =-．【解析】由题意得：50 2.41(3)50.6y t t =--⨯-=-【总结】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找出等量关系，注意题中y 表示卡上剩余费用，以免造成错误．【例16】 某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200t成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20t 和30t 成品． （1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y (t )与从乙开始投产以来所用时间x (天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；（2）分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总产量高．【答案】（1）y 甲=20x +200，y 乙=30x ，20天后甲、乙两条生产线的总产量相同．（2）第15天时，甲的生产量是500t ，乙的生产量是450t ，甲的总产量高；第25天时， 甲的生产量是700t ，乙的生产量是750t ，乙的总产量高．【解析】（1）y 甲=20x +200，y 甲=30x ，令20x +200=30x ，解得:x =20；（2）当x =15时，y 甲=300+200=500，y 乙=30×15=450，y 甲＞y 乙； 当x =25时，y 甲=500+200=700，y 乙=30×25=750，y 乙＞y 甲． 【总结】考查一次函数图像在实际问题中的应用．【巩固】某中学预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元．又若甲、乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求、的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210， 求、的值．【答案】（1）2186x y +=； （2）x =76，y =55．【解析】（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别是a 元和b 元，可得：1500( 1.5)(10)(1)1529(1)(5)(1)1563.5ax by a x b y a x b y +=⎧⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩，化简可得：2186x y +=； （2）依题意，有20522102186x y x y <+<⎧⎨+=⎩，解得：254553y <<，由于y 是整数，所以y =55，从而x =76．【总结】本题是方程组、函数和一元一次不等式的综合题，解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式，当必需的量没有时，应设出未知数，解题过程中消去无关的量．【回家作业】 一轮1、当x =22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-的值．【答案】4+【解析】222662(3)44432x x x x x x x x -+-÷+⋅===+-+--．x y x y x y2、求不等式组2620x x -<⎧⎨-<⎩的整数解【答案】-2，-1，0，1．【解析】2620x x -<⎧⎨-<⎩①②，由①得：x >-3，由②得：x <2，综上原不等式组的解集是-3<x <2，故整数解为：-2，-1，0，1． 【总结】本题考查了解不等式组的一般方法，注意看清题目的要求．3、解方程：1x x -─22x x-─ 1 = 0 【答案】12122x x ==，． 【解析】去分母，得：222(1)(1)0x x x x ----=，化简，得：22520x x -+=， 解此方程得12122x x ==，， 经检验，原分式方程的解为12122x x ==，． 【总结】分式方程需要检验增根的情况．4、解方程组：22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】12124121x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩，． 【解析】22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②，由②得（x -2y ）（x +y ）=0，所以x =2y 或x =-y ， 则原方程组可以转化成两个方程组222x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或，解得原方程组的解为：12124121x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩，． 【总结】本题主要考查二元二次方程组的解法．5、（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分） 近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代50、60年代的20年70、80年代的20年90年代的10年平均每年土地荒漠化扩展的面积（km 2）156021002460表2：沙尘暴发生的次数情况年代 50年代的10年 60年代的10年 70年代的10年 80年代的10年 90年代的10年 每十年沙尘暴发生次数58131423（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图； （3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生 次数呈 （选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势． 【答案】（1）1956km 2；（2）见图；（3）增加． 【解析】（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为：156020210020246010202010⨯+⨯+⨯++1956=（km 2）， 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956 km 2；（2）右图； （3）增加．【总结】本题主要考查一次函数的实际应用，注意 对图像的观察与理解．50年代 60年代 70年代 80年代 90年代252015 105次数年代图550年代 60年代 70年代 80年代 90年代252015 105次数年代二轮小练习1、先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中1x =．1．【解析】221114422222x x x x x x x x x x x x --÷-=-=+++++++，将1x =代入，得原式=2214422x x x x x x x -÷-++++1．2、解方程：214124x x -=--； 【答案】x =-1．【解析】去分母，得2244x x +-=-； 移项、整理得220x x --=；经检验：12x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根； 所以原方程的根是1x =-．3、解方程组：223024x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩【答案】1131x y =-⎧⎨=-⎩，2231x y =⎧⎨=⎩．【解析】223024x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①②由②x -y =2或x -y =-2， 与①相结合得到方程组302x y x y -=⎧⎨-=-⎩或302x y x y -=⎧⎨-=⎩解此方程组得原方程组的解为1131x y =-⎧⎨=-⎩，2231x y =⎧⎨=⎩．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝43x 的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y ＝mx的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ． 求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．【答案】（1）12y x ＝； （2）y =-23x +6．【解析】（1）∵正比例函数y =43x 的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，∴点A 的坐标为（3，4），∵反比例函数y =mx的图象经过点A ， ∴m =12，∴反比例函数的解析式为：12y x＝；（2）如图，连接AC 、AB ，作AD ⊥BC 于D ，∵AC =AB ，AD ⊥BC ， ∴BC =2CD =6，∴点B 的坐标为：（6，2），由题意得，3k +b ＝4，6k +b=2，解得，k ＝-23，b ＝6，∴直线AB 的表达式为：y =-23x +6． 【总结】（1）根据正比例函数y = 4 3x 的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，求出点A 三角形的性质求出点B 的坐标，运用待定系数法求出直线AB 的表达式．DyxAOCB1 2 3 4 5（小时）200 150 100 50 0y(千米)小轿车中巴车x5、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应 鞋长（cm ） 16 19 21 24 鞋码（号）22283238（1）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点（x ，y ）在你学过的哪种函数的图象上? （2）求x 、y 之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少? 【答案】（1）一次函数； （2）210y x =-； （3）27cm ． 【解析】（1）鞋长每增加1cm ，鞋码增加2号，符合一次函数； （2）设(0)y kx b k =+≠，代入（16，22）和（19，28）得：16221928k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：210k b =⎧⎨=-⎩，∴210y x =-；（3）当44y =时，27x =．【总结】本题考察了一次函数的实际应用．6、 “五一”期间，上海市先后有两批游客分别乘中巴车和小轿车沿相同路线从上海市赶往奉贤 区海湾度假村旅游，如图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象．（1）根据图象，请分别直接写出中巴车和小轿车行驶过程中路程与时间之间的函数关系 式（不要求写自变量的取值范围）；（2）直接写出中巴车和小轿车行驶速度各是多少? （3）试求小轿车出发后多长时间赶上中巴车? 【答案】（1）100200y x =-小轿车，40y x =中巴车； （2）小轿车：100千米/时，中巴车：40千米/时；（3）43小时；【解析】（1）由图像及待定系数法，可得： 100200y x =-小轿车，40y x =中巴车；（2）由图像可知：小轿车的速度为：100千米/时，中巴车的速度为：40千米/时；（3）由40100200x x =-，得：103x =， 所以104233-=，故小轿车出发43小时后追上了中巴车．【总结】本题主要考察了对函数的图像的理解，要看清楚问的究竟是哪部车子的行驶时间．。

沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一次函数单元复习与巩固（提高）1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法），能利用图像数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）要点诠释：理解、对一次函数的图像和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.【典型例题】类型一、函数的概念1、（1）（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为，则解得＝，＝16000．∴所求的函数关系式为＝＋16000．（2）∵48000＝＋16000．∴＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图像和性质3、若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（）A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0【思路点拨】根据一次函数的图像与系数的关系解答.图像不经过第一象限，则k＜0，此时图像可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】D；【解析】当图像过原点时，＜0，＝0，当图像经过二、三、四象限时，＜0且＜0.【总结升华】图像不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.举一反三：【变式】一次函数与在同一坐标系内的图像可以为（）A. B. C. D.【答案】D；提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图像，只有D答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为．【答案】；【解析】从图像上看，的图像在轴下方，且在上方的图像为画红线的部分，而这部分的图像自变量的范围在.【总结升华】也可以先求出的解析式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】（2016春•抚州校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，直线与轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及的值；（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】解：（1）当=﹣2时，=﹣2×（﹣2）+1=5，则B（﹣2，5）．把B（﹣1，5）代入得﹣1+=5，解得=6；（2）当=0时，=1，则C（0，1）；当=0时，=+6=6，则A（0，6）所以AC=6﹣1=5，所以S△ABC=×5×2=5；（3）＜﹣2．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3，∴当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，．∴当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴，解得．即服药后得到为治病的有效时间，这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与直线关于轴对称，且与轴交于点C．已知直线的解析式为．(1)求直线的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：，则解得．∴直线BC解析式为：．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠＝90°，∴，∴．由得∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵ BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴，解得．∴ BD的解析式为(2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作⊥BD于点N．∵ BC为∠ABD的平分线，∴ CM＝．∵∠ACE＝90°，∠M =90°∴∠ACM＝∠E ．在△ACM和△E 中∴△ACM≌△E (ASA)．∴ AC＝CE．。

精锐教育1对3辅导讲义（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享案例1：回顾图形运动产生的函数图像问题：1．如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若a//b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分．．．．的面积（S）随时间（t）变化的图像大致是（）参考答案：B思考：通过上面问题的分析，同学们总结一下图形运动问题的技巧：案例2：如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图像表示大致是（ ）参考答案：D思考：处理运动问题所产生的图像问题的一般步骤：案例3：如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO →→的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）参考答案：C思考：你能总结运动问题的解题规律吗？知识一、几何证明问题案例分析处理图形运动问题时，重点关注不同运动时刻的图形情况，按时段分析。

