【典型题】高三数学上期中试题(带答案)(5)

山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．有四个关于三角函数的命题：x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈sin(x-y)=sinx-siny x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是1p ，4p B ．2p ，4p 1p ，3p ．已知21a =-，2e 2b =，1ln55c =，则（）a b c<<B ．c b a<<c a b<<二、多选题A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛+=+ ⎝B ．函数()f x 的一个对称中心为三、填空题参考答案：【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2x f x =的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>于是e x ∀≥，不等式((()f ax f x ≤则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项因此()(e)2e g x g ≥=+，即2a ≤“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。

民勤一中2023-2024学年高三级第一学期期中学业质量检测卷数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．2．若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（）A．6B．7C．8D．93.方程的解所在的区间是( )A. B. C. D.4.函数的图象大致为( )A. B.C. D.5.函数是A. 奇函数且上单调递增B. 奇函数且上单调递增在在{}na{}n b n n S n T521nnS nT n+=-76ab= 67121118251621{}na()*1119,3n na a a n+==-∈N{}n a n n 2log5x x=-()1,2()2,3()3,4()4,52()1xf xx=+()()sin cos sin cosy x x x x=+-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 偶函数且在上单调减增D. 偶函数且在上单调递增6.设函数，则满足的x 的取值范围是 A. B. C. D. 7．已知函数，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.函数在一个周期内的图象如图所示,则( )A. 该函数的解析式为B. 该函数的对称中心为C.该函数的单调递增区间是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩()f x 2≤()[]1,2-[]0,2[)1,∞+[)0,∞+()cos xf x e x =+()10.3a f -=()0.32b f -=()2log0.2c f =c b a<<c a b<<b a c <<b c a<<()y f x =[0,2x π∈'()cos ()sin 0f x x f x x +>'()f x ()f x ()(34f ππ-<()()34f ππ-<-(0)()4f π>-()()63f ππ<()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,0,3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 5ππ3π,3π,44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象10．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。

2020-2021高三数学上期中试题(及答案)(5)一、选择题1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9002．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-4．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b5．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1226．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1828．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值319．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3610．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2311．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．212．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．16．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 20．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 23．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a （*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 26．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+=，选B.2．D解析：D【解析】【分析】要确定不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．【详解】不等式组22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x yx y=⎧⎨+=⎩得22,33A⎛⎫⎪⎝⎭，由22yx y=⎧⎨+=⎩得()10B,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C5．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．6．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．8．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.9．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C10．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12．A解析：A【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2021级高三上学期期中校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}31A x x =-<<，{}24B x x =-<≤，则7A B = （）A.{}32x x -<<-B.{}21x x -<<C.{}14x x << D.