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初中数学总复习(全册)知识点归纳初中数学总复（全册）知识点归纳初中数学是我们研究过程中的重要一环，通过全面复初中数学知识点，可以巩固基础，为进一步的研究打下坚实的基础。
下面是初中数学全册知识点的归纳总结：一、数与式1. 自然数、整数、有理数和无理数的定义及性质2. 分数的概念、分数的大小比较、分数的运算3. 正数、负数、零的概念及性质4. 整式的定义和计算，含有一个未知数的整式5. 一元一次方程及方程的解法6. 百分数与百分之一的关系，百分数的计算7. 有序数对的表示方法，平面直角坐标系的认识和性质二、代数中的图形1. 点、线、面的概念，直线与曲线的区别2. 多边形的定义，凸多边形和凹多边形的区别3. 四边形的性质及分类，正方形、矩形、平行四边形和菱形的性质4. 二维坐标系，点的坐标，坐标的符号三、方程与不等式1. 一元二次方程的定义及解法，解一元二次方程的方法2. 二次函数的定义，二次函数的图象，图象的性质与应用3. 不等式的概念，不等式的解及图示四、实数的运算1. 实数与有理数的关系，无理数的性质与运算2. 加减法的性质和运算法则，乘法的性质和运算法则3. 分数的乘除法，有理数的乘除法五、数据的处理和应用1. 数据的整理和分类，统计图表的制作与解读2. 平均数的计算与应用3. 频数分布和频数分布图的制作与应用4. 数据的收集、整理、分析和解释六、几何与变换1. 几何基本概念，点、线、面、角、距离、平行和垂直2. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的性质3. 平行四边形、矩形和正方形的性质4. 空间几何图形的认识和性质，立体图形的展开和拼接七、统计与概率1. 抽样调查、统计指标和数据的分析2. 事件与概率，用频率估计概率3. 连续性随机事件的概率计算这是初中数学总复习（全册）知识点的一个概括性归纳。
希望对你的学习有所帮助！。
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
初三数学总复习——第五单元 《统计与概率》 第一课时 《数据的收集、整理和描述》 一、数据的收集与整理收集数据的方法主要有全面调查（又叫普查）与抽样调查两种（注意两种方法的适用范围）。
全面调查指考察全体对象的调查；抽样调查指为了一特定目的而对一部分由代表性的个体所进行的调查。
抽样调查的目的是用样本特征去估计总体特征。
二、总体、个体、样本和样本容量的概念 总体：所要考察对象的全体； 个体：组成总体的每一个考察对象；样本：从总体中取出的一部分个体叫总体的一个样本； 样本容量：样本中个体的数量. 三、数据的描述、整理1、条形图：能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别；2、折线图：易于显示数据的变化趋势；3、扇形图：显示各部分在总体中所占的百分比，易于显示各组数据于总体的大小。
例1、（1）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）A ．1万件B ．19万件C ．15万件D ．20万件（2）下列调查适合作普查的是（ ） A ．了解在校大学生的主要娱乐方式 B ．了解吉首市居民对废电池的处理情况 C ．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D ．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（3）如图,是1998年参加国际教育评估的15个国家学生的数学平均成绩的统计图，则平均成绩大于或等于60的国家个数是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12（4）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（ ） A ．个体B ．总体C ．样本容量D ．总体的一个样本（5）要反映某市一天内气温的变化情况宜采用（ ）8 64 2 O40 50 60 70 80成绩A ．条形统计图B ．扇形统计图C ．频数分布直方图D ．折线统计图（6）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为．例2、下图是根据某乡2009年第一季度“家电下乡”产品的购买情况绘制成的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为；（2）把两幅统计图补充完整．练习：一、填空与选择题1、某活动小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了以下调查，你认为抽样比较合理的是（ ） A 、在学校附近调查了1000名老年人的健康状况； B 、在医院调查了1000名老年人的健康状况； C 、调查了小组某成员10户老年邻居的健康状况；D 、利用派出所户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 2、观察统计图，下列结论正确的是（ ）A 、甲校女生比乙校女生少B 、乙校男生比甲校男生少C 、乙校女生比甲校男生多D 、乙校女生比男生多3、今年我市有9万名初中毕业生参加升学考试，为了了解9万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生数学成绩进行统计分析．在这个问题中总体是（ ）A ．