反比例函数K的几何意义专题探索

专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。

专题：反比例函数中k 的几何意义知识要点：反比例函数中k 的几何意义1、反比例函数与矩形面积：若Q(x ，y)为反比例函数y = kx (k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A(或作QB ⊥y 轴于B)，连结QO ，则所得矩形的面积为S =|k |.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关. 2、反比例函数与三角形面积：若Q(x ，y)为反比例函数y = k x (k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A(或作QB ⊥y 轴于B)，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =|k |2（或S △QOB =|k |2）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.【跟踪训练】1. （2019∙凉山）如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y= 4x 的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 22. （2019∙黑龙江）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y=1x上,顶点B 在反比例函数y= 5x 上,点C 在x 轴的正半轴上,则平行四边形OABC 的面积是( ) A. 32B. 52C. 4D. 63. （2019∙山西）如图,在平面直角坐标中,点O 为坐标原点,菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上,点A 坐标为(−4,0),点D 的坐标为(−1,4),反比例函数y= kx (x>0)的图象恰好经过点C ，则k 的值为___.4. （2019∙巴中）如图,反比例函数y= kx (x>0)经过A. B 两点,过点A 作AC⊥y 轴于点C,过点B 作BD⊥y 轴于点D,过点B 作BE⊥x 轴于点E,连结AD,已知AC=1、BE=1、S 矩形BDOE =4.则S △ACD =___.于点E,BD⊥x轴于点F,AC=2,BD=4,EF=3,则k2−k1=____________.B. 1C. 2D. 3A. 13且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF.若OD:OB=2:3，则△BEF的面积为___.。

专题：反比例系数k 的几何意义面积转换斗转乾坤，选点设参意味深长------“浅谈反比例系数k 的几何意义及二级结论”反比例系数k 的几何意义往往与三角形、矩形、梯形面积相关，其中有很多信息可以挖掘。

这类问题当中，往往在图形当中隐含了许多结论，计算起来相对比较复杂，但如果掌握了一定的解题技巧，许多问题可以迎刃而解。

在解决反比例系数k 的几何意义相关的问题时，解题策略主要有两个：一是面积转换法，二是设参法，设而不求。

今天我们就来探索一下反比例系数k 的几何意义，以及它背后的三头六臂！一、探索反比例系数“k ”的几何意义及其隐含结论（单图像）1.反比例函数与矩形面积【探索一级结论1】如图1所示，已知反比例函数(0)ky k x=>，点P 是反比例函数上任意一点，过点P 向x 轴、y 轴作垂线分别交于点A 、B 两点，则OAPB S k =四边形.（证明）设P （x,y ）,则AP ＝y ，BP ＝x ，则OAPB S AP BP xy k=⋅==设点P 的坐标，由于次此题的背景是k ＞0，计算可知矩形面积为k 。

倘若动点P 为第二、三、四象限的点，则点P 到坐标轴的距离需要在横纵坐标的基础上打绝对值。

因此，我们可将规律一般化为：反比例函数图像上的点与坐标轴围成的矩形面积为k .【一级结论01变形一】如下图2所示.，将本题中的矩形进行平移线段变形成平行四边形，面积依然是k .总结：过反比例函数图像上的任意一点向坐标轴作平行线，所围成的特殊四边形（矩形、菱形、平行四边形、正方形）的面积为k .我们再将上面的图形进一步变形：【一级结论01变形二】如下图3，已知反比例函数ky x=，点P 、Q 是反比例函数上任意一点，且点P 和点Q 关于原点对称，过点Q 向y 轴作垂线交于点A ，连接PA 交x 轴与点H ，则PQA S k ∆=.（证明）如图4所示，过点P 作PM ⊥x 轴，过点P 作PN ⊥y 轴，易证△PNO ≌△QAO ，△PMH ≌△AOH ，因此，PQA PNOM S S k ∆==四边形.此图形特点是：①动点P 、Q 关于原点对称；②三角形的一条边平行于坐标轴.总结：反比例函数图像上若两点关于原点对称，且三角形有一条边平行于坐标轴，则此三角形的面积为k .2.反比例函数与三角形面积【探索一级结论02】如图1，已知反比例函数(0)ky k x=>，点P 是反比例函数上任意一点，过点P 向x 轴、y 轴作垂线，则此时围成的三角形面积是多少？（证明）过点P 作坐标轴的垂线，可得到一个矩形，由矩形与三角形的面积关系，则有如下结论：反比例函数图像上的点与坐标轴所围成的三角形面积为12k .我们还可作如下的变形，得到如下这些都有一条边与坐标轴平行的三角形，以下三角形的面积也均为12k .此类三角形的面积特点常用来面积转换，其面积转换的本质是“若两个三角形同底等高，则面积相等”。

