2009-2010常微分方程试题B

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈4．)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 00(,)xx y y f x y dx =+⎰9.1,Re s a s a>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）11. 解： 齐次方程的通解为 xC y 3e-= (3分)令非齐次方程的特解为 xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e51 （5分）12. 解： 对应的特征方程为：012=++λλ，解得i i 23,23212211--=+-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=- （5分）13.1=∂∂y M ，xN∂∂=1 , x N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x得C y xy x =-+2331 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt tt dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）21772t x c t-=-+两边积分217(5)7.2(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 01411=--=-λλλE A ,即 0322=--λλ.特征根为 31=λ，12-=λ. （4分）31=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：(),dyP x y dx= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dxy ce ⎰=这里c 是任意常数。

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

课程名称 常微分方程（A 卷） 课程代码 课程班号 共_2_页----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题（每空3分）1、方程086=+'+''y y y 满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解为_____________.2、()023='+''-y xe y x 是 阶微分方程。

3、微分方程()02=+-axydy dx y x 是恰当微分方程，则=a 。

4、微分方程()01=++dx ye dy e x x 的通解为 。

5、一阶方程yxe xyy x y 322-=' 作变换_______________________可化为变量可分离方程。

6、(,)(,)y f x y f x y 连续及连续是保证方程),(y x f dxdy=的初值解存在且唯一的_____________条件. 7、对于n 阶齐线性方程()(1)1()()0n n n x a t x a t x -+++= 存在且至多存在_____________个线性无关的解. 二、选择题（每小题3分）8、对于非齐次微分方程''3'4()x x x f t +-=，设22()(1)t f t t t e =+-，其中0,......,n a a 为常数，那么方程有形如（ ）的特解。

A ．()22012t a t a t a e ++ B. ()22012t t a t a t a e ++ C. ()201ta t a e + D. ()2012t a t a t a e ++9、矩阵2912⎛⎫⎪⎝⎭的特征值有（ ）。

A ．5，-1 B. -5，1 C. -5，-1 D. 5，1 10、（ ）是一阶线性微分方程。

考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )．A．当收敛时，anbn收敛B．当发散时,anbn发散C．当收敛时,an2bn2收敛D．当发散时,an2bn2发散正确答案：C解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C．解析二考察选项C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )．A．收敛B．收敛C．收敛D．收敛正确答案：D解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选D．知识模块：无穷级数3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )．A．若，则级数收敛B．若存在非零常数λ，使得则级数发散C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选B．知识模块：无穷级数4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ).A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性根据所给条件不能判定正确答案：C解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选C．知识模块：无穷级数5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )．A．(一1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选C．知识模块：无穷级数7．(1999年试题，二)设其中则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设，所给S(x)为余弦级数，周期为2，将f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选C。

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。

华中师范大学网络教育学院 《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。

将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。

如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。

3、（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。

（2） 它是常微分方程，理由同上。

（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。

4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。

因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。

微分方程的解又称为（一个）积分。

5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。