2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又②，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得②，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷说明：如果福建师范大学附中第20学年第一学期的试卷符合高等数学的要求，那么=（***）a.b.c.d.2否定命题“有实数，所以>1”是（****）a。

对于任何实数，都有>1b没有实数，所以1C对于任何实数，都有1D实数，所以13如果设置，（***）a.b.c.d.4如果，那么（***）a.b.c.d.5在下面的不等式中是常数，如果不等式的解集是，那么的值是（**）a.-10B 10c.-14天。

146.已知为等差序列，然后=（***）a.b.c.d.7如果三个已知内角的对侧为，相交，则形状为（**）。

A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如果序列的一般项公式为，则将其设置为序列的前项和公式，然后（***）A.-100B 100c.-150天。

1509.平面中有三个向量，其中夹角为is，夹角为is，如果，（），则（**）a.b.c.d.10首先将函数的图像向下移动一个单位，然后将纵坐标扩展到原来的两倍（横坐标固定）以获得新函数，然后（***）a.b.c.d.11 a公司每月生产两种面料a和b。

所有的原料都是两种不同颜色的羊毛。

下表显示了生产每件布料所需的羊毛量和每种颜色的羊毛总量（千克）每件布料供应（千克）布料a布料B红色441400绿色631800已知生产每件布料a和B的利润分别为120元和80元，那么公司应如何安排每月产生最大利润的两种布料a和B的件数，即（**）元a.38000b。