小专题( 一)利用反比例函数y=( k≠0)中k的几何意义解决问题我们知道反比例函数的解析式是y=( k是常数,k≠0 ),而y=通过变形可以转化为xy=k,这说明x与y的乘积等于k,也就是说反比例函数图象上的任意一点的纵坐标与横坐标之积等于定值.如果我们利用反比例函数这一特性来解决一些数学问题,将会达到非常好的效果.类型1验证反比例函数的图象是否经过定点1.若反比例函数y=( k≠0 )的图象经过点P( -1,3 ),则该函数的图象不经过的点是( D)A.( 3,-1 )B.( 1,-3 )C.( -1,3 )D.( -1,-3 )2.若( 2,5 )是反比例函数y=的图象上的一点,则此函数图象必经过点( D)A.( -2,5 )B.( -5,2 )C.( 4,-2.5 )D.( -4,-2.5 )3.从-1,2,3,-6这四个数中任取两个数,分别记为m,n,那么点( m,n)在函数y=图象上的概率是( B)A. B. C. D.类型2求待定字母的值或反比例函数图象上点的坐标4.( 改编)如图,已知点P( n,n)( n>0 ),过点P作平行于y轴的直线交函数y=( x>0 )的图象于点N.若PN=2,则n的值为( C)A.1B.3C.1或3D.2或3提示:易得点N的坐标为.∵PN=2,∴-n=2或n-=2,又由n>0,得n=1或3.5.如图,点A1,A2依次在y=( x>0 )的图象上,点B1,B2依次在x轴的正半轴上.若△A1OB1,△A2B1B2均为等边三角形,则点B2的坐标为( 6,0 ).类型3解决有关的面积问题6.如图,P( -a,2a)是反比例函数y=( k<0 )与☉O的一个交点.若图中阴影部分的面积为5π,则反比例函数的解析式为( D)A.y=-B.y=-C.y=-D.y=-7.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=( x>0 )及y2=( x>0 )的图象分别交于点A,B,连接OA,OB.已知△OAB的面积为2,则k1-k2的值为( C)A.2B.3C.4D.-48.如图,A是反比例函数y=图象上的一点,过点A作x轴的垂线AB,垂足为B.当点A在其图象上移动时,Rt△ABO的面积大小是否变化?若不变,请求出Rt△ABO的面积;若改变,请说明理由.解:设点A的坐标为( x',y'),那么OB=|x'|,AB=|y'|.又∵点A在反比例函数y=的图象上,∴x'y'=4,∴S△ABO=OB·AB=|x'|·|y'|=|x'y'|=×4=2,∴当点A在图象上移动时,△ABO的面积不变,恒等于2.。

反比例函数K 的几何意义专题如图所示，过双曲线()0≠=k xky 上任一点()y x P ,作x 轴、y轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=|y|∙|x|.,y x k=∴||k S k xy ==，. 反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.图中三角形OEF 的面积S=21EF ∙OF=21|x|∙|y|=k 21例题1：如图，P 、C 是函数x4y =（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3.例题1图 例题2图 例题3图例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小： .例题3：如图所示，点()11,y x A 、()22,y x B 都在双曲线)0x (k>=xy 上,且12x x -=4，21y y -=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 .常考题型精选1．如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.直线m x 65y +=与双曲线xky =相交于第一象限的点A ，与x 轴交于点C ，A B ⊥x 轴于点B ，若AOB S ∆=3,则AOC S ∆= .3.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．第3题4.如图，已知点A 、B 在双曲线)0x (k>=xy 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴与点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若⊿ABP 的面积为3，则k= .第4题25.如图已知双曲线)0(<=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A （-6，4）,则⊿AOC 的面积为 .第5题 6.如图，A 、B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 .第6题 7.如图，已知双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，（1）若四边形OEBF 的面积为4，则k= ；（2）若梯形OEBA 的面积为9，则k= .第7题 8.如图，已知双曲线)0(ky >=k x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交与点C 。

