下载文档原格式
皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}725A x x =-<，{}230B x x x =-≥，则A B =（）A ．[]0,3B ．(]1,3C ．[)0,+∞D ．()1,+∞2．设z 是复数z 的共轭复数，且()12i 5i z -=，则z =（）A ．3B ．5CD 3．已知两个非零单位向量1e ，2e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A ．1e 在2e 方向上的投影为sin θB ．2212=e eC ．θ∀∈R ，()()1212+⊥-e e e eD ．不存在θ，使12⋅e e4．安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（）A ．13B ．16C ．19D ．112 5．若e πe πa b b a --+-≥，则有（）A ．0a b +≤B ．0a b -≥C ．0a b -≤D ．0a b +≥6．过抛物线C ：24x y =的焦点F 的直线l 交C 于A ，B ，点A 处的切线与x ，y ，轴分别交于点M ，N ，若△MON 的面积为12，则AF =（） A ．1B ．2C ．3D ．47．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入n= 24，则输出的结果为（）。
绝密★启用前安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考理科数学试题2019年2月全卷满分150分,考试时间120分钟第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={x∈R|x2-3x≥0},B={-2,2},则（R A）∩B=A.B. {-2}C. {2}D. {-2,2}2. 已知复数z满足（z+4i）·（1-i）=3+2i（i为虚数单位）,则z的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设向量a=（m,0）,b=（1,1）,且|b|2=|a|2-|a-b|2,则m=A. -1B. 0C. 1D. 24. 安徽黄山景区,每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下,某人下午在山上,准备乘坐缆车下山,则他等待时间不多于5分钟的概率为A.B.C.D.5. 已知公比为q的等比数列{a n}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=A. 1B.C. 1或-1D. 2或6. 2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%,下图为该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图,根据统计图,给出下列结论：①2018年9～12月,该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月,该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少；③2018年9～12月,该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%,其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 07. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题：“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得。
安徽省皖江名校2019届高三第四次联考数学文试题数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得解.【详解】因为，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.3.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.4.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原得四棱锥，结合四棱锥的结构特征直接求表面积即可.【详解】如图所示，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，2个侧面是腰长为2的等腰直角三角形，另外2个侧面是边为，，直角三角形，所以表面积为.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5.某单位为了解用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（度）由表中数据得线性回归方程中，预测当温度为时，用电量的度数约为（）A. 64B. 66C. 68D. 70【答案】D【解析】【分析】由题意先求出回归方程，再将代入回归方程，即可求出结果.【详解】由已知，，将其代入回归方程得，故回归方程为，当时，，选D.【点睛】本题主要考查回归直线方程，由回归直线必然过样本中心即可求回归直线的方程，属于基础题型. 6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可. 【详解】由，可得；由.两式作比可得：可得，，所以，，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.7.已知函数的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数得，得为函数的最大值，结合函数的周期性可知时函数应取最小值，从而得解.【详解】函数（其中）.易知.当，即时函数取得最大值，又函数的周期为，所以时函数应取最小值.即.故选B.【点睛】本题主要利用了两角和及二倍角公式化简三角函数，并利用三角函数的性质解题，属于中档题.8.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D考点：双曲线的简单性质9.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点为，可证得平面平面，即的面积即为所求，然后利用梯形的面积公式求解即可.【详解】取的中点为.易知，，所以四边形为平行四边形，所以.又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.由，，所以四边形为梯形，高为.所以面积为：.故选B.【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题. 10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.【详解】 .注意，，所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.故选C.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.11.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：设此圆的圆心坐标为，则圆的半径，当且仅当时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为，选A.考点：圆的方程、基本不等式.12.已知函数与轴相切与点，且极大值为4，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知是的极值，再求导分析极值可知，从而得a，进而可求.