解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”、“写”、“选”。

“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何时开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点是特殊点，这是准确解答的前提和关键；“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式注意一定要明白自变量的取值范围，求出特殊点的函数值和自变量的取值；“选”就是选择准确的函数图像和答案，多用排除法。

首先，排除不符合函数类型的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大最小值进行排除，选出准确答案。

例1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D 是边AC 上不与点A 、C 重合的任意一点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，M 是BD 的中点. （1）求证：CM=EM ；（2）如果BC=3，设AD=x ，CM=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D 在线段AC 上移动时，∠MCE 的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE 的大小；如果发生变化，说明如何变化.答案：（1）证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，M 是BD 的中点， ∴CM =12BD ． 同理ME =12BD ， ∴CM =ME ．（2）解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =3， ∴AB =2BC =23． 由勾股定理得AC =3， ∵AD =x ，∴CD =3-x ， ∴BD =23(3)x +-， ∵CM =12BD ∴216122y x x =-+（0＜x ＜3），（3）不变．∵M 是Rt △BCD 斜边BD 的中点， ∴MB =MC ， ∴∠MBC =∠MCB ． ∴∠CMD =∠MBC +∠MCB =2∠MBC ， ∵M 是Rt △BED 斜边BD 的中点， 同理可得：∠EMD =2∠MBE ，∴∠CMD +∠EMD =2∠MBC +2∠MBE =2（∠MBC +∠MBE ）=2∠ABC ， 即∠CME =2∠ABC =120°，∵MC =ME ， ∴∠MCE =∠MEC =30°例2：如图1，直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO , 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题01 数与式（34题）一．选择题（共3小题）1．（2022秋•静安区期末）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（2022秋•静安区期末）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．二．填空题（共16小题）4．（2022秋•静安区期末）的倒数是．5．（2022秋•静安区期末）计算：＝．6．（2022秋•静安区期末）已知，则的值是．7．（2022秋•杨浦区期末）已知，则的值为．8．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长cm．9．（2022秋•徐汇区期末）若，则＝．10．（2022秋•青浦区校级期末）已知＝，那么的值为．11．（2022秋•黄浦区校级期末）如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．12．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．13．（2022秋•徐汇区校级期末）A、B两地的实际距离是24千米，那么在比例尺是1：800000的地图上量出A、B 两地距离是厘米．14．（2022秋•杨浦区校级期末）如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．15．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是．16．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．17．（2022秋•闵行区期末）如果a＝3b（b≠0），那么＝．18．（2022秋•徐汇区期末）已知3x＝2y，那么＝．19．（2022秋•徐汇区期末）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．三．解答题（共15小题）20．（2022秋•静安区期末）计算：．21．（2022秋•杨浦区期末）计算：．22．（2022秋•徐汇区期末）计算：+cot260°23．（2022秋•黄浦区期末）计算：．24．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3tan30°﹣+cos45°+25．（2022秋•黄浦区校级期末）计算：．26．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：．27．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°28．（2022秋•浦东新区校级期末）计算：﹣．29．（2022秋•杨浦区校级期末）计算：．30．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．31．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．32．（2022秋•金山区校级期末）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．33．（2022秋•闵行区期末）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．34．（2022秋•徐汇区期末）计算：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题01 数与式（34题）一．选择题（共3小题）1．（2022秋•静安区期末）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．（2022秋•静安区期末）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x9【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合题意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合题意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合题意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．二．填空题（共16小题）4．（2022秋•静安区期末）的倒数是3．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．5．（2022秋•静安区期末）计算：＝2．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．6．（2022秋•静安区期末）已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．7．（2022秋•杨浦区期末）已知，则的值为．【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．9．（2022秋•徐汇区期末）若，则＝．【分析】根据两内项之积等于两外项之积得到y＝2x，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴y＝3x，∴＝x＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．10．（2022秋•青浦区校级期末）已知＝，那么的值为．【分析】直接利用已知表示出a，b的值，进而化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．11．（2022秋•黄浦区校级期末）如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴设a＝3x，则b＝2x，那么＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，掌握正确表示出a，b的值是关键．13．（2022秋•徐汇区校级期末）A、B两地的实际距离是24千米，那么在比例尺是1：800000的地图上量出A、B 两地距离是3厘米．【分析】利用比例尺＝图上距离：实际距离列式解答即可．【解答】解：24千米＝24000米＝2400000厘米，由题意得：AB：2400000＝1：800000，∴800000AB＝2400000，∴AB＝3cm．故答案为：3．【点评】本题主要考查了比例尺，熟练掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．14．（2022秋•杨浦区校级期末）如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3厘米，那么A、B两地的实际距离是60千米．【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，则：3：x＝1：2000000，解得x＝6000000cm＝60（千米），A、B两地的实际距离为60（千米）．故答案为：60．【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．15．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是．【分析】已知，则设a＝2k，b＝3k，把a和b的值代入代数式化简即可．【解答】解：∵，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知设出a＝2k，b＝3k是解题的关键．16．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34千米．【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷＝3400000（厘米）＝34（千米）．即实际距离是34千米．故答案为：34．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．17．（2022秋•闵行区期末）如果a＝3b（b≠0），那么＝4．【分析】把a＝3b，代入化简计算即可．【解答】解：∵a＝3b，∴＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会用转化的思想解决问题．18．（2022秋•徐汇区期末）已知3x＝2y，那么＝．【分析】首先利用比例的基本性质求得的值，然后即可求解．【解答】解：∵3x＝2y，∴＝，则＝．【点评】本题考查了比例的基本性质，理解：两内项的积等于两内项的积是关键．19．（2022秋•徐汇区期末）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．三．解答题（共15小题）20．（2022秋•静安区期末）计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．21．（2022秋•杨浦区期末）计算：．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．22．（2022秋•徐汇区期末）计算：+cot260°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：原式＝+（）2＝+＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．23．（2022秋•黄浦区期末）计算：．【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝4﹣4．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．24．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3tan30°﹣+cos45°+【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．25．（2022秋•黄浦区校级期末）计算：．【分析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．26．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，再结合分母有理化以及绝对值的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2|1﹣|+＝2﹣++＝2+．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．27．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣，＝﹣1+2﹣＝1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．28．（2022秋•浦东新区校级期末）计算：﹣．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝+﹣＝+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．29．（2022秋•杨浦区校级期末）计算：．【分析】先将各角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．30．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．31．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2022秋•金山区校级期末）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2＝2﹣1﹣＝﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．33．（2022秋•闵行区期末）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣+＝2+﹣+＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．34．（2022秋•徐汇区期末）计算：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣．【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．【解答】解：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣＝4×（）2﹣|﹣1|﹣＝4×﹣（﹣1）﹣＝3﹣+1+2（+2）＝3﹣+1+2+4＝8+．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．。