32000摄氏度。

28000d。

4800012.将其设置为由平面向量组成的集合。

如果它有任何正实数和向量，根据这一点，它被称为“正则量场”，可以得出以下平面向量集是“正则量场”是（****）a.b.c.d.II。

如果已知矢量满足，则填空问题（每个子问题4个点，总共16个点）13，向量和IS之间的夹角；14.如果已知正实数满足，则的最小值为_***___15。

2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|2x<1}，则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【答案】D【考点】子集与交集、并集运算的转换不等式集合的含义与表示【解析】先分别求出集合A和B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x2−x<0}={x|0<x<1}，B={x|2x<1}={x|x<0}，∴A∩B=⌀．故选D.2. 设向量a→=(1, −2)，b→=(0, 1)，向量λa→+b→与向量a→+3b→垂直，则实数λ＝（）A.1 2B.1C.−1D.−12【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知先求出λa→+b→，a→+3b→，然后结合向量数量积的性质可求【解答】∵a→=(1, −2)，b→=(0, 1)，∴λa→+b→=(λ, 1−2λ)，a→+3b→=(1, 1)，∵向量λa→+b→与向量a→+3b→垂直，∴λ+1−2λ＝0，则实数λ＝13. “a＝1”是“直线(2a+1)x+ay+1＝0和直线ax−3y+3＝0垂直”的（）A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线垂直的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】若直线(2a+1)x+ay+1＝0和直线ax−3y+3＝0垂直，则a(2a+1)+(−3)×a＝0，得a2−a＝0，得a＝1或a＝0，则“a＝1”是“直线(2a+1)x+ay+1＝0和直线ax−3y+3＝0垂直”的充分不必要条件，4. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3−S2＝6，则S5＝（）A.15B.30C.40D.60【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．【解答】∵S3−S2＝a3，∴a3＝6，∴S5=5(a1+a5)=5a3＝30，25. 设l，m是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）A.若l // α，m // α，则l // mB.若l // α，m⊥l，则m⊥αC.若l⊥α，m⊥l，则m // αD.若l⊥α，m⊥α，则l // m【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在A中，l与m相交、平行或异面；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m // α或m⊂α；在D中，由线面垂直的性质定理得l // m．【解答】由l，m是条不同的直线，α是一个平面，知：在A中，若l // α，m // α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；在B中，若l // α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，若l⊥α，m⊥l，则m // α或m⊂α，故C错误；在D中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l // m，故D正确．移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，有下列四个结论：p1:g(x)在(−π6, π3)单调递增；p2:g(x)为奇函数；p3:y＝g(x)的图象关于直线x=5π6对称；p4:g(x)在[0, π2]的值域为[−1, 1]．其中正确的结论是（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p3，p4【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】由两角和的正弦公式和周期公式可得f(x)的解析式，由图象平移可得g(x)的解析式，由正弦函数的单调性可判断p1；由奇偶性的定义可判断p2；由正弦函数的对称性可判断p3；由正弦函数的值域可判断p4．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π，可得f(x)＝2sin(ωx+π6)的周期为T=2πω=π，即ω＝2，即有f(x)＝2sin(2x+π6)，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝2sin(2x−π3+π6)＝2sin(2x−π6)，由x∈(−π6, π3)，可得2x−π6∈(−π2, π2)，可得g(x)在(−π6, π3)单调递增，故p1正确；g(x)的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p2错误；由g(5π6)＝2sin3π2=−2，为最小值，y＝g(x)的图象关于直线x=5π6对称，故p3正确；由x∈[0, π2]，可得2x−π6∈[−π6, 5π6]，即有g(x)在[0, π2]的值域为[−1, 2]，故p4错误．7. 已知曲线C1:x2+y2−4y+3＝0与y轴交于A，B两点，P为C2:x−y−1＝0上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A.2B.2√5C.2√2D.4【答案】B【考点】直线与圆的位置关系解． 【解答】由C 1:x 2+y 2−4y +3＝0，得x 2+(y −2)2＝1， 取x ＝0，解得y ＝1或y ＝3． 不妨设A(0, 1)，B(0, 3)， 如图，设A(0, 1)关于直线x −y −1＝0的对称点为C(m, n)，则{m 2−n+12−1=0n−1m=−1，解得m ＝2，n ＝−1．∴ C(2, −1)．则|PA|+|PB|的最小值为|BC|=√(2−0)2+(−1−3)2=2√5．8. 已知直线x +2y +√5=0与直线x −dy +11√5=0互相平行且距离为m ．等差数列{a n }的公差为d ，且a 7⋅a 8＝35，a 4+a 10<0，令S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |，则S m 的值为（ ） A.36 B.44 C.52 D.60 【答案】 C【考点】 数列的求和 【解析】根据平行线的距离求出d ＝−2，以及m ＝10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和． 【解答】由两直线平行得d ＝−2，由两平行直线间距离公式得m =√5−√5|√1+22=10，∵ a 7⋅(a 7−2)＝35得a 7＝−5或a 7＝7． ∵ a 4+a 10＝2a 7<0， ∴ a 7＝−5，∴ a n ＝−2n +9，∴ S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a 10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|＝52．9. 函数f(x)=e |x|2x的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．【解答】函数的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，且f(−x)＝−f(x)，函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x>0时，f(x)=e x2x ，f′(x)=2xex−2e x4x2=e x(x−1)2x2．可得x＝1为函数的极小值点，结合图象可知，函数f(x)=e|x|2x的部分图象大致为C．10. 已知函数f(x)＝2sin(ωx+π4)在区间(0, π8)上单调递增，则ω的最大值为（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】直接利用三角函数的单调性的应用求出结果．【解答】函数f(x)＝2sin(ωx+π4)在区间(0, π8)上单调递增，解得：−3π4ω+2kπω≤x ≤2kπω+π4ω(k ∈Z)， 故：−3π4ω+2kπω<0≤x ≤π8<2kπω+π4ω(k ∈Z)，即：{−3π4ω+2kπω<0π8<2kπω+π4ω ，解得：ω的最大值为2．11. 玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积（单位：cm 3）为（ ）A.256+14πB.256+16πC.256−29πD.256−22π【答案】 D【考点】组合几何体的面积、体积问题 由三视图求体积 【解析】利用几何体的图形以及三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】由题意几何体是底面边长为8高为4的正四棱柱，挖去一个半径为3的圆柱，两端各一个高为1，半径为4的圆柱挖去一个半径为3的圆柱的几何体，可知几何体的体积为：(8×8−9π)×4+2×(16−9)π×1＝256−22π．12. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)＝f(−x)，且当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x −cosx ，则下列结论正确的是（ ） A.f(20203)<f(20192)<f(2018) B.f(2018)<f(20203)<f(20192)C.f(2018)<f(20192)<f(20203)D.<f(20192)<f(20203)<f(2018)【答案】 C【解析】根据f(x)是奇函数，以及f(x +2)＝f(−x)即可得出f(x +4)＝f(x)，即得出f(x)的周期为4，从而可得出f(2018)＝f(0)，f(20192)=f(12)，f(20203)=f(712)，然后可根据f(x)在[0, 1]上的解析式可判断f(x)在[0, 1]上单调递增，从而可得出f(2018)<f(20192)<f(20203)．【解答】∵ f(x)是奇函数；∴ f(x +2)＝f(−x)＝−f(x)； ∴ f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)； ∴ f(x)的周期为4；∴ f(2018)＝f(2+4×504)＝f(2)＝f(0)，f(20192)=f(12+4×251)=f(12)，f(20203)=f(712+4×168)=f(712)；∵ x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x −cosx 单调递增； ∴ f(0)<f(12)<f(712)； ∴ f(2018)<f(20192)<f(20203)．二、填空题：每小题5分，共20分.若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0 ，则z ＝x +2y 的最小值为________．【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可． 【解答】因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的， 最值一定在边界点处取得． 分别将点(43,23),(2,0)代入目标函数，求得：z 1=43+2×23=83,z 2=2+2×0=0，所以最小值为2．若直线y ＝x +1与函数f(x)＝ax −lnx 的图象相切，则a 的值为________． 【答案】 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a 的方程组，解出即可． 【解答】 f′(x)＝a −1x ， 设切点是（t, f(t)），故f′(t)＝a −1t ，f(t)＝at −lnt ， 由题意得： {a −1t =1at −lnt =t +1，解得：{t =1a =2 ，已知函数f(x)=2x2x−1+3sin(x −12)+12，则f(12019)+f(22019)+……+f(20182019)的值为________． 【答案】 3027 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 【解析】根据条件判断函数f(x)关于(12, 32)对称，利用函数的对称性进行求解即可． 【解答】将函数f(x)向左平移12的单位得到：f(x +12)=2(x +12)2(x +12)−1+3sin(x +12−12)+12=2x +12x +3sinx +12＝1+12x +3sinx +12=12x +3sinx +32， 此时函数关于(0, 32)对称， 则函数f(x)关于(12, 32)对称， 即f(x)+f(1−x)＝3，设S ＝f(12019)+f(22019)+……+f(20182019)， 则S ＝f(20182019)+f(20172019)+……+f(12019)，则两式相加得2S ＝[f(12019)+f(20182019)]×2018＝3×2018．即S ＝3×1009＝3017，已知三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90∘，AD ＝2，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A −BCD 的侧面积的最大值为________．5√2+25 4【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】根据题意明确三棱锥的形状符合内嵌于长方体，将三棱锥的侧面积表示成数学式子，即可研究该式的最值问题．【解答】因为DA⊥平面ABC，且AB⊥AC，所以侧棱AB、AC、AD两两垂直、共点，所以该三棱锥可内嵌于长方体中，如图所示，设AB＝a，AC＝c，设侧面积为S，则S=12⋅2b+12⋅2c+12bc=b+c+12bc，又因为该三棱锥外接球与长方体相同，设球的半径为R，由题意知，球的表面积为29π＝4πR2，∵R=√292，∴2R=√29=√4+b2+c2，∴b2+c2＝25，由均值不等式可知，bc≤b2+c22=252，b2+c22≥(b+c2)2，解得b+c≤5√2，都是b＝c时等号成立，∴S=b+c+12bc≤5√2+254．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.数列{a n}满足：a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，n∈N∗．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n ，数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n>920的最小正整数n．【答案】（1）由题意，a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，当n≥2时，a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1，两式相减得，a nn+1=2n，即a n＝2n(n+1)(n≥2)．