【详解】由题意时，是的极值，所以..因为取得极值为0，极大值为4，所以当时取得极大值，解得.所以，.故选B.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的极值，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.【详解】，，由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，于是且，得，经检验.故答案为：.【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，执行循环结构的程序框图，直到满足条件结束循环，输出结果即可.【详解】程序运行如下：，；，；,；，；，，变量的值以4为周期循环变化，当时，，时，，结束循环，输出的值为.故答案为：.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．15.设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是__________．【答案】7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值F(2,1)=7∴z最小值=16.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得的范围，由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得，解不等式即可得解.【详解】由题设，所以应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有，得，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17.为了解中学生对交通安全知识的掌握情况，从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按，，，分组，得到的频率分布直方图.（Ⅰ）分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩；（Ⅱ）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”？附：临界值表：【答案】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩56，城镇中学的竞赛平均成绩60；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即可得平均值；（Ⅱ）根据已知数据完成列联表，再利用公式计算出观测值，再查表下结论即可.【详解】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩，城镇中学的竞赛平均成绩.（Ⅱ），有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．18.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）分析梯形的角度可得，即得，又，从而得证；（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，易得四边形是平行四边形，得，由梯形面积公式可得底面积，高为，利用椎体的体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由题设易得，所以，，，（第2问用）因此，又，和为平面内两条相交直线，所以平面（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，则由平面可得，进而四边形是平行四边形，所以.四棱锥的底面积是.由（Ⅰ）知四棱锥的高是所以体积.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质，还有椎体的体积公式，考查一定的空间想象力，属于中档题.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由及时，可得，再由是等差数列，利用基本量运算求解即可；（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.【详解】（Ⅰ），时，，也符合此式，所以.又，，可得，，所以（Ⅱ），所以，所以，错位相减得，所以【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.20.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得，可得，从而得解；（Ⅱ）在和中，分别用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.【详解】（Ⅰ）由题设，，所以（Ⅱ）在中，由余弦定理，在中，又，所以，进而.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.21.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）四边形的四个顶点都在椭圆上，且对角线，过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.【答案】（Ⅰ）标准方程，离心率（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先设椭圆方程，再由题意，列方程组求解即可;（Ⅱ）先设的方程为，联立直线与曲线方程，由根与系数关系，结合题意表示出，即可求出的关系式，进而由面积公式可求出结果.【详解】（I）设椭圆的方程为，则所以椭圆的标准方程，所以，离心率（Ⅱ）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为，，.联立，得，则，. ①由，得. ②由①、②，得. ③设原点到直线的距离为，，④由③、④，得，故四边形的面积为定值，且定值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，通常情况下，需要联立直线与曲线方程，结合根与系数的关系来求解，属于中档试题.22.已知函数在处的切线方程.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题设，运算求解即可；（Ⅱ）令，，通过求两次导数分析函数单调性可得存在在唯一的使得，当或者时，单调递增，当时，单调递减，进而有，从而得证.【详解】（Ⅰ），由题设（Ⅱ）实际上是证明时，的图象在切线的上方.令，，则，，所以在上单调递减，在上单调递增；在唯一的极小值.注意到，，而，所以，所以；又因为在上单调递减，所以存在在唯一的使得；因此当或者时，，当时，；所以当或者时，单调递增，当时，单调递减；由于，所以，当且仅当时等号成立；所以时，不等式成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