{}34x x -<≤2.已知复数z 满足()()2i 2i 5z +-=，则z 的共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.2i-+ D.2i--3.以点(),02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan y x= D.tan y x=4.在ABC △中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+，则x y +=（）A.1B.23C.23-D.-15.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A.-64B.-16C.164D.1167.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 为40米，宽AB 为20米，球门长PQ 为4米且AQ BP =.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得命中率最高，则BM 大约为（）A.8米B.9米C.10米D.11米8.已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，平面α截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 不为定值，l 为定值B.S 为定值，l 不为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年上学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 若集合{}4log 1A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B = （ ）A. []1,3-B. []1,4-C. (]0,4 D. (]0,3【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到(]0,4A =，解一元二次不等式得到[]1,3B =-，由交集概念求出答案.【详解】集合{}(]4log 10,4A x x =≤=，{}[]22301,3B x x x =--≤=-，则(]0,3A B =I .故选：D.2. 若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（ ）A. 1 B. -1C. iD. 16【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.4. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. x y z << B. y z x <<C. z y x << D. z x y<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.【详解】0.40221x =>= ，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.5. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 2025【答案】C 【解析】【分析】由函数奇偶性，确定()f x 为周期函数，再结合()10f -=，求得a ，即可求解.【详解】因为()21f x -为奇函数，所以()f x 关于点()1,0-中心对称，又()1f x +为偶函数，所以()f x 关于直线1x =对称，所以()f x 为周期函数且周期()4118T =⨯--=，∴()()()20258253111f f f a =⨯+==+，∵()110f a -=-+=，∴1a =，∴()202512f a =+=.故选:C ．6. 若函数()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩，在(1,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []3,9- B. [)3,∞-+C. []0,9 D. (],9-∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数性质判断13x -<≤上()f x 的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当13x -<≤时，2log (1)y x =+单调递增且值域为(,2]-∞，而()f x 在(1,)-+∞上单调递增，则ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，且3233a a +≥⇒≥-，当30a -≤≤时，ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，满足题设；当0a >时，ay x x=+在)+∞3≤，即09a <≤；综上，39a -≤≤.故选：A7. 已知函数()2sin ,f x x ax a =-∈R ，若曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（ ）A. π5π[,33B. (0,π]C. [π,2π)D. π5(0,],[π,2π)33【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出a ，再利用导数求出单调递减区间.【详解】函数()2sin f x x ax =-，求导得()2cos f x x a '=-，则ππ()2cos22f a a '=-=-，由曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，得π(12a f '-==-，解得1a =，于是()2cos 1f x x '=-，由()2cos 10f x x '=-<，得1cos 2x <，而(0,2π)x ∈，解得π5π33x <<，所以函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是π5π[,]33.故选：A8. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若方程()1f x =在[]0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ）．A. 523,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 239,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 523,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 239,62⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】将()f x 化简为π2sin 3x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，根据方程可知ππ2π36x k ω+=+或π5π2π36x k ω+=+，根据π3x ω+整体的范围可知需满足ππ5π4ππ4π636ω+≤+<+，解不等式得到ω的取值范围.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，令()1f x =，则π2sin 13x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36x k ω∴+=+或π5π2π36x k ω+=+，[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()1f x = 在[]0,π上有且只有四个实数根，ππ5π4ππ4π636ω∴+≤+<+，解得：239,62ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.