反比例函数中K值的几何意义及其应用当考虑反比例函数时，我们可以将其视为一种特殊的函数关系，其中两个变量之间存在着反比关系。

反比例函数的一般形式可以表示为y=k/x，其中k是一个常数，x和y是函数的自变量和因变量。

在反比例函数中，K值是一个常数，它代表了反比例函数的特定特性。

K值的几何意义是直线y=k/x在平面中的位置和特点。

为了更好地理解K值的几何意义，我们可以思考以下问题：1.K值的符号：当K值为正数时，反比例函数图像位于第一和第三象限，当K值为负数时，图像位于第二和第四象限。

2.K值的绝对值：绝对值越小，曲线越陡峭；绝对值越大，曲线越平滑。

这是因为K值的绝对值代表了x和y之间的反比关系的强度。

3.K值对函数图像的平移效果：当K增大时，函数图像会沿着y轴缩小，而当K减小时，函数图像会沿着y轴放大。

这是因为反比例函数的图像是关于y轴对称的。

应用方面，反比例函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。

下面列举了几个常见的应用：1.物理学–比如在牛顿第二定律中，质量（m）与加速度（a）是反比例关系，即F=k/m，其中F是力，k是常数。

当应用这个反比例关系时，我们可以利用K值计算质量和加速度之间的强度关系。

2.经济学–比如供需关系中，商品价格（P）与需求量（D）也遵循反比例关系，即P=k/D，其中k是一个常数。

通过K值，我们可以了解价格和需求之间的关系，从而调整市场供需平衡。

3.化学–比如在浓度计算中，溶液中溶质的浓度（C）与溶液体积（V）是反比例关系，即C=k/V，其中k是一个常数。

通过K值，我们可以计算溶液中的溶质浓度和体积之间的关系。

4.网络传输–在计算机网络中，带宽（B）和数据传输速率（R）也存在反比例关系，即R=k/B，其中k是一个常数。

通过K值，我们可以确定数据传输速率和带宽之间的关系，从而优化网络性能。

5.金融学–比如货币价值与通货膨胀之间存在反比例关系，即货币价值（V）=k/通货膨胀（I），其中k是一个常数。

反比例函数K 的几何意义【反比例函数中K 和几何意义】如图所示，过双曲线丫 = *侬力0)上任一点P(x,〉)作x 轴、y 轴 x的垂线PM 、PN,垂足为M 、N,所得矩形PMON,求矩形PMON 的面积.同理求AOEF 的面积.k 例题L 如图所示，直线1与双曲线y = -(k>0)交A 、B 两点，P 是 xAB 上的点，试比较ZAOC 的面积S P ZBOD 的面积S2, ZPOE 的面积S3的大小:4 例题2：如图，P 、C 是函数y = - (x>0)图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A,过点C x作X 轴的垂线CD,垂足为D,连接0C 交PA 于点E,设ZPOA 的面积为S 】,则S,=，梯形CEAD 的 而积为S2,则Si 与S2的大小关系是S S 2, NPOE 的而积S3和梯形CEAD 的而积为S?的大小关系是 S S3.例题 3：如图所示，点 A(xi,y 。

、B(x 2,y 2)都在双曲线 — (x > 0) ±,K x 2-xi=4,y r y 2=2;^别过点 A 、B 向X例题1图例题2图 例题3图X轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F, AC与BF相交于G点，四边形FOCG的而积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为4、4、4，得直角三角形S 2> S3、S” S5,则 S 5 的值-12 1. 如图，A 、B 为双曲线)=——上的点，AD±x 轴于D, BC±y 轴于点C,则四边形ABCD 的而积 x2. 如图已知双曲线y = -(k<0)经过直角三角形OAB 斜边0A 的中点D,且与直角边AB 相交于点C,若 X 点A 的坐标为(-6, 4)，则ZJAOC 的面积为 o3. 如图，己知点A 、B 在双曲线y = —(x>0)上，AC±x 轴于点C, BD±y 轴与点D, AC 与BD 交于点P, P x是AC 的中点，若NABP 的面积为3,则k=。