099,6S x =+==次循环，45144189,24S x =+==，满足判断条件，退出循环体，输出S 的值为189. 5. 【解析】由统计图可知①,②正确,由689052-643974<744127-689052,可知③错误,由744127⨯0039.8≈ 296000,约为296千亿元,所以④ 错误,故选B.6. 【解析】方程22925225x y +=化为221259x y +=，所以该曲线是椭圆，右焦点恰好为(4,0)A ，点(1,1)B --在椭圆内部，设左焦点为(4,0)F -，于是||||(2||)||2(||||)2||10PA PB a PF PB a PB PF a FB +=-+=+-≤+=.7.【解析】由三视图可知，该几何体是半圆柱和半球的组合体，故其体积为23125121233V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.8.【解析】3332241()=5144414141x x x x f x ax ax ax --+=+-+=+++++，令341()()41x x g x ax x R -=+∈+，则334114()()4114x x xxg x ax ax g x -----=-+=-+=-++，所以()g x 是R 上的奇函数，因为()()41f b g b =+=，所以()3g b =-，于是()()4()4347f b g b g b -=-+=-+=+=.9.【解析】由题意易知PQ 垂直于x 轴，可设0(,)P c y ，其中222c a b =+.因为0AP AQ ⋅=，所以90PAQ ︒∠=，即245PAF ︒∠=，所以22||||PF AF =.将0(,)P c y 代入双曲线方程中可解得20b y a =，所以2b ac a=+，即22b a ac =+，即222c a a ac -=+，即2220c ac a --=，两边同除以2a ，可得220e e --=，解得2e =（另一个解舍去），故选A.10.【解析】因为2mn =，所以14484814(1)(4)44m n m n n m n m mn n m +++++==+++++++ 4821112(24646m n m n m n ++==+≤==++++，当且仅当2m n ==时等号成立.11.【解析】()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+，因为存在1x ，对于任意的实数x ，都有11()()(6)f x f x f x ≤≤+，所以11(),(6)f x f x +分别为函数()f x 的最小值和最大值，因为ω最小，所以周期最大，所以62T=，即12T =是周期的最大值，此时2126ππω==，于是()sin()64f x x ππ=+，故(3)sin()sin 1244f πππ=+==.12.【解析】先求此旋转体顶部到到底部的高位h 时的截面圆的面积.当高为h 时，在2(0)y ax a =>中令y=h ，得2hx π=，对应截面圆的面积为2h h S x a aπππ==⋅=.依据祖暅原理，要构造一个高为b 的体积易求的直三棱柱，且几何体到底部的距离为h 的截面面积也是haπ.构造一个如下图所示的直三棱柱，底面为腰长为b 的等腰直角三角形，侧棱长为aπ，且将此三棱柱放到三维直角坐标系中，则此几何体到底部的距离为为h 的截面矩形的面积为hh a aππ⋅=，则依据祖暅原理可得所求几何体的体积为22122b V b a aππ=⋅=.13. 3± 【解析】由λ-a b =0得λ=a b ，平方得222λ=a b ，所以3λ=±.14.240 【解析】通项公式为6366662266622r r r r r r r r r r C x C x C x ---+---==，令360r -=，解得2r =，所以常数项为4262240C =.15.2 【解析】画出不等式组2,239,0x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，如图所示；因为(),M a b 是阴影区域内的任意点，所以14b a --可以看作区域内的点与点()41D ，连线的斜率.当直线过点C 时，斜率值最大，由2,239,x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()3,1C -.∴14b a --最大值为11234--=-.16.【解析】由3C π=，得23A B π+=，所以sinsin sin cos cos sin sin()22222222tan tan 22cos cos cos cos cos cos222222A B A B A B A B A B A B A B A B +++=+==2cos cos 22A B ==，可得cos cos 22A B =， 又因为1cos()cos cos sin sin 2222222A B A B A B +=-=，故sin sin 22A B =.17. 【解析】（1）证明：由146n n a a +=+，可得124(2)n n a a ++=+，………………2分 因为11a =，所以20n a +>，故可得1242n n a a ++=+，所以数列{2}n a +是等比数列，首项为3，公比为4.………………………………………4分 （2）由（1）可知1234n n a -+=⨯，所以1342n n a -=⨯-.………………………………6分于是2124423422log log 2133n n n a b n -+⨯-+===-，………………………………8分 所以12211(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+，……………………………………10分 所以11111121133521212121n nT n n n n=-+-++-=-=-+++…………………12分18．【解析】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=， 得2AC =， 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，………2分 又AD ∥BC ，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，…………4分而AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ， 所以平面PAD ⊥平面PAC .………6分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直， 以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -， (0,0,2)P ，………8分所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-， 则1222(,,)3333PF PB ==-，所以224(,,)333F ，所以514(,,)333EF =-.设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………………………………………10分因为直线EF 与平面PDC 所成的角为θ，则2||sin |cos ,||||EF EF EF θ⋅=<>==⋅n n n |12分 19.【解析】（1）由抛物线定义可得0012px x +-=，解得2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =.……………………………………4分（2）证明：设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y .联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以12022y y y m +==，所以2021x m =+，即2(21,2)M m m +. 用1m -替换m ，得222(1,)N m m+-.…………………………………………………6分 当直线MN 的斜率存在时，斜率为22222()2121(1)m m m m m m--=-+-+，…………………8分 此时直线MN 的方程为222(21)1my m x m m -=---，整理可得2(3)1my x m =--，过定点（3,0）.