考点一：绝对值的运算一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．注：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．【例1】（1）计算：112-=；（2）计算：22-+=_______；（3）用“>”或“<”连接下列各数-7________-5；-|-2|________-（-2）；-0.125________-|14-|．【巩固】（1）写出绝对值小于5的整数；（2）计算：22--=_______；（3）用“>”或“<”连接下列各数：|-3.5|________|-235|；-|-2|________-（-3）；1750________-|14-|．基础知识锦集模块一：数与运算把一个数表示成10na⨯的形式，其中1≤|a|<10，n为任意整数的形式的计数法叫做科学计数法．对于一个近似数，从左边第一个不为零的数起，往右末尾数字为止的所有数字叫做这个近似数的有效数字．【例2】（1）新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91000用科学记数法表示为（）A．3⨯D．4⨯．9.1109.110⨯C．3⨯B．2911091010（2）近似数3.45有_______个有效数字，他们是____________；（3）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km，在远地点时与地球相距约为405500km，按下列精确度要求，用科学计数法表示这两个数的近似数：①精确到万位；②保留三个有效数字．【巩固】（1）“神州六号”飞船在太空中飞行的速度达到7.820185千米/秒，按下列要求分别取这个数的近似数：①精确到十分位；②保留四个有效数字．（2）近似数-0.4500有__________个有效数字，它们是____________；（3）据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60800000000元，这个数用科学记数法表示为（）A．608×108B．60.8×109C．6.08×1010D．6.08×10111. 有理数和无理数统称为实数；2、求n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数；【例3】 （1）下列分数中，能化为有限小数的是（ ）．A ．13B ．15C ．17D ．19（2）下列实数中，是无理数的为（ ）A ．3.1B ． 13C ． 3D ． 9（3） ABC． D．【巩固】（1）下列实数中，是有理数的为…………………………………………（ ） ABC ．πD ．0（2）计算：．12131271)()2-+-+考点四、整式1、 单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式，由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，单项式和多项式统称为整式；所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、 幂的运算：()m n m n m n m n m n mn a a a a a a a a +-⋅=÷==，，． 3、整式的运算．【例4】 （1）计算32()a 的结果是（ ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a（2）计算：a 3 ÷ a 2 = __________； （3）计算：23a a ⋅=__________；（4）在下列代数式中，次数为三的单项式是（ ） A ．2xyB ．33x y +C .3x yD.3xy【例5】 （1）如果12a =，3b =-，那么代数式2a b +的值为 ； （2）计算：22221121(1)a a a a a a +---+÷+-．【巩固】（1）计算：23b aa b⨯= ___________； （2）当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是…………………………………（ ） A ．a 0＝1；B ．a －1＝－a ；C ．(－a )2＝－a 2；D ．1221a a =． （3）下列单项式中，与2a b 是同类项的是（ ）A . 22a bB . 22a b C. 2ab D . 3ab（4）先化简，再求值：2222211()a ab b a b a b -+÷--，其中21,21a b =+=-．模块二：方程与代数把一个多项式化成几个因式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 常见的方法： 1、提取公因式；2、公式法①平方差公式②完全平方公式；3、十字相乘法；4、分组分解法；5、求根公式法．【例6】 将下列各式因式分解（1）2153a b ab +； （2）441692516x y -；（3）222139x xy y -+-；（4）2212x xy y -++；（5）263ac ad bc bd -+-．【例7】 因式分解21x x --．【巩固】填空：（1） 分解因式：a 2 ─ a b = ______________； （2） 分解因式xy –x - y +1= ； （3） 分解因式224x x --=_______________．a ≥0）的形式是二次根式1、最简二次根式：（1）开偶次方根的数有意义的条件： （2）分母有理化：2、同类二次根式．【例8】 （1）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．A B C D（2 ）ABC【巩固】（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）AB C D（2的有理化因式是____________；考点七：根的判别式我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式，记作24b ac =-，利用判别式，不必解方程，就可以判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac =->0时，方程有两个不相等的实数根； 当24b ac =-=0时，方程有两个相等的实数根； 当24b ac =-<0时，方程没有实数根． 上述判断反过来说，也是正确的．【例9】 （1）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ；（2）如果关于x 的方程260x x c -+=（c 为常数）没有实数根，那么c 的取值范围是 ； （3）已知一元二次方程 x ２+ x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ） A ．该方程有两个相等的实数根 B ．该方程有两个不相等的实数根 C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定【巩固】（1）下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）A ．210x +=B ．210x x ++=C ．210x x -+=D ．210x x --=（2）如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0(k 为常数)有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是___________．考点八：无理方程无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程． 解决无理方程的一般方法：平方法． 注意：无理方程需要检验方程的根的情况．【例10】 （12的解是 ； （2）方程 x + 6 = x 的根是____________．【例11】 解下列无理方程：（1）6x =-； （2）3x =．【巩固】1．填空（1）方程322x -=的解是_______________； （2） 方程2x x +=的解是________________；2．解下列方程：（1）2221x x -=+；（2）21x x +-=．考点九：函数的定义域和值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 再定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x =a 时的函数值．【例12】 （1）函数1xy x =-的定义域是 ； （2）函数3y x =-的定义域是_____________． 【例13】 （1）已知函数 ()231x f x =+，那么 ()2f = __________；（2）已知函数1()1f x x=-，那么(3)f = ． 【巩固】（1）函数11y x =-的定义域是_____________； （2）已知函数 21()1f x x =+，那么(1)f -= ___________．模块三：函数与分析考点十：函数的概念和性质1、 正比例函数：解析式形如y =kx （k ≠0）的函数叫做正比例函数，正比例函数的图 像是一条过原点的直线，函数的性质与k 有关，当k >0时，随x 的增大，y 逐渐增大，当k <0时，随着x 的增大，y 逐渐减小．2、 反比例函数：解析式形如(0)ky k x =≠的函数叫做反比例函数，反比例函数的图像是双曲线．性质：当k >0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小；k <0时，函数图像的两支分别在二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大；图像的两支都无限接近于x 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．3、 一次函数：解析式形如y =kx +b （k ≠0）的函数叫做一次函数，一次函数的图像是 一条直线，函数的性质跟k 、b 有关系．4、 二次函数：解析式形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数．【例14】 （1）下列函数中，哪些是一次函数（ ）A ．11y x=+ B ．y =-2x C ．21y x =+ D ．(y kx b k b =+、为常数）（2）下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为……………（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝12x +（3）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余 油量 y （升）与行驶里程 x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是__________升．【例15】 （1）若反比例函数(0)ky k x=<的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m n ；（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）（2）已知正比例函数(0)y kx k =≠，点(2，3)-在函数上，则y 随x 的增大而__________（选填“增大”或“减小”）；（3）已知A （-1，a ）和B （1，b ）在函数23y x m =-+的图像上，则a 与b 的大小关系是：_____________（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．x ( 千米) y ( 升) O1602402.53.5【巩固】1．（1）如果反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这 个函数的解析式是__________；（2）在平面直角坐标系中，反比例函数 y = kx ( k ＜0 ) 图像的分别分支在（）A ．第一、三象限B.第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限 （3）同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y ＝95x ＋32．如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．2. （1）一次函数y ＝-3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； （2）已知反比例函数ky x=(k 是常数，k ≠0)，在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是 (只需写一个)．考点十一：函数的平移图像的平移法则是：上加下减、左加右减．【例16】 （1）将直线y =2x -4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是_________；（2）如图1，将直线OP 向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为_________；（3） 将抛物线2y x x =+向下平移2个单位，所得的新抛物线的 解析式为___________．【例17】 （1）将抛物线2y x x =+向左平移2个单位，所得的新抛物线的解析式为_________；（2）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是22y x =+，则原抛物线的表达式是________________．【巩固】（1）如果将直线y ＝2x 向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 _____________；（2）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线 的表达式是_______________；（3）将一次函数向上平移1个单位后，得以新的函数解析式为y =3x -31，那么原一次函数的表达式是 ．OP x12y图1考点十二：抛物线的相关概念二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是（2424b ac b a a --，），对称轴为直线2bx a=-，与x 轴的交点坐标是令y =0，20(0)ax bx c a ++=≠的两个解为12x x ，，则二次函数与x 轴的交点是12(0)0x x ，，（，），与y 轴的交点为（0，c ）． 【例18】 （1）抛物线212y x x =-++与x 轴的交点坐标是_____________；与y 轴的交点坐标是___________．（2）抛物线247y x x =---的顶点坐标是（ ）． A ．（2，－3）B ．（－2，3）C ．（2，3）D ．（－2，－3）【巩固】（1）抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，（2）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向右平移1个单位后，与坐标轴的交点坐标_________．考点十三：概率一般地，如果一个实验共有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的k 个结果，那么事件A 的概率：()=A kP A n =事件包含的可能结果数所有的可能结果总数．【例19】 （1）一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机 摸一个球是白球的概率是（ ）A ．112B ．13C ．23D ．12． （2）有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机 抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________；（3）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、⋅⋅⋅、6点的标 记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 ．模块四：数据整理与概率统计【巩固】（1）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________；（2）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为___________．考点十四：统计的意义调查时，调查对象的全体叫做总体，其中每一个调查的对象叫做个体．从总体中取出一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数量叫做样本容量，具有代表性的样本叫做随机样本．【例20】（1）下列事件中，属必然事件的是（）A．男生的身高一定超过女生的身高B．方程2x+=在实数范围内无解440C．明天数学考试，小明一定得满分D．两个无理数相加一定是无理数．（2）为了顾及鱼塘里鱼的数量，养殖工人网住50条鱼，在鱼的尾巴上做个记号后放回鱼塘．等鱼游散后再网住60条鱼，发现有2条鱼尾巴上有记号．该鱼塘里约有多少条鱼?【巩固】（1）为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指（）A．400名学生B．被抽取的50名学生C．400名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重（2）某出租车公司在国庆期间平均每天的营业额为5万元，由此推算10月份的总营业额为531155⨯=（万元）．根据所学的统计知识，你认为这样推断10月份的总营业额合理吗?说明理由．考点十五：基本的统计量1.平均数：一般地，如果一组数据：12...n x x x ，，，它们的平均数记作x ，这时 121(...)n x x x x n=+++，平均数反映了这组数据的平均水平．2.中位数（众数）：一般地，将n 个数据按大小顺序排列，居中的一个数据（n 为奇数时），或居中的两个数据（n 为偶数时）的平均数．称为这组数据的中位数；出现次数最多的是众数．3.方差与标准差：2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-（方差）222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-（标准差） 方差与标准差反映了一组数据波动的大小，即一组数据偏离平均数的程度． 4.频数与频率=小组长数据的频率组频率全组数据的总个数【例21】 （1）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）次数 2 3 4 5 人数22106A . 3次B . 3.5次C . 4次D . 4.5次 （2）数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（ ） A ．2和2.4B ．2和2C ．1和2D ．