锐角三角比

【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。

正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。

例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。

二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。

1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。

所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。

2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。

则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。

3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。

所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。

三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。

例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。

则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。

再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。

锐角三角比特殊角的值嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题——锐角三角比，特别是那些特殊角的值。

说到这个，想必大家都知道，三角函数可是数学里的一颗璀璨明珠，搞懂了它，简直是如虎添翼，让我们在面对各种问题时游刃有余。

你想啊，平时生活中，像测量高度、计算距离这些事儿，三角函数可是帮了大忙呢。

我们得说说什么是锐角。

简单来说，锐角就是小于90度的角，就像一个小朋友，活泼可爱，不像那种大爷一样的钝角，实在是太稳重了。

咱们最常见的特殊角就有30度、45度和60度，这些角度就像数学里的明星，真是大名鼎鼎。

哦，对了，提到这些角，脑海中是不是又浮现出那个三角形的图像呢？真是让人心痒痒。

来，咱们先从30度说起。

这可是个可爱的角啊，三角函数的值也超级简单。

30度的正弦值是0.5，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。

记住了吗？我知道你可能会想，“这是什么鬼？”没关系，我们可以用一些小窍门来记忆。

想象一下，30度的正弦值就是半个苹果，正好一口下去。

而余弦值就像是一个拿着√3的朋友，刚好在两块的蛋糕边上，正切嘛，就是这个朋友分到的蛋糕和另一个朋友的比例，简单吧？咱们聊聊45度。

这可是个绝对的热门角，正好就是个直角三角形的对称中心。

45度的正弦值和余弦值都是√2/2，简直是打平了。

正切值也非常简单，1，大家一起摇摇手，正好一比一。

想象一下，45度就像两个好朋友，平等又和谐，真是让人感觉温暖啊。

再来看看60度，哎呀，这个角的活力四射。

60度的正弦值是√3/2，余弦值是0.5，正切值是√3。

想象一下，60度就像一个在阳光下跳舞的小精灵，带着一点点神秘感。

你看，正弦值就像是它的舞姿，优雅又充满力量；余弦值则是它在舞池里的轻盈，一切都是那么恰到好处。

说到这里，你会发现，特殊角的值其实并不难记。

只要找到一些有趣的小方法，就能轻松搞定。

再说了，生活中处处都是三角函数的影子，别小看它。

比如，玩飞盘的时候，你就需要考虑到投掷角度。

开车的时候，转弯的角度也需要三角函数来帮忙。

第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。

(3)了解锐角的三角比的范围。

教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。

引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。

知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。

锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。

2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。

锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。

注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。

3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。

锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。

根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。

4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。

我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。