9万名考生B ．9万名考生的数学成绩C ．2000名考生D ．2000名考生的数学成绩 4、要了解一个城市的气温变化情况，下列观测方法最可靠的一种方法是（ ） A ．一年中随机选中20天进行观测； B ．一年中随机选中一个月进行连续观测； C ．一年四季各随机选中一个月进行连续观测；D ．一年四季各随机选中一个星期进行连续5、从鱼塘中捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾称得每尾鱼的质量分别是：1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8（单位：千克）.依此估计这240尾草鱼的总质量大约是千克6、某校把学生的笔试成绩、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如右表（单位：分），则优秀的是笔试成绩实践能力成长记录甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙908890175150台数 冰箱%% 35%10% 电脑电视机热水器 洗衣机注意．．：将答案写在横线上 5%二、现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题：(l ）卖出面积为110-130cm 2的商品房有套，并在右图中补全统计图；(2）卖出最多的商品房约占全部卖出的商品房的%；(3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？三、今年国际无烟日，小华就公众对在餐厅吸烟的态度进行了随机抽样调查，主要有四种态度：A ．顾客出面制止；B ．劝说进吸烟室；C ．餐厅老板出面制止；D ．无所谓．他将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息回答下列问题： (1)这次抽样的公众有__________人； (2)请将统计图①补充完整；(3)在统计图②中，“无所谓”部分所对应的圆心角是_________度；(4)若城区人口有20万人，估计赞成“餐厅老板出面制止”的有__________万人．并根据统计信息，谈谈自己的感想．(不超过30个字)四、某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图．乒乓球 20% 足球第二课时 《数据的分析》四、描述一组数据的集中趋势的特征数1、平均数（加权平均数）：nx x x x n+++=21（n 表示数据的个数）；2、众数：一组数据中出现次数最多的数据；3、中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数（当数据个数为奇数个时）或最中间位置两个数的平均数（当数据个数为偶数个时）为这组数据的中位数. 五、描述一组数据的波动大小（离散程度）的量极差、方差：一般地，这两个量越小，反映这组数据的波动越小，即数据越稳定.极差＝n最小数据最大数据- ；方差：[]222212)()()(1x x x x x x n s n -++-+-=六、频数与频率：反映一组数据中某种对象出现的频繁程度频数：一组数据中某种对象出现的个数；频率n频数= 。
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
数学知识点复习要点梳理一、算术基础1.1 自然数、整数、分数、小数的概念及其运算1.2 负数、零、正数的概念及其运算1.3 幂的运算规则1.4 平方根、立方根的概念及计算方法1.5 百分数的换算与运算二、代数基础2.1 代数式的概念及运算规则2.2 方程的概念及其解法2.3 不等式的概念及其解法2.4 一元二次方程的解法2.5 二元一次方程组的解法2.6 函数的概念及其性质2.7 一次函数、二次函数的图像与性质三、几何基础3.1 点、线、面的基本概念3.2 直线、射线、线段的性质及运算3.3 角的度量与分类3.4 三角形、四边形、五边形、多边形的基本性质及判定3.5 圆的概念及其性质3.6 圆的周长、面积的计算方法3.7 相似图形、全等图形的概念及其判定3.8 三角函数的概念及其性质四、概率与统计4.1 随机事件的概念及其运算4.2 概率的求法与计算4.3 统计量的概念及其计算方法4.4 数据的收集、整理、分析与解释4.5 平均数、中位数、众数的概念及其计算方法4.6 方差、标准差的概念及其计算方法五、初等数学应用5.1 几何图形的实际应用5.2 线性方程组的实际应用5.3 函数的实际应用5.4 概率与统计的实际应用六、数学思想方法6.1 转化与化归的思想6.2 数形结合的思想6.3 分类讨论的思想6.4 逻辑推理的思想6.5 方程思想与函数思想6.6 归纳思想与猜想以上是中学数学知识点复习的要点梳理，希望对你有所帮助。
习题及方法：一、算术基础1.1 自然数、整数、分数、小数的概念及其运算习题1：计算下列各数的和：23 + 17 + 5/6解题方法：先将整数与分数分开计算，再将结果相加。
答案：40/6 或 6 2/3习题2：求下列分数的最小公倍数：3/4 和 5/6解题方法：将分数通分，然后找出最小公倍数。
1.2 负数、零、正数的概念及其运算习题3：计算下列各数的和：-5 + 3 + 0解题方法：按照加法的交换律和结合律进行计算。
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在知识点结构中，知识被表述成为抽象的概念、具体的判断和现实中的案例。
因此，我们可以认为知识点是知识体系的微观结构。