………………………………………10分当直线MN 的斜率不存在时，易知1m =， 直线MN 的方程为3y =，也过定点（3,0）.综上，直线MN 恒过定点（3,0）……………………………………………………12分20.【解析】（1）某人选择方案二，若中奖一次，则付款3600元，比方案一优惠，所以选择方案二比选择方案一更优惠则需要至少中奖一次. 设某人没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，………………………………2分 所以甲乙丙三人至少有一人比选择方案一更优惠的概率为3315111[()]1()8512P A -=-=.………………………………………………………………4分（2）（i ）设实际付款金额为随机变量X ，由题意可得X 得取值为3600,3240,3060,2880.1(3600)8P X ==，13313(3240)()28P X C ===，23313(3060)()28P X C ===，33311(2880)()28P X C ===.…………………8分所以实际付款金额X 的分布列为于是()36003240306028803172.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 （ii ）若选择方案一，则需付款3300元，若选择方案二，则由（i ）可知只需付款3172.5元，所以实际付款金额的数学期望角度，选择方案二更合适.………………………12分21.【解析】（1）当3m =时， 1()3ln 2f x x x x=+-， 所以221(21)(1)()2(0)m x x f x x x x x--'=--=->…………………………………2分 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2上单调递减； 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2上单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以极小值为1()13ln 22f =-，极大值为(1)1f =-.……………………………4分（2）证明：当1m =时，1(1)ln(1)2(1)1f x x x x -=-+---，1x >-. 所以1(1)22x f x e x -->--等价与11ln(1)41x x e x --+>--， 证法一：先证明：11ln(1)1x x e x --+>-. 等价于1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-.………………………………………………6分 设()(1)ln(1)1g x x x =--+， 则()1ln(1)g x x '=+-， 令()0g x '=，得11x e =+，所以在1(1,1)e+上，()0g x '<，()g x 单调递减， 在1(1,)e ++∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，故11()(1)1g x g e e≥+=-.………8分 设1()(1)x h x x e -=-，则(2)()xe x h x e -'=，令()0h x '=，得2x =， 所以在(1,2)上，()0h x '>，()h x 单调递增，在(2,)+∞上，()0h x '<，()h x 单调递减，故1()(2)1h x h e<=-.………………10分 所以()()h x g x <，即1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-， 故11ln(1)1x x e x --+>-，所以11ln(1)41x x e x --+>--，原命题成立.………12分证法二：令1(0)t x t =->，则等价于1ln 4tt e t-++>，等价于ln 41tt t t te -++>.…………………6分构造函数()ln 41,()tg t t t t h t te -=++=，由()ln 5g t t '=+，令()ln 50g t t '=+=，得5t e -=，所以()g t 在5(0,)e -上单调递减，在5(,)e -+∞上单调递增，所以551()()1g t g e e -≥=-. …………………8分由1()t t h t e -'=，令1()0tth t e -'==，得1t =，所以()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以1()(1)h t h e≤=. …………………10分而5111e e->，所以()()g t h t >，即ln 41t t t t te -++>，命题得证. ……………12分22.【解析】(1)由2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 得30x y +-=, 所以直线l 的普通方程为30x y +-=. ……………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, 得22cos 2sin =+ρρθρθ.将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入化简,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . …………5分 (2)将2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程()()22112-+-=x y可得221)2⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,即210t -=, 设此方程的两个根为12,t t，则12121t t t t +==-，所以12||||||||PM PN t t +=+==. ……………………10分23.【解析】（1）()6f x <，即|1||2|6x x -+-<，当1x <时，126x x -+-<，解得312x -<<； 当12x ≤≤时，126x x -+-<，解得12x ≤≤； 当2x >时，126x x -+-<，解得922x <<； 综上所述，原不等式的解集为39{|}22x x -<<.………………………………………5分 （2）不等式()|2|[()|2|]b bf ab ab a f a a-->--即为|1||2||2|||(|1||2||2|)b b bab ab ab a a a a-+--->-+---， 故只需证明：|1|||ab b a ->-， 只需证明：22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->,从而原不等式成立.………………………………………………………………………10分。
