福建省师大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷

福建师大附中2015-2016学年第一学期高三半期考试卷高三数学 (理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A ． 2 B. 3 C ．4 D. 52．已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧B.p q ⌝∧C ．p q ∧⌝ D.p q ⌝∧⌝4．已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） AC ．132D ．1125．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ． －1B ． －13 C. 13D ． 16. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B.5 C ．-5 D. -77.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan 21tan2αα+=-( )A ． 12-B. 12C ． 2 D. -28.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．129．存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+ 10．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1,（ ） A.若θ确定，则 ||a 唯一确定 B.若θ确定，则 ||b 唯一确定 C.若||a 确定，则 θ唯一确定 D.若||b 确定，则 θ唯一确定 12．设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A ．[-32e ，1） B. [-32e ，34） C ．[32e ，34） D. [32e，1）二、填空题：（每小题5分，共30分） 13.()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭． 14.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+ ,则,a b夹角的余弦值为_______.15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图象重合,则ϕ= 。

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。

【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷说明：如果福建师范大学附中第20学年第一学期的试卷符合高等数学的要求，那么=（***）a.b.c.d.2否定命题“有实数，所以>1”是（****）a。

对于任何实数，都有>1b没有实数，所以1C对于任何实数，都有1D实数，所以13如果设置，（***）a.b.c.d.4如果，那么（***）a.b.c.d.5在下面的不等式中是常数，如果不等式的解集是，那么的值是（**）a.-10B 10c.-14天。

146.已知为等差序列，然后=（***）a.b.c.d.7如果三个已知内角的对侧为，相交，则形状为（**）。

A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如果序列的一般项公式为，则将其设置为序列的前项和公式，然后（***）A.-100B 100c.-150天。

1509.平面中有三个向量，其中夹角为is，夹角为is，如果，（），则（**）a.b.c.d.10首先将函数的图像向下移动一个单位，然后将纵坐标扩展到原来的两倍（横坐标固定）以获得新函数，然后（***）a.b.c.d.11 a公司每月生产两种面料a和b。

所有的原料都是两种不同颜色的羊毛。

下表显示了生产每件布料所需的羊毛量和每种颜色的羊毛总量（千克）每件布料供应（千克）布料a布料B红色441400绿色631800已知生产每件布料a和B的利润分别为120元和80元，那么公司应如何安排每月产生最大利润的两种布料a和B的件数，即（**）元a.38000b。

32000摄氏度。

28000d。

4800012.将其设置为由平面向量组成的集合。

如果它有任何正实数和向量，根据这一点，它被称为“正则量场”，可以得出以下平面向量集是“正则量场”是（****）a.b.c.d.II。

如果已知矢量满足，则填空问题（每个子问题4个点，总共16个点）13，向量和IS之间的夹角；14.如果已知正实数满足，则的最小值为_***___15。

福建师大附中2015-2016学年第一学期半期考试卷高三数学（文科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。