当n＝1时，a1＝4也符合，∴a n＝2n(n+1)；（2）b n=1an =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴S n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．由S n=n2(n+1)>920，解得n>9．∴满足S n>920的最小正整数n＝10．【考点】数列的求和 【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1(n ≥2)，与原递推式作差可得{a n }的通项公式；(Ⅱ)把{a n }的通项公式代入b n =1a n，然后利用裂项相消法求数列{b n }的前n 项和为S n ，再求解不等式得答案． 【解答】（1）由题意，a12+a 23+⋯+ann+1=n 2+n ，当n ≥2时，a12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1，两式相减得，a nn+1=2n ，即a n ＝2n(n +1)(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴ a n ＝2n(n +1)； （2）b n =1a n=12n(n+1)=12(1n −1n+1)，∴ S n =12(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)． 由S n =n2(n+1)>920，解得n >9． ∴ 满足S n >920的最小正整数n ＝10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα ，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(2√2, π4)，直线l 的极坐标方程为ρsin(α−π4)+4√2=0．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点．求点M 到直线l 的距离的最大值． 【答案】∵ 直线l 的极坐标方程为ρsin(α−π4)+4√2=0，即ρsinα−ρcosα+8＝0． 由x ＝ρcosα，y ＝ρsinα，可得直线l 的直角坐标方程为x −y −8＝0． ∵ 曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα ，其中α为参数，∴ 曲线C 的普通方程为x 212+y 24=1．…………设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)． 点P 的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)． 则M(√3cosα+1,sinα+1)．当sin(α+2π3)＝−1时，等号成立．∴点M到直线l的距离的最大值为5√2．…………【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程．（2）设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)．点P的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)．则M(√3cosα+1,sinα+1)．由此能求出点M到直线l的距离的最大值．【解答】∵直线l的极坐标方程为ρsin(α−π4)+4√2=0，即ρsinα−ρcosα+8＝0．由x＝ρcosα，y＝ρsinα，可得直线l的直角坐标方程为x−y−8＝0．∵曲线C的参数方程为{x=2√3cosαy=2sinα，其中α为参数，∴曲线C的普通方程为x212+y24=1．…………设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)．点P的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)．则M(√3cosα+1,sinα+1)．∴点M到直线l的距离d=√3cosα−sinα−8|√2=|2sin(α+2π3)−8|√2≤5√2．当sin(α+2π3)＝−1时，等号成立．∴点M到直线l的距离的最大值为5√2．…………已知函数f(x)＝|x−5|−|x+3|．（1）解关于x的不等式f(x)≥x+1；（2）记函数f(x)的最大值为m，若a>0，b>0，e a⋅e4b＝e2ab−m，求ab的最小值．【答案】当x≤−3时，由5−x+x+3≥x+1，得x≤7，所以x≤−3；当−3<x<5时，由5−x−x−3≥x+1，得x≤13，所以−3<x≤13；当x≥5时，由x−5−x−3≥x+1，得x≤−9，无解．综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x+1的解集为(−∞, 13]．因为|x−5|−|x+3|≤|x−5−x−3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8．应为e a⋅e4b＝e2ab−8，所以a+4b＝2ab−8，又a>0，b>0，所以a+4b≥2√4ab=4√ab，所以2ab−8−4√ab≥0，即ab−4−2√ab≥0．令√ab=t，所以t2−2t−4≥0，由于t>0，所以t≥1+√5，√ab≥1+√5，ab≥6+2√5，即ab的最小值为6+2√5．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据a>0，b>0，得到a+4b≥2√4ab=4√ab，有(√ab+1)(√ab−2)≥0．解出即可．【解答】当x≤−3时，由5−x+x+3≥x+1，得x≤7，所以x≤−3；当−3<x<5时，由5−x−x−3≥x+1，得x≤13，所以−3<x≤13；当x≥5时，由x−5−x−3≥x+1，得x≤−9，无解．综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x+1的解集为(−∞, 13]．因为|x−5|−|x+3|≤|x−5−x−3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8．应为e a⋅e4b＝e2ab−8，所以a+4b＝2ab−8，又a>0，b>0，所以a+4b≥2√4ab=4√ab，所以2ab−8−4√ab≥0，即ab−4−2√ab≥0．令√ab=t，所以t2−2t−4≥0，由于t>0，所以t≥1+√5，√ab≥1+√5，ab≥6+2√5，即ab的最小值为6+2√5．在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE // 平面BFC（2）若AD⊥DE，AD＝DE＝1，AB＝2，∠BDA＝60∘，求三棱锥F−AEC的体积．【答案】∵面ABCD是平行四边形，∴AD // BC，∵AD平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD // 平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE // BF，∵DE平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE // 平面BCF，∵AD∩DE＝D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴平面ADE // 平面BCF，∵AE⊂平面ADE，∴AE // 平面BCF．设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连结OE，OF，则V F−ABC＝V C−AEF＝2V0−AEF＝2V A−OEF，在△ABD中，∠BAD＝60∘，AD＝1，AB＝2，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD，∴BD=√3，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵DE⊥AD，BD∩DE＝D，BD⊂平面BDEF，DE⊂平面BDEF，∴AD⊥平面BDEF，故AD为A到平面BDEF的距离，∵DE＝1，∴S△OEF =12S BDEF=12×OD×EE=√32，∴VA−OEF =13S△OEF⋅AD=√36，∴三棱锥F−AEC的体积V F−AEC＝2VA−OEF =√33．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）推导出AD // BC，从而AD // 平面BCF，推导出DE // BF，从而DE // 平面BCF，进而平面ADE // 平面BCF，由此能证明AE // 平面BCF．（2）设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连结OE，OF，则V F−ABC＝V C−AEF＝2V0−AEF＝2V A−OEF，由此能求出三棱锥F−AEC的体积．【解答】∵面ABCD是平行四边形，∴AD // BC，∵AD平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD // 平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE // BF，∵DE平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE // 平面BCF，∵AD∩DE＝D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴平面ADE // 平面BCF，∵AE⊂平面ADE，∴AE // 平面BCF．设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连结OE，OF，则V F−ABC＝V C−AEF＝2V0−AEF＝2V A−OEF，在△ABD中，∠BAD＝60∘，AD＝1，AB＝2，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD，∴BD=√3，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵DE⊥AD，BD∩DE＝D，BD⊂平面BDEF，DE⊂平面BDEF，∴AD⊥平面BDEF，故AD为A到平面BDEF的距离，∵DE＝1，∴S△OEF =12S BDEF=12×OD×EE=√32，∴VA−OEF =13S△OEF⋅AD=√36，∴三棱锥F−AEC的体积V F−AEC＝2VA−OEF =√33．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式解三角形正弦定理【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).已知函数f(x)＝xe x−a2x2−ax．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x≥−1时，f(x)+a2x2−a+1≥0，求a的取值范围．【答案】f′(x)＝(x+1)e x−ax−a＝(x+1)(e x−a)．对a分类讨论：①a≤0时，e x−a>0．∴函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，利用f′(x)＝0，解得x＝−1，或x＝lna．由lna＝−1，解得a=1e．a>1e时，可得：函数f(x)在(−∞, −1)，(lna, +∞)上单调递增，在(−1, lna)内单调递减．若lna＝−1，则a=1e．f′(x)≥0在R上恒成立，因此f(x)在R单调递增．若lna<−1，则0<a<1e．∴函数f(x)在(−∞, lna)，(−1, +∞)上单调递增，在(lna, −1)内单调递减．综上可得：①a≤0时，函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，a>1e时，函数f(x)在(−∞, −1)，(lna, +∞)上单调递增，在(−1, lna)内单调递减．a=1e，f(x)在R单调递增．0<a<1e．函数f(x)在(−∞, lna)，(−1, +∞)上单调递增，在(lna, −1)内单调递减．∵xe x−ax−a+1≥0，∴a(x+1)≤xe x+1，当x＝−1时，0≤−1e+1恒成立．当x>−1时，a≤xe x+1x+1．令g(x)=xe x+1x+1，g′(x)=ex(x2+x+1)−1(x+1)2．设ℎ(x)＝e x(x2+x+1)−1，ℎ′(x)＝e x(x+1)(x+2)>0在x∈(−1, +∞)上恒成立．∴ℎ(x)在x∈(−1, +∞)上单调递增．又∵ℎ(0)＝0，∴g(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(0)＝1，∴a≤1．∴a的取值范围时(−∞, 1]．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f′(x)＝(x+1)e x−ax−a＝(x+1)(e x−a)．对a分类讨论，即可得出单调性．（2）由xe x−ax−a+1≥0，可得a(x+1)≤xe x+1，当x＝−1时，0≤−1e+1恒成立．当x>−1时，a≤xe x+1x+1．令g(x)=xex+1x+1，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】f′(x)＝(x+1)e x−ax−a＝(x+1)(e x−a)．对a分类讨论：①a≤0时，e x−a>0．∴函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，利用f′(x)＝0，解得x＝−1，或x＝lna．由lna＝−1，解得a=1e．a>1e时，可得：函数f(x)在(−∞, −1)，(lna, +∞)上单调递增，在(−1, lna)内单调递减．若lna＝−1，则a=1e．f′(x)≥0在R上恒成立，因此f(x)在R单调递增．若lna<−1，则0<a<1e．∴函数f(x)在(−∞, lna)，(−1, +∞)上单调递增，在(lna, −1)内单调递减．综上可得：①a≤0时，函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，a>1e时，函数f(x)在(−∞, −1)，(lna, +∞)上单调递增，在(−1, lna)内单调递减．a=1e，f(x)在R单调递增．0<a<1e．函数f(x)在(−∞, lna)，(−1, +∞)上单调递增，在(lna, −1)内单调递减．∵xe x−ax−a+1≥0，∴a(x+1)≤xe x+1，当x＝−1时，0≤−1e+1恒成立．当x>−1时，a≤xe x+1x+1．令g(x)=xe x+1x+1，g′(x)=ex(x2+x+1)−1(x+1)2．设ℎ(x)＝e x(x2+x+1)−1，ℎ′(x)＝e x(x+1)(x+2)>0在x∈(−1, +∞)上恒成立．∴ℎ(x)在x∈(−1, +∞)上单调递增．又∵ℎ(0)＝0，∴g(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(0)＝1，∴a≤1．∴a的取值范围时(−∞, 1]．。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论. 【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

