高中数学必修一《1.3.4 集合运算的逆向思维与用韦恩图解题》学案

第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算【素养目标】1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算) 4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)【学法解读】1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．2．要注意结合实例，运用数轴、V enn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．1.3.1 并集与交集必备知识·探新知基础知识(3)A⊆B (4)B⊆A(5)A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集.：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．知识点二交集(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)(3)A⊆B，则A∩B＝A(4)B⊆A，则A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．知识点三并集与交集的性质(1)___A∩A＝A___，A∩∅＝∅.(2)____A∪A＝A____，A∪∅＝A．思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B 呢？提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(2)A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．基础自测1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(A) A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(D) A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，则M∩N＝(A)A．{x|－4<x<3}B．{x|－5<x<－4}C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}[解析]M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故选A．4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝____{1,6}________.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝___3__.[解析]因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.关键能力·攻重难题型探究题型一并集运算例1(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)画出数轴如图所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．[归纳提升]并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．【对点练习】❶ (1)已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,1,2,3,5}，则A ∪B ＝__{0,1,2,3,4,5}__. (2)若集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|－2<x<2}，则A ∪B ＝__{x|x>－2}___. [解析] (1)A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． (2)画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x|x>－2}．题型二 交集运算例2 (1)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x2＝x}则M∩N ＝( B ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1}D ．{0}(2)若集合A ＝{x|－2≤x≤3}，B ＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B 等于( D ) A ．{x|x≤3或x>4} B ．{x|－1<x≤3} C ．{x|3≤x<4}D ．{x|－2≤x<－1}(3)已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，则A∩B ＝___{(1,2)}__. [分析] (1)先求出集合N 中的元素再求M 、N 的交集．(2)借助数轴求A ∩B ．(3)集合A和B 的元素是有序实数对(x ，y )，A 、B 的交集即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7的解集．[解析] (1)N ＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N ＝{0,1}，故选B ．(2)将集合A 、B 表示在数轴上，由数轴可得A∩B ＝{x|－2≤x<－1}，故选D ．(3)A ∩B ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}∩{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7＝{(1,2)}． [归纳提升] 求集合A∩B 的方法与步骤 (1)步骤①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么．②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．【对点练习】❷(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x －1，x∈A}，则A∩B等于(A)A．{1,3}B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B ＝{1}，则集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故选A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．题型三集合的交集、并集性质的应用例3(1)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为___________.(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．①若A∩B＝B，求a的取值范围；②若A∪B＝B，求a的取值．[分析](1)把M∪N＝M转化为N⊆M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．[解析] (1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立．当N ≠∅时，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.缩上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． (2)由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴A ＝{0,2}． ①∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}． 当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，∴a <0；当B ＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝0，Δ＝4a ＝0，∴a ＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，Δ＝4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，Δ＝4a >0，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}． ②∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根， ∴A ＝B ，由①知a ＝1.[归纳提升] 利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及A ∩B ＝B 或A ∪B ＝A 的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．【对点练习】❸ 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，集合N ＝{x|x2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M∩N ，M ∪N ； (2)当M∩N ＝M 时，求实数m 的值． [解析] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x|x2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， ∴M∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M∩N ＝M ，∴M ⊆N ，∵M ＝{2}，∴2∈N ，∴2是关于x 的方程x2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.课堂检测·固双基1．设集合A ＝{x ∈N *|－1≤x ≤2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝( B ) A ．{－1,0,1,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－1,2}D ．{－1,3}[解析] 集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝{1,2,3}． 2．已知集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |x <1}，则A ∩B ＝( C ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <3} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |－3<x <3}[解析] A ∩B ＝{x |－3<x <3}∩{x |x <1}＝{x |－3<x <1}．故选C ．3．设集合A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( C )A ．{2,4,6}B ．{1,3,6}C ．{1,2,3,4,6}D ．{6}[解析] 图中阴影表示A ∪B ，又因为A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，所以A ∪B ＝{1,2,3,4,6}，故选C ．4．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是__a ≤1__. [解析] 利用数轴画图解题．要使A ∪B ＝R ，则a ≤1.5．已知集合A ＝{x |m －2<x <m ＋1}，B ＝{x |1<x <5}． (1)若m ＝1，求A ∪B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由m ＝1，得A ＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <5}．(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．显然A ≠∅.故有⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥1，m ＋1≤5，解得3≤m ≤4.∴实数m 的取值范围为[3,4]．素养作业·提技能A 组·素养自测一、选择题1．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{0}D ．{－2}[解析] 因为B ＝{－1,2}，所以A ∩B ＝{2}．2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5，或x >4}，则M ∪N ＝( A ) A ．{x |x <－5，或x >－3} B ．{x |－5<x <4} C ．{x |－3<x <4}D ．{x |x <－3，或x >5}[解析] 在数轴上分别表示集合M 和N ，如图所示，则M ∪N ＝{x |x <－5，或x >－3}．3．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N 等于( D ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}[解析] ∵M ，N 均为点集，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴M ∩N ＝{(3，－1)}．4．若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( A )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}[解析] A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分为A ∩B ，A ∩B ＝{2}．5．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( D ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}[解析] A ∩B ＝{1,2}，(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}，故选D ．6．(2019·武汉市高一调研)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( D )A ．{a |－1<a ≤2}B ．{a |a >2}C ．{a |a ≥－1}D ．{a |a >－1}[解析] 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1. 二、填空题7．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，C ＝{6,8}，则(C ∪A )∩B ＝__{2,6,8}__. [解析] ∵A ∪C ＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}， ∴(C ∪A )∩B ＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．8．若集合A ＝{x |3ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，且A ∪B ＝B ，则a 的值是__0，13，112__. [解析] 由题意知，B ＝{1,4}，A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13a ，∴13a ＝1或13a ＝4， ∴a ＝13或a ＝112.综上，a ＝0，13，112.9．已知集合A ＝{x |x <1，或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝__－4__.[解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6,2a －b ＝－4.三、解答题10．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B ．[解析] 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}．解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示．则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．11．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a 的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．综上可知a＝－1.B组·素养提升一、选择题1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(D)A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}[解析]∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，∴S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D．2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(D)A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}[解析]因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故选D．3．(多选题)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B可能为(AD) A．{1,2,5} B．{2,3,5}C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}[解析]集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，则B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误，故选AD．4．(多选题)已知集合A ＝{2,4，x 2}，B ＝{2，x }，A ∪B ＝A ，则x 的值可以为( ABC )A ．4B ．0C ．1D ．2 [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∴x ∈A ，∴x ＝4或x 2＝x ，由x 2＝x 解得x ＝0或1，当x ＝0时，A ＝{2,4,0}，B ＝{2,0}，满足题意．当x ＝1时，A ＝{2,4,1}，B ＝{2,1}，满足题意．当x ＝4时，A ＝{2,4,16}，B ＝{2,4}，满足题意．故选ABC ．二、填空题5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}，B ＝{0,1,2,3}，若A ∩B 有3个真子集，则a 的取值范围是__1≤a <2__.[解析] ∵A ∩B 有3个真子集，∴A ∩B 中有2个元素，又∵A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}， ∴1≤a <2.6．设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R }，若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为__t ≤2__.[解析] 当2t ＋1≤2－t 即t ≤13时，N ＝∅.满足M ∩N ＝N ； 当2t ＋1＞2－t 即t ＞13时，若M ∩N ＝N 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－t ≥－22t ＋1≤5，解得t ≤2.∴13＜t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是t ≤2.7．(2019·枣庄市第八中学考试)设集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为__{a |a ≤9}__.[解析] 由A ⊆(A ∩B )，得A ⊆B ，则(1)当A ＝∅时，2a ＋1>3a －5，解得a <6.(2)当A ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，解得6≤a ≤9.综合(1)(2)可知，使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为{a |a ≤9}．三、解答题8．已知集合M ＝{x |2x ＋6＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}．(1)当m ＝－4时，求M ∩N ，M ∪N ；(2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解析](1)M＝{－3}．当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}，则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝∅，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}．(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.由于M＝{－3}，则－3∈N，∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18.9．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？[解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。