3和2（3）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示，其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值，结合表格的信息，可得测试分数在8090分数段的学生有 名．（4）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的 成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是_________．分数段 60~70 70~80 80~90 90~100 频率0.20.250.252 4 6 8 0甲 乙 丙1210 成绩(环)其他自驾40%公交50%4800其他自驾公交人数【巩固】（1）某市测得一周PM 2.5的日均值(单位：微克每立方米)如下： 50；40；75；50；37；50；40．这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．50和50B ．50和40C ．40和50D ．40和40（2）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为___________． （3）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的 前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图， 根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是考点十六：三角形 1.三角形的全等 1.平行线分线段成比例 2.相似三角形的性质：（1） 边对应成比例； （2） 角对应相等；（3） 对应中线、角平分线、高的比等于相似比； （4） 面积比等于相似比的平方． （5）【例22】 （1）在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是____________． （只需写一个，不添加辅助线） （2）在△ABC 中，过重心G 且平行BC 的直线交AB 于点D ，那么AD :DB = ；模块五：图形与几何丁丙403080 50人数图2（3）如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BC DF CE =B ． AD BCCE DF =C ．CD BCEF BE=D ．CD ADEF AF=【例23】 （1）下列命题中，是真命题的为（ ）A ．锐角三角形都相似B ．直角三角形都相似C ． 等腰三角形都相似D ．等边三角形都相似（2）在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AED B ∠=∠， 如果2AE =，ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么 边AB 的长为 .【巩固】（1）如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5（2）下列命题中，真命题是（ ）． A ．周长相等的锐角三角形都全等B ．周长相等的直角三角形都全等C ．周长相等的钝角三角形都全等D ．周长相等的等腰直角三角形都全等（3）在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么ADE ∆的面积与ABC ∆的 面积的比是 ．考点十七：四边形 1.特殊的平行四边形的判定 2.四边形的性质：【例24】 （1）在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以 是_________________________；（2）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ） A ．∠BDC =∠BCD B ．∠ABC =∠DABC ．∠ADB =∠DACD ．∠AOB =∠BOCA B D CE F图1 A BD CE FEABCD 图1D CBAO（3）如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是 A ．△ABD 与△ABC 的周长相等 B ．△ABD 与△ABC 的面积相等C ．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D ．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【巩固】（1）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ， 要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件， 这个条件可以是（ ）A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBD D ．∠OCA ＝∠OCB（2）已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交 边CD 于点F ，那么∠F AD ＝________度．考点十八：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系内的点 2.对称性【例25】 （1）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，3），点B 的坐标为（-1，6）． 若点C 与点A 关于x 轴对称，则点B 与点C 之间的距离为 ； （2）在下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【巩固】（1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）ABCD（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，3），点B 与点A 关于y 轴对称，点C 与点B 关x 轴对称，求△ABC 的面积是______________．BC D图2A考点十九：平面向量 1.平面向量的加减运算 2.平面向量的线性运算【例26】 （1）图1，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，设向量AD =a ， AB =b ，则向量AO =__________（结果用a 、b 表示）； （2）如图2，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3EB ．设AB a =，BC b =，那么DE ＝ (结果用a 、b 表示)．【巩固】（1）如图1，AM 是△ABC 的中线，设向量AB a =，BC b =，那么向量 AM =____________（结果用a 、b 表示）；（2）如图，已知梯形ABCD ，AD //BC ，2BC AD =，若AD a =， AB b =，那么AC = （用a ，b 表示）．考点二十：圆1.圆的相关计算：求弦长、弦心距，面积及半径2.与圆相关的位置关系3.圆与多边形【例27】 （1）下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形（2）如图2，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，它们的半径都为2， 圆O 1经过点O 2，则四边形O 1AO 2B 的面积为 ．（3）在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径 OA = ．_ O图1ABCDAC BMDCBAB CE图2DA O 1O 2BA图2（4）已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（ ） A ． 相交或相切 B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【巩固】（1）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2）矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是 以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．A ．点B 、C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B 、C 均在圆P 内．（3）在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________． （4）如图3，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ， 如果MN ＝3，那么BC ＝_________．【回家作业】1. 如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ）A . 3-B . 3C . 13-D . 132．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3. 如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. 2(1)2y x =-+ B. 2(1)2y x =++ C. 21y x =+ D . 23y x =+4．如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，那么∠1的同位角是 A ．∠2 B ．∠3C ．∠4D ．∠55．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是 A ．AB =BAB ．=AB BAC ．AB +BA =0D ．AB +BA =0AC OBM N图31 2 34 c a b5第14题图AC DB 6．如果两圆的半径分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含7. 因式分解：229x y -=_______________； 8. 函数32y x =-的定义域是 ； 9．化简：123=- ；10．方程213x -=的根是 ；11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 象限； 12．关于x 的方程210mx mx ++=有两个相等的实数根，那么m = ； 13．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔 支；14．如图，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，BC b = 如果用向量a ， b 表示向量AD ，那么AD = ；15.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1， 则DB = _________．16.一辆汽车在行驶过程中，路程 y （千米）与时间 x （小时）之间的函数关系如图所示， 当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为 y = 60 x ，那么当 1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析 式为_____________．17、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在 ⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数)第15题图BDAC12160第16题图。

【例1】 已知90ABC ∠=︒，AB = 2，BC = 3，AD // BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足：PQ ADPC AB=（如图1所示）． （1）当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQ PBCS y S ∆∆=，其中APQ S ∆表示APQ ∆的面积，PBC S ∆表示PBC ∆的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD < AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．【分析】（1）如图2，当AD = 2时，AD = AB ，由PQ ADPC AB=，可知PQ = PC ；由AD // BC 、 AD = AB 又可知45ABD PCB PBC ∠=∠=∠=︒，再由BC = 3可得PC 的长；（2）要求y 与x 的函数关系式，而y 与APQ S ∆和PBC S ∆有关，观察这两个三角形可发现， AQ 可用x 表示，BC 已知，所以APQ PBCS y S ∆∆=的值就是点P 到AB 和BC 的距离之比，故可过P 点分别向AB 和BC 作垂线段PF 和PE ，易得34PF PF AD PE BF AB ===，从而可表达y 与x 的函数关系式；对于定义域，要分析点Q 的运动范围（在线段AB 上）及限制条件 （PQ AD PC AB =），可得x 的最小值为0，当点P 在点D 处时，x 取得最大值，即得定义域；几何计算与说理例题解析E A D PCBQ 图1DAPCB （Q ）图2图3CADPBQ FM N2 / 14（3）要求QPC ∠的大小，而题中与QPC ∠有关的条件是“PQ ADPC AB=”，由（2）知若 过点P 向AB 和BC 作垂线PN 和PM ，可得PN AD PM AB =，所以PN PQPM PC=，既而可得 Rt PCM ∆∽Rt PQN ∆，易得90QPC ∠=︒．【解答】（1）∵AD // BC ，∴ADB DBC ∠=∠．∵AD = AB = 2，∴ABD ADB ∠=∠．∴DBC ADB ∠=∠． ∵90ABC ∠=︒，∴45PBC ∠=︒．∵PQ AD PC AB =，AD = AB ，点Q 与点B 重合，∴PB = PQ = PC ． ∴45PCB PBC ∠=∠=︒． ∴90BPC ∠=︒．在Rt BPC ∆中，32cos 3cos452PC BC C ==⨯︒=． （2）过点P 作PE BC ⊥，PF AB ⊥，垂足分别为E 、F ． ∴90PFB FBE BEP ∠=∠=∠=︒．∴四边形FBEP 是矩形． ∴PF // BC ，PE = BF ． ∵AD // BC ，∴PF // AD ，∴PF ADBF AB=． ∵32AD =，AB = 2，∴34PF PE =． ∵2AQ AB QB x =-=-，BC = 3，∴22APQ x S PF ∆-=，32PBC S PE ∆=． ∴24APQ PBCS x S ∆∆-=，即24xy -= ． 函数的定义域是708x ≤≤． （3） 过点P 作PM BC ⊥，PN AB ⊥，垂足分别为M 、N ． 易得四边形PNBM 为矩形，∴PN // BC ，PM = BN ，90MPN ∠=︒．∵AD // BC ，∴PN // AD ．∴PN AD BN AB =．∴PN ADPM AB =． ∵PQ AD PC AB =，∴PN PQPM PC=． 又∵90PMC PNQ ∠=∠=︒，∴Rt PCM ∆∽Rt PQN ∆． ∴CPM QPN ∠=∠．∵90MPN ∠=︒，∴90CPM QPM QPN QPM MPN ∠+∠=∠+∠=∠=︒， 即90QPC ∠=︒．【例2】 在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，BC = 30，AB = 50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM = EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP = x ，BN = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AME ∆∽ENB ∆（AME ∆的顶点A 、M 、E 分别与ENB ∆的顶点E 、N 、B 对应）， 求AP 的长．【分析】（1）当点E 与点C 重合时，易得EP 的长，再由12sin 13EMP ∠=可得CM 的长； （2）可以根据Rt AEP ∆∽Rt ABC ∆或者tan A =34得EP =43x ，再由12sin 13EMP ∠=可求 得PM 和PN 的长，从而可得y 与x 的函数关系式；关于定义域，x 的最小值为0，最 大值在点E 与C 重合时取得，由于不能重合，故0 < x < 32；（3）分两种情况进行讨论：当E 在AC 上或E 在BC 上；当E 在AC 上时，AM 、EN 、 EM 、NB 均可由x 表示，从而由比例关系求得AP 的长；当E 在BC 上时，重新画图， 寻找解题思路．