福建师大附中2019届高三上学期期中考试卷文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题视频3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B、D；又由当时，函数，排除C，故选A.点睛：点本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用和函数值的估算的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】， 则，，即，解得，，则， 则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2 【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20.已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是，（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系下点的坐标与极坐标系下点的坐标间的转化关系可将极坐标系下方程转化为平面直角坐标系下方程,参数方程消去参数可得普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,可得出两交点对应的参数,利用的几何意义可将转化为关于的方程,解方程可得值.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：，直线的参数方程是（为参数），消去参数可得，（2）将（为参数），代入方程：，化为：，由，解得，∴，∵，∴，解得，又满足，∴实数考点：1.平面直角坐标系与极坐标系间的关系；2.参数方程.【规律点晴】本题主要考查平面直角坐标系与极坐标系下的方程间的联系与转化,及参数方程.关于曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化,一般来说直接代入公式,,,但某些时侯也要做些变化,例如将等式两比同乘以（除以）,将等式两边同时平方等.如果要判断曲线的形状,一般将方程转化为直角坐标方程再进行判断.直线参数方程标准式中的几何意义也非常重要,要能够理解.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1) a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴ ，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2≤1}，B ={x|x ≤0}，则A ∪B =( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知命题p ：∀x <2，x 3−8<0，那么￢p 是( )A. ∀x ≤2，x 3−8>0B. ∃x ≥2，x 3−8≥0C. ∀x >2，x 3−8>0D. ∃x <2，x 3−8≥04. 用数学归纳法证明12+32+52+⋯+(2n −1)2=13n(4n 2−1)过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为( )A. (2k)2B. (2k +3)2C. (2k +2)2D. (2k +1)25. 古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 三个数a =0.67，b =70.6，c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a7. 己知实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥02x +y −3≤00≤y ≤a，若z =x −2y 的最小值为−3，则a 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 73 8. 平行四边形ABCD 中AB =2,AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. √2−1B. √3−1C. 2D. 09. 函数f(x)=e x−1x 的大致图象为( )A. B.C. D.10.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=√3sin(ωx−π6)−32(ω>0)在(0,π2)上有且只有3个零点，则实数ω的最大值为()A. 5B. 163C. 173D. 612.已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =_______．14.设x，y满足约束条件{2x−y+2≥08x−y−4≤0x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为________15.现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大．甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大．如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________．16.若函数f(x)=ax+bcx+d (c≠0)，其图象的对称中心为(−dc,ac)，现已知f(x)=2−2x2x−1，数列{a n}的通项公式为a n=f(n2020)(n∈N+)，则此数列前2020项的和为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图、在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=√7，ΔABC的面积为SΔABC=√32，DC=4√75．(1)求BC的长．(2)求∠ACD的大小．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n=3n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B 的直角坐标．20. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3．(Ⅰ)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(Ⅱ)当x ∈(12,1)时，f(x)≤g(x)成立，求a 的取值范围．(ω>0)的最小正周期是π．21.已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx+12(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求△ABC周长的取值范围．lnx．(1)若a>0，求函数f(x)的极值点；22.已知函数f(x)=x|x+a|−12(2)若f(x)>0，求a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解不等式化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，B={x|x≤0}，则A∪B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵(1+i)i=−1+i，∴复数(1+i)i的虚部为1．故选：A．3.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．根据全称命题的否定是特称命，即可得到结论．解：因为p：∀x<2，x3−8<0，所以¬p是∃x<2，x3−8≥0．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查数学归纳法，属于基础题．分别写出n=k与n=k+1时左边的项，再比较即可．解：当n=k时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2，当n=k+1时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2+(2k+1)2，多了一项(2k+1)2．故选D．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴a1(27−1)2−1=381，解得a1=3．故选B．6.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：实数x，y满足不等式组{x−y+2≥02x+y−3≤00≤y≤a的可行域如图，当直线z=x−2y过点A(a−2,a)时，z取得最小值，即a−2−2a=−3可得a=1．故选：A ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．8.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积及坐标运算．属中档题．建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键．解：如图，以点D 为原点，DC 所在的直线为x 轴，过点D 作垂直于DC 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，AD =1，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAB =−1， 得∠DAB =120°，则易得A (12,√32)，B (52,√32)， 设M(a,0)(0≤a ≤2)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−a,√32)⋅(52−a,√32) a 2−3a +2=(a −32)2−14，易得当a =0时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2，故选C ．。