一、选择题：（ 每小题5分，共60分；在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1.已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B =I （ ） （A ）φ （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2-2.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=r r,如果向量a r 与b r 平行,则m 的值为( )(A)12 (B)12- （C ）2 （D ）2-3．若i 为虚数单位，则131ii+=-（ ） (A)12i + (B)12i -+ (C) 12i - (D)12i --4.已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为( )(A)1516 (B)916 (C)78 (D)1516±5.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） (A)向左平移12π个单位 (B)向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D)向右平移3π个单位 6.等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则24a a =（ ） （A ）6 （B ）9 （C ）36 （D ）817.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ）(A)p q ∧ (B)p q ⌝∧ (C)p q ∧⌝ (D)p q ⌝∧⌝ 8.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =++-，则()f x 是（ ）(A)奇函数，且在(0,1)上是增函数 (B)奇函数，且在(0,1)上是减函数(C)偶函数，且在(0,1)上是增函数 (D)偶函数，且在(0,1)上是减函数 9.若函数()sin (0,)y x ωϕωϕπ=-><在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图如右图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3πωϕ==（B ） 22,3πωϕ==-（C ）1,23πωϕ== （D ） 12,23πωϕ==-10.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC =u u u r u u r ，1AD =u u u r，则AC AD •=u u u r u u u r ( ）（A ）23（B 3（C 3（D 311.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( )12.数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前44项和为（ ）ADCB（A ）990 （B ）870 （C ）640 （D ）615二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知3,2a b ==r r ,a r 与b r 的夹角为030,则a b -=r r ______14.若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是________ 15.若等差数列{}n a 满足6780a a a ++>,690a a +<,则当n =____时,{}n a 的前n 项和最大.16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北030的方向上，行驶600米后到达B 处，测得此山顶在西偏北075的方向上，仰角为030，则此山的高度CD =_____米. 三、解答题：（本大题共6题；满分70分） 17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零,125a =,且11113,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；18. (本小题满分12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,求ABC ∆面积的最大值.19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈.（I ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.20. (本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,1AB =,3BC =,2CD DA ==. （Ⅰ）求角C 的大小和线段BD 的长度; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积.21. (本小题满分12分)设函数b ax x x f ++=2)(,)()(d cx e x g x+=.若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ,且在点P 处有相同的切线24+=x y .（Ⅰ）求a 、b 、c 、d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时,)()(x kg x f ≤,求k 的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴,取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换''2x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，曲线'C 上任一点为00(,)M x y ，求0012y +的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知1()33f x x x a a=++- （Ⅰ）若1a =，求()8f x ≥的解集；（Ⅱ）对任意(0,)a ∈+∞，任意x R ∈，()f x m ≥恒成立，求实数m 的最大值.2015-2016学年第一学期半期考试卷参考答案(文科)BBBCB CBDAD CA 1, 02b <<, 7,17.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意211113a a a =,即2111(10)(12)a d a a d +=+于是1(225)0d a d +=,又因为125a =,0d ≠, 所以2d =-,故227n a n =-+(Ⅱ)令14732...n n S a a a a -=++++,由(Ⅰ)知32631n a n -=-+ 故{}32n a -是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而213211()(25316)32822n n S a a n n n -=+=+-=-+18.解：（Ⅰ）由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C+--=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C A C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（Ⅱ）2222cos ,a b c bc A =+-Q 2242b c bc bc bc bc ∴=+-≥-=，∴1sin 24S bc A bc ==≤当且仅当b c =时，等号取到. 19．解：（I ）当1n =时,111a S ==; 当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=-{}n =2-.n a a n 故的通项公式为（II ）由（I ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111)+()++()]2-1113232112nn n n ---=---L [( 20.解:()221.,ΔABD,ΔBCD A,C ,14-94-cos ,cos .π,cos cos 0222231π7,cos ,,723x BD x x A C A C A C x C C BD =++==+=+=⋅⋅⋅====Q 设分别在中，对角用余弦定理则联立上式解得所以，()ΔΔπ32.π,,sin sin 32113sin in (13)2 3.22223ABCD ABD BCDA C C A C ABCD S S S AB AD A CB CD sC ABCD +=====+=⋅⋅+⋅⋅=+=Q 四边形面积所以，四边形面积为 21.解22.解:（Ⅰ）直线l 32310x y +-=曲线C 的直角坐标方程为224x y +=（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换''2x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线'C 的方程为2244y x +=，即221416x y += 又点M 在曲线'C 上，则002cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）0012y +，得00112cos 4sin 2sin 4sin()223y πθθθθθ+=+⋅=+=+0012y +的取值范围是23.解:(Ⅰ)当1a =时，()3131f x x x =++- 当13x <-时，由()8f x ≥有(31)3(1)8x x -+--≥，解得1x ≤-当113x -≤≤时，由()8f x ≥有313(1)8x x +--≥，无解 当1x >时，由()8f x ≥有313(1)8x x +--≥，解得53x ≥综上可得5(,1][,)3x ∈-∞-+∞U（Ⅱ）1()33f x x x a a=++-11(3)(33)3x x a a m a a≥+--=+≥≥所以当13a a=，即a =m的最大值为。