【解答】（1）∵∠ACB = 90°，PE ⊥AB ，点E 与点C 重合∴1122ABC S AC BC AB CP =⋅⋅=⋅⋅∵AE = 40，BC = 30，AB = 50， ∴CP = 24， 又∵sin ∠EMP CP CM ==1312， ∴CM = 26；（2）在Rt AEP ∆与Rt ABC ∆中，∵ ∠EAP =∠BAC ，∴ Rt AEP ∆∽Rt ABC ∆， ∴ACBC AP EP =，即4030=x EP ，∴ EP =43x ， C AM P NBC(E)EAM P NB图1图24 / 14∵sin ∠EMP =1312，∴tan ∠EMP =512=MP EP ，即512=MPx43，∴ MP =165x = PN ， ∴BN =AB -AP -PN = 50-x -165x = 50-1621x ， ∴y = 50-1621x （0 < x < 32）； （3）①当E 在线段AC 上时， 由（2）知，1213=EP EM ，即121343=x EM ，∴EM =1613x = EN ，∵AME ∆∽ENB ∆，又AM = AP -MP = x -165x =1611x ， ∴ NB ME EN AM =， 即x x 16131611=x x1621501613-，解得：x = 22 ；②当E 在线段BC 上时，∵AME ∆∽ENB ∆，∴ ∠AEM =∠EBN ， 由外角定理，∠AEC =∠EAB +∠EBN =∠EAB +∠AEM =∠EMP ， ∴Rt ACE ∆∽Rt EPM ∆，∴PM EP CE AC =，∴CE =350… 设AP = z ，∴ PB = 50-z ， ∵Rt BEP ∆∽Rt BAC ∆，∴BC BA PB BE =，即z BE -50=3050，∴BE =35(50-z )， ∴CE = BC -BE = 30-35(50-z )… 联立 ， ，得：350=30-35(50-z )，解得：z = 42 ．综上：AP =22或42．图一DOEC BAABC DE O 【例3】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，点C 是AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）若BC = 1，求OD 的长；（2）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请 指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系 式，并写出它的定义域．【分析】（1）根据垂径定理可得OD 的长；（2）对于DOE ∆，很明显OD 、OE 的长会随着点C 的运动而发生变化；联结DE 后发 现，点D 、E 为BC 和AC 的中点，则DE 是ABC ∆的中位线，故其长度不变，为AB 的 一半；（3）DOE ∆中，DE 已知，OD 可用x 表达， 这样还没有办法表达DOE ∆的面积，则 需要继续挖掘关于DOE ∆的有效条件；由于OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，若联结OC ，易得BOD COD ∠=∠，COE AOE ∠=∠，所以45DOE ∠=︒；再过点D 作OE 的垂线，则垂线段的长度和OE 的的长度均可用x 表达，从而可求得y 关于x 的函数关系式； 定义域显然为：02x <<【解答】（1）∵OD ⊥BC ，BC = 1，∴1122BD BC ==．在Rt OBD 中，22221152()2OD OB BD =--；（2）存在．DE 的长保持不变．连接DE （如图一）． ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴12DE BA =．在Rt AOB ∆中，222AB OB OA =+， ∴222222AB +． ∴2DE6 / 14图二DOF E C BA（3）连接OC ，过点D 作DF OE ⊥于点F （如图二）． ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OA OB OC ==， ∴BOD COD ∠=∠，EOC EOA ∠=∠，∵90AOB BOD COD EOC EOA ∠=∠+∠+∠+∠=， ∴45DOE EOC DOC ∠=∠+∠=． ∵OD ⊥BC ，BD = x ，2OB =， ∴2224DO OB BD x =-=- ∵DF OE ⊥，45DOE ∠=，∴224DF OF x =-． ∴222222(4)4EF DE DF x =--⋅-=．∴2211222()(4)422y OF EF DF x x =⋅+⋅=⋅--， 即2244x x x y -+-(02)x <<．A BCDPQM 【例4】 在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图）．已知AD = 13，AB = 5，设AP = x ，BQ = y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取 值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半 径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂 线，垂足为F ，如果EF = EC = 4，求x 的值． 【分析】（1） AP = x ，BQ = y ，要求y 关于x 的函数解析式，而AP 、BQ 在不同的三角形中， 则容易想到ABP ∆∽MQB ∆，从而根据线段的比例关系求得y 与x 的关系式；当Q 点与点C 重合时，x 取得最小值；当点P 运动到D 点时，x 取得最大值； （2）由两圆外切可得AP QC PQ BQ +==，可解得x ；（3）先根据题意将图形画出，如图，由EF = EC ，可得12∠=∠，又34∠=∠，35∠=∠， 可得15∠=∠，所以CEQ ∆∽ABP ∆，再根据线段的对应成比例可求得x 的值． 【解答】（1）在Rt ABP ∆中，222225BP AP AB x =+=+，∵MQ 是线段BP 的垂直平分线，∴BQ = PQ ，BM =12BP ，∠BMQ = 90°，∴∠MBQ +∠BQM = 90°，∵∠ABP +∠MBQ = 90°，∴∠ABP =∠BQM ， 又∵∠A =∠BMQ = 90°， ∴ABP ∆∽MQB ∆， ∴BP AP BQ BM =，即12BP x y BP =，化简得：()22112522y BP x x x ==+． 当点Q 与点C 重合时，BQ = PQ = 13， 在Rt PQD ∆中，222PQ QD PD =+， 即()22213513x =+-，解得：x = 1； 又∵13AP AD ≤=，∴113x ≤≤．∴()21252y x x =+（113x ≤≤）．8 / 14ABCDPQN（2）当⊙P 与⊙Q 相外切时，如图所示：设切点为N ， 则PQ = PN + QN = AP +（BC -BQ ） =()1313x y x y +-=+-；∵PQ = BQ ，∴13x y y +-=，即2130y x --=； 将()21252y x x =+代入上式，可解得：x =2513，故当x =2513时，以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半 径的⊙Q 外切；（3）按题意画出图形，如图所示，联结QE ， ∵EF = EC ，EF PQ ⊥，EC QC ⊥ ∴12∠=∠， ∵PQ = BQ ， ∴34∠=∠，而1234∠+∠=∠+∠， ∴13∠=∠．又∵矩形ABCD ，∴AD // BC ， ∴35∠=∠，∴15∠=∠， 又∵90C A ∠=∠=︒， ∴CEQ ∆∽ABP ∆， ∴CQ EC AP AB =，即1345y x -=，化简得：4565x y +=， 将()21252y x x=+代入上式，解得：65102613x ±=， 故当65102613x ±=时，EF = EC = 4．ABCD PQMF E12 34 5A BCDEF OPQ 【例5】 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD // AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD上，且DQ = OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），AB = 20，cos ∠AOC =45．设OP = x ，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP = OQ ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长． 【分析】（1）要证AP = OQ ，分析条件中与这两条线段有关的条件为“DQ = OP ”，故想到联结 OD ，证明AOP ∆≌ODQ ∆，即可得证；（2）要表达CPF ∆的面积，由CD // AB 可得PFC ∆∽PAO ∆，只需表达出PAO ∆的面 积，根据2AOPy CP S OP ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求y 关于x 的函数关系式； （3）根据直角三角形分别对三个内角分别为90°的情况进行分类讨论．【解答】（1）联结OD ，易得：AO = OD ；∵CD // AB ，∴AOC C ODQ ∠=∠=∠， ∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP = OQ ；（2）作PH OA ⊥，∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆==； 又∵PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210AOPy CP x S OP x ∆-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即：2360300x x y x -+=（501013x <<）． （3）当90POE ∠=︒时，25cos 2OC CQ QCO ==∠，72OP DQ CD CQ ==-=（舍）； 当90OPE ∠=︒时，cos 8OP AO COA =∠=； 当90OEP ∠=︒时，AOQ DQO APO ∠=∠=∠，∴AOC AEO ∠=∠，即OEP COA ∠=∠，此种情况不存在； ∴线段OP 的长为8．ABCDEF OPQ H10 / 14A BCD E F G【例6】 如图所示，梯形ABCD 中，AB // DC ，90B ∠=︒，AD = 15，AB = 16，BC = 12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ， 且AGE DAB ∠=∠． （1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、点D 重合），设 AE = x ，DF = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取 值范围． 【分析】（1）过点D 作线段AB 的垂线段，即可求得CD 的长；（2）由AGE DAB ∠=∠可得AEG ∆∽DEA ∆，所以DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形， 分两种情况进行讨论：AE = AD 或AE = DE ；（3）由AE = x 可表达DE 的长，根据AEG ∆∽DEA ∆可表达EG 的长，再根据DF DGAE EG=可表达DF 的长，即得y 与x 的函数关系式；对于x 的取值范围，从两点出发：F 在边 CD 上，y 的值大于0． 【解答】（1）过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ；在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，AD = 15，DH = 12； ∴229AH AD DH =-=；又∵AB = 16，∴7CD BH AB AH ==-=；（2）∵AEG DEA ∠=∠，又AGE DAE ∠=∠，∴AEG ∆∽DEA ∆；由AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，可得DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形；○1若AE = AD ，∵AD = 15 ∴AE = 15； ○2若AE = DE ，过点E 作EQ AD ⊥，垂足为Q ，∴11522AQ AD ==； 在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，3cos 5AH DAH AD ∠==； 在Rt AEQ ∆中，90AQE ∠=︒，3cos 5AQ QAE AE ∠==；∴252AE =； 综上所述：当AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252；（3）在Rt DHE ∆中，90DHE ∠=︒，DE = ∵AEG ∆∽DEA ∆，∴AE EGDE AE =，∴2EG∴2DG ；∵DF // AE ，∴DF DGAE EG=，即()2222129x x y x x +--=； ∴22518x y x -=，x 的取值范围为2592x <<．12 / 14ABCDEP【作业1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．半径为1的A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1） 当30B ∠=︒时，连结AP ，若AEP ∆与BDP ∆相似，求CE 的长； （2）若CE = 2，BD = BC ，求BPD ∠的正切值；（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE = x ，ABC ∆的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式． 【分析】（1）∠B = 30°可得∠BAC = 60°，从而得到∠EPC = 30°，BDP ∆为等腰三角形，根据AEP ∆与BDP ∆相似可得，AE = EP ，即得AC 的长；（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，设AQ = a ，BD = x ，可利用AD AQAB AC=表达出a 与x 的关系，则在在Rt ADQ ∆中，DQ 可用x 表示，再根据DQ ADBC AB=可求得x 的值，即BD 和BC 的长度；要求BPD ∠的正切值，由于CE 已知，则要求CP 的长度，过点C 作 CF // DP ，由于AD = AE 可得AF = AC ，从而得到BF 的长，根据BFC ∆∽BDP ∆，可 求得CP 的长，即得BPD ∠的正切值；（3）过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，设AQ = a ，由1tan 3BPD ∠=可表达DQ ，在Rt ADQ ∆ 中，根据勾股定理可求得a 的值；在根据ADQ ∆∽ABC ∆，CE = x 可表达AB 、BC ，从 而可求得y 关于x 的函数关系式． 【解答】（1）解：∵∠B = 30°，∠ACB = 90°，∴∠BAC = 60°， ∵AD = AE ，∴∠AED = 60°=∠CEP ， ∴∠EPC = 30° ∴BDP ∆为等腰三角形 ∵AEP ∆与BDP ∆相似∴∠EAP =∠EP A =∠DBP =∠DPB = 30°， ∴AE = EP = 1， ∴在Rt ECP ∆中，EC =12EP =12；课后作业（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ = a ，BD = x ， ∵AE = 1，EC = 2，∴3QC a =-； ∵∠ACB = 90°，∴ADQ ∆∽ABC ∆，∴AD AQ AB AC = 即113a x =+，∴31a x =+, ∵在Rt ADQ ∆中，2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭，∵DQ ADBC AB=，∴228111x x x x x +-+=+， 解之得：x = 4，即BC = 4； 过点C 作CF // DP ，∴ADE ∆∽AFC ∆，∴AE AD AC AF =，即AF = AC ，即DF = EC = 2， ∴BF = DF = 2；∵BFC ∆∽BDP ∆， ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC = CP = 4， ∴tan ∠BPD =2142EC CP ==； （3）过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则DQE ∆∽PCE ∆，设AQ = a ，则1QE a =-， ∴QE DQ EC CP =，且1tan 3BPD ∠=，∴()31DQ a =-． ∵在Rt ADQ ∆中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+， 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得1a =（舍去），45a = ∵ADQ ∆∽ABC ∆，∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++， ∴554x AB +=，334xBC +=， ∴ABC ∆的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+， 即：33y x =+，其中x > 0．ABCDE PFQ14 / 14ABCDEFG P 【作业2】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB = 5，BC = 8，cosB =45，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长； （2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长； （3）当AGE ∆是等腰三角形时，求圆C 的 半径长． 【分析】（1）当圆C 经过点A 时，CP = AC ，过点A 作BC 的垂线段AH 即可求AC ； （2）当AP //CG 时，易得四边形APCE 22AH PH CP +，可求得CP 的长，既而可以求得EF ；（3）AEG DEC ∆∆∽，再进行分类讨论等腰的情况，即可求出圆C 的长．【解答】（1）作AH ⊥BC 于H ．∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．∴225AC AH CH =+， ∴CP = AC = 5； （2）∵AP //CG ，∴APCE 为平行四边形， 又∵CE = CP ，∴APCE 为菱形．设CP = x ，则AP = CP 22AH PH CP +． ()294x x +-=，解得：258x =，∴74EF =；（3）设AE t =，则()294CE t =+- ∵AEG DEC ∆∆∽，∴58t AG t =-，()2948t GE t t =+--分情况讨论：① AE = AG ，解得：3t =；② AE = GE ，解得：398t =，E 在F 点右边，舍去；③ AG = GE ，解得：0t =或8t =，均不可能，舍去． 当AE = 3时，10CE故当AGE ∆是等腰三角形时，圆C 10。