下面小编给大家带来总复习初中数学知识点归纳，希望大家喜欢！总复习初中数学知识点归纳第二章整式的加减2、1整式1、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。
系数，单项式的次数、单项式指的是数或字母的积的代数式、单独一个数或一个字母也是单项式、因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式、2、单项式的系数：是指单项式中的数字因数；3、单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和、4、多项式：几个单项式的和。
判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式、每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数的次数。
多项式的次数是指多项式里次数项的次数，这里是次数项，其次数是6；多项式的项是指在多项式中，每一个单项式、特别注意多项式的项包括它前面的性质符号、5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。
注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。
6、单项式和多项式统称为整式。
2、2整式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
与字母前面的系数（≠0）无关。
2、同类项必须同时满足两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可、同类项与系数大小、字母的排列顺序无关3、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。
可以运用交换律，结合律和分配律。
4、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号。
6、整式加减的一般步骤：一去、二找、三合（1）如果遇到括号按去括号法则先去括号、（2）结合同类项、（3）合并同类项葫芦岛初中数学公式归纳1、一元二次方程解法：(1)配方法：(X±a)2=b(b≥0)注：二次项系数必须化为1(2)公式法：aX2+bX+C=0(a≠0)确定a,b,c的值，计算b2-4ac≥0若b2-4ac>0则有两个不相等的实根，若b2-4ac=0则有两个相等的实根，若b2-4ac若b2-4ac≥0则用公式X=-b±√b2-4ac/2a注：必须化为一般形式(3)分解因式法①提公因式法：ma+mb=0→m(a+b)=0平方差公式：a2-b2=0→(a+b)(a-b)=0②运用公式法：完全平方公式：a2±2ab+b2=0→(a±b)2=0③十字相乘法2、锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
小学数学总复习知识点整理（最全）总复习小学数学复习资料第一章数与数运算——概念（一）整数1整数自然数和0的含义都是整数。
2.自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3.计数单位：一（一）、十、一百、一千、一万、十万、一百万、一千万、一亿。
都是计数单位。
每两个相邻计数单元之间的提前率为10。
这种计数方法叫做十进制计数法。
4.数字计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5.数字的划分整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
因为35可以被7除，35是7的倍数，7是35的除数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数是无限的，最小的倍数就是它本身。
3的倍数是：3，6，9，12。
最小倍数为3，没有最大倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数字的每一位上的数字之和可以被3除，这个数字可以被3除。
例如，12、108和204可以除以3。
如果一个数字的数字之和可以被9除，那么这个数字可以被9除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
如果一个数字的最后两位可以被4（或25）除，则该数字可以被4（或25）除。
例如，16404和1256可以被4除，50325500和1675可以被25除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
小升初数学总复习知识整理一、数的认识 1.数的分类提示:按不同的标准划分,数的分类也会不同。
例如:按正、负数分,数分为正数、0、负数;按整数与分数分,数分为整数、分数(小数)等。
(1)整数:像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。
整数的个数是无限的．．．．．．．．．,．没有最小的整数．．．．．．．,．也没有最大的整数。
．．．．．．．．．(2)自然数:用来表示物体个数的1、2、3、4……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示,0．也是自然数。
自然数的个数是无限的．．．．．．．．．．．．．．．．,．最小．．数的自然数是．．．．．0,．．没有最大的自然数。