1 / 13锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角 A 的正切记作 tan A ．tan A = 锐角A 的对边 = BC = a ．锐角A 的邻边 AC b 2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角 A 的余切记作 cot A ．cot A = 锐角A 的邻边 = AC = b ．锐角A 的对边 BC a锐角的三角比内容分析知识结构模块一：锐角的三角比的意义知识精讲B a cCbA2 / 13CADB3、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角 A 的正弦记作 sin A ．sin A = 锐角A 的对边 = BC = a ．斜边 4、 余弦AB c 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角 A 的余弦记作 cos A ．cos A = 锐角A 的邻边 = AC = b ．斜边 AB c【例1】 如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（）A ． sin A = 1213B ． cos A =1213 C ． t an A = 512D ． t an B = 125【例2】 在 ∆ABC 中， ∠B = 90︒ ，BC = 2AB ，则 cos A 的值为．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则 tan α 的值是．【例4】 如图， Rt ∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ，AC = 8，AB = 6， CD ⊥ AB ，垂足为 D ，则 tan ∠ BCD 的值是．例题解析yA（2，1） OxB a cCbABA C3 / 13【例5】 ∆ABC 中，已知∠C = 90︒ ， tan A = 1， c = 2 2，求 a 、b 的值．【例6】 ∆ABC 中，已知∠C = 90︒ ， sin A = 2，求cos A 、 tan A 的值．3【例7】 如图， ∆ABC 的三个顶点均在格点上，则 cos A 的值为 ．【例8】 在平面直角坐标系中，过点 P （0，2）作直线 l ： y = 1x + b （b 为常数，且 b < 2）2 的垂线，垂足为 Q ，则tan ∠OPQ = ．CB A54 / 13 31、特殊锐角的三角比的值α tanα cotα sinα cosα30°33 3123245° 1 1222260° 33332122、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）α tanα cotα sinα cosα15° 2 - 3 2 + 36 - 246 + 2475° 2 + 3 2 - 36 + 246 - 243、通过观察上面的表格，可以总结出：当0︒<α< 90︒，α的正弦值随着角度的增大而增大，α的余弦值随着角度的增大而减小；α的正切值随着角度的增大而增大，α的余切值随着角度的增大而减小．【例9】∠A 是等腰直角三角形的底角，∠B 是等边三角形的一个内角，则tan A = ，sin B = ．【例10】已知，在∆ABC 中，sin A =2，tan B =，则∠C =．2模块二：特殊锐角的三角比的值知识精讲例题解析5 / 133 323 18 8【例11】在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，已知a = 2 ，c = 4，求∠B ．【例12】 在 ∆ABC 中，三边之比a : b : c = 1: 3 : 2 ，则sin A + tan A = ．【例13】当45︒ < α < 90︒ 时， sin α 、cos α 、 tan α 的大小关系是（）A ． sin α < cos α < t an α C ． tan α < cos α < s in αB ． cos α < sin α < tan α D ． tan α < sin α < cos α【例14】在 ∆ABC 中，若 sin A -+ (- tan B )2= 0 ，则∆ABC 属于哪种三角形？【例15】求值： cos 2 45︒ -1 + cos 60︒1sin 30︒+ cos 2 30︒ + sin 45︒ ．【例16】(π - 3)0⎛ 1 ⎫-1+ - 2sin 45︒ - ⎪ ⎝⎭ +tan 45︒ ． sin 60︒ - cos 45︒【例17】已知公式：sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ； cos (α + β )= cos α cos β - sin α sinβ ． 求：sin 75°、cos 75°的值．6 / 13D ． 2nBAC⎛ ⎫n⎛ ⎫n +1【例18】 如图，在∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， ∠A = 30︒ ，BC = 1．过点 C 作CC 1 ⊥ AB 于C 1 ，过点C 1 作C 1C 2 ⊥ AB 于C 2 ，过点C 2 作C 2C 3 ⊥ AB 于C 3 ，…，按这样的规律继续，则 AC n 的长为（ ）3 A ． ⎪3 B ． ⎪ ( 3 )nC ．n +1( 3 )n +1⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭21、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切tan A =∠A 的对边 ∠A 的邻边 tan A = ab tan B = ba tan A > 0 （ ∠A 为锐角） tan A =1cot A tan A = sin Acos A cot A = cos Asin A余切cot A =∠A 的邻边 ∠A 的对边 cot A = bacot B = abcot A > 0 （ ∠A 为锐角）正弦 sin A =∠A 的对边斜边sin A = ac sin B = bc 0 < sin A < 1（ ∠A 为锐角）sin A = cos (90︒ - ∠A )cos A = sin (90︒ - ∠A ) sin 2 A + cos 2 A = 1余弦cos A =∠A 的邻边斜边 cos A = bccos B = ac0 < cos A < 1 （ ∠A 为锐角）模块三：锐角的三角比的关系及运用知识精讲7 / 132【例19】在 ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，下列四个等式：○1 sin A = cos B ；○2 cos A = cos B ；○3 1tan A= tan B ；○4 tan A = tan B ．其中一定成立的是 ．（填序号）【例20】已知α 是锐角，化简： cos 2 α - 2 c os α + 1 ．【例21】 已知sin α + cos α = ，求sin α cos α 的值．【例22】求值： cos 48︒ +cos 40︒- sin 42︒ ． sin 50︒【例23】化简： sin 2 1︒ + sin 2 2︒ + ⋅ ⋅ ⋅ + sin 2 88︒ + sin 2 89︒ ．