安徽省名校大联盟2019届高三原创押题试卷数学试题（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷 选择题 60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U Z =，集合2{|20}M x x x x Z =--<∈，， {}1,0,1,2N =-，则()U C M N ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 2.复数()()134i i i++等于( )A. 7i +B. 7i -C. 77i +D. 77i -+3.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，则D. 若，，且，则4.执行如图所示的程序框图，则输出的最大值为（ ）A.B.C. 2D.5.若函数[])111sin20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A. B.()21872π+ C. ()21812π+D. ()21572π-6.函数()()log 01a x x f x a x=<<图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.7.设F 1,F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在一点P ，使得(|PF 1|－|PF 2|)2=b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A.B. C. 4D.8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 6B. 9C. 12D. 18 9.在等比数列中，为的前项和，若，则其公比为( )A. B. C. D.10.已知函数()2ln x f x e x x =++与函数()22x g x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],e -∞-B. 1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.(],1-∞- D. 1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦11.若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在12.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中,,A ωϕ为常数，且0A >， 0ω>， 2πϕ<)的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 34-B. 18- C. 18 D. 13第II 卷 非选择题 90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.在ABC ∆中， 030,B AC D ∠==是AB 边上的一点， 2CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为4，则BC = __________．14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时， ()2x f x =，则()2log 24f -=__________．15.设F 1，F 2为椭圆C 1： 221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|＝2，若椭圆C 1的离心率34,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________． 16.下列结论：①若0,0x y >>，则“2x y +=成立的一个充分不必要条件是“2x =，且1y =”；②存在1,0a x >>，使得log x a a x <；③若函数()()()4213f x x a x a x =--+-的导函数是奇函数，则实数3a =； ④平面上的动点P 到定点()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1的点P 的轨迹方程为24y x =.其中正确结论的序号为_________．(填写所有正确的结论序号）三、解答题(共6小题 ,共70分)17. (10分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos cos a b c B a B b A B +=. （1）求B ；（2）若b ABC =∆的面积为ABC ∆的周长.18. (12分)已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈ （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.19. (12分)已知椭圆2222:1()x y C a b c a b +=>>，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程．（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交于两点1P ， 2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP 、2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 20. (12分)已知等比数列{}n a 中， 13a =， ()*481a n N =∈．（1）若{}n b 为等差数列，且满足21b a =， 52b a =，求数列{}n b 的通项公式．（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90,ABD EB ∠=⊥平面,//,2,1,ABCD EF AB AB EB EF BC ====且M 是BD 的中点.EM平面ADF；（1）求证：//（2）求多面体ABCDEF的体积V.22. (12分)已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.高三文科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.A2.A3.D4.D5.B6.B7.D8.B9.A 10.C 11.B 12.B二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.414.3215.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.①②③三、解答题(共6小题 ,共70分)17．解析：（1）由题意及正弦定理得()sin sin cos sin cos cos B A B B A C B +=， ()sin sin sin sin cos B A B B C C B ∴+==，()0,C π∈，sin 0C ∴>，sin B B ∴=，∴tan B = 又()0,B π∈，3B π∴=．（2）1sin 23ABC S ac π∆=== 8ac ∴= ．由余弦定理得： 2222cos3b ac ac π=+-，22221122882a c a c ∴=+-⨯⨯=+-， ∴2220a c +=，∴()222236a c a c ac +=++=，6a c ∴+=，又b =ABC ∴∆的周长为6+.18.（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤. 解析：（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数. （2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.（3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤∴+≤⎣⎦∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.19.(1) 椭圆方程为2214x y +=;(2)见解析.解析：（I ）由题意得：c a =， 222a b c =+，又点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴221314a b +=，解得2a =， 1b =，c = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．