自然数是整数的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．正整数和．．．．0．都是自然数。
．．．．．．提示:0表示一个物体也没有;0是正、负数的分界点;0表示起点(如0刻度);计数时,0起占位作用。
(3)分数:把单位“．．．．1．”平均分成若干份．．．．．．．．,．表示这样的一份或者几份．．．．．．．．．．．的数叫做分数．．．．．．,．表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一,分子是几,它就有几个这样的分数单位。
注意:带分数只有化成假分数后,它的分子才能表示这个带分数的分数单位的个数。
(4)百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数叫做百分数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．也．叫百分率或百分比。
百分数的计数单位是．．．．．．．．．．．．．．．．．．1%．．。
．百分数是一种特殊的分数,通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(5)分数和百分数的关系:分数既可以表示一个数．．．．．．．．．．,．也可以表示两．．．．．．个数的比．．．．;．而百分数只表示一个数占另一个数的百分比．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．不能用来表示．．．．．．具体的数。
高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。
众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。
③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
四、中位数与众数的特点。
⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x xx x x n22212()()()n x x x x x x sn抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
总复习第一章一．基本概念1．事件间的关系及运算包含、相等、互不相容；和、积、差、对立事件。
事件运算性质： （1）AC AB C B A =)(；AC AB C B A -=-)(；（2）B A -B A =AB A -=B B A -+=)(； （3）若B A ⊂，则A AB =，B B A = ；（4）B A B A=；B A B A =；∞=∞==11i ii iA A ； ∞=∞==11i ii iA A2．随机事件的概率 概率的统计定义古典概型： )(A P nm=几何概型： 的测度的测度G G G P 11}{=∈ξ概率的公理化定义及概率的性质： （1）0)(≥A P （2）1)(=U P（3）若,2,1,=iA i …，两两互不相容，则++21(A A P …++=)()()21A P A P …（4）0)(=φP（5）,,21A A …n A ,两两互不相容，则++21(A A P …++=+)()()21A P A P A n …)(n A P +（6）)(1)(A P A P -=（7）若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-（8）若,B A ⊂ )()(B P A P ≤则（9）)()()()(AB P B P A P B A P -+= ；)(321A A A P=)()()()()()(323121321A A P A A P A A P A P A P A P ---++)(321A A A P +3．条件概率定义：)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =；)(ABC P )|()|()(AB C P A B P A P =全概率公式：,,21A A …nA ,两两互不相容，,0)(>i A Pn i ,,2,1 =，++⊂21A A B …n A +，则)|()()|()()|()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++= 贝叶斯公式：)|(B A P k∑==ni iik k A B P A P A B P A P 1)|()()|()( （n k ,,2,1 =）4.事件的相互独立性两个事件相互独立： )()()(B P A P AB P =若A 、B 独立，则A 、B 独立；A 、B 独立；A 、B 独立。
若0)(>A P 且0)(>B P ，则“A 、B 独立”与“A 、B 互不相容”不能同时成立。