福建省师大附中2015届高三上学期期中考试数学试卷（文）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=（ ）A.45 B. 35 C. －35 D. －452．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.1523．已知322sin =α ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα=（ ）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 4.已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（） A.23 B.3 C.0 D. 3- 5.设123log 2,ln 2,2ab c ===，则（）A ． a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ． c b a << 6.函数()sin()(0)6f x A x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x A x ω=的图像，只需将()f x 的图像（）A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 8. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,若,,M N P 三点共线, O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于（ ）A. 15B. 10C. 40D. 2010．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）A.10B.11C.12D. 1311.已知()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=-，当20x -≤≤时，()2xf x =；若()*,n n N a f n∈=，则2014a 等于（ ）A ．2009B ．2009-C ．21 D ． 1412．函数 )2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，则=)(πf （ ）A ．4B ．32C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共9０分）二、填空题：本大题共7小题，每小题４分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα____. 14．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎝⎛+=83,24,42sin πππx x y ，则使得函数值大于21的x 的取值范围为____. 15.函数cos22sin y x x =+的最大值为____.16.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5100,50S S ==， 则n nS 的最小值为18.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量 观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .19.如右图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .三、解答题：本大题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本题满分12分）已知函数，其中0ω>，()f x 的最小正周期为.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在中， 角A B 、、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数的取值范围.21.（本题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos()cos A B B --sin()sin()A B A C -+35=-(1)求sin A 的值;(2)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.22．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足*1221,(,2)n n n a a n N n -=+-∈≥，且481.a =（1）求数列的前三项123,,;a a a（2）是否存在一个实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由。