2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．， D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为A ． B ． C ． D ．5．已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号1210．若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在中，，，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:110l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为__________．14．已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题 17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 18．已知函数. （1）求函数的最大值； （2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值. 19．已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和为. 20．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程； （2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |•|PB|=1，求实数m 的值． 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=， 求证：点(),m k 在定圆上. 22．函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.32019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1．C 【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2．C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3．A【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C【解析】【分析】 由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程. 【详解】 由双曲线可得，离心率为， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，故选C. 【点睛】 本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】 由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论. 【详解】 根据函数为图象的对称轴， 可得,故， 函数， 将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6．A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8．B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9．D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11．C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.13．23【解析】∵12l l ⊥，∴()121a a ⨯=-⨯-， 得23a =．故答案为： 23.14．【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，， 则， 则， 又，故答案为. 【点睛】 本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 15．2 【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解. 详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线， 而函数的零点个数即为 函数的图像和直线的交点的个数， 从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2. 点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解. 16． 【解析】分析：求出△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可． 详解：△ABC 为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图： O′C=，OO′=，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出， 即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为 所以 所以数列的通项公式.（2）由（1）知, 所以.18．(1);(2). 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值， 根据余弦定理得. 【详解】 （1）， ∴函数的最大值为. （2）由题意，化简得. ∵，∴，∴，∴. 由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20．(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21．（1）椭圆C的标准方程为2214xy+=（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得cea==，221b b==，2a=⇒椭圆C为2214xy+=；（2）由22{14y kx mxy=++=⇒()222418440k x kmx m+++-=⇒2241m k<+①，且12x x+21222844,4141km m x x k k -=-=++ ⇒ ()22121212y y k x x km x x m =+++，又12121212554544OM ON y y k k y y x x x x ⋅=== ⇒ ()221212124445k x x km x x m x x +++= ⇒()()22451km ---()22228410k m m k ++= ⇒ 2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上. 试题解析：（1）设焦距为2c，由已知2c e a ==， 22b =，∴1b =， 2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214xy +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立22{ 14y kx mx y =++=得()222418440k x kmx m +++-=，依题意， ()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭， 即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②由①②得226150,5204m k ≤<<≤. ∴点(),m k 在定圆2254x y +=上.（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214x y +=；（2）设而不求法求得22{ 14y kx mx y =++= ⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+①，再利用韦达定理转化得()22228410k m m k ++= ⇒ 2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上.22．(1) a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）． 当a ≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a ≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.1 （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷说明：福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学满足，则= ( *** ) A. B. C . D. 2. 命题“存在实数，使> 1”的否定是（ *** ）A. 对任意实数, 都有 > 1 B. 不存在实数，使 1 C. 对任意实数, 都有 1 D. 存在实数，使 13. 设，则（ *** ）A. B. C. D. 4. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ *** ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则的值为（ *** ）A.-10 B.10 C. -14 D. 146. 已知为等差数列，且则=( *** )A. B. C.D. 7. 已知的三个内角所对的边为，满足，则的形状是（ *** ）A.正三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形8.已知数列的通项公式为，设为数列的前项和公式，则（ *** ） A. -100 B.100 C. -150 D. 1509.平面内有三个向量，其中与夹角为，与的夹角为，且，若，（）则（ ***）A. B. C. D. 10.函数的图象先向下移一个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不动）得到新函数，则( *** )A． B. C. D. 11.某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是两种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.羊毛颜色每匹需要 ( kg)供应量(kg)布料A布料B红441400绿631800已知生产每匹布料A、B的利润分别为120元、80元. 那么公司每月应怎么安排生产两种布料A和B的匹数，才能够产生最大的利润，最大利润为（ *** ）元.A. 38000 B. 32000 C. 28000 D. 4800012.设为平面向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称为“正则量域”.据此可以得出，下列平面向量的集合为“正则量域”的是（ *** ）A. B. C . D. 二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知向量满足，且，则向量与的夹角为___***___；14.已知正实数满足，则的最小值是___***_____15.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_____***___16. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为；……;依此规律得到级分形图，则级分形图中所有线段的长度之和为_____***_____.三、解答题：（本大题共6题，满分74分）17.（本小题满分1分）的公比，前3项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数解析式.18．（本小题满分1分）（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数在内有零点，求实数k的取值范围.19．（本小题满分1分）已知定义在上的函数，其中为常数.,恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，在处取得最大值，求正数的取值范围.本小题满分1分），宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；（Ⅱ）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超15米，则小网箱的长、宽分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？21.（本小题满分1分）作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，又过点作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，…依此下去，得到点列记它们的横坐标构成数列.（Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）令求数列的前项和.22.（本小题满分1分），（Ⅰ）求函数的最小值.（Ⅱ）当时,求证:福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学，6，，（2）由（1）可知函数的最大值为3，时，取得最大值，，又，函数18.解：（1）单调区间为，最小正周期为，（2）19.解：（1），，恒成立令，当或，得（2）若时，对，恒成立，故在区间上为增函数，在处取到最大值.若时，在上为减函数，上为增函数，则综上所述：若，在处取得最大值，正数的取值范围20.解：（Ⅰ）由已知得，，网箱中筛网的总长度。

数学资料库2019届福建师范大学附属中学 高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合 则 = A ． B ． C ． D ． 2．命题“ ， ”的否定是A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 3．已知 是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知双曲线的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．5．已知函数，为 图象的对称轴，将 图象向左平移个单位长度后得到 的图象，则 的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为 A ．B ．C ．D ．8．直线 与圆 相交于 、 两点.若 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．10．若四边形 是边长为2的菱形， ， 分别为 的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在 中， ， ，点 在边 上，且，则A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号数学资料库12．已知椭圆的左右焦点分别为 、 ，过点 的直线与椭圆交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:110l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为__________．14．已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 的夹角为_____． 15．设函数，则函数 的零点个数是_______. 16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列 的公差 为1，且 ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式；（2）设数列 ，求数列 的前 项和 . 18．已知函数.（1）求函数 的最大值；（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， ，求 的值.19．已知数列 的前 项和 满足.（1）求 的通项公式； （2）求数列的前项和为 .20．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是ρ= cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．21 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若 求证：点(),m k 在定圆上.22．函数. (I)求 的单调区间；(II)若 ，求证：.2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】试题分析：，，则（，），选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2．C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3．A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5．B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6．A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，数学资料库所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8．B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9．D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾数学资料库间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11．C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.13【解析】∵12l l⊥，∴()121a a⨯=-⨯-，故答案为：14．【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，数学资料库（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15．2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16．【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=）=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则（，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即（，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.=18．(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得、的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.数学资料库在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．（Ⅰ）=；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，故的通项公式为=（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列的前项和为-考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20．(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21．（1）椭圆C 的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1221b b==，2a=⇒椭圆C为（2）⇒()222418440k x kmx m+++-=⇒2241m k<+①，且12x x+⇒()22121212y y k x x km x x m=+++，又⇒()221212124445k x x km x x m x x+++=⇒()()22451k m---()22228410k m m k++=⇒⇒点(),m k 在定圆.试题解析：（1）设焦距为2c ，由已知22b=，∴1b=，2a=，∴椭圆C 的标准方程为数学资料库数学资料库（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立得()222418440k x kmx m +++-=，依题意， ()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，即121245y y x x =，∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 2）⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+①，再利用韦达定理转化得()22228410k m m k ++= ，由①②得⇒点(),m k 在定圆22． 1 a≤0时， 的单调递减区间是 ， ； 时， 的单调递减区间是 ，， 的单调递增区间是， ．(2) 证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对 的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证 ≥ ，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a ≤0时， ，则 在 ， 上单调递减；当 时，由 解得，由 解得．即 在 ，上单调递减； 在， 上单调递增；综上，a ≤0时， 的单调递减区间是 ， ； 时， 的单调递减区间是 ，，的单调递增区间是， ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 在 ，上单调递减； 在， 上单调递增，则．要证 ≥，即证≥，即 +≥0， 即证 ≥．构造函数，则，由 解得 ，由 解得 ， 即 在 ， 上单调递减； 在 ， 上单调递增； ∴， 即≥0成立．从而 ≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若集合，则( ***) A. B. C. D. 2.已知，向量与垂直，则实数的值为（***） A. B. C. D. 3．在△ABC中“”是“△ABC为直角三角形”的（***） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.函数在一个周期内的图象如下， 此函数的解析式为可为(***) A. B. C. D. 5．如右图所示，已知是等腰直角三角形，， 则（***） A．4 B． C．2 D． 6.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(*** ). A. B. C. D. 7.给出命题：已知、为实数，若，则．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（***） A．3 B．2 C．1 D．0 8．设向量，满足，且，，则（***） A．1 B． C．2 D． 9．偶函数上是单调函数，且在内根的个数是（***） A．1个B．2个C．3个D．0个 10．设等比数列的公比为，前n项和为，若，，成等差数列，则公比为（***）A． B． C．或 D．或 11. 已知数列中，，（），能使的可以等于（***） A． B． C． D． 12．如果对于函数定义域内任意的，都有（为常数），称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界.下列函数中，有下确界的函数是(***). ① ② ③ ④ A．B．C．D． 第Ⅱ卷（非选择题 共9０分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题４分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该定点的坐标是 *** 14．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是 *** 15.直线 ( )的倾斜角的变化范围是 *** 16. 已知数列的通项公式为，则数列中数值最大的项是第*** 项 17.已知点A(-2，－3)，B(3，2)，直线l过点P(-1,5)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是*** 18．定义新运算为：，例如，则函数的值域为 *** 19. 如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是________***_______. 三、解答题：本大题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. （本题满分12分） 已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx. （1）求函数f（x）的单调递增区间； (2)若，求函数f（x）的取值范围； 21．（本题满分12分） 已知数列的通项公式为，数列的前n项和为，且满足 （1）求的通项公式； （2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由． 22．(本题满分12分) 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？ 23． (本题满分12分) 已知函数； （1）当时，判断在定义域上的单调性； （2）求在上的最小值． 24.（本小题满分14分） 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足（）. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? 参考答案 3x+y+4=0；15、；16、6；17、；18、 19、 21．（I）时，………………………………………2分 当时， 两式相减得：，即：…………………………………………6分 故{}为首项和公比均为的等比数列， ……………………………8分 （II）中第m项满足题意，即，即 所以 (其它形如的数均可)……………………12分 22．解：如图，连结，， ，又 ∴是等边三角形， ∴ 在中，， 由余弦定理得 ∴ 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里。