重庆市万州分水中学高中数学 1.1.3 集合的基本运算（1）学案新人教A版必修1学习目标1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备二、（预习教材P8~ P9，找出疑惑之处）复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}B=.A=，{3,5,7,8}（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：=∈∈且{|,}.A B x x A x BVenn图如右表示.A B②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}或.=∈∈A B x x A x BVenn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ； （2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ；（3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝ ，A ∩B ＝ .（4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝ ；A ∪A ＝ .A ∩∅＝ ；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .BA AB B A A(B) A B B A变式：（1）若{(,)|46}B x y x y=+=，则A B=；A x y x y=+=，{(,)|43}（2）若{(,)|46}=+=，则A B= .B x y x yA x y x y=+=，{(,)|8212}反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练1. 设集合{|23},{|12}=-<<=<<.求A∩B、A∪B.A x xB x x练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B与B C的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C（）（）（），=（）（）（），=A B C A B A C（）（），=A B C A B C=（）（），A B C A B C（），（）.==A AB A A A B A你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}=∈≤=∈>那么A B等于（）.A x Z xB x Z x5,1,A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）.A. x =3, y =－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（ ）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则AB = . 课后作业1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点；（2）12L L =∅；（3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .。

1.1《集合（复习）》导学案【学习目标】1.承植橐合6勺交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2.能使用数轴分析、仏/加图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识链接】（复习教材/广凡，找出疑惑之处）复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？AHB = _________________________ :A UB = _________________________ :q A二 _______________________ •复习2：交、并、补有如下性质.AC\A= ________ ；AH 0 = _________ ；AUA= __________ ；AU 0=. ；人门（（7异）= __ ; AU（C u A）= _________5 （Q, A） = ______ .你还能写出一些吗？【学习过程】探典型例题例1 设庐R, A = {x\-5<x<5}, ^ = {x|0<x<7}.求AC B、AU B、C(j A、久B、(%) Q Q、(CuA)U(Cu®、5 (AU 3、GUM.小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得岀什么结论吗？例 2 已知全集1/ = {1,2,3,4,5},若AU3二"，ARBH0, A （1（0 = {1,2},求集合力、B.小结：列举法表示的数集问题用仏/加图示法、观察法.例 3 -4x+3 = 0j,Z?=|x|x2 -ar+ty-l = oj, C = |x x2 -nu4-1 = oj .fi.A\J B = A,AC}C = C ,求实数臼、刃的值或取值范围.变式：设y4 = {x|r-8x+15 = 0}, B = {x\ax-\ = 0},若BJ,求实数日组成的集合、.探动手试试练 1.设A = {x\x2-ax + 6 = 0}, B = {x\^-x+c = 0}f且〃门〃={2},求AU B.练2.已知用{刘攻-2或兀＞3},伊{刘仆+/水0},当A^B时，求实数刃的取值范围。

1.3 集合的基本运算学习目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.核心素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类.学习重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；2全集与补集的定义.学习难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．学习过程预习导入阅读课本，填写.1.并集一般地，由____________集合A__________集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集，记作：_________（读作：“________”）即：A∪B=________________.Venn图表示：2.交集一般地，由____________集合A____________集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B 的交集，记作：___________（读作：__________）即：A∩B=_______________.Venn图表示：3.全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的____________，那么就称这个集合为全集，通常记作_______.4.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：____________，即：C U A=____________. 补集的Venn图表示5.常用结论：（1）A∩B___A，A∩B___B，A∩A=___，A∩∅=___,A∩B___B∩A；（2）A___A∪B，B___A∪B，A∪A=___，A∪∅=___,A∪B___B∪A；（3）（C U A）∪A=___，（C U A）∩A=___；（4）若A∩B=A，则A___B，反之也成立；（5）若A∪B=B，则A___B，反之也成立.小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和. （）（2）当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集. （）（3）若A∪B=⌀,则A=B=⌀. （）（4）若A∩B=⌀,则A=B=⌀. （）（5）若A∪B=A∪C,则B=C. （）（6）∁A⌀=A. （）（7）∁U(A∪B)=(∁U A)∪(∁U B). （）2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}3．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B=()A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3}4．全集U＝{x|0＜x＜10}，A＝{x|0＜x＜5}，则∁U A＝________.自主探究例1（单一运算）1.求下列两个集合的并集和交集:(1) A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};(2) A={x|x+1>0},B={x|-2<x<2}；2.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝()A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}例2（混合运算）(1)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝() A．{2}B．{1，2，4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.例3（由并集、交集求参数的值）已知M＝{1,2，a2−3a−1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．例4（由并集、交集的定义求参数的范围）设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．例5（由交集、并集的性质求参数的范围）已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．变式．『变条件』把例5题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．当堂检测1．已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．{x|-1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|-1<x<0} D．{x|1<x<2}2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于()A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}4．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}5．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤27．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；(2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．——★参*考*答*案★——学习过程一、预习导入1.所有属于集合或属于集合A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B}2.属于且属于A∩B A交B {x|∈A，且x∈B}3.所有元素U4.不属于集合A C U A {x|x∈U，且x∉A}5.（1）⊆⊆A ∅=（2）⊆⊆A A=（3）U ∅（4）⊆（5）⊆小试牛刀1．(1) ×(2) ×(3) √ (4)×(5) ×(6) √(7) ×2．D3．A4.{x|5≤x＜10}自主探究例1『答案』见解析『解析』 1.(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-1<x<2}.2.因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3,5,6}．故选C.例2『答案』(1)B(2){x|x≤2，或x≥10}{x|2<x<3，或7≤x<10}『解析』(1)A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．(2)把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：由图知，A ∪B ＝{x |2<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}． ∵∁RA ＝{x |x <3，或x ≥7}，∴(∁RA )∩B ＝{x |2<x <3，或7≤x <10}． 例3『答案』见解析『解析』∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ；∴a 2−3a −1=3，即a 2−3a −4=0，，解得a ＝－1或4. 当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.例4『答案』见解析『解析』如图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3. 例5『答案』见解析『解析』∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当B ＝Ø时，k ＋1＞2k －1，∴k ＜2. ②当B ≠Ø，则根据题意如图所示：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3＜k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≤52. 变式．『答案』见解析『解析』∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3＜x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠Ø.由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈Ø，即当A ∩B ＝A 时，k 不存在． 当堂检测1-6．ABDADC 7．－3≤a <－18．解：(1)当a ＝10时，A ＝{x |21≤x ≤25}． 又B ＝{x |3≤x ≤22}，所以A ∩B ＝{x |21≤x ≤22}，A ∪B ＝{x |3≤x ≤25}． (2)由A ⊆(A ∩B )，可知A ⊆B ， 又因为A 为非空集合， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥3，3a －5≤22，2a ＋1≤3a －5，解得6≤a ≤9.。