福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高三数学（理科）试卷班级 姓名 座号 考号一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ） A ．n ∀∈N ，22n n > B ．n ∃∈N ，22n n ≤ C ．n ∀∈N ，22n n ≤ D ．n ∃∈N ，22n n =2．已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}x B y y x ==+∈R ，则A B 等于（ ） A ．{12}x x << B ．{24}x x << C ．{14}x x << D ．{4}x x > 3．函数2()cos 2f x x =的周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 4．设集合{}A x x a =<，{3}B x x =<，则“3a <”是“A B ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对应边为a ，b ，c ．若2s i n b a B =，则A =（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．120 6．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（ ）A ．14B ．14-C ．6-D ．10 7．函数2()ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23 D ．19．下列函数中，既是奇函数，又在区间(1,)+∞内是增函数的是（ ）A ．cos 2y x =B ．2x x e e y --= C ．2log y x = D ．312y x x =-+10．已知α，β都是锐角，3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β的值为（ ）A ．1665 B ．5665 C ．3365D ．6365-11．已知函数1,0,()0.xe xf x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,0]-B ．[1,0]-C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞-12．单位圆O 的内接四边形ABCD 中，2AC =，60BAD ∠= ，则四边形ABCD 的面积的取值范围为（ ）A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1()21x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点 ． 14．设20lg ,0,(),0.ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若[(1)]9f f =，则a = ． 15．设1,2a b ≥，现有下列命题： ①若1b a -=，则111a b-<； ②若1b a -=1<；③若1b a -=，则22log log 1a b -<； ④若1b a -=，则11122a b-<． 其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号）16．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，平面直角坐标系xOy 中，3ABC π∠=，6ADC π∠=，AC =BCD ∆（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）若函数()sin()f x M x ωϕ=+（0M >，0ω>，2πϕ<）的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B是()f x 图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．18．（本小题满分12分）设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a ∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴交于点(0,6)． （Ⅰ）确定a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值．19．（本小题满分12分）如图，在Rt ABC ∆中，2ACB π∠=，3AC =，2BC =，P 是ABC∆内的一点．（Ⅰ）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； （Ⅱ）若23BPC π∠=，设P C B θ∠=，求PBC ∆的面积()S θ的解析式，并求()S θ的最大值．20．（本小题满分12分）已知函数2()log (23)a f x x x =-+，其中0a >，且1a ≠．当[0,3]x ∈时，恒有()1f x >-，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数()n n f x x bx c =++（n *∈N ，,b c ∈R ）． （Ⅰ）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（Ⅱ）设2n =，若对于任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -≤，求b 的取值范围．BPCA22．