二、多选题9. 定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（ ）A. ()10f = B. ()()110f x f x -++=C. ()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC10. 函数()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-（π02ϕ<<）的图象的一个对称中心为 π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. 直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴B. 函数()f x 在ππ,612⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得到cos2y x =的图象D. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得ϕ，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，由π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数图象的一个对称中心，即πππ262k ϕ⨯+=+，Z k ∈，解得ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项：令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，当1k =时，5π12x =，即直线5π12x =是函数的一条对称轴，故A 选项正确；对于B 选项：令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以函数在ππ,612⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项：函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；对于D 选项：当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，所以函数()πcos 26f x x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，即最大D 选项错误；故选：AC.11. 下列结论正确的是（ ）A. 若2()1ax bf x x +=+是奇函数，则必有0a ≠且0b =B. 函数31x y x =-的单调递减区间是11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2(3)f x x x =+，则当0x <时，()f x =23x x -D. 若()f x 在R 上是增函数，且1a m =-，2b m =，则()()()()f a f b f a f b +-<-+【答案】CD 【解析】【分析】根据奇函数的性质判断A ，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B ，根据奇函数性质求解析式判断C ，根据单调性比较大小即可判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，由奇函数性质知(0)0f b ==R a ∈，事实上当0a b ==时，()0f x =，即是奇函数也是偶函数，故A 错误.对于B ，因为11393y x =+-，所以函数31x y x =-的单调递减区间是1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故B 错误.对于C ，当0x <时，0x ->，则2()()3()f x x x f x -=--=，即2()3f x x x =-，故C 正确.对于D ，因为22112b a m m m ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭304+>，所以b a >.又因为()f x 在R 上增函数，所以()()f a f b <，b a -<-，所以()f b -<()f a -，所以()()()()f b f a f a f b -+<-+，故D 正确故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12. tan20tan40tan40︒+︒+︒︒= ______【解析】【分析】利用602040︒=︒+︒，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【详解】因为tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40︒+︒︒=︒+︒==-︒︒20tan 40tan 20tan 40-︒︒=︒+︒，所以tan 20tan 40tan 20tan 40︒+︒+︒︒=是.。

2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√22．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝2，A1，A2，A3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n}，令b n=2a n−2，S n为数列{b n}的前n项和，则S120＝（）A ．8B ．9C ．10D ．116．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB 的取值范围是（ ）A ．(−1，12)B ．(13，12)C ．(12，23)D ．(13，23)二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I 的偶函数f （x ），∃x n ∈I ，使f （x 0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．f （x ）＝x 2﹣3 B ．f （x ）＝2x +2﹣x C ．f （x ）＝log 2|x |D ．f （x ）＝cos x +110．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞1211．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√312．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ）A．直线l一定过点(−14，1)B．存在实数m＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C．对任意实数m＞2，两圆心所在直线与直线l垂直D．过直线l上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝，cos（x2﹣x1）＝．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1＝（n+1）a n+1．（1）证明{a n+1n}为常数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b m为数列{a n}落在区间（3m，3m+1），m∈N+内的项的个数，求数列{b m}的前m项和．