1．3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标 1.理解并集、交集的概念；2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集；3.会求简单集合的并集和交集．知识点一并集思考某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？答案19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)图形语言：阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B ⊆B.类型一求并集、交集例1 (1)集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B ； (2)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B ；(3)集合A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝3}，求A ∪B ，A ∩B ，并说明其几何意义． 解 (1)可以借助数轴求，A ∪B 如图．A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |1<x <3} ＝{x |－1<x <3}． A ∩B ＝{x |1<x <2}．(2)集合A 由数轴上的无限多段组成．但我们只需取与B 有公共元素的，如下图．A ∩B ＝{x |2<x <3}．(3)A ∪B ＝{(x ，y )|x ＝2，或y ＝3}，几何意义是两条直线x ＝2，和y ＝3上所有点组成的集合． A ∩B ＝{(2,3)}，几何意义是两条直线x ＝2，和y ＝3的交点组成的集合．反思与感悟 在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A ∪B ＝A ，或A ∩B ＝B ，解答时常转化为B ⊆A ，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B ＝∅的情况，切记不可漏掉．跟踪训练1 (1)集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∪B ，A ∩B ； (2)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∪B ，A ∩B . 解 (1)A ∪B ＝{x |x <2或x >3}，A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．(3)A ∪B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2或y ＝x ＋3}，A ∩B ＝∅. 类型二 翻译集合语言例2 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B . 当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5， 解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4，或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．反思与感悟两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．跟踪训练2设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．答案a>－1解析如图，利用数轴分析可知，a>－1.类型三并集、交集的性质例3设想集合A、B、C的各种情形，A∩(B∩C)等于(A∩B)∩C吗？试证明你的结论．解可设想A、B、C相等，适合空集等各种情形．若x0∈A∩(B∩C)，依交集定义有x0∈A，且x0∈B∩C，∴x0∈A，且x0∈B，且x0∈C.∴x0∈A∩B，且x0∈C，∴x0∈(A∩B)∩C.即A∩(B∩C)⊆(A∩B)∩C.同理可证A∩(B∩C)⊇(A∩B)∩C.∴A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C.反思与感悟证明要紧扣定义，这是以后我们做证明题的共性．跟踪训练3猜想A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)吗？试证明你的结论．解若x0∈A∩(B∪C)，依并集，交集定义有x0∈A，且x0∈B∪C，∴x0∈A，且x0∈B，或x0∈C.若x0∈B，则x0∈A∩B，若x0∈C，则x0∈A∩C，∴x0∈(A∩B)∪(A∩C)，即A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)．同理可证A∩(B∪C)⊇(A∩B)∪(A∩C)．∴A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)．1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}答案B2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}答案C3．设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是()A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∩Q P D．P∩Q＝Q答案C4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A．∅B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案A5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案B1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．一、选择题1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}答案D解析M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，则M∪N＝{－2,0,2}．2．已知集合A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B答案B解析∵5>2，集合A，B在数轴上表示如图，易知A∪B＝R.3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0}D．{(0,1)，(1,0)}答案B解析∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．4．点集A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}，表示的区域是平面直角坐标系中第一、二、四象限和x，y轴的正半轴，故不可能在第三象限．5．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于()A．{x|1≤x<3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x<1或x>3}D．{x|0≤x≤1或x≥3}答案C解析由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．6．若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．{a |1<a <9} B ．{a |1≤a ≤9} C ．{a |6≤a <9} D ．{a |6<a ≤9}答案 D解析 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]． 二、填空题7．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有________个． 答案 2解析 ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ， 解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．8．设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 答案 {x |－1<x <3} {x |1<x <2}． 解析 在数轴上分别表示出集合A ，B ， 易知A ∪B ＝{x |－1<x <3}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤1解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 三、解答题11．已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，求实数a 的值．解 若a ＝4，则a 2＝16∉(A ∪B )，所以a ＝4不符合要求；若a 2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B )，∴a ＝2.12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}． ∴m －2＞3或m ＋2<－1.∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．13．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A 、B 、C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．第2课时补集及综合应用学习目标 1.理解全集、补集的概念；2.准确翻译和使用补集符号和Venn图；3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.类型一求补集例1(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B；(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．解(1)根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(2)根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U (A ∪B )＝{x |x 是直角三角形}．反思与感悟 研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U 来表示．跟踪训练1 设全集U ＝{1,3,5,6,8}，A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{6} B ．{5,8} C ．{6,8} D ．{3,5,6,8}答案 B解析 依据补集和交集的定义，用Venn 图表示或观察U ，A ，B 中的元素，可得∁U A ＝{3,5,8}，则(∁U A )∩B ＝{5,8}．类型二 准确翻译和使用补集符号和Venn 图例2 已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}， ∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}． 而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟 在解决问题时，从正面解决有时很复杂，这时就可用补集思想从反面考虑．而要用补集，就要能准确翻译和使用补集符号与Venn 图．跟踪训练2 如图所示的V enn 图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，则A *B ＝________________.答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}解析 A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}， 由图可得A *B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}． 类型三 集合的综合运算例3 设全集U ＝R ，A ＝{x |1x <0}．(1)求∁U A ；(2)若B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁U A ，求a 的取值范围． 解 (1)A ＝{x |1x <0}＝{x |x <0}，∴∁U A ＝{x |x ≥0}．(2)若2a ≥a ＋3，即a ≥3，则B ＝∅⊆∁U A . 若2a <a ＋3，即a <3，要使B ⊆∁U A ，需⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a ≥0，解得0≤a <3. 综上，a 的取值范围是{a |0≤a <3}∪{a |a ≥3}＝{a |a ≥0}．反思与感悟 求补集的前提是先确定全集，像本例全集为R ，而非“使1x 有意义的实数”，故∁U A ≠{x |1x≥0}．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥2解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}答案 C2．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4}答案 D3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．{x |－2<x ≤1} B ．{x |x ≤－4} C ．{x |x ≤1} D ．{x |x ≥1}答案 C4．设全集U ＝R ，下列集合运算结果为R 的是( ) A ．Z ∪∁U N B ．N ∩∁U N C ．∁U (∁U ∅) D ．∁U Q答案 A5．设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩(∁U N )＝{2,4}，则N 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4}答案 B1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .一、选择题1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4} 答案 C解析 ∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}，选C.2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M 等于( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x ≤－2或x ≥2} 答案 C解析 ∵M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴∁U M ＝{x |x <－2或x >2}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．2 答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2. 4．图中的阴影部分表示的集合是( )A．A∩(∁U B) B．B∩(∁U A)C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)答案B解析阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．因此，阴影部分所表示的集合为B∩(∁U A)．5．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则()A．∁U N⊆∁U M B．M⊆∁U NC．∁U M⊆∁U N D．∁U N⊆M答案C解析由M∩N＝N知N⊆M.∴∁U M⊆∁U N.6．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|0<x<2}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}答案B解析由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．二、填空题7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______.答案{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．8．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁U A.9．已知集合M，N，I的关系如图，则N∩(∁I M)＝________.答案解析∁I M对应的区域在大椭圆外，故与小椭圆没有公共部分．10．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．答案 m －n解析 ∵(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如图所示阴影部分，又∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．三、解答题11．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．解 将集合U ，A ，B 表示在数轴上，如图所示，因为A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x ＜－3或2＜x ≤4}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2＜x ＜3}．12．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A .当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，B ＝{－1m}． ∴－1m ＝－1，或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12. 综上，m 的值为0,1，－12. 13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解 ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．。