n 个事件相互独立：n 个事件相互独立⇒n 事件两两独立5．n 次独立试验“n 次独立试验中恰好成功k 次”为k B ，n k p p C B P k n kk n k ,,1,0,)1()( =-=-二．随机变量（一）一维随机变量1．概念；2．分布函数 }{)(x P x F ≤=ξξ性质：（1）)(x F 不降（2）1)(lim =+∞→x F x ，0)(lim =-∞→x F x（3）)(x F 右连续3．离散型随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ nn p p p a a a ,,,,,,~2121ξ分布列的性质：①,2,1,0=≥i p i ②∑∞==11i i p常见的离散型分布： 二项分布：k n kk n p p C k P --==)1(}{ξ， n k ,,1,0 =超几何分布：nNkn MN k M C C C k P --==)(ξ ， n k ,,1,0 =几何分布：1)1(}{--==k p p k P ξ ， ,2,1=k 泊松分布：,!)(λλξ-==e k k P k,2,1,0=k4．连续型随机变量 dt t f x F x)()(⎰∞-=ξξ分布密度的性质：① 0)(≥x f ξ ② ⎰∞+∞-=1)(dx x f ξ连续型随机变量ξ的分布函数是连续函数。
对于任何实数a ，0)(==a P ξ。
⎰=-=∈badx x f a F b F b a P )()()()},({ξ（曲边梯形面积）常见的连续型分布：①均匀分布],[~b a U ξ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=)(0)(1)(b x a x b x a ab x f 或②指数分布)(~λξe ：⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x e x f xλλ③正态分布),(~2σμξN ：)(21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ)|(|σμξ<-P 6826.0=；)2|(|σμξ<-P 9545.0=；=<-)3|(|σμξP 9973.05．随机变量ξ的函数的分布。
ξ是连续型随机变量，)(ξηg =，先求η的分布函数)(x F η， η的分布密度 ⎩⎨⎧''=)(0))(()()(其它存在时x F x F x f ηηη 结论： （1）若],[~βαξU )(βα<，b a +=ξη)0(≠a ，则0>a 时，],[~b a b a U ++βαη； 0<a 时，],[~b a b a U ++αβη（2）若),(~2σμξN ，b a +=ξη)0(≠a ，则),(~22σμηa b a N +（二）二维随机变量 1．),(ηξ的联合分布函数：),(),(y x P y x F ≤≤=ηξ2．性质： ①0≥ij p ② ∑∑∞=∞==111i j ij p3．连续型随机变量),(ηξ分布函数是),(y x F ，分布密度是),(y x f ，有⎰⎰∞-∞-=yxdt ds t s f y x F ]),([),(分布密度的性质：①0),(≥y x f ， ② 1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f对平面区域D 有 ⎰⎰=∈Ddxdyy x f D P ),(}),{(ηξ常见的二维连续型分布 （1）二维正态分布 ),,,,(~),(2221212ρσσμμηξN 。
（2）平面区域上的均匀分布),(ηξ有分布密度 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=（其它）当0)),(()(1),(G y x G S y x f 其中G 的面积)(G S ≠04．边缘分布 （1（2),(ηξ有分布密度),(y x f ，则ξ有分布密度 ⎰∞+∞-=dy y x f x f ),()(ξ η有分布密度 ⎰∞+∞-=dx y x f y f ),()(η重要结论：若 ),,,,(~),(2221212ρσσμμηξN ，则),(~211σμξN ，),(~222σμηN5．随机变量独立 （1）),(y x F 是),(ηξ的分布函数，)(),(y F x F ηξ分别是ηξ,的分布函数，)()(),(y F x F y x F ηξ=，则ηξ,相互独立．．．． （2）离散型：),(ηξ有分布律),,(j i ij b a P p ===ηξ ,2,1,=j i则ηξ,独立⇔)()(),(j i j i b P a P b a P =====ηξηξ,2,1,=j i（ηξ,独立⇔j i ij p p p ∙∙=， ,2,1,=j i ） （3）连续型： ①ηξ,独立，分别有分布密度)(),(y f x f ηξ，则)()(y f x f ηξ是),(ηξ的联合分布密度； ②若),(ηξ的边缘分布密度)(),(y f x f ηξ的乘积)()(y f x f ηξ是),(ηξ的联合分布密度，则ηξ,独立。
重要结论：若),,,,(~),(2221212ρσσμμηξN ，则独立ηξρ,0⇔=6．随机变量函数的分布重要结论： （1）ηξ,独立，且)(~),(~21ληλξP P ，则)(~21λληξ++P（2）21,ξξ独立，且),(~11p n B ξ，),(~22p n B ξ，则),(~2121p n n B ++ξξ（3）21,ξξ独立，),(~2111σμξN , ),(~2222σμξN ，则212121,(~σμμξξ±±N +)22σ（4）若n ξξξ,,,21 独立，),(~2i i iN σμξ， n i ,,2,1 =，i c ，n i ,,2,1 =是不全为零的常数，则 ),(~12212211∑∑==+++ni i i i ni i n n c c N c c c σμξξξ三．数字特征 1．数学期望 （1）定义： 离散型：⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k p p pa a a 2121~ξ则kk p a p a p a E +++= 2211ξ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p pa a a 2121~ξ 则 ∑∞==1i i i p a E ξ 连续型：ξ有分布密度)(x f ，则⎰∞+∞-=dx x xf E )(ξ（2）随机变量函数的数学期望∑∞==1)()(i i i p a g Eg ξ； ⎰∞+∞-=dx x f x g Eg )()()(ξ∑∑∞=∞==11),(),(i j ij j i p b a g Eg ηξ；⎰⎰∞+∞-∞+∞-=dxdy y x f y x g Eg ),(),(),(ηξ。