ABCD FE G S 3 S 2S 1 一模冲刺（二）1．关于二次函数()21y a x =+的图像，下列说法中，正确的是（ ）A ．是一条开口向上的抛物线；B ．顶点坐标为()1,0；C ．可以由二次函数2y ax =的图像向上平移一个单位得到；D ．可以由二次函数2y ax =的图像向左平移一个单位得到．答案：D2．已知△ABC 与△D E F 相似，且A D ∠=∠,那么下列结论中，一定成立的是（ ）A ．B E ∠=∠； B ．A B A C D ED F=； C ．相似比为A B D E；D ．相似比为B C E F．答案：D3. 如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，其中甲船沿北偏 西30︒方向航行，乙船沿南偏西70︒方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A 、B 处， 那么点B 位于点A 的（ ）A ．南偏西40︒；B ．南偏西30︒；C . 南偏西20︒；D .南偏西10︒．答案：C .4. 如图，D 、E 、F 、G 是△ABC 边上的点，且D E ∥F G ∥B C ，D E ，F G 将△ABC 分成三个部分，它们的面积比为123::1:2:3S S S =，那么::D E F G B C = .答案：15．如图1，已知抛物线2y x =，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点()1,3A ,那么平移后的抛物线的表达式是 ． 答案：22+=x y6．已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线1x =左侧的部分，图像下降，在直线1x =右侧的部分，图像上升，试写出一个符合要求的二次函数解析式 ． 答案：（-3，2）D CB A 7．已知A 、B 是抛物线221y x x =+-上的两点（A 在B 的左侧），且A B 与x 轴平行，4A B =，则点A 的坐标为 ．答案：x x y 22-=(答案不唯一)．8．如图，D 是△ABC 内一点，且∠A D C =∠BD A =∠B D C ,如果2AD =，3B D =，∠ABC =60︒，那么C D = .答案：92；9.已知函数()2230y ax ax a =-+>图像上点()2,n 与()3,m ，则n m . （填“>,<或无法确定”） 答案：<；10．已知抛物线x x y 62+=，点()2,A m 与点(),4B n 关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于 ． 答案：-411．如图3，已知△ABC 中，90A C B ∠=︒，D 是边A B 的中点，C E A B ⊥，垂足为点E ，3sin 5D CE ∠=，则cot A = ．CAD EB答案：212．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形O A B C ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结O B ，将△ABC 沿直线O B 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为 ．答案：54,53(-13．如图，河流两岸a ，b 互相平行，C ，D 是河岸a 上间隔50米的两个电线杆．小英在河岸b 上的A 处测得 ∠DAB =30°，然后沿河岸走了100米到达B 处，测得∠CBM =60°，求河流的宽度．14．已知：如图，在△ABC 中，A B A C =，D E ∥B C ，点F 在边A C 上，D F 与B E 相交于点G ，且∠E D F =∠A B E ． 求证：（1）△D E F ∽△BD E ；（2）D G D F D B EF ⋅=⋅．答案：证明：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．…………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠ABC +∠BDE =180°，∠ACB +∠CED =180°．……………（1分）∴∠BDE =∠CED ．………………………………………………………………（1分） ∵∠EDF =∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ．………………………………………（2分） （2）由△DEF ∽△BDE ，得EFDE DEDB =．………………………………………（1分）∴EF DB DE⋅=2．………………………………………………………………（1分）由△DEF ∽△BDE ，得∠BED =∠DFE ．………………………………………（1分） ∵∠GDE =∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．………………………………………（1分） ∴DFDE DEDG =．……………………………………………………………………（1分）∴DFDG DE⋅=2．………………………………………………………………（1分）∴EF DB DF DG ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）B D Cab A第22题图MC（第23题图）15．已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数)0(2>+-=b c bx x y 的图像经过点()1,A b -，与y 轴相交于点B ，且∠ABO 的余切值为3．（1）求点B 的坐标； （2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图像的顶点为C ，求证：∠AC B =∠ABO ．解：（1）根据题意，得b =1+b +c ．……………………………………………………（1分）∴c = -1．…………………………………………………………………………（1分）∴B （0，-1）．……………………………………………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ． ∵∠ABO 的余切值为3，∴3cot ==∠AHBH ABO ．……………………………（1分）而AH =1，∴BH =3．∵BO =1，∴HO =2．………………………………………………………………（1分） ∴b =2．……………………………………………………………………………（1分） ∴所求函数的解析式为122--=x x y ．………………………………………（1分） （3）由2)1(1222--=--=x x x y ，得顶点C 的坐标为（1，-2）．…………（1分） ∴52=AC ，10=AB ，2=BC ，5=AO ，BO =1．…………………（1分） ∴2===BOBC AOAB ABAC ．………………………………………………………（1分）∴△ABC ∽△AOB ．………………………………………………………………（1分） ∴∠ACB =∠ABO ． ………………………………………………………………（1分）16. 已知二次函数()2230y ax ax a a =-->.（1）求此二次函数图像与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；（2）若此二次函数图像与y 轴交于点C ，且△A O C ∽△C O B （字母依次对应）. ①求a 的值；②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标.解：（1）令2230ax ax a --=----------------------------------（1分） 解得11x =-，23x =----------------------------------（2分） 所以A （1-，0），B （3,0）. ----------------------------（1分）（2）①易知()0,3C a -，由△AOC ∽△COB ，------------------（1分） 则O A O C O CO B=，即1333a a=，------------------------------（2分）解得3a =. ----------------------------------（1分）②此时函数解析式为233y x =--设函数图像上两点2(33t --，2())33t t t -----，----------------------------------------------------------（1分）由两点关于原点中心对称，得：233--2()()33t t ----------------（1分）解得t =------------------------------------------（1分）∴这两个点的坐标为)2-与()2.------------------（1分）17．如图，已知抛物线2y x bx c =-++过点()2,0A ，对称轴为y 轴，顶点为P ． （1）求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像；（2）把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位（0m >），记新抛物线的顶点为B ，与y 轴的交点为C ．①试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标；②若45O B C ∠=︒，试求m 的值．解：(1)∵抛物线c bx x y ++-=2过点A(2，0)，对称轴为y 轴∴ b=0，c=4 ∴42+-=x y P(O ，4) 大致图像如图。

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题02函数概念（60题）一．选择题（共20小题）1．（2022秋•浦东新区校级期末）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝2x2﹣7D．2．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜03．（2022秋•杨浦区校级期末）在直角坐标平面内，如果抛物线y＝﹣x2﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位4．（2022秋•嘉定区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x+2B．C．y＝（2x﹣1）2﹣4x2D．y＝2﹣3x25．（2022秋•青浦区校级期末）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）x…﹣10123…y…3430…A．﹣1B．3C．4D．06．（2022秋•金山区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝﹣3x+5B．y＝2x2C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝7．（2022秋•黄浦区期末）二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（2022秋•徐汇区期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（）A ．y ＝ax 2+bx +cB ．y ＝C ．y ＝x （x +1）D ．y ＝（x +2）2﹣x 29．（2022秋•杨浦区期末）抛物线y ＝﹣3（x +1）2+2的顶点坐标是（）A ．（1，2）B ．（1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，﹣2）10．（2022秋•杨浦区期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x +m ）2+k （a ＜0）．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（）第一次训练数据水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A ．23.20cmB ．22.75cmC ．21.40cmD ．23cm11．（2022秋•浦东新区期末）已知抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3，那么它的顶点坐标是（）A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（2.1）D ．（2，3）12．（2022秋•闵行区期末）抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）13．（2022秋•徐汇区期末）函数的图象经过的象限是（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限14．（2022秋•青浦区校级期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A ．c ＜0B ．b ＞0C ．b 2﹣4ac ＜0D ．a +b +c ＝015．（2022秋•黄浦区期末）关于抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A ．抛物线在直线x ＝﹣1右侧的部分是上升的B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的16．（2022秋•黄浦区校级期末）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）217．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）18．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞019．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．b＝﹣2a二．填空题（共33小题）21．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是．22．（2022秋•闵行区期末）已知f（x）＝x2+2x，那么f（1）的值为．23．（2022秋•闵行区期末）抛物线y＝2x2在对称轴的左侧部分是的（填“上升”或“下降”）．24．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是．25．（2022秋•嘉定区校级期末）二次函数y＝﹣x2+4x+a图象上的最高点的横坐标为．26．（2022秋•浦东新区校级期末）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．27．（2022秋•徐汇区期末）如果抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），那么k的值是．28．（2022秋•青浦区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+1图象的对称轴是直线．29．（2022秋•青浦区校级期末）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．30．（2022秋•徐汇区期末）抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴交点的坐标为．31．（2022秋•徐汇区期末）二次函数y＝x2﹣6x图象上的最低点的纵坐标为．32．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝．33．（2022秋•黄浦区校级期末）沿着x轴正方向看，抛物线y＝x2﹣2在y轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．34．