1.3 集合的基本运算【学习要求】1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算4.理解全集、补集的概念，准确翻译和使用补集符号和V enn图，并能解决一些集合综合运算的问题．【思维导图】【知识梳理】一、并集 1．并集的定义自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A 与B 的并集，记作A∪B A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }2.并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B . 二、交集定义文字语言一般地，由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集，记作A B ．(读作“A 交B ”)符号语言 AB ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图形语言性质(1)AA ＝A ，A ∅＝∅； (2)AB ＝B A ；(3)A B ⊆A ，A B ⊆B ； (4)A B ＝A ⇔A ⊆B ； (5)(AB )C ＝A(BC )； (6)(AB )⊆(AB )对交集的理解：(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素． (2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,3,4,5}，则AB ＝{2,3,4}，而不是AB ＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．(3)当集合A 和集合B 无公共元素时，不能说集合A ，B 没有交集，而是A B ＝∅．(4)定义中“x ∈A ，且x ∈B ”与“x ∈(A B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B 的元素组成的集合为AB ．而只属于集合A 或只属于集合B 的元素，不属于AB ．三、补集与全集(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U ． (2)补集定义文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ．符号语言 U A ＝{x |x∈U ，且x ∉A }图形语言性质(1)U A⊆U；(2)U U＝∅，U∅＝U；(3)U(U A)＝A；(4)A(U A)＝U；A(U A)＝∅对补集的理解：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)U A包含三层意思：①A⊆U；②U A是一个集合，且U A⊆U；③U A 是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈U A，二者必居其一．四、集合的运算(1)集合的基本运算①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．②当集合A，B都有无穷多个元素时，应注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．(2)集合的混合运算解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(U A)B时，先求出U A，再求交集；求U(A B)时，先求出A B，再求补集．注意以下规律：(1)①U(A B)＝(U A)(U B)，如图a；②U(A B)＝(U A)(U B)，如图b．(2).①A(B C)＝(A B)C．②A(B C)＝(A B)C．③A(B C)＝(A B)(A C)．④A(B C)＝(A B)(A C)．五、Venn图的应用(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：Ⅰ：A(U B)；Ⅱ：A B；Ⅲ：(U A)B；Ⅳ：(U A)(U B)(或U(A B))．(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，V enn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．利用Venn 图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn 图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．【高频考点】高频考点1. 并集的运算【方法点拨】求两个集合的并集的方法：①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果．②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．【例1】（2021·天津河西区·高二期末）设集合{|1M x x =>-或2}x <-，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤- D ．R 【答案】D【详解】解：∵集合{|1M x x =>-或2}x <-，集合{}2N x x =≥-， ∴M N ⋃=R ．故选：D ．【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）已知集合A =1122⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，B ={}2|,y y x x A =∈，A ∪B =_______． 【答案】1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，， 【详解】因为B ={y |y =x 2，x ∈A }=1144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，所以A ∪B =1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，． 故答案为：1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，【变式1-2】（2021·北京顺义区·高三二模）已知集合{}{}|||1,|02A x x B x x ==<，则A B =（ ）A ．{}|2x x <B ．{}|12x x -<C ．{|01}x xD ．{}|12x x -<【答案】D【详解】因为||1x ≤，所以11x -≤≤，所以{}{}|||1|11A x x x x =≤=-≤≤， 因为{}|02B x x =≤<，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：D.【变式1-3】[多选题]（2021•辛集市校级期中）已知集合A ＝{4，a }，B ＝{1，a 2}，a ∈R ，则A ∪B 可能是（ ） A ．{﹣1，1，4}B ．{1，0，4}C ．{1，2，4}D ．{﹣2，1，4}【解答】解：若A ∪B 含3个元素，则a ＝1或a ＝a 2或a 2＝4，a ＝1时，不满足集合元素的互异性，a ＝0，a ＝2或a ＝﹣2时满足题意，a ＝0时，A ∪B ＝{1，0，4}；a ＝2时，A ∪B ＝{1，2，4}；a ＝﹣2时，A ∪B ＝{4，﹣2，1}． 故选：BCD ．【变式1-4】（2021•天津月考）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，集合B ＝{x |x 2﹣ax +a ﹣1＝0}． （1）若A ＝B ，求a 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求a 的值．【解答】解：（1）A ＝{1，2}，∵A ＝B ，∴1，2∈B ，∴a ＝1+2＝3；（2）∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴①△＝a 2﹣4a +4＝（a ﹣2）2＝0，即a ＝2时，B ＝{1}，满足题意； ②△＞0时，1，2∈B ，∴a ＝3， 综上得，a ＝2或3．高频考点2 . 交集的运算【方法点拨】(1) 求集合A ∩B 的步骤①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A ∩B ”的形式；③把化简后的集合A 、B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2) 求集合A ∩B 的方法①若A 、B 的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A ∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A 、B 是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．【例2】（2021·广东高一期末）设集合{}53A x x =-<<，{}24120B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}65x x -<<-B ．{}52x x -<<C ．{}52x x -<<-D ．{}33x x -<< 【答案】B【详解】由不等式2412(6)(2)0x x x x +-=+-<，解得62x -<<，即{}62B x x =-<<，又由{}53A x x =-<<，可得AB ={}52x x -<<-.故选：B.【变式2-1】（2020·江苏高三一模）已知集合{}14,A x x x N =-<<∈，{}0,2,3,6,7B =，则AB =（ ） A ．{}0,6,7 B ．{}2,3C ．{}0,2,3D ．{}0,2,3,6,7【答案】C【详解】{}{}14,0,1,2,3A x x x N =-<<∈=，{}0,2,3,6,7B =，{0,2,3}AB =.故选：C.【变式2-2】（2021·山东济南市·高三模拟）已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝21x -，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 24-}，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【详解】∵集合M ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，∴M ∩N ＝{（x ，y ）|22104y x xy y x =-⎧⎨=-⎩，}＝∅．∴M ∩N 中的元素个数为0．故选：A ． 【变式2-3】[多选题]（2021•辛集市高一月考）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣2≤x ﹣1≤2}和N ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N *}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．