福建省福州市师范大学附中2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1.已知集合−x <0},B ={x | 2x <1},则A. A ∩B ={x | x <0}B. A ∪B =RC. A ∪B ={x | x >1}D. A ∩B =∅2.设向量a =（1，-2），b =（0，1），向量λa +b 与向量a +3b 垂直，则实数λ=（ ） A.12B. 1C. 1-D. 12-3.“a =1”是“直线(2a +1)x +ay +1=0和直线ax −3y +3=0垂直”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3−S 2=6，则S 5=（ ）A. 15B. 30C. 40D. 605.设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若l//α，m//α，则l//m B. 若l//α，m ⊥l ，则m ⊥αC. 若l⊥α，m ⊥l ，则m//α D. 若l ⊥α，m ⊥α，则l//m6.已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，有下列叫个结论：p 1:g(x)在(−π6,π3)单调递增； p 2:g(x)为奇函数；p 3:y =g(x)的图象关于直线x =5π6对称； p 4:g(x)在[0,π2]的值域为[-1,1].其中正确的结论是（ ）A. p 1,p 3B. p 1,p 4C. p 2,p 3D. p 3,p 47.已知曲线221:430C x y y +-+=与y 轴交于A ，B 两点，P 为2:10C x y --=上任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A.2B. C.D.48.已知直线x+2y+√5=0与直线x−dy+11√5=0互相平行且距离为m.等差数列{a n}的公差为d，且a7⋅a8=35,a4+a10<0，令S n=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|，则S m的值为A. 60.B. 52C. 44D. 369.函数f(x)=e |x|2x的部分图象大致为（）A. B.C. D.10.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)在区间(0,π8)上单调递增，则ω的最大值为（）A. 12B. 1C. 2D. 411.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：cm3）为（）A. 256+14πB. 256+16πC. 256−29πD. 256−22π12.定义在R 上的奇函数f(x)满足f (x +2)=f (−x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )=2x −cosx ，则下列结论正确的是（ ）A. f(20203)<f(20192)<f(2018) B. f(2018)<f(20203)<f(20192)C. f(2018)<f(20192)<f(20203) D. f(20192)<f(20203)<f(2018)第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0，则z =x +2y 的最小值为________.14.若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 15.已知函数()2113sin 2122x f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭，则1220192019f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20182019f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭的值为__________．16.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．三、解答题（题型注释）17.数列n 满足：12a23+⋅⋅⋅+ann+1=n 2+n ，n∈N ∗.（1）求{a n }的通项公式； （2）设b n=1a n，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n >920的最小正整数n .18.选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα,其中α为参数,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P 的极坐标为(2√2,π4),直线l 的极坐标方程为ρsin (θ−π4)+4√2=0.（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;（2）若Q 是曲线C 上的动点,M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值. 19.已知函数()53f x x x =--+.(1)解关于x 的不等式()1f x x ≥+；(2)记函数()f x 的最大值为m ，若0a >，0b >，42a b ab m e e e -⋅=，求ab 的最小值. 20.在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形.(1)求证：AE//平面BFC ； (2)若AD ⊥DE ，AD =DE =1，AB =2，∠BAD =60°，求三棱锥F −AEC 的体积.21.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 22.已知函数f(x)=xe x −a2x 2−ax（1）讨论f (x )的单调性； （2）当x≥−1时，f (x )+a 2x 2−a +1≥0，求a 的取值范围.参考答案1.D【解析】1.分析：解一元二次不等式可得集合A ，解指数不等式得集合B ，再由集合的运算得出正确选项． 详解：由题意A ={x|0<x <1}，B ={x|x <0}，∴A ∩B =∅．故选D ． 2.B【解析】2.由已知先求出λ+a b ，+3a b ，然后根据向量垂直，结合向量数量积的性质可求. ∵()()1,2,0,1a b =-=∴λ+a b =（λ，1-2λ），+3a b =（1，1）， ∵向量λ+a b 与向量+3a b 垂直， ∴λ+1-2λ=0， 则实数λ=1 故选：B ． 3.A【解析】3. 当a=1时，两直线斜率乘积为−1，可得两直线垂直，而两直线垂直等价于a =0或a =1，从而可得结果.当a=1时，直线(2a +1)x +ay +1=0的斜率为−3，直线ax −3y +3=0的斜率为13，两直线垂直； 当a=0时，两直线也垂直，所以“a=1”是“直线(2a +1)x +ay +1=0和直线ax −3y +3=0垂直”的充分不必要的条件，故选A. 4.B【解析】4.根据等差数列的性质和求和公式即可求出． ∵S 3-S 2=a 3，∴a 3=6，∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=30,故选B.5.D【解析】5.逐项进行分析，在A 中，l 与m 相交、平行或异面；在B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在C 中，m∥α或m ⊂α；在D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选：D ． 6.A【解析】6.由两角和的正弦公式和周期公式可得f （x ）的解析式，由图象平移可得g （x ）的解析式，由正弦函数的单调性可判断p 1；由奇偶性的定义可判断p 2；由正弦函数的对称性可判断p 3；由正弦函数的值域可判断p 4． 函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π，可得f （x ）=2sin(ωx+π6）的周期为T=2πw=π 即ω=2，即有f （x ）=2sin （2x+π6）将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度得到函数g （x ）的图象，可得g （x ）=2sin （2x-π3+π6）=2sin （2x-π6）由x∈(−π6,π3) 可得2x-π6∈(−π2,π2) 可得g （x ）在(−π6,π3) 单调递增，故p 1正确；g （x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p 2错误；由g （5π6）=2sin 3π2=-2，为最小值，y=g （x ）的图象关于直线x=5π6对称，故p 3正确；由x∈[0,π2] 可得2x-π6∈[−π6,5π6]即有g(x)在[0,π2]的值域为[-1,2]故p 4错误． 故选A ． 7.B【解析】7.由1C 方程可求得,A B 坐标；设()0,1B 关于2C 的对称点为()00,B x y '，由点关于直线对称点的求解方法可求得()2,1B '-，可知()minPA PB AB '+=，利用两点间距离公式求得结果.将0x =代入1C ，可求得：3y =或1，不妨令()0,3A ，()0,1B 设()0,1B 关于2C 的对称点为()00,B x y '则00001111022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得：0021x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1B '-PA PB PA PB '+=+ ∴当,,A P B '三点共线时，PA PB +取得最小值()min PA PB AB '∴+===故选：B 8.B【解析】8.根据平行线的距离求出d =−2，以及m =10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和． 由两直线平行得d=−2，由两平行直线间距离公式得m √5−√5|√1+2210，∵a 7⋅（a 7−2）=35 得a 7=−5或a 7=7． ∵a 4+a 10=2a 7＜0， ∴a 7=−5 ，∴a n =−2n +9，∴S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52． 故选：B ．9.C【解析】9.利用函数为奇函数排除A ；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B ；利用导数判断单调性且求极值得答案．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f （-x ）=-f （x ），函数为奇函数，排除A ；又当x→+∞时，y→+∞，排除B ；而x ＞0时，f (x )=e x 2x,f ′(x )=e x (x−1)2可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数f (x )=e |x |2x的部分图象大致为C ．故选C ． 10.C【解析】10. 由x ∈(0,π8)可得ωx +π4∈(π4,π8ω+π4)，利用π8ω+π4≤π2可得结果. 当x∈(0,π8)时，ωx +π4∈(π4,π8ω+π4)，因为函数f(x)=2sin (ωx +π4)在区间(0,π8)上单调递增， 正弦函数在[−π2,π2]上递增， 所以可得π8ω+π4≤π2，解得ω≤2，即ω的最大值为2，故选C ．11.D【解析】11.由三视图可知该几何体的体积为8×8×4−π×32×4+[π×42×2−π×32×2]=256−22π，故选D. 12.C【解析】12.根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），f (20192)=f(12)，f (20203)=f(712) 然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. ∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），f (20192)=f(12),f (20203)=f(712) ∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜f(12) ＜f(712) ∴f(2018)<f(20192)<f(20203),故选C.13.2.【解析】13.作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.14.2【解析】14.设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ， 因为函数()ln f x ax x =-，则1()f x a x '=-，所以切线的斜率为01()k f x a x =-'=， 则011a x -=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111a y a a =+=--，即1(,)11a P a a --， 把点P 代入曲线的方程可得11ln 111a a a a a =⨯+---， 整理得1ln 01a =-，解得2a =. 15.3027【解析】15.考查函数()1221x f x x =-有： ()()()()112121221211x xf x f x x x -+-=+=---， 则1111122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加有： 11222018,2018S S =⨯∴=，函数()213sin 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则()()2210f x f x +-=， 则2222122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加有： 22202018,0S S =⨯∴=，据此可得1220192019f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20182019f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭的值为： 120180201830272++⨯=. 16.254【解析】16.根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值. 取BC 中点E90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上 作//OF AE ，交AD 于F ，如下图所示：OA OE =OD ==OA OD = 112AF DF OE AD ∴====球O 的表面积为29π ∴球O 的半径R ==设AB x =，AC y =由2R OC ====得：2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当x y ==又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当x y ==时取等号）254S ∴≤（当且仅当2x y ==时取等号）故答案为：25417.（1）a n =2n (n +1)；（2）10.【解析】17.（1）n=1时，可求得首项，n ≥2时，将已知中的n 用n-1代换后，与已知作差可得a n ，再验证n=1也符合，即可得到数列{a n }的通项；（2）由（1）可得b n 的通项公式，由裂项相消法可得S n ，再由不等式，得到所求最小值n ．（1）∵a 12+a 23+⋅⋅⋅+ann+1=n 2+n ．n=1时，可得a 1＝4，n ≥2时，a12+a23+⋅⋅⋅+an−1n=(n −1)2+n −1． 与a 12+a 23+⋅⋅⋅+a n n+1=n 2+n ． 两式相减可得a nn+1＝（2n ﹣1）+1=2n ，∴a n=2n (n +1)．n=1时，也满足，∴a n =2n (n +1).（2）b n =1a n=12n n+1=12(1n −1n+1) ∴S n =12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)，又S n >920，可得n>9，可得最小正整数n 为10．18.（1）x -y -8=0, x 212+y 24=1（2）5√2【解析】18.（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的关系，参数方程与普通方程的关系，可得到答案；（2）设Q(2√3cosα,2sinα)，点P 的直角坐标为(2,2)，可得到M(√3cosα+1,sinα+1)，利用点到直线的距离公式可得到点M 到直线l 的距离的表达式，求出最大值即可。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则， 由解得，由解得， 即在上单调递减；在上单调递增； ∴， 即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．， D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为A ． B ． C ． D ．5．已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．10．若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号12A ．B ．C ．D ．11．在中，，，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:110l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为__________．14．已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 18．已知函数. （1）求函数的最大值； （2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值. 19．已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和为. 20．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程； （2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值． 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=， 求证：点(),m k 在定圆上. 22．函数. (I)求的单调区间；(II)若，求证：.32019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1．C 【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2．C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3．A【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C【解析】【分析】 由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程. 【详解】 由双曲线可得，离心率为， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，故选C. 【点睛】 本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】 由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论. 【详解】 根据函数为图象的对称轴， 可得,故， 函数， 将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6．A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8．B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9．D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11．C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.13．23【解析】∵12l l ⊥，∴()121a a ⨯=-⨯-， 得23a =．故答案为： 23.14．【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，， 则， 则， 又，故答案为. 【点睛】 本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 15．2 【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解. 详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线， 而函数的零点个数即为 函数的图像和直线的交点的个数， 从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2. 点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解. 16． 【解析】分析：求出△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可． 详解：△ABC 为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：O ′C=，OO′=，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出， 即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为 所以 所以数列的通项公式.（2）由（1）知, 所以.18．(1);(2). 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值， 根据余弦定理得. 【详解】 （1）， ∴函数的最大值为. （2）由题意，化简得. ∵，∴，∴，∴. 由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20．(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21．（1）椭圆C的标准方程为2214xy+=（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得cea==，221b b==，2a=⇒椭圆C为2214xy+=；（2）由22{14y kx mxy=++=⇒()222418440k x kmx m+++-=⇒2241m k<+①，且12x x+21222844,4141km m x x k k -=-=++ ⇒ ()22121212y y k x x km x x m =+++，又12121212554544OM ON y y k k y y x x x x ⋅=== ⇒ ()221212124445k x x km x x m x x +++= ⇒()()22451km ---()22228410k m m k ++= ⇒ 2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上. 试题解析：（1）设焦距为2c，由已知2c e a ==， 22b =，∴1b =， 2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214xy +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立22{ 14y kx mx y =++=得()222418440k x kmx m +++-=，依题意， ()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭， 即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②由①②得226150,5204m k ≤<<≤. ∴点(),m k 在定圆2254x y +=上.（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214x y +=；（2）设而不求法求得22{ 14y kx mx y =++= ⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+①，再利用韦达定理转化得()22228410k m m k ++= ⇒ 2254m k +=② ，由①②得226150,5204m k ≤<<≤ ⇒点(),m k 在定圆2254x y +=上.22．(1) a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）． 当a ≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a ≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