（3）数学期望的性质①C EC = ②ξξkE k E =)( ③ηξηξE E E +=+)(④ηξ,独立，ηξE E ,存在，则)(ξηE ))((ηξE E =2．方差 )(ξD 2)(ξξE E -==22)(ξξE E -（2）性质①C 是任意常数，则0)(=C D ②=)(ξk D k 2)(ξD③)()(ξξD C D =+④)()()(ηξηξD D D +=+))((2ηηξξE E E --+特别，ηξ,独立时，)()()(ηξηξD D D +=+（1）定义)()())((ηξηηξξρD D E E E ⋅--=（2）0)(,0)(>>ηξD D 时，ηξ,独立ηξ,不相关，反之，ηξ,不相关时未必有ηξ,独立。
（3）),,,(~),(2221,212ρσσμμηξN ，则),(~211σμξN ，),(~222σμηN ，ξηρρ=（ηξ,的相关系数）且ηξ,独立⇔0=ρ4．协方差 （1）定义=),cov(ηξ))((ηηξξE E E --=ηξξηE E E ⋅-)(（2）0)(,0)(>>ηξD D 时，)()(),cov(ησξσηξρξη⋅= （3）性质 ①),cov(ηξ),cov(ξη=②C 是常数，则 0),cov(=C ξ③ηξ,独立，则0),cov(=ηξ；反之，0),cov(=ηξ,ηξ,未必独立。
④b a ,是常数，则 ),cov(),cov(ηξηξab b a =⑤),cov(),cov(),cov(2121ηξηξηξξ+=+⑥ ),cov(2)()()(ηξηξηξ±+=±D D D四．极限定理1.切比雪夫不等式)(ξD 存在，则对任何0>ε，有2)()|(|εξεξξD E P ≤≥-2. }{n ξ依概率收敛于a ：对任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εξa P n n （或0}|{|lim =≥-∞→εξa P n n ），记做a pn−→−ξ3.贝努里大数定律： ,,,,21n ξξξ独立同分布（.iid ），都有分布律⎪⎭⎫⎝⎛-p p 110，则p n Pn −→−+++ξξξ 21 辛钦大数定律： ,,,,21n ξξξ独立同分布（.iid ），若μξ=1E ，则μξξξ−→−+++Pnn214.中心极限定理： ,,,,21n ξξξ独立同分布（.iid ），若μξ=1E ，21)(σξ=D ，则∑=n k k1ξ),(2~σμn n N n 近似充分大棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,,,,21n ξξξ独立同分布（.iid ），),2,1( =i i ξ有分布律⎪⎭⎫⎝⎛-p p110，则 ∑=-nk n k p np np N p n b 1))1(,(),(~~近似充分大ξ 第二章1．总体和样本概念 2．样本统计量：样本均值：∑==ni i x n x 11； 样本方差：∑=--=n i i x x n s 122)(11)(11122∑=--=n i ix n x n 样本标准差：2s s=样本m 阶（原点）矩：∑==n i mi m x n 11ν 样本m 阶中心矩： ∑=-=n i m im x x n 1)(1μ 3．三大分布： （1）n X X X ,,,21 )1,0(~.N iid ，则222X X X +++= ξ)(~2n χ；ξE n =；ξD n 2=；可加性： 若ηξ,独立，)(~2n χξ，)(~2m χη，则)(~2m n ++χηξ（2）)(~),1,0(~2n Y N X χ独立，则nY XT /=)(~n t（3）)(~),(~22n Y m X χχ独立，则nY mX F //=),(~n m F①若)(~n t T ，则 ),1(~2n F T ②),(1),(1m n F n m F αα=-4．重要结论： （1）n X X X ,,,21 ~.iid ),(2σμN ，则①),(~2nN Xσμ 与)1(~)1(222--n S n χσ独立；②)1(~/--=n t nS X T μ（2）1,,,21n X X X ~.iid ),(211σμN ，2,,,21n Y Y Y ~.iid ),(222σμN （1,,,21n X X X ）与（2,,,21n Y Y Y ）独立则 ①)1,1(~//2122222121--n n F S S σσ； ②22221ˆσσσ==时，)2(~)11(2)1()1()()(21212122221121-++-+-+----n n t n n n n S n S n Y X μμ第三章1.点估计：矩法、极大似然法①矩法：用样本矩∑==n i r ir x n a 11 作 rEX 的估计量； g 是连续函数，则用),,,(21k a a a g 估计),,,(2k EX EX EX g②极大似然法：使样本似然函数最大的θ作为θ的估计，记做θˆ，称为θ的极大（最大）似然估计。