20．（12分）如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，VA ⊥平面ABC ，VA ＝AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，M 是VB 的中点，N 为BC 上的动点．（1）证明：平面AMN ⊥平面VBC ；（2）VC ∥平面AMN 时，求平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√2解：2﹣z＝z•i，则（1+i）z＝2，故z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，|z|=√12+(−1)2=√2．故选：B．2．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：{x∈R|x3＝x}＝{﹣1，0，1}，∴满足{0，1}∪X＝{﹣1，0，1}的X为：{﹣1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{﹣1，0，1}，共4个．故选：D．3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0为真命题，则Δ＝16﹣8m≤0，故m≥2，由于{m|m≥3}⫋{m|m≥2}，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．解：f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x，f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sin x＝f（x），故f （x ）为偶函数，故排除AC ，当x =π2时，y =2π2−2−π2＞0，故排除D ．故选：B ．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝⋯＝2，A 1，A 2，A 3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n }，令b n =2a n −2，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 120＝（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11解：由题意得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝...＝2， 则OA 2=2√2，OA 3=2√3，…，OA n =2√n ， ∴a n =OA n +OA n+1+A n A n+1=2√n +2√n +1+2， ∴b n =2a n −2=1√n+√n+1=√n +1−√n ， ∴前n 项和S n =b 1+b 2+⋯+b n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， 故S 120=√120+1−1=10， 故选：C ．6．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]解：以A 为坐标原点，AC ，AB 为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以A （0，0），B （0，2），C （4，0）， 因为D 为BC 的中点， 所以D （2，1）， 则AD →=(2，1)，设AP →=λAD →(0≤λ≤1)， 所以AP →=λ(2，1)=(2λ，λ)， 所以P （2λ，λ），可得PB →=(0，2)−(2λ，λ)=(−2λ，2−λ)，PC →=(4，0)−(2λ，λ)=(4−2λ，−λ)， 所以PB →⋅PC →=−10λ+5λ2=5(λ−1)2−5， 因为0≤λ≤1，所以PB →⋅PC →=5(λ−1)2−5∈[−5，0]． 故选：A ．7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）解：f ′（x ）＝x 2﹣6x +8＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 当x ∈（0，2）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以f （x ）在（0，3）上的最大值时f （2）＝4.g ′(x)=x−1x， 当x ∈（0，1）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（1，3）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）在（0，3）上的最小值是g （1）＝1． 若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立， 则[g （x ）+k ]min ≥f （x ）max ，即1+k ≥4，所以k ≥3， 所以实数k 的取值范围是[3，+∞）． 故选：B ．8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB的取值范围是（ ）A．(−1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)解：由题意，sin(π2−B)=cosB=cos2A，在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2 )，因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3 )，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC−BCAB=sinB−sinAsinC=sin2A−sinAsin(π−3A)=2sinAcosA−sinAsin(2A+A)=2sinAcosA−sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，故AC−BCAB=2cosA−12cos2A+cos2A=2cosA−14cos2A−1=2cosA−1(2cosA−1)(2cosA+1)，因为A∈(0，π3)，所以2cos A﹣1＞0，故AC−BCAB=12cosA+1，因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cos A∈（1，2），2cos A+1∈（2，3），故AC−BCAB=12cosA+1∈(13，12)．故选：B．二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I的偶函数f（x），∃x n∈I，使f（x0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（）A．f（x）＝x2﹣3B．f（x）＝2x+2﹣xC．f（x）＝log2|x|D．f（x）＝cos x+1解：对于A，f（x）＝x2﹣3，定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3＝x2﹣3＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（1）＝﹣2＜0，故A正确；对于B，f（x）＝2x+2﹣x＞0恒成立，故B错误；对于C，f（x）＝log2|x|，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）＝log2|﹣x|＝log2|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f(12)=−1＜0，故C正确；对于D ，因为﹣1≤cos x ≤1，所以f （x ）＝cos x +1≥0恒成立，故D 错误． 