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝2x2+3x与y轴的交点坐标是．35．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝﹣x2+2x在直线x＝1右侧的部分是（从“上升的”或“下降的”中选择）．36．（2022秋•徐汇区校级期末）某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为米．37．（2022秋•杨浦区校级期末）二次函数y＝5x2﹣10x+5的图象的顶点坐标是．38．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数y＝f（x）图象的对称轴是直线x＝1，如果f（2）＞f（3），那么f（﹣1）f（0）．（填“＞”或“＜”）39．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y1）、B（﹣1，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．40．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．41．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为．42．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值为．43．（2022秋•青浦区校级期末）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是．（填“上升”或“下降”）44．（2022秋•徐汇区校级期末）在直角坐标平面内，把抛物线y＝（x+1）2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的解析式是．45．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是．46．（2022秋•徐汇区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+bc的图象不经过象限．47．（2022秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为．48．（2022秋•浦东新区校级期末）将抛物线y＝x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是．49．（2022秋•浦东新区校级期末）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线．50．（2022秋•浦东新区期末）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．51．（2022秋•黄浦区期末）如果一个二次函数的图象的对称轴是y轴，且这个图象经过平移后能与y＝3x2+2x重合，那么这个二次函数的解析式可以是．（只要写出一个）52．（2022秋•徐汇区期末）抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为．53．（2022秋•静安区期末）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．三．解答题（共7小题）54．（2022秋•徐汇区期末）在直角坐标平面内，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（1，﹣5）和点B（﹣1，3）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标．55．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+m．（1）如果抛物线经过点（1，9），求该抛物线的对称轴；（2）如果抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，求m的值．56．（2022秋•徐汇区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．57．（2022秋•嘉定区校级期末）已知抛物线y＝x2+bx经过点A（4，0），顶点为点B．（1）求抛物线的表达式及顶点B的坐标；．（2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求SΔABC 58．（2022秋•徐汇区校级期末）已知二次函数图象与x轴两个交点之间的距离是4个单位，且顶点M为（﹣1，4），求二次函数的解析式、截距，并说明二次函数图象的变化趋势．59．（2022秋•闵行区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点A，其顶点坐标为B．（1）求直线AB的表达式；（2）将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位后得到的新抛物线的顶点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，求∠ACB的余切值．60．（2022秋•金山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（2，0），和点C（0，﹣4）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）P为抛物线第四象限上的一个动点，连接AP交线段BC于点G，如果AG：GP＝3，求点P的坐标．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题02函数概念（60题）一．选择题（共20小题）1．（2022秋•浦东新区校级期末）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝2x2﹣7D．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．2．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．（2022秋•杨浦区校级期末）在直角坐标平面内，如果抛物线y＝﹣x2﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位【分析】根据抛物线顶点的平移路径即可判断．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2﹣1的顶点为（0，﹣1），抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），从（0，﹣1）到（0，0）是向上平移1个单位，∴抛物线是向上平移1个单位，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移要看顶点的平移；横坐标改变是左右平移，纵坐标改变是上下平移．4．（2022秋•嘉定区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x+2B．C．y＝（2x﹣1）2﹣4x2D．y＝2﹣3x2【分析】根据二次函数的标准形式y＝ax2+bx+c（a≠0），从选项中直接可以求解．【解答】解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∴y＝2﹣3x2是二次函数，故选：D．【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）x…﹣10123…y…3430…A．﹣1B．3C．4D．0【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2022秋•金山区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝﹣3x+5B．y＝2x2C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．函数是二次函数，故本选项符合题意；C．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．7．（2022秋•黄浦区期末）二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先将该抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，即可得到该顶点位于哪个象限．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3，∴该函数的顶点坐标为（﹣2，﹣3），该顶点位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是求出该抛物线的顶点坐标．8．（2022秋•徐汇区期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝C．y＝x（x+1）D．y＝（x+2）2﹣x2【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝x（x+1）＝x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．9．（2022秋•杨浦区期末）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2+2，∴顶点为（﹣1，2），故选：C ．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．10．（2022秋•杨浦区期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x +m ）2+k （a ＜0）．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（）第一次训练数据水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A ．23.20cmB ．22.75cmC ．21.40cmD ．23cm【分析】根据表格中数据求出顶点坐标即可．【解答】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），∴k ＝23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，故选：A ．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．11．（2022秋•浦东新区期末）已知抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3，那么它的顶点坐标是（）A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（2.1）D ．（2，3）【分析】抛物线的表达式已经是顶点式的形式，直接写出顶点坐标即可．【解答】解：∵抛物线的表达式是y ＝2（x ﹣1）2+3，∴它的顶点坐标是（1，3），故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题比较简单．12．（2022秋•闵行区期末）抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．【解答】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标是（0，0），将该顶点向下平移3个单位长度所得的顶点坐标是（0，﹣3）．故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区期末）函数的图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】由y＝（）2＝x2，＞0，可知函数的图象为开口向上，顶点在原点的抛物线，故经过的象限是第一、二象限．【解答】解：y＝（）2＝x2，∵a＜0，∴＞0，∴函数的图象为开口向上，顶点在原点的抛物线，∴经过的象限是第一、二象限．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象，先求出解析式，再确定出抛物线的开口方向和顶点坐标是解题的关键．14．（2022秋•青浦区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．c＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＝0【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，该函数图象与y轴交于正半轴，故c＞0，则选项A错误，不符合题意；对称轴位于y轴左侧，a＜0，则b＜0，故选项B错误，不符合题意；图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意；当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（2022秋•黄浦区期末）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分先下降，后上升，故选项A、B错误，不符合题意；抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．（2022秋•黄浦区校级期末）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．17．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）【分析】分别计算自变量为1、﹣1、﹣3、3所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：当x＝1时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；当x＝﹣1时，y＝x2﹣8x﹣9＝0；当x＝﹣3时，y＝x2﹣8x﹣9＝24；当x＝3时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；所以点（1，﹣16）在二次函数y＝x2﹣8x﹣9的图象上．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．18．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c 的符号．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，a＞0；对称轴在y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．19．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到c＞0，由对称轴为x＝＞0可以推出b的取值范围，然后根据象限的特点即可得出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0，根据第二象限特点：x＜0，y＞0，可知点P在第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定以及第二象限的特点，难度适中．20．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．b＝﹣2a【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．【解答】解：A．由图可知：抛物线开口向下，∴a＜0，故A错误，不符合题意；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，故C错误，不符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，故D正确，符合题意；∵a＜0，﹣＝1，∴b＞0，故B错误，不符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．二．填空题（共33小题）21．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是k＞2．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，∴k＞2，故答案为：k＞2．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．22．（2022秋•闵行区期末）已知f（x）＝x2+2x，那么f（1）的值为3．【分析】本题所求f（1），就是求当x＝1时，x2+2x的值．【解答】解：f（1）＝1+2＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了函数值，解本题的关键是要理解f（x）的含义．23．（2022秋•闵行区期末）抛物线y＝2x2在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：因为a＝2＞0，所以抛物线y＝2x2在对称轴左侧部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是a＜﹣2．【分析】根据抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．