2019届福建师范大学附属中学 高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合A ={y|y =2x ,x ∈R},B ={x|x 2−1<0},则A ∪B = A ．(−1,1) B ．(0,1) C ．(−1,+∞) D ．(0,+∞) 2．命题“∃ x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0−1”的否定是A ．∃ x 0∈(0,+∞)，lnx 0≠x 0−1B ．∃ x 0∉(0,+∞)，lnx 0=x 0−1C ．∀ x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −1D ．∀ x ∉(0,+∞)，lnx =x −1 3．已知i是虚数单位，复数5i 2+i 9在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知双曲线x 2−y 2b 2=1的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为 A ．y =±√33x B ．y =±√32x C ．y =±√3x D ．y =±√5x5．已知函数f(x)=sin (12x +φ) (|φ|<π2)，x =π3为f(x)图象的对称轴，将f(x)图象向左平移π3个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为A ．g(x)=−cos 12x B ．g(x)=cos 12x C ．g(x)=sin (12x +2π3) D ．g(x)=sin (12x −π6) 6．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |=5，则ΔPFK 的面积为A ．4B ．5C ．8D ．107．函数f(x)=(x 2−1)cosπx|x |的部分图象大致为 A ．B ．C ．D ．8．直线y =kx +1与圆(x −2)2+(y −1)2=4相交于P 、Q 两点.若|PQ |≥2√2，则k 的取值范围是A ．[−34,0] B ．[−1,1] C ．[−√33,√33] D ．[−√3,√3]9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．8−2π3B ．24−πC ．24+(2√5−1)πD ．24+(√5−1)π10．若四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，E,F 分别为BC,CD 的中点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF⃑⃑⃑⃑⃑ =A ．−12 B ．12 C ．−32 D ．3211．在ΔABC 中，∠BAC =90∘，BC =2AC =2√3，点D 在边BC 上，且sin∠BAD =2√77，则CD =A ．√34 B ．√33 C ．2√33D ．4√33此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A,B两点，若ΔF 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．√22B ．2−√3C ．√5−2D ．√6−√3二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:110l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为__________．14．已知向量a ⃗=(−1,3)，b ⃑⃗=(1,t )，若(a ⃗−2b ⃑⃗)⊥a ⃗，则向量a ⃗与向量b ⃑⃗的夹角为_____． 15．设函数f(x)={2x ,x ≤0−1x,x >0，则函数F(x)=f(x)+x 的零点个数是_______. 16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ΔABC 为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D −ABC 体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列{a n }的公差d 为1，且a 1，a 3，a 4成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n =2a n +5+n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 18．已知函数f(x)=sinxcos(x −π6)+12cos2x .（1）求函数f(x)的最大值；（2）已知ΔABC 的面积为4√3，且角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=12，b +c =10，求a 的值.19．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =3n 2−n 22,n ∈N ∗.（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1a 2n+1}的前项和为T n .20．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是{x =√32t +my =12t（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．21 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若 求证：点(),m k 在定圆上.22．函数f (x )=−lnx +12ax 2+(a −1)x −2(a ∈R ).(I)求f (x )的单调区间； (II)若a >0，求证：f (x )≥−32a.2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】试题分析：，，则A∪B=（−1，+∞），选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2．C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：∀ x∈(0,+∞)，lnx≠x−1考点：全称命题与特称命题3．A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数5i2+i9,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】5i 2+i9=5i2+i=5i(2−i)(2+i)(2−i)=5+10i5=1+2i，对应点坐标为(1,2)，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C【解析】【分析】由x2−y2b2=1可得a=1，利用双曲线的离心率求出c=2，从而可得b的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线x2−y2b2=1可得a=1，离心率为ca=c=2，则b=√4−1=√3，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5．B【解析】【分析】由x=π3为f(x)图象的对称轴，可得π6+φ=kπ+π2,k∈Z,从而求得φ的值，再利函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数f(x)=sin(12x+φ)(|φ|<π2),x=π3为f(x)图象的对称轴，可得12×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,故φ=π3，函数f(x)=sin(12x+π3)，将f(x)图象向左平移π3个单位长度后得到g(x)=sin[12(x+π3)+π3]=cos12x的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数y=Asin(ωx+φ)可求得函数的周期为2π|ω|；由ωx+φ=kπ+π2可得对称轴方程；由ωx+φ=kπ可得对称中心横坐标.6．A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点P的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程y2=4x，可得F(1,0),K(−1,0)，准线方程为x=−1，设P(x0,y0)，则|PF|=x0+1=5，即x0=4，不妨设P(x0,y0)在第一象限，则P(4,4)，所以S ΔPKF =12×|FK ||y 0|=12×2×4=4，故选A ．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．A 【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及x ∈(0,12)是函数值的符号，利用排除法即可得到答案. 详解：由题意，函数f (x )=(x 2−1)cosπx|x |满足f (−x )=f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于y 轴对称，排除B,D ； 又由当x ∈(0,12)时，函数f (x )=(x 2−1)cosπx |x |<0，排除C ，故选A.8．B 【解析】 【分析】由|PQ |≥2√2，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心(2,1)到直线y =kx +1的距离d ≤√2,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】 若|PQ |≥2√2，则圆心(2,1)到直线y =kx +1的距离d ≤√4−(2√22)2=√2,即√1+k 2≤√2，解得k ∈[−1,1]，故选B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9．D 【解析】 【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥， 如图，∴该几何体的表面积：S =6×22−πr 2+πrl=24−π×12+π×1×√12+22=24+(√5−1)π，故选D. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．A 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60∘， 可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2×2×cos60∘=2，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =12(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =12(−4+12×4+12×2)=−12，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11．C 【解析】 【分析】由∠BAC =π2，sin∠BAD =2√77可得sin∠DAC =cos∠BAD =√217,进而ΔABD,ΔADC 中，由正弦定理建立方程即可解得CD 的值.【详解】∵BC =2AC =2√3，∠BAC =π2， sin∠BAD =2√77, 所以C =π3,B =π6，∴cos∠BAD =√1−sin 2∠BAD =√217， 可得sin∠DAC =cos∠BAD =√217， ∵ΔABD 中，由正弦定理可得AD =BDsinBsin∠BAD，ΔADC 中，正弦定理可得AD =DCsinCsin∠DAC ， ∴(2√3−DC)×122√77=DC×√32√217，解得DC =2√33，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．D 【解析】试题分析：设|F 1F 2|=2c,|AF 1|=m ，若ΔF 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=√2m ．由椭圆的定义可知ΔF 1AB 的周长为4a ，∴4a =2m +√2m ，m =2(2−√2)a ．∴|AF 2|=2a −m =(2√2−2)a ．∵|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2，∴4(2−√2)2a 2+4(√2−1)2a 2=4c 2，∴e 2=9−6√2，e =√6−√3．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若ΔF 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得出|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=√2m ，再由椭圆的定义，得到ΔF 1AB 的周长为4a ，列出a,c 的关系式，即可求解离心率.13【解析】∵12l l ⊥， ∴()121a a ⨯=-⨯-，故答案为： 14．π4 【解析】 【分析】由(a ⃗−2b ⃑⃗)⊥a ⃗，利用数量积为零可求得t =2，从而得b ⃑ =(1,2)，求得a ⋅b⃑ =−1+6=5，利用cos⟨a ,b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b ⃑ |a⃑ ||b ⃑ |=√22，从而可得结果. 【详解】∵a =(−1,3),b⃑ =(1,t )， 则a −2b ⃑ =(−1,3)−2(1,t )=(−3,3−2t )， ∵(a −2b ⃑ )⊥a ,∴(a −2b ⃑ )⋅a =0， 即3+3×(3−2t )=0，解得t =2， ∴b⃑ =(1,2)， 则a ⋅b⃑ =−1+6=5， 则cos⟨a ,b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b⃑|a ⃑ ||b⃑ |=√10×√5=√22， 又∵⟨a ,b ⃑ ⟩∈[0,π],∴⟨a ,b⃑ ⟩=π4，故答案为π4. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ⋅b ⃑ =|a ||b ⃑ |cosθ，二是a ⋅b⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cosθ=a⃑ ·b⃑|a⃑ |·|b⃑|（此时a·b⃑往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在b⃑上的投影是a⃑ ⋅b⃑|b⃑|；（3）a ,b⃑向量垂直则a⋅b⃑=0;(4)求向量ma+nb⃑的模（平方后需求a⋅b⃑）.15．2【解析】分析：首先根据题意，将函数F(x)=f(x)+x的零点个数问题转化为方程f(x)=−x解的个数，最后转化为函数f(x)={2x,x≤0−1x,x>0的图像和直线y=−x交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数f(x)={2x,x≤0−1x,x>0的图像和直线y=−x，而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)={2x,x≤0−1x,x>0的图像和直线y=−x的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16．18√3【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9√3，可得√34AB2=9√3，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=23×√32×6=2√3，OO′=√42−(2√3）2=2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：13×√34×63=18√3.故答案为：18√3．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17．（Ⅰ）a n=n−5.（Ⅱ）S n=2n+1+n(n+1)2−2.【解析】试题分析：（1）由题a1,a3,a4成等比数列则（a1+2d)2=a12+3a1d，将d=1,代入求出a1，即可得到数列{a n}的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）b n=2n+n. 利用分组求和法可求数列{b n}的前n项和S n..（1）在等差数列{ a n }中，因为a1,a3,a4成等比数列，所以a32=a1a4，即（a1+2d)2=a12+3a1d，解得a1d+4d2=0. 因为d=1,所以a1=− 4,所以数列{a n}的通项公式a n=n−5.（2）由（1）知a n=n−5,所以b n=2a n+5+n=2n+n.S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(2+22+23+⋯+2n)+(1+2+3+⋯+n)=2(1−2n)1−2+n(1+n)2=2n+1+n(n+1)2−218．(1)34;(2)a=2√13.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数f(x)化为=12sin(2x+π6)+14，可得函数f(x)的最大值为34；（2）由题意f(A)=12sin(2A+π6)+14=12，化简得sin(2A+π6)=12，从而得A=π3，由12bcsinA=4√3，b+c=10，求得b、c的值，根据余弦定理得a=2√13.【详解】（1）f(x)=sinx(√32cosx+12sinx)+cos2x−12=√32sinxcosx+12cos2x=12(√32sin2x+12cos2x)+14=12sin(2x+π6)+14，∴函数f(x)的最大值为34.（2）由题意f(A)=12sin(2A+π6)+14=12，化简得sin(2A+π6)=12.∵A∈(0,π)，∴2A+π6∈(π6,13π6)，∴2A+π6=5π6，∴A=π3.由12bcsinA =4√3得bc =16，又b +c =10， ∴b =2，c =8或b =8，c =2.在ΔABC 中，根据余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =52. ∴a =2√13. 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．（Ⅰ）a n =2−n ；（Ⅱ）n1−2n ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前n 项和与a n 的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1a 2n−1a 2n+1=1(3−2n)(1−2n)，利用裂项求和法求得数列{1a2n−1a 2n+1}的前n 项和．试题解析：（Ⅰ）当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n −S n−1=2−n ，故{a n }的通项公式为a n =2-n.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a 2n−1a 2n+1=1(3−2n)(1−2n)=12(12n−3−12n−1),从而数列 {1a2n−1a 2n+1}的前n 项和为 12[(1-1−11)+(11−13)+⋯+(12n−3−12n−1)]=n1−2n考点：1、数列前n 项和与a n 的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用a 1和d(q)表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20．(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是ρ=2cosθ的两边分别乘以ρ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式x =ρcosθ,y =ρsinθ及ρ2=x 2+y 2即可得到曲线C 的直角坐标方程，消去直线l 的参数方程{x =√32t +my =12t中的参数t 得到直线l 的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造m 的方程.试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x ．直线l 的参数方程是{x =√32t +my =12t（t 为参数），消去参数t 可得x =√3y +m ． （2）把{x =√32t +my =12t （t 为参数）代入方程：x 2+y 2=2x 化为：t 2+(√3m −√3)t +m 2−2m =0，由Δ>0，解得−1<m <3，∴t 1t 2=m 2−2m ．∵PA ·PB =1=t 1t 2，∴m 2−2m =±1，解得m =1±√2或m =1．又满足Δ>0．∴实数m =1±√2或m =1．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21．（1）椭圆C 的标准方程为 （2）证明见解析 【解析】试题分析：（1221b b ==， 2a = ⇒椭圆C为2⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+①，且12x x +⇒ ()22121212y y k x x km x x m =+++，又⇒ ()221212124445k x x km x x m x x +++= ⇒()()22451km ---()22228410k m m k ++= ⇒⇒点(),m k 在定圆. 试题解析：（1）设焦距为2c ，由已知 22b =，∴1b =， 2a =，∴椭圆C 的标准方程为 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立得()222418440k x kmx m +++-=，依题意， ()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，即121245y y x x =， ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. （2⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+，由①②得22．(1) a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0 ， +∞)；a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 ， 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ，+∞)．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对a 的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证lna −12a−1≥−32a，构造μ(a)=lna +1a−1，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）f ′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x．当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0 ， +∞)上单调递减；当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 ， 1a )上单调递减；f(x)在(1a ，+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0 ， +∞)；a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 ， 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ，+∞)．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知f(x)在(0 ， 1a )上单调递减；f(x)在(1a ，+∞)上单调递增，则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 即证lna ≥1−1a ．构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0 ， 1)上单调递减；μ(a)在(1，+∞)上单调递增； ∴ μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立．从而f(x)≥−32a 成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