故选：AC ．10．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞12解：若12a ＝3，12b ＝4，则a ＝log 123，b ＝log 124，a +b ＝1，a ≠b ， A ：b a =log 124log 123=log 34＞1，正确；B ：ab ＜(a+b)24=14，错误；C ：a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab ＞1−2×14=12，正确； D ：a ﹣b ＝log 1234＞−1，则2a ﹣b ＞12，正确．故选：ACD ．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√3解：对于A ：连接A 1C 1，如图所示：∵E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，∴EF ∥A 1C 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ， ∴EF ∥AC ，∴AC 1∩EF ＝A ，故A 错误； 对于B ：连接BC 1，∵点F ，G 分别为B 1C 1，B 1B 的中点， ∴FG ∥BC 1， 由选项A 得EF ∥AC ，∵EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ACD 1，FG ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1，FG ∥平面ACD 1， 又EF ∩FG ＝F ，∴平面ACD 1∥平面EFG ，故B 正确； 对于C ：由选项B 得EF ∥平面ACD 1， ∵点P 在线段EF 上运动，∴点P 到平面ACD 1的距离等于点E 到平面ACD 1的距离，且为定值， 又△AD 1C 的面积为定值，则三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值，故C 正确； 对于D ：建立以D 为原点的空间直角坐标系D ﹣xyz ，如图所示：则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），A 1（2，0，2），C 1（0，2，2），C （0，2，0）， ∴AC 1→=（﹣2，2，2），CA 1→=（2，﹣2，2），BA 1→=（0，﹣2，2）， 设平面A 1BC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CA 1→=2x −2y +2z =0n →⋅BA 1→=−2y +2z =0，取y ＝1，则z ＝1，x ＝0， ∴平面A 1BC 的一个法向量为n →=（0，1，1），设AC 1与平面A 1BC 所成角为α， ∴sin α＝|cos ＜AC 1→，n →＞|=|n →⋅AC 1→||n →|⋅|AC 1→|=423×2=√63， ∴cos α=√1−sin 2α=√33，∴tan α=sinαcosα=√2，故D 错误． 故选：BC ．12．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ） A ．直线l 一定过点(−14，1)B ．存在实数m ＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C ．对任意实数m ＞2，两圆心所在直线与直线l 垂直D ．过直线l 上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 解：联立{x 2+y 2+2x −4y +4=0x 2+y 2−2x +(m −2)y +(3−m)=0，两式相减可得l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，对A ：由l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，得（1﹣y ）m +（4x ﹣2y +1）＝0， 则{1−y =04x −2y +1=0，解得x =14，y =1，所以直线l 恒过定点(14，1)，故A 错误；对B ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m 2)⇒k C 1C 2=−12−m4=−2⇒m =6＞2，故B 正确； 对C ：因为k l =4m+2，k C 1C 2=−m+24⇒k l k C 1C 2=−1⇒l ⊥C 1C 2，故C 正确； 对D ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m2)，r 1=1，r 2=√m 2−42，m ＞2，则圆心C 1到直线l 的距离为d 1=√16+(m+2)=√16+(m+2)，圆心C 2到直线l 的距离为d 2=|4−(1−m 2)(m+2)+m+1|√16+(m+2)2=m 2+2m+62√16+(m+2)2，又（m +7）2﹣[16+（m +2）2]＝10m +29＞0， 得d 1＞r 1，即直线l 与圆C 1相离， 由[2√16+(m+2)]2−(√m 2−4)2=40m+11616+(m+2)2＞0，得d 2＞r 2，即直线l 与圆C 2相离，∴过直线l上任一点可作两圆的切线．在直线l：4x﹣（m+2）y+m+1＝0上任取一点P(mn+2n−m−14，n)，设点P到圆C1的切线长为L1，到圆C2的切线长为L2，则L12=|PC1|2−r12=(mn+2n−m−14+1)2+(n−2)2−1=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，L22=|PC2|2−r22=(mn+2n−m−14−1)2+(n−1+m2)2−m2−44=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，∴L12=L22，即L1＝L2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．解：因为f(x)=x−1e x，则f′(x)=2−xe x，可得f（0）＝﹣1，f′（0）＝2，即切点坐标为（0，﹣1），斜率k＝2，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x﹣1，即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为2√10．解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，4），动点P在直线x﹣y+1＝0上，∴点A（﹣3，5），B（2，4）在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则{a−32−b+52+1=0b−5a+3=−1，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），∴|P A|+|PB|的最小值为：|BC|=√(4−2)2+(−2−4)2=2√10．故答案为：2√10．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为57．