（本小题满分12分）已知函数()e x f x =，记p ：x ∃∈R ，e 1x kx <+． （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0P f 处的切线的方程； （Ⅱ）若p 为真，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若[x ]表示不大于x 的最大整数，试证明不等式*11ln ()n n n n+≤∈N ，并求1111[]101112100S =++++ 的值．福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高三数学（理科）答案卷一、选择题(60分)13．； 14． ； 15． ； 16． ． 三、解答题(70分) 17．（本小题满分10分）12分）19．（本小题满分12分）BPC A．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）22．（本小题满分12分）福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高三数学（理科）试卷答案一、选择题(60分)13． （1,3） ； 14． 3 ； 15． ②④ ； 16．{101}x x x <-<<或． 三、解答题（70分） 17．解：（Ⅰ）因为3ABC π∠=，6ADC π∠=，所以6BCD π∠=，23CBD π∠=，BC BD =．法一：又因为BCD ∆212sin 23BCD S BD BC π∆=⋅⋅==所以2BC =．在ABC ∆中，AC =3ABC π∠=，由余弦定理得：2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅，即22174222AB AB =+-⨯⨯， 整理得2230AB AB --=．所以3AB =或1AB =-（舍去），所以AB 的长为3．法二：在BOC ∆中，sin3CO BC π=⋅=，1cos 32BO BC BC π=⋅=．又因为BCD ∆212BCD S BD CO ∆=⋅==所以2BD BC ==，故CO 1BO =．直角三角形AOC 中，2OA =． 故3AB BO OA =+=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，(2,0)A ，(1,0)B -，C ．因为函数()sin()f x M x ωϕ=+的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B 是()f x 图象与x 轴相邻的两个交点，所以函数()f x 的半个周期为32T =，对称轴为12x =．所以26T πω==． 因为0ω>，所以3πω=，所以1232k ππϕπ⨯+=+（k ∈Z ），所以3k πϕπ=+（k ∈Z ）． 又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin()33f x M x ππ=+．又因为(0)sin3f M π=== 所以2M =，从而函数()f x 的解析式为()2sin()33f x x ππ=+．18．解：（Ⅰ）因为2()(5)6ln f x a x x =-+，所以6'()2(5)f x a x x=-+． 令1x =，可得(1)16f a =，'(1)86f a =-+，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：16(86)(1)y a a x -=-+-． 由点(0,6)在切线上可得61686a a -=-，故12a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()(5)6ln 2f x x x =-+（0x >），6(2)(3)'()5x x f x x x x--=-+=．令'()0f x =，可得12x =，23x =．当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表所示：所以函数(f)上单调递增．由此可知，()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+．19．解：（Ⅰ）解法一：因为P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且2BC =，所以4PCB π∠=，PC =2ACB π∠=，则4ACP π∠=．在PAC ∆中，由余弦定理得2222cos 922354PA AC PC AC PC π=+-⋅⋅=+-⨯=，故PA解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有(0,0)C ，(2,0)B ，(0,3)A ． 因为PBC ∆是等腰直角三角形，2ACB π∠=，所以4ACP π∠=，4PBC π∠=，所以直线PC 的方程为y x =，直线PB 的方程为2y x =-+．联立,2y x y x =⎧⎨=-+⎩可得(1,1)P，故PA（Ⅱ）在PBC ∆中，23BPC π∠=，PCB θ∠=，所以3PBC πθ∠=-． 由正弦定理可得：22sin sin sin()33PB PC ππθθ==-，故PB θ=，)3PC πθ=-． 所以PBC ∆的面积为：212()sin )sin 2331sin )sin 22cos sin sin 22)6S PB PC ππθθθθθθθθθθθπθ=⋅⋅=--=-=+-+又(0,)3πθ∈，故52(,)666πππθ+∈，从而当6πθ=时，()S θ． 20．解：（1）当01a <<时，由题意知，当[0,3]x ∈时，恒有()1f x >-， 即当[0,3]x ∈时，21log (23)1log a a x x a --+>-=．