3【解答】解：∵全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣2≤x ﹣1≤2}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N +}， ∴阴影部分表示的集合为M ∩N ＝{1，3}，∴阴影部分表示的集合中的元素有1，3， 故A 和B 均错误，C 和D 均正确．故选：CD ．【变式2-4】（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三模拟）集合()(){}1,22,3,M p p m m R ==+∈，()(){}3,21,1,N q q n n R ==+--∈，则MN =（ ）A ．(){}1,1--B ．(){}3,5C ．{}1,1--D ．{}3,5-【答案】A【详解】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合M 中，()12,23p m m =++，在集合N 中，()31,21q n n =--， 要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素， ∵元素是向量，要使的向量相等，只有横坐标和纵坐标分别相等， ∴12312321m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得10m n =-⎧⎨=⎩，此时()1,1p q ==--.故选：A.高频考点3 . 由集合的并集、交集求参数【方法点拨】①利用集合交集、并集的求参数解题策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B . ②利用集合交集、并集的求参数解题方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．③特别注意：当题目条件中出现B ⊆A 时，若集合B 不确定，解答时要注意讨论B ＝∅的情况． 【例3】（2021•南京期中）[多选题]设集合M ＝{x |a ＜x ＜3+a }，N ＝{x |x ＜2或x ＞4}，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a ＜﹣1，则M ⊆N B ．若a ＞4，则M ⊆NC ．若M ∪N ＝R ，则1＜a ＜2D ．若M ∩N ≠∅，则1＜a ＜2【解答】解：∵集合M ＝{x |a ＜x ＜3+a }，N ＝{x |x ＜2或x ＞4}， 对于A ，a ＜﹣1时，a +3＜2，故M ⊆N 成立， 对于B ，a ＞4时，则M ⊆N 成立， 对于C ，若M ∪N ＝R ，则，解得1＜a ＜2，对于D ，若M ∩N ＝∅，则，解得a 不存在，故M ∩N ≠∅，a ∈R ，故D 错，故选：ABC ．【变式3-1】（2021·泰州市高一月考）已知集合{}{}|45,|121A x x B x k x k =≤<=-≤<-，若A B A ≠，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(3,5)B ．[]3,5C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(,3][5,)⋃-∞+∞ 【答案】C【详解】若A B A =，即A B ⊆，又A ≠∅，则14215k k -≤⎧⎨-≥⎩，解得35k ≤≤，又k ∈R ，所以当AB A ≠时，实数k 的取值范围为集合{}|35k k ≤≤的补集，即实数k 的取值范围为(,3)(5,)-∞⋃+∞.故选：C【变式3-2】（2021·务川高一期末）已知集合{}220A x x x =+=，{}22(1)10B x x a x a =+++-=． （1）若m A ∈，求实数m 的值；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的值． 【答案】（1）0m =或2m =-；（2）1.【详解】（1）220x x +=，解得0x =或2-，集合{}0,2A =-， 因为m A ∈，所以0m =或2m =-. （2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，因为{}0,2A =-，{}22(1)10B x x a x a =+++-=，所以221042(1)10a a a ⎧-=⎨-++-=⎩， 解得1a =，代入验证后满足题意.【变式3-3】（2021•眉山期末）已知集合A ＝{x |2a +1≤x ≤3a +5}，B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}． （1）若a ＝﹣2，求A ∪B ，A ∩B ；（2）A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）a ＝﹣2时，集合A ＝{x |﹣3≤x ≤﹣1}，B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}． ∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞），A ∩B ＝[﹣3，﹣2]．（2）若A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，当A ＝∅时，2a +1＞3a +5，解得a ＜﹣4， 当A ≠∅时，或解得或a ≥2，综上所述，或a ≥2，∴实数a 的取值范围是（﹣∞，]∪[2，+∞）．【变式3-4】（2021•解放区校级月考）已知集合A ＝{y |y ＝4x ﹣2，﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜2m +1}． （Ⅰ）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A ∩B ＝{x |a ＜x ＜b }且b ﹣a ＝2，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A ＝{y |y ＝4x ﹣2，﹣1＜x ＜3}＝（﹣6，10），B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜2m +1}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，当B ＝∅时，即3m ﹣1≥2m +1时，解得m ≥2，此时满足题意， 当B ≠∅时，即3m ﹣1＜2m +1时，解得m ＜2，则，解得m，综上所述m 的取值范围为[，+∞）；（Ⅱ）集合A ＝（﹣6，10），10﹣（﹣6）＝16， 若A ∩B ＝{x |a ＜x ＜b }且b ﹣a ＝2，①A ∩B ＝{3m ﹣1＜x ＜2m +1}时，，解得m ＝0；②A ∩B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜10}时，，此时满足条件的m 不存在；③A ∩B ＝{x |﹣5＜x ＜2m +1}时，，解得m ，综上得，m 的取值范围为{，0}．高频考点4. 补集的运算【方法点拨】求集合补集的基本方法及处理技巧：(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn 图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【例4】（2021·北京高二期末）已知全集U =R ，集合{}23M x x =-≤≤，则集合UM =（ ）A ．{}23x x -<<B ．{|2x x <-或3}x >C ．{}23x x -≤≤ D ．{|2x x ≤或3}x ≥ 【答案】B【详解】解：因为全集U =R ，集合{}23M x x =-≤≤，所以UM ={|2x x <-或3}x >故选：B【变式4-1】（2021·浙江高二期末）设集合{}2,1,0,1U =--，{}21,A x x x U =<∈，则UA （ ）A ．{}2,1,1--B ．2,0,1C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-【答案】A【详解】由题意得：集合={0}A ，所以{2,1,1}UA .故选：A【变式4-2】（2021·北京海淀区·101中学高三其他模拟）已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3- 【答案】C【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则有{1,2,3}BA =-，所以图中阴影部分表示的集合是{}1,2,3-.故选：C【变式4-3】（2021·珠海市第二中学高三模拟）已知,M N 为R 的两个不相等的非空子集，若()()N M ⊆RR ，则下列结论中正确的是（ ）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x M x N ∃∈∉C ．,x N x M ∃∉∈D ．R,x M x N ∀∈∉【答案】D【详解】根据集合的运算，因为()()N M ⊆RR ，可得M N ⊆，所以,x M x N ∀∈∈，所以R,x M x N ∀∈∉.故答案为：D.【变式4-4】（2021•海淀区校级月考）设集合U ＝{1，2，3，4}，M ＝{x ∈U |x 2﹣5x +p ＝0}，若∁U M ＝{1，4}，则p 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．6【解答】因为集合U ＝{1，2，3，4}，M ＝{x ∈U |x 2﹣5x +p ＝0}，若∁U M ＝{1，4}，所以M ＝{2，3} 即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p ＝0，所以p ＝6．故选：D ．高频考点5 . 交集、并集、补集的综合运算【方法点拨】求集合交、并、补运算的方法：①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【例5】（2021·辽宁高三其他模拟）已知集合{}08A x x =≤＜，{}21B x x =≤，则（ ）A ．B A ⊆ B ．[]1,1A B ⋂=﹣ C ．(],8A B ⋃=∞- D ．(](C )1,8R A B ⋂= 【答案】D【详解】∵集合{}08A x x =<≤，{}{}21|11B x x x x =≤=-≤≤，∴B A ⊄，故A 错误；{}01A B x x ⋂=<≤，故B 错误；{}18A B x x ⋃=-≤≤，故C 错误；{1RB x x =<-或}1x >，(]()1,8R A B ⋂=，故D 正确.故选：D .【变式5-1】（2021·青海西宁市·高三二模）设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合{1,3}=（ ） A ．AB B ．()RABC ．A BD ．()RB A ⋂【答案】B【详解】解：因为集合{1,3}的元素都在集合A 中，但不在B 中，所以为()R AC B .故选：B ．【变式5-2】（2021•椒江区校级月考）已知全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0，3}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{0，1}C ．