解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）因为|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|＝2c，则|MF1|＝2a﹣2c，|NF1|=3(a−c)2，|NF2|=a+3c2，过F2作NF2⊥MN交于Q，则Q为MF1的中点，则cos∠MF1F2=|QF1||F1F2|=a−c2c，cos∠NF1F2=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=[3(a−c)2]2+(2c)2−(a+3c2)22⋅3(a−c)2⋅2c=a−2c3c，因为∠NF1F2+∠MF1F2＝π，所以cos∠NF1F2+cos∠MF1F2＝0，即a−2c3c=−a−c2c，整理可得：ca=57，故答案为：5 7．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝4π3，cos（x2﹣x1）＝58．解：由题设f(0)=sinφ=√32，又0＜φ＜π2，则φ=π3，f(−π3)=sin(π3−ωπ3)=0，则π3−ωπ3=kπ，k∈Z，故ω＝1﹣3k，k∈Z，由ω＞0且−π3是y轴左侧第一个零点，故k＝0，即ω＝1，则f(x)=sin(x+π3)，由图知：x1，x2关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即x=2π3对称，所以x1+x2=4π3，由f(x1)=sin(x1+π3)=√34，且x1+π3∈(π2，π)，所以sin(x1−π6)=sin[(x1+π3)−π2]=−cos(x1+π3)=√134，而x2=4π3−x1，则cos(x2−x1)=cos(4π3−2x1)=−cos(π3−2x1)=−cos(2x1−π3)=2sin2(x1−π6)−1=5 8．故答案为：4π3，58．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．解：（1）由题意得：f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin（2ωx−π3）由最小正周期为π=2π2ω，得ω＝1，得f（x）＝2sin（2x−π3）令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z．整理得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间是[kπ+5π12，kπ+11π12]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x+1的图象，∴g（x）＝2sin2x+1．令g（x）＝0，得x＝kπ+7π12或x＝kπ+11π12（k∈Z），∴y＝g（x）在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g（x）在[0，b]上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得{a −c =3e =c a =12，可得a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝36﹣9＝27， 所以椭圆C 的方程为x 236+y 227=1；（2）假设存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 22=1，y 1+y 22=32，则{x 1236+y 1227=1x 2236+y 2227=1，两式相减得x 12−x 2236=−y 12−y 2227， 得y 1−y 2x 1−x 2=−2736⋅x 1+x 2y 1+y 2=−34⋅2×12×32=−12，即k AB =−12， 由点斜式得直线AB 方程为y −32=−12(x −1)，即x +2y ﹣4＝0． 因为，136+927×4＜1，所以Q （1，32）在椭圆内部，经检验存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，且该直线方程为x +2y ﹣4＝0．19．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，na n +1＝（n +1）a n +1． （1）证明{a n +1n}为常数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数，求数列{b m }的前m 项和． 解：（1）因为na n +1＝（n +1）a n +1， 两边同时除以n （n +1）得：a n+1n+1=a n n+1n(n+1)．所以a n+1n+1=a n n+1n−1n+1，即a n+1+1n+1=a n +1n． 所以{a n +1n}为常数列． 又a 1+11=3，所以a n +1n=3，即a n ＝3n ﹣1．（2）由题意，得3m＜3n ﹣1＜3m +1，所以3m +13＜n ＜3m+1+13，∴3m−1+13＜n ＜3m +13∵b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数， ∴b m =3m +13−(3m−1+13)=3m ﹣3m ﹣1＝2×3m ﹣1．所以数列{b m}是首项为2，公比为3的等比数列．设数列{b m}的前m项和为S m，所以S m=2(1−3m)1−3=3m−1．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥平面ABC，VA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC，M是VB的中点，N为BC上的动点．（1）证明：平面AMN⊥平面VBC；（2）VC∥平面AMN时，求平面AMN与平面ABC夹角的余弦值．（1）证明：因为VA⊥平面ABC，VA⊂平面VAB，所以平面VAB⊥平面ABC，又AB⊥BC，平面VAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面VAB，因为AM⊂平面VAB，所以BC⊥AM，因为VA＝AB，M是VB的中点，所以AM⊥VB，又VB∩BC＝B，VB，BC⊂平面VBC，所以AM⊥平面VBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面VBC．（2）解：以A为坐标原点，AB，AV所在直线分别为y，z轴，过点A作与BC平行的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为VC∥平面AMN，VC⊂平面VBC，平面AMN∩平面VBC＝MN，所以VC∥MN．又M 是VB 的中点，所以N 是BC 的中点，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，V(0，0，1)，M(0，12，12)，N(12，1，0)，所以AM →=(0，12，12)，AN →=(12，1，0)，AV →=(0，0，1)，则平面ABC 的一个法向量为AV →=(0，0，1)． 设平面AMN 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AM →⋅n →=0，AN →⋅n →=0， 即{12y +12z =0，12x +y =0. 令y ＝1，得x ＝﹣2，z ＝﹣1，所以平面AMN 的一个法向量为n →=(−2，1，−1)．设平面AMN 与平面ABC 的夹角为θ，所以cosθ=|AV →→⋅n →||AV →→||n →|=|−1|1×√(−2)2+1+(−1)2=√66，故平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值为√66． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由22a 2+22b 2＞22a 2+(√2)2b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此{ 22b 2=1，22a 2+(√2)2b2=1，解得{a 2=8，b 2=4．