又因为函数()log a f x x =在(0,)+∞上单调递减，且当[0,3]x ∈时，2123x x a --+<， 所以2max 1(23)x x a>-+，[0,3]x ∈． 令22()23(1)2g x x x x =-+=-+，[0,3]x ∈． 可知，当1x =时，函数()g x 取到最小值(1)2g =； 当3x =时，()g x 取到最大值(3)6g =．故16a>，可解得106a <<．（2）当1a >时，由题意知，当[0,3]x ∈时，21log (23)1log a a x x a --+>-=． 又因为函数()log a f x x =在(0,)+∞上单调递增，且当[0,3]x ∈时，2123x x a --+>， 所以2min 1(23)x x a <-+，[0,3]x ∈．故12a <，可解得0a <或12a >．从而1a >．综上所述，实数a 的取值范围为1{01}6a a a <<>或． 21．解：（Ⅰ）证明：当2n ≥，1b =，1c =-时，()1n n f x x x =+-． 因为111()(1)10222n n n f f ⎛⎫⋅=-⨯< ⎪⎝⎭，所以()n f x 在1(,1)2内存在零点． 又因为当1(,1)2x ∈时，1'()10n n f x nx -=+>，所以()n f x 在1(,1)2上单调递增， 所以()n f x 在1(,1)2内存在唯一的零点． （Ⅱ）当2n =时，22()f x x bx c =++．对于任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤． ①当12b ->，即2b >时，22(1)(1)24M f f b =--=>与题设矛盾； ②当102b -≤-<，即02b <≤时，222(1)()(1)422b b M f f =--=+≤恒成立； ③当012b ≤-≤，即20b -≤≤时，222(1)()(1)422b b M f f =---=-≤恒成立． 综上所述，b 的取值范围为{22}b b -≤≤．22．解：（Ⅰ）因为()e x f x '=，所以()01f '=，即函数的图象在点()()0,0P f 处的切线的斜率为1.又因为切线过切点()0,1P ，故所求切线方程为1y x =+． （Ⅱ）令()h x =e 1x kx --，则()e x h x k '=-．① 当0k ≤时，恒有()e 0x h x k '=->，所以()h x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 又因为()00h =，所以当0x <，都有()0h x <，即命题p 为真. ②当0k >时，令()0h x '=，可得ln x k =．当ln x k <时，()0h x '<；当ln x k >时，()0h x '>.所以()h x 在区间(,ln )k -∞上单调递减，在区间(ln ,)k +∞上单调递增. 方法一：当01k <<时，ln 0k <，因为对(ln ,0)x k ∈，都有()(0)0h x h <=，所以命题p 为真； 当1k >时，ln 0k >，因为对(0,ln )x k ∈，都有()(0)0h x h <=，所以命题p 为真； 当1k =时，()h x 的最小值()ln ln 10h k k k k =--=，所以()0()h x x ≥∈R ，命题p 为假. 综上所述，若p 为真，则实数k 的取值范围为{|,1}k k k ∈≠R . 方法二：故当ln x k =时，()h x 取得最小值()ln ln 1h k k k k =--．令()ln 1m x x x x =--,则()ln m x x '=-.当01x <≤时，()0m x '≥； 当1x ≥时，()0m x '<．所以()m x 在区间(0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减． 故当1x =时，()m x 取到最大值．当0k >且1k ≠时，()max ln ()()(1)0h k m k m x m =<==，即存在ln x k =，使得e 1x kx <+，命题p 为真；当1k =时，()h x 的最小值()ln ln 10h k k k k =--=，所以()0()h x x ≥∈R ，命题p 为假. 综上所述，若p 为真，则实数k 的取值范围为{|,1}k k k ∈≠R . （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1k =，命题p 为假，命题p ⌝为真，即e 1x x ≥+对x ∈R 恒成立，所以，当10x +>时，有()ln 1x x +≤． 令*1()x n n =∈N ，即证得，*11ln ()n n n n+⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭N . 由*11ln ()n n n n+⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭N 得：1111101112100++++ 111213101ln ln ln ln 101112100≥++++ 101ln 10=. 在()ln 1(1)x x x +≤>-中，令*1()x n n =-∈N 可得，1ln 1n n n⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， 所以：1111101112100++++ 101112100ln ln ln ln 9101199≤++++ 100ln 9=. 因此1011111100ln ln 101011121009≤++++≤ ． 又因为1012ln310<<，1002ln 39<<， 所以111123*********<++++< ，则1111[]2101112100S =++++= ．。