{﹣1，3}D ．{﹣1，0，1，3}【解答】解：全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0，3}， 则（∁U A ）＝{﹣1，3，4}，所以（∁U A ）∩B ＝{﹣1，3}．故选：C ．【变式5-3】（2021•苏州期中）[多选题]已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ）A ．M ∩NB ．（∁U M ）∩NC ．（∁U N ）∩MD ．（∁U （M ∩N ））∩N 【解答】解：∵M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，∴M ∩N ＝{5}，（∁U M ）∩N ＝{1，2}，M ∩（∁U N ）＝{3，4}，（∁U （M ∩N ））∩N ＝{1，2，3，4，6}∩（1，2，5}＝{1，5}．故选：BD ． 【变式5-4】（2021•南关区校级期末）已知全集U ＝{x |x ≤8，x ∈N *}，若A ∩（∁U B ）＝{2，8}，（∁U A ）∩B ＝{3，7}，（∁U A ）∩（∁U B ）＝{1，5，6}，则集合A ＝ ，B ＝ ． 【解答】解：全集U ＝{x |x ≤8，x ∈N *}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ∩（∁UB ）＝{2，8}，（∁U A ）∩B ＝{3，7}，（∁U A ）∩（∁U B ）＝{1，5，6}，∴A ∩B ＝{4}， 集合A ＝{2，4，8}，B ＝{3，4，7}．故答案为：{2，4，8}，{3，4，7}．高频考点6 . 利用集合间的关系求参数【方法点拨】①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【例6】（2021·沙坪坝区·重庆八中）已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()AB =∅R，则m 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】A 【详解】由题知()AB =∅R，得A B ⊆，则1m ，故选：A ．【变式6-1】（2021•河西区高一月考）已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}，若A ∩（∁R B ）≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤a ≤2B ．1＜a ＜2C ．a ≤1或a ≥2D ．a ＜1或a ＞2【解答】解：A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}，所以∁R B ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}； 又A ∩（∁R B ）≠∅，所以a ﹣1＜0或a +1＞3，解得a ＜1或a ＞2； 所以实数a 的取值范围是a ＜1或a ＞2．故选：D ．【变式6-2】（2021•临朐县高一期中）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ≤6}，B ＝{x |b ﹣3＜x ＜b +7}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}，全集U ＝R ．（1）A ∩M ＝ ；（2）若B ∪（∁U M ）＝R ，则实数b 的取值范围为 ． 【解答】解：（1）∵集合A ＝{x |﹣3＜x ≤6}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}， ∴A ∩M ＝{x |﹣3＜x ＜5}．故答案为：{x |﹣3＜x ＜5}．（2）∵B ＝{x |b ﹣3＜x ＜b +7}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}，全集U ＝R ，∴∁U M ＝{x |x ＜﹣4或x ≥5}， ∵B ∪（∁U M ）＝R ，∴，解得﹣2≤b ＜﹣1．∴实数b 的取值范围为[﹣2，﹣1）．故答案为：[﹣2，﹣1）．【变式6-3】（2021·广东深圳市·高一期中）已知集合{}{1},11A x a x a B x x =<<+=+． （1）若1a =，求AB ；（2）在①A B B ⋃=，②()R B A =∅，③()R B A R ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|20AB x x =-≤≤或12}x <<；（2）三个条件任选一个，结论都是21a -≤≤-．【详解】（1）{}11{|20}B x x x x =+=-≤≤， 又{|12}A x x =<<，∴{|20AB x x =-≤≤或12}x <<；（2）选① ∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-．选②∵()R B A =∅，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-．选③∵()R B A R ⋃=，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-． 【变式6-4】（2021·山东高三专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的取值范围． 【答案】a ＝3或a ＝2，m 的取值范围是m ＝3或－<m【详解】由题意得，A ＝{1，2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}． 由A ∪B ＝A ，知B ⊆A ，所以可能有两种情况： ①a －1＝2，即a ＝3，此时A ＝B ，满足B ⊆A ； ②a －1＝1，即a ＝2，此时B ＝{1}，满足B ⊆A ； 由A ∩C ＝C 知C A ⊆，若C 为空集，显然满足C A ⊆，此时，由∆＝m 2－8<0得－<m．若{1}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0只有一个实根1，则280120m m ⎧∆=-=⎨-+=⎩，无解；若{2}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0只有一个实根2，则2804220m m ⎧∆=-=⎨-+=⎩，无解；{1,2}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0有2个不等的实根1和2，则2801204220m m m ⎧∆=->⎪-+=⎨⎪-+=⎩，解得3m =；综上可知：a ＝3或a ＝2；m ＝3或－<m.易错点1.集合运算时忽略空集致错【方法点拨】A ∩B ＝B ，B 可能为空集，千万不要忘记．【例1】集合{|12}A x x =-，{|}B x x a =<． （1）若AB A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a >；（2）1a -【解析】解：（1）由集合{|12}A x x =-，{|}B x x a =<， 因为AB A =,所以A B ⊆,则2a >，即实数a 的取值范围为2a >；（2）因为 A B =∅,又B ≠∅, 可得1a -，故实数a 的取值范围为1a -.【变式1】设集合{|24,}A x x x R =-<<∈，集合{}22|320B x x ax a =-+=．求： （1）实数a 在什么范围内取值时B ≠∅，且AB B =；（2）实数a 在什么范围内取值时，A B =∅． 【答案】（1）1a 2-<<（2）4a ≥或2a ≤-. 【解析】（1）∵B ≠∅，AB B =，∴B A ⊆． 方程22320x ax a -+=得两根为a ，2a ，由题意，得24224a a -<<⎧⎨-<<⎩，解不等式组，得1a 2-<<；（2）当B =∅时，222980a a a ∆=-=<，不可能； 当B ≠∅时，方程两根为a ，2a ．得424a a ≥⎧⎨≥⎩或 2.2 2.a a ≤-⎧⎨≤-⎩，∴4a ≥或2a ≤-. 【变式2】已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x x =≤≥或.（1）当3a =时，求AB ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1145}A B x x x ⋂=-≤≤≤≤或；（2）()1-∞，. 【解析】（1）当3a =时，{}|15A x x =-≤≤，{}|14B x x x =≤≥或， ∴{}|1145A B x x x ⋂=-≤≤≤≤或，（2）若A =∅，此时22a a ->+，∴0a <，满足AB =∅，当0a ≥时，{}|22A x a x a =-≤≤+，∵A B =∅，∴21{24a a ->+<，∴01a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围是(,1)-∞.数学思想1.数形结合思想的应用【方法点拨】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解． 【例1】已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】1a ≥【解析】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【变式1】设集合{}|415A x x =-<-<，{}2|4B x x =>，则AB =（ ）A ．{}|26x x <<B ．{}|36x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{32x x -<<-或}26x << 【答案】D【解析】由题{}|415A x x =-<-<{|36}x x =-<<，{}2|4B x x =>{|2x x =<-或2}x >，则A B ={|32x x -<<-或26}x <<.故选：D.【变式2】某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人. 【答案】3【解析】设一（1）班这两个社团都参加了的学生共有x 人，则615183x x x x -++-=∴=故答案为：3数学思想2. “正难则反”思想的应用【方法点拨】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可运用“正难则反”策略先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A ．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．【例1】已知集合{}{}222|560,|120A x xx B x x ax a =--==++-=，若B A A ≠.求实数a的取值范围.【答案】4{|}4a a -≤≤【解析】若,B A A B A ⋃=⊆.∵{}2|560{1,6}A x xx =--==-，∴集合B 有以下三种情况：①当B =∅时，()224120aa ∆=--<，即216a >，∴4a或4a >.