………………5分（II ）存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+．由方程组22{ 14y kx mx y =++=得()222418440k x kmx m +++-=．∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()()22218441440km k m ∆=-+-=，即2241m k =+．由方程组222{y kx mx y r=++=得()2222120k x kmx m r +++-=， 则()()()222222410km k m r ∆=-+->． 设()()111222,,P x y P x y ，，则12221kmx x k -+=+，，设直线12OP OP ，的斜率分别为12k k ，， ∴22222222222222··111m r km k km m m r k k k m r m r k --++-++==--+，将2241m k =+代入上式， 得()()2212224141r k k k k r-+=+-． 要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，代入2∆验证知符合题意． ∴当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12P P ，满足12k k 为定值14-． 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±．此时，圆225x y +=与l 的交点12P P ，也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12P P ，满足直线12OP OP ，的斜率之积为定值14-．……………………12分 20.（1）21n b n =-；（2）1nn +解析：(Ⅰ)在等比数列{}n a 中, 13,a = 481a =. 所以,由341a a q =得3813q =,即327q =, 3q = 因此, 1333n n n a -=⨯=在等差数列{}n b 中,根据题意, 21523,9b a b a ==== 可得, 52932523b b d --===- 所以, ()()2232221n b b n d n n =+-=+-⨯=-6分 (Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,则3log 3n n b n ==, 因此有()1223111111111223341n n b b b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++12分 21.解析：（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF . 在DAB 中， M 是BD 的中点， N 是AD 的中点， 所以1//,2MN AB MN AB =，又因为1//,2EF AB EF AB =， 所以//MN EF 且MN EF =.所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN ，又因为FN ⊂平面,ADFEM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF .（2）F ABD F BED E BDC V V V V ---=++111233123333=⨯⨯⨯+⨯⨯=22.（1）；（2） 解析：（1），∵在处取到极值，∴，即，∴.经检验，时，在处取到极小值.（2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.a.当，即时，在上恒成立，∴，从而在上单调递增.又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.b.当，即时，存在，使时，，单调递减；时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意.③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.11。
安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考数学（文）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，求出集合，再解不等式，求出集合，最后求并集即可.【详解】解不等式得，即；解不等式得，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3.已知两个非零单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（）A. 在方向上的投影为B.C. ，D. 不存在，使【答案】A【解析】根据向量投影的定义可判断A；根据向量的数量积可判断B，C，D.【详解】因为两个非零单位向量，的夹角为，所以在方向上的投影为;故A错；又，所以；故B正确；因为，所以，故C正确；因为，因此不存在，使，故D正确.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的概念和计算公式即可，属于基础题型.4.安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.5.若，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，得出函数的单调性，根据，即可得出结果.【详解】令，则在R上单调递增，又，所以，解，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.6.过抛物线的焦点的直线交于，点处的切线与，轴分别交于点，，若的面积为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】先设，再求出点处的切线方程，进而求出，坐标，得到的面积，即可求出点坐标，求出的长.【详解】因为过抛物线的焦点的直线交于，所以设，又，所以，所以点处的切线方程为：,令可得，即；令可得，即,因为的面积为，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 47B. 48C. 39D. 40【答案】A【解析】【分析】按照程序框图逐步执行，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，执行循环体；，执行循环体；，执行循环体；，结束循环，.输出.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，按程序逐步执行即可，属于基础题型.8.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.9.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设点在第一象限、点在第四象限，，解三角形即可.【详解】不妨假设点在第一象限、点在第四象限，.则易知，，∴，在中，，，∴.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出，位置，以及的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.10.若关于的方程在区间上有且只有一解，则正数的最大值是（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】先将方程有且只有一解问题转化为函数与在区间上有且只有一个交点的问题，数形结合的思想即可求出的范围.