tan 2 α sin 2 α【例24】化简： tan 2 α - sin 2 α．【例25】已知： sin α + cos α = m ， sin α - cos α = n ，则 m ，n 之间的关系是（）A ．m = nB ．m = 2n + 1C ． m 2 = 2 - n 2D ． m 2 = 1- 2n例题解析8 / 13【例26】已知方程 4x 2 - 2(m + 1) x + m = 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求 m 的值．【例27】若α 为锐角，且2cos 2 α + 7sin α - 5 = 0 ，求α 的度数．【例28】Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，BC = a ，AC = b ，AB = c ．利用锐角三角比的定义证明：（1） sin 2 A + cos 2 A = 1 ； （2） tan A tan B = 1 ； （3）sin A= tan A ； （4） sin A + cos A > 1 ．cos A【例29】如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b ，斜边上的高为 h ，求证： 1 + 1a 2b 2= 1．h 2【例30】已知α 为锐角，且 2sin α cos α +1(sin α - cos α ) = 1 ，求以tan α 、cot α 为两 3个根的一元二次方程．9 / 13D ．CDACA DBCBCA tan 45︒cot 30︒ sin 60︒-(cos 45︒ -1)2【习题1】 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知 b = 5，c= 13，则 sin A =，cos A =，tan A =．【习题2】 如图，点 A 为∠α 边上的任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ， CD ⊥ AB 于点 D ，下列用线段比表示cos α 的值，错误的是（）A ．BD BCB ．BC ABC ．AD AC【习题3】如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC的正切值是．【习题4】若(2sin α - 2 )2+ 1 - 2 cos β= 0 ，求α 、 β 的值（α 、 β 都是锐角）．【习题5】- sin 45︒ + cot 60︒ tan 30︒ ．【习题6】 化简： tan1︒ tan 2︒ tan 88︒ tan 89︒ ．随堂检测10 / 13tan 2 60︒ + 2 c os 45︒ 【习题7】求值： sin 2 27︒ + sin 2 63︒ tan 45︒ + cot 2 30． cos 2 27︒ + cos 2 63︒【习题8】等腰三角形底边长为 8 cm ，面积为8 cm 2，求底角的正切值．【习题9】在 Rt ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，S∆ABC = m，且两直角边长满足条件 3a + 2b = m ．当2m 取最小值时，求∆ABC 中最小内角的正切值．【习题10】 已知 a 、b 、c 分别是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于 x 的一元二次方程 a (1 - x2 )+ 2bx + c (1 + x 2 )= 0 有两个相等的实数根，且 3c = a + 3b ． （1）判断∆ABC 的形状； （2）求 sin A 、sin B ．5 -11 / 133 - 2 cos 45︒【作业1】 Rt ∆ABC 中，已知∠A = 90︒ ，AB = 2，AC = 4，则 tan B =，cos C = ，sin B =．【作业2】在 ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，若斜边AB 是直角边BC 的3 倍，则tan B 的值是（）A ． 13B ．3C ． 2 4D ． 2 【作业3】 在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角 A的各三角比的值（ ） A ．都扩大到原来的 2 倍 B ．都缩小为原来的一半 C ．没有变化D ．不能确定1⎛ 1 ⎫-2【作业4】 20160- cot 30︒ +- ⎪ ． ⎝ 2 ⎭【作业5】 若 a sin θ + cos θ = 1 ， b sin θ - cos θ = 1 ，求证：ab = 1．【作业6】在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， a + b = 28 ， sin A + sin B = 7，求斜边c 的长． 5课后作业212 / 13【作业7】 已知关于 x 的一元二次方程(m + 2) x 2 - (2m -11) x +12 = 0 的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数 m 的值．【作业8】已知锐角∆ABC 中，AB = c ，AC = b ，BC = a ，利用锐角三角比的意义证明： c = a cos B + b cos A ．【作业9】 我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad ）．如图（a ），在∆ABC 中，AB = AC ，顶角 A 的正对记作 sad A ， 这时 sad A =BC．容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定AB的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=；（2）对于 0°< A < 180°，sad A 的取值范围是 ； （3）如图（b ），已知sin A = 3，则 sad A 的值是（） 5A ． 65B ． 23C ． 54D ．105BCA（b ）ABC（a ）13 / 13【作业10】 在锐角∆ABC 中， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为 a 、b 、c ．求证：（1）a = sin Ab sin B =c ；sin C （2） S∆ABC= 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A ． 2 2 2。