②当B 是单元素集合时，()224120aa ∆=--=，∴4a =-或4a =.若4a =-，则{2}B =，此时不满足B A ⊆，故舍去； 若4a =，则{2}B =-，此时不满足B A ⊆，故舍去.③当{}1,6B =-时，1-，6是方程22120x ax a ++-=的两个根， ∴216,1216,a a -=-+⎧⎨-=-⨯⎩即a 的值不存在. 综上可得，当B A A ⋃=时，实数a 的取值范围为{4aa <∣或4}a >. 故若BA A ≠，则实数a 的取值范围为4{|}4a a -≤≤.【变式1】已知集合,则实数的值为__________.【答案】或【解析】由题意得，故得，即，解得或.当时，，符合题意． 当时，，符合题意．所以或．答案：或【变式2】设全集{}22,3,23U a a =+-，16,26a A +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．若{}5UA =，求实数a 的值．【答案】2a = 【解析】因为{}5UA =,且全集{}22,3,23U a a =+-, 所以2235a a +-=,解得4a =-或2a =,当4a =-时,16164266a +-==,集合A 中的元素不满足互异性,不合题意; 当2a =时,16162366a ++==,此时{3,2}A =,满足{}5U A =,符合题意. 综上可得,2a =..故答案为: 2a =.【课后训练】全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·辽宁高三模拟）若集合{{2}A x y B x x ===<∣∣，则A ∩B ＝（ ）A ．{}12x x << B ．{}1x x ≥C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】D【详解】由题意，得{}1A x x =≥，所以{}12A B x x ⋂=≤<．故选：D2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模）已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合A B等于（ ） A ．{}12x x ≤≤ B ．{}1x x ≥C ．{}2x x ≤D ．{}2x x ≥-【答案】C【详解】由不等式24x ≤，可得22x -≤≤，即集合{|22}A x x =-≤≤， 又由集合{}1B x x =<，可得{}2A B x x ⋃=≤.故选：C.3．（2021·三门峡市第一高级中学月考）设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（ ）A ．PB ．MC ．MPD ．M P ⋃【答案】C【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.4．（2021·江苏苏州市·高三三模）已知U 为全集，非空集合A 、B 满足()UA B =∅，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．()()UU A B ⋂=∅D ．()()UU A B U ⋃=【答案】A【详解】如下图所示：()UAB =∅，由图可知，A B ⊆，()()U U UA B B ⋂=，故选：A.5．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A 【详解】因为{1UN x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.6．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三模拟）已知集合A 、集合{}2,3,,B a b =，且{}3,4A B =，则下列结论正确的是（ ）A ．有可能8a b +=B ．8a b +≠C ．8a b +<D ．8a b +> 【答案】B 【详解】{}2,3,,B a b =，{}3,4A B =，4B ∴∈，若4a =，由集合中元素互异性知：4b ≠，8a b ∴+≠；若4b =，同理可知：4a ≠，8a b ∴+≠；综上所述：8a b +≠.故选：B. 7．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可是（ ）A ．{}36m m -≤≤B ．{}4m m ≤C ．{}24m m <<D ．{}6m m < 【答案】B【详解】由题意，集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-， 因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，当B φ=时，可得121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，可得12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，解得24m ≤≤，综上可得，实数m 的取值范围{}4m m ≤.故选：B.8．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ，②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即ST 中有7个元素.故A 正确.故选：A .二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10I =为全集，集合,A B 为I 的子集，且{}()1,4,7I A B =⋂，{}23(,)I A B ⋂=，{}()()6,8,9,10I I A B ⋂=，那么集合A 的子集可以为（ ）A ．{}6,7,8,9,10B ．{}1,4,7C ．{}1,4,5,7D ．{}6,8,9【答案】BC【详解】依题意，可得如下Venn 图，∴如图，知5A B ⋂=，故{}1,4,5,7A =，∴A 的子集可以为B 或C ．故选：BC 10．（2020·河北沧州市·高一期中）设不大于x 的最大整数为[]x ，如[]3.63=．已知集合[]{}1A x x ==-，[]{}0223B x x =+＜＜，则（ ）A ．{}10A x x =-≤＜B ．112A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．103⎡-=-⎣D ．102A B x x ⎧⎫⋂=-≤⎨⎬⎩⎭＜ 【答案】AD【详解】[]{}{}110A x x x x ==-=-≤＜， 因为[]11022*******x x x +⇒≤+⇒-≤<＜＜＜，所以11,22B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，11,2AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，1,02AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，∵4103--，∴104⎡-=-⎣，故选：AD.11．（2021·江苏南京市·高一期中）设集合{}3M x a x a =<<+，{2N x x =<或}4x >，则下列结论中正确的是（ ） A ．若1a <-，则M N ⊆ B ．若4a >，则M N ⊆ C ．若MN =R ，则12a << D ．若MN ≠∅，则12a <<【答案】ABC【详解】对于A ，若1a <-，则32a +<，则M N ⊆，故A 正确；对于B ，若4a >，则显然任意x M ∈，则4x >，则x ∈N ，故M N ⊆，故B 正确； 对于C ，若MN =R ，则234a a <⎧⎨+>⎩，解得12a <<，故C 正确；对于D ，若M N ⋂=∅，则234a a ≥⎧⎨+≤⎩，不等式无解，则若MN ≠∅，a R ∈，故D 错误.故选：ABC.12．（2021·浙江高一期末）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ） A ．A B 是优集B ．A B 是优集C ．若AB 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若AB 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【详解】对于A 中，任取,x AB y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则x y AB +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A x x k ==或3,}x k k Z =∈， 令3,2x y ==，则5x y AB -=∉，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y AB ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时B A ⊆，所以C 正确； 对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则AB B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·霍邱县第一中学高一月考）某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人. 【答案】17【详解】设参加游泳比赛为集合A ，参加田径比赛为集合B ，参加球类比赛为集合C ，同时参加球类和田径比赛的有x 人由韦恩图可知，()()()1534348314427x x x --+++--++--=，解得3x = 则仅参加一项比赛的共有()()()1534833144317--+--+--=人故答案为：1714．（2021·眉山市东坡区校高一期中）设P 和Q 是两个集合，定义集合{P Q x x P θ-=∈，且}x Q ∉，若{}1,2,3,4P =，{}4,Q x x x R =<∈则P Q -=________．【答案】{}4【详解】因为集合P 中的1，2，3这三个元素都在集合Q 中，而4Q ∉， 所以{P Q x x P θ-=∈，且}{}4x Q ∉=．故答案为：{}4．15．（2021·福建省福州民族中学高一月考）集合()(){}10A x x x a =--≥，{}1B x x a =≥-．若A B R =，则a 的取值范围为_____【答案】2a ≤【详解】当1a <时，{|A x x a =≤或1}x ≥，此时A B R =符合题意；当1a =时，A R =，满足AB R =；当1a >时，{|1A x x =≤或}x a ≥，要使A B R =，只要11a -≤，解得12a <≤.综上所述：2a ≤.故答案为：2a ≤16．（2021·江苏淮安市·高二期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合{}2A x x t=<和集合{}2|20B x x x =--<，若集合A ，B 构成“偏食”，则实数t 的取值范围为____________． 【答案】()1,2【详解】集合{}{}|A x t x x t =<=<，{}()2|201,2B x x x =--<=-若集合A ，B 构成“偏食”，则0t >。