福建师大附中2014-2015学年第一学期半期考试卷高二数学必修5(理科)（满分：150分，时间：120分钟）本试卷分第I 卷（模块考试）和第II 卷（能力考试）两部分，共150分，考试时间120分钟。

请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷（模块考试卷，共100分）一、选择题：（每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．若a>b,则不等式成立的是（ ）A ．a+c<b+cB ．b-a<0C ．ba 11< D ．1>b a2．已知等差数列}{n a ，若124a a +=，3416a a +=，则该数列的公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．73. 原命题为“若12n n n a a a ++<，*n N ∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假4．设x R ∈，“23100x x --<”的一个必要不充分条件是 （ ）A ． 25x -<<B ． 20x -<<C ． 52x -<<D ． 26x -<<5．在△ABC 中，若23a =b sinA ，则B 为 （ ） A ．323ππ或B ．6πC ．3πD ． 566ππ或6．在等差数列{}n a 中，若,1264=+a a n S 是数列{}n a 的前n 项和,则9S 的值为 （ ） A ．48B ．54C ． 60D ．667．在下列函数中，最小值是2的是 （ ） A ．xx y 55+=B ．)101(lg 1lg <<+=x xx y C ．)(33R x y xx∈+=- D ．)20(sin 2sin π<<+=x x x y二、填空题：（每小题4分，共16分）8. 命题“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是 ．9．已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为{23}x x <<，则关于x 的不等式052<++a x cx 的解集是 .10．已知c b a ,,分别为锐角ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,且1,2b c ==，则边长a 的取值范围是 ．11．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2log (1)1,n S n n N *+=+∈，则n a =______________.三、解答题：（本大题共4小题，共49分） 12．（本小题满分12分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元） 月资金最多供应量（百元） 空调 冰箱进货成本 30 20 300 工人工资 5 10 110 每台利润 6 8场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？ 13．（本小题满分12分）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角为60︒，C 点的仰角为45︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，求山高MN .14. （本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =.数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和. 15. （本小题满分13分）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且6a c -=，sin 6B C =.（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.第Ⅱ卷（能力提高卷，共50分）一、选择题：（每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 16. 不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p17. 若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+B.327+C.346+D.347+ 二、填空题：（每小题4分，共16分）18．关于x 的一元二次方程22(1)(1)0x a x a ++--=的一个根大于1，一个根小于1，则实数a 的取值范围是 ．19. 已知函数276()18100xf x x x =++，则()f x 的最大值为__________. 20. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2a =，且()(sin sin )a b A B +-()sin c b C =-，则ABC ∆面积的最大值为____________．21. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 . 三、解答题：（本大题共2小题，共24分） 22．（本小题满分12分）已知函数()()222f x ax a x =-++（a 为常数）.（Ⅰ）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x <； （Ⅱ）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x <.（Ⅲ）若对于任意[]2,3x ∈，总有()0>x f 成立，求实数a 的取值范围．23.（本小题满分12分）设数列{}n a 的通项公式为*(,0)n a pn q n N p =+∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.222x y +=3230x y +=340x y +=22101115 0 xy高二数学必修5（理） 参考答案1－7：BBADA BC 8. ∃x ∈R ，2210x x+-< 9. 1123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 10 .35a << 11. 3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩ 12. （本小题满分12分）解:设每月调进空调和冰箱分别为y x ,台，总利润为 z （百元）则由题意，得30203003230510110,2220,00,0x y x y x y x y x y x y +≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤+≤⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩即 目标函数是 y x z 86+=，画图，得⎩⎨⎧=+=+2223023y x y x 的交点是 )9,4(Pmax 648996z =⨯+⨯=（百元）所以，每月调进空调和冰箱分别为4台和9台，总利润最大，最大值为9600元. 13．（本小题满分12分） 解：根据题意，在ABC D ,已知45CAB ??,90ABC ??,100BC =,易得：1002AC =; 在MAC D 中，75MAC ??，60MCA ??，1002AC =,易得：45AMC ??，由正弦定理可解得：sin sin AC AMAMC ACM=行， 即：1002310032AM =?； 在AMN D 中，已知60MAN ??,90MNA ??,1003AM =,易得：150MN m =．14．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123333a a d --===， 所以1(1)3(1,2,),n a a n d n n =+-==L 设等比数列{}n nb a -的公比为q ,由题意得：3441120128,43b a q b a --===--解得2q =.所以1111()2,n n n n b a b a q ---=-=从而132(1,2,)n n b n n -=+=L（Ⅱ）由（1）知，132(1,2,),n n b n n -=+=L数列{}3n 的前n 项和为3(1),2n n +数列{}12n -的前n 项和为12121,12n n -⨯=-- 数列{}n b 的前n 项和为3(1)2 1.2n n n ++- 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵sin 6sin B C =，∴6b c =，代入6a cb -=，解得2a c =， 由余弦定理得22222226cos 2426b c a A bc c+-===. （Ⅱ）由（Ⅰ）得10sin A =， ∴15sin 22sin cos A A A ==，221cos 2cos sin 4A A A =-=-， 31153cos 2cos 2sin 262A A A π-⎛⎫-=+=⎪⎝⎭16. B 17. D 18. 4a <- 19. 2 20. 3 21. 5 21. （本小题满分12分）解：原不等式可化为(2)(1)0ax x --<（Ⅰ）当1a =时，不等式等价于(1)(2)0x x --<, ∴12x <<∴原不等式的解集为{|12}x x <<.（Ⅱ）∵原不等式等价于(2)(1)0ax x --<, ∴2()(1)0a x x a--< ∵0a >, ∴2()(1)0x x a--<当21a>，即02a <<时，解集为2{|1}x x a <<当21a=，即2a =时，解集为Φ 当21a<，即2a >时，解集为2{|1}x x a <<（Ⅲ）（3）若对于任意[]2,3,x ∈总有()0>x f 即2()220a x x x --+>成立；即对于任意[]2,3,x ∈2222(1)2(1)x x a x x x x x-->==--成立 当[]2,3,x ∈2213x≤≤ 1a ∴> 23. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，得203n ≥. ∴11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++L L L ()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦L L()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. ∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--）， 这与上述结论矛盾！ 当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-. ∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-.。