锐角三角比复习1.定义：①正弦（sin）等于对边比斜边；②余弦（cos）等于邻边比斜边；③正切（tan）等于对边比邻边；④余切（cot）等于邻边比对边。

•注意：若角的大小不变，无论角所对的边如何变化，角的三角比恒不变。

2.关系：①锐角三角比中，tanA＞0，cotA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1②在同一个三角形中，∠C=90°，∠A+∠B=90°,tanA=cotB，sinA=cosB③tanA×cotA=1，sinA²+cosA²=1，tanA= sinA／cosA，cotA= cosA／sinA④tanA＞sinA，cotA＞cosA，（锐角）∠A=∠B→sinA=sinB⑤sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα；tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα3.特殊锐角三角比的值：4.锐角三角函数值的变化情况：①锐角三角函数值都是正值②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

③当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0。

当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA＞0, cotA＞0。

5.解直角三角形：①直角三角形中六个元素：三角三边。

②直角三角形可解条件：⑴已知：一角一边（除直角以外）⑵已知：两边（除直角以外）③直角三角形中边的关系：a²+b²=c²·注意：若已知的一个三角形不是直角三角形，则通常由已知元素来构造直角三角形，把它划归为解直角三角形。

【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A∠为一锐角，则∠A的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边∠A的余弦=A bcos A=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=A atanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=A a=A b∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。

锐角三角比公式锐角三角比1. 什么是锐角三角比锐角三角比是三角函数中的一个概念，用于描述一个锐角的正弦、余弦和正切值。

在数学中，锐角是指小于90度的角。

锐角三角比可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。

2. 锐角三角比的相关公式下面是锐角三角比的几个常用公式：正弦（Sine）正弦值表示一个角度的对边与斜边的比值：sin(A) = 对边 / 斜边余弦（Cosine）余弦值表示一个角度的邻边与斜边的比值：cos(A) = 邻边 / 斜边正切（Tangent）正切值表示一个角度的对边与邻边的比值：tan(A) = 对边 / 邻边3. 示例解释为了更好地理解锐角三角比的概念和应用，我们来看几个示例。

示例 1假设有一个锐角三角形，其中角A的对边长度为5，邻边长度为12，斜边长度为13。

我们可以利用正弦、余弦和正切公式来计算角A 的锐角三角比值：sin(A) = 5 / 13 ≈cos(A) = 12 / 13 ≈tan(A) = 5 / 12 ≈示例 2现在假设有一个锐角三角形，其中角B的对边长度为7，邻边长度为24，斜边长度为25。

我们可以同样利用锐角三角比公式计算角B 的值：sin(B) = 7 / 25 =cos(B) = 24 / 25 =tan(B) = 7 / 24 ≈通过以上示例，我们可以看到锐角三角比可以帮助我们计算角度的各种属性，如角度的正弦、余弦和正切值。

这些值在许多数学和科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、地理等。

总结本文介绍了锐角三角比的概念和相关公式，并通过示例解释了如何计算锐角的正弦、余弦和正切值。

锐角三角比在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。

在实际问题中，了解锐角三角比可以帮助我们更好地理解和解决各种角度相关的计算和测量问题。

锐角三角比：知识点一：锐角三角比的定义： 一、 锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角比 2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值针对训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图6，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若1tan5DBA∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DCBAOyx第8题图A DECBFDABC类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值． 1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin60tan 2.锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αCBAABO3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；家庭作业：1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.签字确认 学员 教师 班主任DCBAACB。

初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。