1.1.3集合的基本运算（全集、补集）【教学目标】1、了解全集的意义，理解补集的概念．2、能用韦恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3、进一步体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力。

【教学重难点】教学重点：会求给定子集的补集。

教学难点：会求给定子集的补集。

【教学过程】（一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.（二）教学过程一、情景导入观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？二、检查预习1、在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为 .2、若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做 ，记作 。

三、合作交流Φ=⋂A C A U ，U A C A U =⋃，A A C C U U =)(B C A C B A C U U U ⋂=⋃)(，B C A C B A C U U U ⋃=⋂)(注：是否给出证明应根据学生的基础而定.四、精讲精练例⒈设Ｕ＝｛２，４，３－a 2｝,Ｐ＝｛２，a 2＋２－a ｝，ＣU Ｐ＝｛－１｝，求a ． 解：∵－１∈ＣU Ｐ∴－１∈Ｕ∴３－a 2＝－１得a ＝±２．当a ＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．当a ＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８∉Ｕ舍去．因此a ＝２．［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解。

变式训练一：已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝ ∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．例⒉设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，Ｂ⊂≠ＣU Ａ，求ｍ的取值范围．解：由条件知，若Ａ＝Φ，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，适合题意；若Ａ≠Φ，即ｍ＜１时，ＣU Ａ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，则应有－１≥２ｍ即ｍ≤－21； 或３ｍ－１≥３即ｍ≥43与ｍ＜１矛盾，舍去． 综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－21． 变式训练二：设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣU Ａ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣU Ａ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．【板书设计】一、 基础知识1. 全集与补集2. 全集与补集的性质二、 典型例题例1： 例2：小结：【作业布置】本节课学案预习下一节。

1、3、2 求交集与并集的逆向思维第一部分走进复习【复习】再求两集合的交集和并集1 ①已知3|x x A ，|x B x 1，求B A ，B A 。

②已知1|x A≤4x , 1|x B ≤x 5，求B A ，B A 。

x k b1 . co m ③已知1|x A ≤x 3, |x B x 2，求B A ，B A 。

④已知1|x x A 或x 4, |x B x 25，求B A ，B A 。

⑤已知1|x x A 或x 4, |x B x 51x 或，求B A ，B A 。

2 ①已知R x x x y y A,32|2,R x x x y y B ,3|2求B A 、B A 。

②已知R x x x y y A ,32|2,R x a x ax y y B ,0,3|2求B A 、B A。

第二部分走进课堂指出：将【复习】1中五个例子中的结论变为条件，而将条件中的某些常数变为参数a ，这就得到了求交集与并集的逆向思维问题。

【探索新知】求交集与并集的逆向思维例1、已知3|x x A ，|x B x a（1）B A ，（2）RB A 分别求a 的取值范围。

例2、已知1|x A ≤x a , 51|x x B ，B A 1|x ≤x 5，求a 的取值范围。

[来源:学科网]例3、已知1|x A ≤x 3, |x B x ≥a ，B A ，x x B A |≥1，求a 的取值范围。

例4、已知1|x x A 或x 4, b x B |≤x ≤a 3，B A ，RB A , 求b a 、的值。

再看【复习】2中两个例子的逆向思维问题：例5、已知R x x x y y A ,32|2，R x x ax y y B ,3|2y y B A |≥825，求a 的取值范围。

[来源:学#科#网]反思总结：第三部分走向课外【课后作业】（限时30 分钟）1、已知2|x x A 或x 5, a x B |≤x ≤a 8，R B A , 求a 的取值范围。

1.3 集合的基本运算（2）交集的性质：对任意两个集合A 、B ，都有（1） A B B A ⋂=⋂； （2） A ⊇A ∩B ，B ⊇A ∩B; （3） A A A ⋂= ；（4） A A ⋂∅=∅⋂=∅ ； （5） 如果,A B ⊆则A B A ⋂=3、（1）全集的概念：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为 ，通常用 来表示。

补集的概念：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的 ，记作 ，读作“A 在U 中的补集”。

数学符号表示：A=｛x | x ∈U 且x ∉A ｝．Venn 图表示：A UC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制。

（2）补集的性质：对任意两个集合A 、B ，都有 （1）（C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=∅ （2）（C U A ）∩（C U B ）= C U (A ∪B) （3）（C U A ）∪（C U B ）= C U (A ∩B)题型一 并集运算例1 若{}{}|02,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B =（ ）；A ．{}|0x x ≤B ．{}|2x x ≥C ．{}2|0x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】D练一练1、集合{}1,2A =，{}|14B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}2【答案】B2、集合A={x|-2＜x ＜2}，B={x|-1＜x ＜4}，则集合A ∪B= 。

题型二 交集运算例 2 已知集合{}|132A x x =-<-≤，{}|37B x x =≤<，则A B =（ ）A ．()2,6B ．(]2,5C ．[]3,5D ．[)3,6【答案】C 练一练1、设集合{2,4,7,9}A =，{1,4,6,9}B =，则A B =（ ）A ．{1,2,4,6,7,9}B ．{4,9}C ．{1,2,6,7,}D ．{2,7}【答案】B2、已知集合{|0}A x Z x =∈≤，{|16}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}6x x ≤C ．{}1,0,1,2,3,4,5,6-D ．{}10x x -≤≤【答案】A题型三 补集运算例 3 已知集合{|04},{3,4}A x N x B =∈≤≤=，则AB =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{4}【答案】A练一练1、已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则∁U A =（ ） A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{0,1,2}D ．{}1,2【答案】B2、若全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4,5}，则∁U A ＝________.题型四 Veen 图与运算例 4 若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1234，，， B ．{}123，， C ．{}4,5 D ．{}1,4【答案】C 练一练1、已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个【答案】A题型五 综合应用例 5 设U =R ，{}|56A x x =-<≤，{|6B x x =≤-或}1x >，求： （1）AB ；（2）()()U U C A C B ⋂.【答案】（1）{}|16x x <≤；（2）{}|65x x -<≤- 练一练1、设集合{}1234U =，，，，{}12A =，，{}24B =，，则()UB A =__________.【答案】{}32、已知集合{|23}A x x =-≤≤，{}1,1,2,4B =-，则()B A ⋂=R（ ）A ．∅B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}1,1,2-【答案】B题型六 参数求解例 6 设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{2x x <或}3x ≥；（2）(),2-∞ 练一练1、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<-2、已知集合{}|34A x x =-≤≤，集合{}|211B x m x m =-≤≤+． （1）当3m =-时，求集合A B ⋂； （2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|32A B x x ⋂=-≤≤-；（2）{}|1m m ≥- 小试牛刀1、已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅【答案】C2、已知全集{|U x x =是小于15的质数}，{2,7,11},{3,7,11,13}A B ==，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{5}B ．{5,7,11}C ．{5,11}D ．{7,11}【答案】B3、（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ） A ．集合B N N ⋃= B ．集合AB 可能是{}1,2,3C ．集合AB 可能是{}1,1-D ．0可能属于B【答案】ABD4、满足条件{}{}1,31,3,5A ⋃=的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D5、已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,4,5B =，C A B =，则C 的子集共有（ ）A ．2个B ．3个C ．8个D ．4个【答案】D6、已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UA B ⋃为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【答案】C7、设集合{}2,2,3A a a =+-，{}23,21,1B a a a =--+，{3}A B ⋂=-，求a 的值．【答案】0a =8、已知集合A ={x |1＜x ＜6}，B ={x |2＜x ＜10}，C ={x |5-a ＜x ＜a }．,B A B ；C C =，求a 的取值范围(1){1,4},A B A B R ==、已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，{B =0=，求AB ；R ＝，求a 的取值范围.{|1B x =<}|02x ≤≤()R A B R ＝，求）是否存在a 使()R A B R ＝且【答案】（1）10a -≤≤；（2）不存在。