2020届福建省福州市师范大学附中高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}20,21xA x x xB x =-<=<,则A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R=C ．{}1A B x x ⋃=>D ．AB =∅【答案】D【解析】分析：解一元二次不等式可得集合A ，解指数不等式得集合B ，再由集合的运算得出正确选项．详解：由题意{|01}A x x =<<，{|0}B x x =<，∴A B =∅．故选D ．点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，从而确定集合中的元素，然后再根据集合的运算定义求解．2．设向量a =（1，-2），b =（0，1），向量λa +b 与向量a +3b 垂直，则实数λ=（ ） A ．12B ．1C ．1-D ．12-【答案】B【解析】由已知先求出λ+a b ，+3a b ，然后根据向量垂直，结合向量数量积的性质可求. 【详解】∵()()1,2,0,1a b =-=∴λ+a b =（λ，1-2λ），+3a b =（1，1）， ∵向量λ+a b 与向量+3a b 垂直， ∴λ+1-2λ=0， 则实数λ=1 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示，属于中档题.3．“1?a =是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a =时，两直线斜率乘积为1-，可得两直线垂直，而两直线垂直等价于0a =或1a =，从而可得结果. 【详解】当1a =时，直线(21)10a x ay +++=的斜率为3-， 直线330ax y -+=的斜率为13，两直线垂直； 当0a =时，两直线也垂直，所以“1?a =是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的充分不必要的条件，故选A. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若326-=S S ，则5S =（ ） A ．15 B ．30C ．40D ．60【答案】B【解析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出． 【详解】∵S 3-S 2=a 3，∴a 3=6，∴S 5=()15355302a a a +==,故选B.【点睛】本题主要考查了等差的性质以及前n 项和等基础知识，考查了运算能力，属于基础题. 5．设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥C ．若l α⊥，m l ⊥，则//m αD ．若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D【解析】逐项进行分析，在A 中，l 与m 相交、平行或异面；在B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在C 中，m ∥α或m ⊂α；在D 中，由线面垂直的性质定理得l ∥m ． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在A 中，若l ∥α，m ∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若l ∥α，m ⊥l ，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在C 中，若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥α或m ⊂α，故C 错误；在D 中，若l ⊥α，m ⊥α，则由线面垂直的性质定理得l ∥m ，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，有下列叫个结论： 1:()p g x 在ππ(,)63-单调递增； 2:()p g x 为奇函数；3:()p y g x =的图象关于直线56x π=对称； 4:()p g x 在[0,]2π的值域为[]-1,1.其中正确的结论是（ ） A ．13,p p B ．14,p pC ．23,p pD ．34,p p【答案】A【解析】由两角和的正弦公式和周期公式可得f （x ）的解析式，由图象平移可得g （x ）的解析式，由正弦函数的单调性可判断p 1；由奇偶性的定义可判断p 2；由正弦函数的对称性可判断p 3；由正弦函数的值域可判断p 4． 【详解】函数()cos f x x x ωω=+的最小正周期为π，可得f （x ）=2sin(ωx+6π）的周期为T=2w ππ= 即ω=2，即有f （x ）=2sin （2x+6π）将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，可得g （x ）=2sin （2x-3π+6π）=2sin （2x-6π）由x ∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得2x-6π∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 可得g （x ）在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故p 1正确；g （x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p 2错误；由g （56π）=2sin32π=-2，为最小值，y=g （x ）的图象关于直线x=56π对称，故p 3正确；由x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 可得2x-5,666πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即有()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]-1,2故p 4错误． 故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换和解析式的求法，同时考查三角函数的奇偶性和单调性、对称性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．7．已知曲线221:430C x y y +-+=与y 轴交于A ，B 两点，P 为2:10C x y --=上任意一点，则PA PB +的最小值为（ ） A ．2 B．C．D ．4【答案】B【解析】由1C 方程可求得,A B 坐标；设()0,1B 关于2C 的对称点为()00,B x y '，由点关于直线对称点的求解方法可求得()2,1B '-，可知()minPA PB AB '+=，利用两点间距离公式求得结果. 【详解】将0x =代入1C ，可求得：3y =或1，不妨令()0,3A ，()0,1B 设()0,1B 关于2C 的对称点为()00,B x y '则00001111022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得：0021x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1B '-PA PB PA PB '+=+ ∴当,,A P B '三点共线时，PA PB +取得最小值()min PA PB AB '∴+===故选：B 【点睛】本题考查两点到直线上的点的距离之和的最小值的求解问题，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得对称点，进而可知三点共线时取距离之和的最小值. 8．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a ⋅=+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为 A ．60. B ．52C ．44D ．36【答案】B【解析】根据平行线的距离求出2d =-，以及10m =，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和． 【详解】由两直线平行得2d =-，由两平行直线间距离公式得10m ，77235a a ⋅-=（） 得75a =-或77a ．=410720a a a +=＜，75a ∴=- ， 29n a n ∴=-+，123107531135791152n S a a a a ∴=+++⋯+=++++-+-+-+-+-+-=．故选：B ． 【点睛】本题考查两平行直线的距离及等差数列{}n a 的前n 项的绝对值的和，属于中档题．9．函数()e 2xf x x=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数为奇函数排除A ；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B ；利用导数判断单调性且求极值得答案． 【详解】函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f （-x ）=-f （x ），函数为奇函数，排除A ；又当x→+∞时，y→+∞，排除B ；而x ＞0时，()x2e f x x =,()()212x e x f x x '-=可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数()2xef x x=的部分图象大致为C ．故选C ． 【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭π上单调递增，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，利用842πππω+≤可得结果.【详解】 当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，正弦函数在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， 所以可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2，故选C ．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．25614π+B ．25616π+C ．25629π-D ．25622π-【答案】D【解析】由三视图可知该几何体的体积为22288434423225622ππππ⎡⎤⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⎣⎦，故选D.12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x-cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________. 【答案】2.【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 【答案】2【解析】设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 【详解】设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ， 因为函数()ln f x ax x =-，则1()f x a x'=-，所以切线的斜率为001()k f x a x =-'=， 则011a x -=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111a y a a =+=--，即1(,)11a P a a --， 把点P 代入曲线的方程可得11ln 111a a a a a =⨯+---， 整理得1ln 01a =-，解得2a =. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 15．已知函数211()3sin()2122x f x x x =+-+-，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+的值为__________． 【答案】3027【解析】考查函数()1221xf x x =-有：()()()()112121221211x x f x f x x x -+-=+=---， 则1111122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加有：11222018,2018S S =⨯∴=， 函数()213sin 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则()()2210f x f x +-=， 则2222122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加有：22202018,0S S =⨯∴=， 据此可得1220192019f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20182019f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭的值为：120180201830272++⨯=.16．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】 取BC 中点E90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上 作//OF AE ，交AD 于F ，如下图所示：22OA OE AE =+OD =OA OD = 112AF DF OE AD ∴====球O 的表面积为29π ∴球O 的半径2R ==设AB x =，AC y =由R OC ====得：2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当x y ==又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当x y ==254S ∴≤（当且仅当2x y ==时取等号）故答案为：254【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题 17．数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足920n S >的最小正整数n . 【答案】（1）()21n a n n =+；（2）10.【解析】（1）n=1时，可求得首项，n ≥2时，将已知中的n 用n-1代换后，与已知作差可得n a ，再验证n=1也符合，即可得到数列{a n }的通项；（2）由（1）可得b n 的通项公式，由裂项相消法可得S n ，再由不等式，得到所求最小值n ． 【详解】 （1）∵212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++． n=1时，可得a 1＝4，n ≥2时，21121123n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=-+-． 与212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++． 两式相减可得1n an +＝（2n ﹣1）+1=2n ，∴()21n a n n =+．n=1时，也满足，∴()21n a n n =+. （2）()1121n n b a n n ==+=11121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭∴S n 11111111112223121n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又920n S >，可得n>9， 可得最小正整数n 为10． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将n 换为n ﹣1，以及裂项相消的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题． 18．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程; （2）若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.【答案】（1）x -y -8=0,（2）【解析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的关系，参数方程与普通方程的关系，可得到答案；（2）设，点的直角坐标为，可得到，利用点到直线的距离公式可得到点到直线的距离的表达式，求出最大值即可。