25．（2022秋•嘉定区校级期末）二次函数y＝﹣x2+4x+a图象上的最高点的横坐标为﹣2．【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，∴二次函数图象上的最高点的横坐标为：﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．26．（2022秋•浦东新区校级期末）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣29；当x＝0时，y2＝﹣2（x﹣1）2+3＝1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．27．（2022秋•徐汇区期末）如果抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），那么k的值是1．【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k．【解答】解：∵抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），∴﹣k2+2＝1，解得：k＝±1，∵k+1≠0，∴k＝1，故答案为1．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式的知识点，解答本题的关键是理解抛物线与y轴的交点问题，本题难度不大．28．（2022秋•青浦区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+1图象的对称轴是直线x＝2．【分析】首先把二次函数的解析式进行配方，然后根据配方的结果即可确定其对称轴，也可以利用公式确定对称轴．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y＝x2﹣4x+1图象的对称轴是直线x＝2．故答案为：x＝2．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用配方法确定对称轴，或者利用公式确定抛物线的对称轴．29．（2022秋•青浦区校级期末）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是a＜0．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可知a＜0．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最高点，∴a＜0，故答案为：a＜0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．30．（2022秋•徐汇区期末）抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴交点的坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，即得抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴的交点．【解答】解：∵当x＝0时，抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴相交，∴把x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+3，求得y＝3，∴抛物线y＝﹣x2+3x﹣3与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．31．（2022秋•徐汇区期末）二次函数y＝x2﹣6x图象上的最低点的纵坐标为﹣9．【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解即可．【解答】解：∵y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴抛物线最低点坐标为﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．32．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝﹣1．【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m﹣1≠0．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1，又二次项系数m﹣1≠0，∴m＝﹣1．故本题答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键，判断二次项系数不为0是难点．33．（2022秋•黄浦区校级期末）沿着x轴正方向看，抛物线y＝x2﹣2在y轴左侧的部分是下降的（填“上升”或“下降”）．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2的开口向上，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，∴抛物线y＝x2﹣2在y轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．34．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝2x2+3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2+3x+5与y轴的交点坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝0，∴抛物线y＝2x2+3x与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．35．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝﹣x2+2x在直线x＝1右侧的部分是上升的（从“上升的”或“下降的”中选择）．【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，即抛物线y＝x2﹣2x在直线x＝1右侧的部分是上升的，故答案为：上升的．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．36．（2022秋•徐汇区校级期末）某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为2米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，∴小红此次实心球训练的成绩为10米．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．37．（2022秋•杨浦区校级期末）二次函数y＝5x2﹣10x+5的图象的顶点坐标是（1，0）．【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解．【解答】解：∵y＝5x2﹣10x+5＝5（x2﹣2x+1）＝5（x﹣1）2，∴二次函数y＝5x2﹣10x+5的图象的顶点坐标是（1，0），故答案为：（1，0）．【点评】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键．38．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数y＝f（x）图象的对称轴是直线x＝1，如果f（2）＞f（3），那么f（﹣1）＜f（0）．（填“＞”或“＜”）【分析】由对称轴直线x＝1，f（2）＞f（3）可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，从而判断在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故可判断f（﹣1）＜f（0）．【解答】解：∵对称轴直线x＝1，f（2）＞f（3），。

DCBAABCD FE G S 3 S 2S 1 一模冲刺（二）1．关于二次函数()21y a x =+的图像，下列说法中，正确的是（ ）A ．是一条开口向上的抛物线；B ．顶点坐标为()1,0；C ．可以由二次函数2y ax =的图像向上平移一个单位得到；D ．可以由二次函数2y ax =的图像向左平移一个单位得到．答案：D2．已知△ABC 及△DEF 相像，且A D ∠=∠,那么下列结论中，肯定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠； B ．； C ．相像比为AB DE ；D ．相像比为BCEF． 答案：D3. 如图，甲、乙两船同时从港口O 动身，其中甲船沿北偏 西30︒方向航行，乙船沿南偏西70︒方向航行，已知两船的航行速度一样，假如1小时后甲、乙两船分别到达点A 、B 处， 那么点B 位于点A 的（ ）A ．南偏西40︒；B ．南偏西30︒；C . 南偏西20︒；D .南偏西10︒． 答案：C .4. 如图，D 、E 、F 、G 是△ABC 边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，DE ，FG 将△ABC 分成三个局部，它们的面积比为123::1:2:3S S S =，那么::DE FG BC = .答案：1；5．如图1，已知抛物线2y x =，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点()1,3A ,那么平移后的抛物线的表达式是 ． 答案：22+=x y6．已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线1x =左侧的局部，图像下降，在直线1x =右侧的局部，图像上升，试写出一个符合要求的二次函数解析式 ． 答案：（-3，2） 7．已知A 、B 是抛物线221y x x =+-上的两点（A 在B 的左侧），且AB 及x 轴平行，4AB =，则点A 的坐标为 ．答案：x x y 22-=(答案不唯一)．8．如图，D 是△ABC 内一点，且∠ADC =∠BDA =∠BDC ,假如2AD =，3BD =，∠ABC =60︒，那么CD = .答案：92； 9.已知函数()2230y ax ax a =-+>图像上点()2,n 及()3,m ，则n m . （填“>,<或无法确定”） 答案：<；10．已知抛物线x x y 62+=，点()2,A m 及点(),4B n 关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于 ． 答案：-411．如图3，已知△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，CE AB ⊥，垂足为点E ，，则cot A = ．CAD EB答案：212．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为 ．答案：13．如图，河流两岸a ，b 相互平行，C ，D 是河岸a 上间隔50米的两个电线杆．小英在河岸b 上的A 处测得 ∠DAB =30°，然后沿河岸走了100米到达B 处，测得∠CBM =60°，求河流的宽度．B D Ca bA 第22题图M14．已知：如图，在△ABC 中，AB AC =，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 及BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ． 求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅． 答案：证明：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．…………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠ABC +∠BDE =180°，∠ACB +∠CED =180°．……………（1分） ∴∠BDE =∠CED ．………………………………………………………………（1分） ∵∠EDF =∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ．………………………………………（2分）（2）由△DEF ∽△BDE ，得EFDEDE DB =．………………………………………（1分） ∴EF DB DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分） 由△DEF ∽△BDE ，得∠BED =∠DFE ．………………………………………（1分） ∵∠GDE =∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．………………………………………（1分） ∴DFDEDE DG =．……………………………………………………………………（1分） ∴DF DG DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分） ∴EF DB DF DG ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）15．已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数)0(2>+-=b c bx x y 的图像经过点()1,A b -，及y 轴相交于点B ，且∠ABO 的余切值为3．（1）求点B 的坐标； （2）求这个函数的解析式；（3）假如这个函数图像的顶点为C ，求证：∠ACB =∠ABO ．解：（1）依据题意，得b =1+b +c ．……………………………………………………（1分）∴c = -1．…………………………………………………………………………（1分） ∴B （0，-1）．……………………………………………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ．∵∠ABO 的余切值为3，∴3cot ==∠AHBHABO ．……………………………（1分） 而AH =1，∴BH =3．∵BO =1，∴HO =2．………………………………………………………………（1分） ∴b =2．……………………………………………………………………………（1分）BC（第23题图）∴所求函数的解析式为122--=x x y ．………………………………………（1分） （3）由2)1(1222--=--=x x x y ，得顶点C 的坐标为（1，-2）．…………（1分） ∴52=AC ，10=AB ，2=BC ，5=AO ，BO =1．…………………（1分）∴2===BOBCAO AB AB AC ．………………………………………………………（1分） ∴△ABC ∽△AOB ．………………………………………………………………（1分） ∴∠ACB =∠ABO ． ………………………………………………………………（1分）16. 已知二次函数()2230y ax ax a a =-->.（1）求此二次函数图像及x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；（2）若此二次函数图像及y 轴交于点C ，且△AOC ∽△COB （字母依次对应）. ①求a 的值；②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标.解：（1）令2230ax ax a --=----------------------------------（1分） 解得11x =-，23x =----------------------------------（2分） 所以A （1-，0），B （3,0）. ----------------------------（1分）（2）①易知()0,3C a -，由△AOC ∽△COB ，------------------（1分） 则，即，------------------------------（2分）解得（舍负）. ----------------------------------（1分）②此时函数解析式为233y x x =--设函数图像上两点，2(,))33t t t ----， ----------------------------------------------------------（1分）由两点关于原点中心对称，得：=2()()33t t ---------------（1分）解得t =------------------------------------------（1分）∴这两个点的坐标为)2-及()2.------------------（1分）17．如图，已知抛物线2y x bx c =-++过点()2,0A ，对称轴为y 轴，顶点为P ．（1）求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像；（2）把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位（0m >），记新抛物线的顶点为B ，及y 轴的交点为C ．①试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标；②若45OBC ∠=︒，试求m 的值．yxO A解：(1)∵抛物线c bx x y ++-=2过点A(2，0)，对称轴为y 轴∴ b=0，c=4 ∴42+-=x y P(O ，4) 大致图像如图。