故C 的方程为x 28+y 24=1．（2）在△ABP 2中，∠AMP 2＝2∠ABP 2，∠AMP 2＝∠ABP 2+∠BP 2M ， 所以∠ABP 2＝∠BP 2M ，从而|P 2M |＝|BM |，又M 为线段AB 的中点，即|BM|=12|AB|，所以|P 2M|=12|AB|，因此∠AP 2B ＝90°，从而P 2A →⋅P 2B →=0，根据题意可知直线l 的斜率一定存在，设它的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0①，Δ＝（4km ）2﹣4（2m 2﹣8）（2k 2+1）＞0，根据韦达定理可得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以P 2A →⋅P 2B →=(x 1，y 1−2)⋅(x 2，y 2−2)=(1+k 2)x 1x 2+k(m −2)(x 1+x 2)+(m −2)2=(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km2k 2+1)+(m −2)2，所以(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km 2k 2+1)+(m −2)2=0，整理得（m ﹣2）（3m +2）＝0，解得m ＝2或m =−23，又直线l 不经过点（0，2），所以m ＝2舍去， 于是直线l 的方程为y =kx −23，恒过定点(0，−23)，该点在椭圆C 内，满足关于x 的方程①有两个不相等的解， 所以直线l 恒过定点，定点坐标为(0，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx 在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．解：（1）已知f(x)=alnx −ex(a ∈R)，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=a x +e x 2=ax+e x2， 当a ≥0，f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜0，当0＜x ＜−ea 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞−ea时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＜0时，函数f （x ）在(0，−e a )上单调递增，在(−ea，+∞)上单调递减；（2）易知g(x)=f(x)+e xx=alnx−ex+e xx，函数定义域为（0，+∞），若函数g（x）在区间（1，+∞）上恰有一个零点，此时g（x）＝0在区间（1，+∞）上有且仅有一个解，即axlnx﹣e+e x＝0在（1，+∞）上有且仅有一个解，不妨设h（x）＝axlnx﹣e+e x，函数定义域为（1，+∞），可得h′（x）＝a（lnx+1）+e x，当a≥0时，h′（x）＞0恒成立，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜0时，不妨设k（x）＝h′（x）＝alnx+e x+a，函数定义域为（1，+∞），可得k′（x）=ax+e x=a+xe xx，不妨设m（x）＝a+xe x，函数定义域为（1，+∞），可得m′（x）＝（x+1）e x＞0，所以函数m（x）在（1，+∞）上单调递增，此时m（x）＞m（1）＝a+e，当﹣e≤a＜0时，m（x）＞0，所以k′（x）＞0 恒成立，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝e+a＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜﹣e时，m（1）＝a+e＜0，当x→+∞时，h（x）→+∞，所以∃x0∈（1，+∞），使得m（x0）＝0，当1＜x＜x0时，m（x）＜0，k′（x）＜0，k（x）单调递减；当x＞x0时，m（x）＞0，k′（x）＞0，k（x）单调递增，又k（1）＝e+a＜0，当x→+∞时，k（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x0）上恒负，在（x0，+∞）上存在一个零点x1，当1＜x＜x1时，k（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x1时，k（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（1）＝0，当x→+∞时，h（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x1）上恒负，在（x1，+∞）上仅有一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣e）．。

山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ={x|−2≤x ≤2}，集合A ={x |−1≤x <2}，则∁U A =( )A. (−2,−1)B. [−2,−1]C. (−2,−1)∪{2}D. [−2,−1)∪{2}2.若复数z 满足zi =1+i ，则z 的共轭复数是( )A. −1−iB. 1+iC. −1+iD. 1−i3.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为15，则此正四棱锥的体积为( )A. 605B. 6015C. 1205D. 180154.在△ABC 中，CD =2DB ，AE =ED ，则CE =( )A. 16AB−13ACB. 16AB−23ACC. 13AB−56ACD. 13AB−13AC5.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1=2a 2，公差d ≠0,S m =0，则m 的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.若cos(π4−α)=3 210，则sin 2α=( )A. 725B. 1625C. −1625D. −7257.“a <3”是“函数f(x)=log 2[(3−a)x−1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8.设a =ln 54，b =sin 14，c =0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量a =(3,m )，b =(0,1)，则下列说法正确的是( )A. 若|a |=2，则a ⋅b =1B. 不存在实数m ，使得a //bC. 若向量a ⊥(a−4b )，则m =1或m =3D. 若向量a 在b 向量上的投影向量为−b ，则a ,b 的夹角为2π310.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为CA延长线上一点，∠DAB的平分线交直线CB 于E，若a=7，b=3，c=2，则( )A. sin A:sin B:sin C=7:3:2B. A=π6C. △ABC的面积为33D. AE=4211.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(−x)=0，f(x+1)+f(3−x)=0，当0<x<2时，f(x)=x2−2x，则( )A. f(x)=f(x+8)B. f(x)的图象关于直线x=2对称C. 当4<x≤6时，f(x)=x2−10x+24D. 函数y=f(x)−lgx2有4个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。