福建省师大附中2007—2008学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是 （ ）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有2． (2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ）A． B ． 2C ．D ．10 3．已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(5)f 的值为（ ） A ．12B ．C ．D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于 （ ）A ．9B ． 8C ． 7D ．65．若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x ππ∈+=-有，则()6f π等于（ ） A ．3- B ． 0 C ． 3 D ．3±6．设1()f x -是函数1()2()3x x f x x =-+的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．83x >B ． 83x <C ． 803x << D ．0x <7．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若111111,a b a b ==，则（ ）A ．66a b =B ． 66a b >C ． 66a b <D ．66a b >或66a b <8．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线，则必有（ ）A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ． a b →→= D ．a b →→≠9．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形 10．若cos 2sin()4απα=-sin cos αα+的值为（ ）A． B ． 12-C ．12D11．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 。

福建师大附中20-2015学年第学期考试卷 高数学本试卷共页．满分150分考试时间120分钟．注意事项：试卷分第卷和第卷两部分，第卷共分 一、选择题：本大题小题每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，集合，则 A. B． C． D．设随机变量X服从正态分布N（0， 1），P（X>1）=p,则P（X>－1）=（ A．1－2p B． p C．1－p D．2p.若复数满足，则等于（B．C． D． 4．已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ （1） （2） （3）则∥ （4） A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A．B．C． D．函数有且只有一个零点的充要条件是（A．B．C．D．7．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ B． C． D． 8．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则的值是（B．C． D． 9．已知抛物线的焦点为F,准线为,是抛物线上的两个动点,且设线段的中点在上的射影为,则的最大值是（ B. C. D. 2 10．把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（ A．4 B． 3 C．2 D． 1 第卷共分二、填空题：本大题小题，每小题分，共分，把答案填在答卷11．的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ******* ． 12．某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积是 ******* ． 13．若满足则的最大值是*************** ． 14．如图.A1，A2，…Am-1(m2)将区间[0,l]m等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=ex所围成的区域为图中m个矩形构成的阴影区域为,在中任取一点,则该点取自的概率等于******* ． 15．已知函数，下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号） ①是奇函数②对定义域内任意x，0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=－sin三、解答题：本大题题，分本小题满分1分）的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（本小题满分1分）为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望． 18．（本小题满分1分），，函数的图象过点. （Ⅰ）求的值以及函数的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围． 19. （本小题满分1分）中，侧面是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点. (Ⅰ)求与底面所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值. 20．（本小题满分1分），椭圆． （Ⅰ）若点上的垂直平分线经过椭圆右焦点求点的坐标；上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”． 据此,写出一般结论，并加以证明． 21．(本小题满分分. 在上的最小值. ⑵若存在使不等式,求实数的取值范围. ⑶记函数的图像为C，为曲线C在点的切线，若存在,使直线与曲线C有且仅有一个公共点，求满足条件的所有的值.福建师大附中20-2015学年第学期考试卷一、选择题：二、填空题： 1 12． 13． 2 14. 15．②④⑤ 三、解答题：本大题题，分本小题满分1分） 17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．………1分 （1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是 ……4分 （2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是 ． ……5分 因为每个人的选择是相互独立的， 所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布， …6分 且，， …8分 即的分布列是 0 1 2 3 0.729 0. 243 0.027 0.001……10分 所以，的期望是．……12分 （或的期望是．） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由． 因为点在函数的图象上，所以， 解得.……4分由， 可得函数的单调增区间为……6分 (Ⅱ) 因为， 所以=2， 所以，即. ……8分 又因为，所以，所以. ……9分 又因为，所以，. ……10分 所以，，所以.…11分 所以的取值范围是. ……12分 19. （本小题满分12分）解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分 则, ． 由M为PB中点，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．……………………………8分 (III)．令平面BMC的法向量， 则，从而x+z=0；……①, ，从而．……② 由①、②，取x=?1，则．∴可取．……………10分 由(II)知平面CDM的法向量可取，…………………………11分 ∴． ∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上 （Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即， 又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而， 则…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，， 故，所求二面角的余弦值为.…………13分 20．（本小题满分13分） （Ⅰ）设点，则，（1） ……………………1分 设线段的垂直平分线与相交于点，则，……2分 椭圆的右焦点， ………………3分 ,，， ，（2）…………………………4分 由（1），（2），解得，点的横坐标为． ……………5分 （Ⅱ）一般结论为： “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………7分 证明如下： （ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率 不存在时，此时切线方程为， 点在圆上，， 直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线 两切线互相垂直．………………………………8分 （ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时， 可设切线方程为， 由得， 整理得，……………9分 直线与椭圆相切， ， 整理得，………………………10分 ， ………………………11分 点在圆上，，，，两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分 21．(本小题满分分,所以在上单调递减， 当时，…………………（4分） 可化为 （10分） 函数的定义域为 所以在切点处的切线的斜率为，因此，切线的方程为：。

福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则 A ∪B ＝ ( **** ) A. R B. ∅C. {x |x ≤1}D. {x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（**** ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1ae ≥成立 D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是(**** ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（**** ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（**** ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x（其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（**** ）11.已知函数()sin 3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有 四个实数根，则实数ω的取值范围为（ **** ）A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe ea x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（****） A ．1- B ．1 C ．1-或3 D ．1或3- 第Ⅱ卷 共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=__****__.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为__****__. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__. 16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为 **** .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.EDCBA20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+- （0a > ）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21. （本小题满分12分）函数()()cos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况； （Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．EDCBA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. , 14． 7 15．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） (Ⅰ)由已知得13sin 2BCD S BC BD B ∆==， 又2BC =，sin B =23BD =……………3分 在BCD ∆中，由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠, ……………10分得2sin 2A =11分 解得cos A =所以4A π=即为所求. ……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n n n T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程， 对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增， 又f (0)＝f ( 83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 83}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a－1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分 ③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾. .............11分 综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21. （本小题满分12分）由已知得: ()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭ (2)分∵A 为图象的最高点，∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分,∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分 注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。