【详解】因为可变为，所以方程在区间上有且只有一解可化为与在区间上有且只有一个交点,如图，由已知可得：设函数的最小正周期为，则，，∴.故选B【点睛】本题主要考查正弦函数图像，解题关键是运用数形结合的思想，将方程有且只有一解问题转化为函数与在区间上有且只有一个交点的问题，属于常考题型.11.已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的图象经过点先求出，的值，得到函数表达式；接下来分析该几何体为矩形绕轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为，结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.【详解】由，及得，，，，如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，所以于是圆柱的体积，当且仅当，即时，等号成立.故选B【点睛】本题主要考查旋转体的体积，结合基本不等式与体积公式即可求解，属于常考题型.12.正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线可知外接球半径，过作，为垂足，当垂直截面时，截面圆半径最小，进而得出面积.【详解】由，，两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴,过作，为垂足，,在中，，，∴，当垂直截面时，截面圆半径最小.，.故选C【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题，只需确定垂直截面时，截面圆半径最小，即可求解，属于常考题型.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13.若，则________．【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.14.若实数满足条件，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再由的几何意义是直线的纵截距的相反数，平移直线，根据图形可得结论.【详解】作出约束条件表示的可行域如图：的几何意义是直线的纵截距的相反数，由，可得交点坐标为，平移直线根据图形可知，当直线在经过时，取得最大值，最大值为7.故答案为7【点睛】本题主要考查线性规划，解题关键是作出出可行域，对目标函数进行平移，找出最优解，属于基础题型.15.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由与平面所成的角为，求出球的半径，进而可求出结果.【详解】设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型.16.在中，内角所对的边分别为．若，，且的面积等于，则________．【答案】【解析】【分析】由，，且的面积等于3，分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得出结果.【详解】因为，的面积等于，由，根据正弦定理可得，①由余弦定理可得，②由三角形面积公式得③由①②③得，，，.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求解，属于常考题型.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17.已知数列满足，．（I）证明是等比数列，并求的通项公式；（II）证明：．【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）由得，即可证明数列是等比数列；进而可求出的通项公式；（II）先由裂项相消法求，进而可证明结论成立.【详解】（I）由得。
安徽省芜湖市皖江名校联盟高三上学期第一次摸底联考数学试题【参考答案】2.【解析】因为1225i z i -==+，所以2i2i 3452i 2i 555z i z--===-++.3.【解析】因为{}n a是等比数列，所以88a ==±. 4.【解析】第一次循环：099,6S x =+==，第二次循环，93645,12S x =+==，第三次循环，45144189,24S x =+==，满足判断条件，退出循环体，输出S 的值为189.5.【解析】由题意得直线l 的方程为1y x -=，即10x y -+=.圆222220x y x y ++++=即为22(1)(1)4x y +++=，所以圆心到直线l 的距离2d ==，所以||AB === 6. 【解析】由统计图可知①,②正确,由689052-643974<744127-689052,可知③错误,由744127⨯0039.8≈ 296000,约为296千亿元,所以④ 错误,故选B.7. 【解析】由三视图可知，该几何体是半圆柱和半球的组合体，故其体积为23125121233V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.8.【解析】因为0m >，所以10210x x my x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域是以11(1,0),(,),(1,)22m m m m ++为顶点的三角形区域（包含边界），易得当目标函数4z x y =+经过平面区域内的点1(,)22m m m ++时，4z x y =+取得最小值，即min 41222m z m m =+=++，解得32m =.9.【解析】一方面MN MA AB BN =++，另一方面MN MD DC CN =++，两式相加，结合点M,N 分别是边AD,BC 的中点得2MN AB DC =+，两边平方可得2224||||2||MN AB AB DC DC =+⋅+，即8325AB DC =+⋅+，解得0AB DC ⋅=.10.【解析】由面面平行的性质定理可知12//,//BC l CE l ，则BCE ∠即为直线12,l l 所成的角，设正四面体ABCD 的棱长a ，则易得2PB PC a ==，所以2cos BCaBCE PC∠===a =ABCD 的表面积为142S ==. 11.【解析】()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+，因为存在1x ，对于任意的实数x ， 都有11()()(6)f x f x f x ≤≤+，所以11(),(6)f x f x +分别为函数()f x 的最小值和最大值，因为ω最小，所以周期最大，所以62T =，即12T =是周期的最大值，此时2126ππω==，于是()sin()64f x x ππ=+，故(3)sin()1244f πππ=+==.12.【解析】易知()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，333221()=111111x x x x b f x ax c ax c ax c b a b --+=+-+-=++-+++，令31()1x x b g x ax b -=++，则3311()()11x x xxb b g x ax ax g x b b-----=-+=-+=-++，所以()g x 是奇函数，所以当1c =时，()f x 时奇函数，故()f x 的奇偶性与,a b 无关，只与c 有关.13.15【解析】因为2(4)log (445)log 252a a f =++==-，所以15a =.14.【解析】由椭圆定义可知28t =，所以4t =，又半焦距c ==心率为c e t ===15. 3120π-【解析】由勾股定理可知该直角三角形的三条边长分别为8步、15步、17步，所以其内切圆半径为1(81517)32+-=步，所以所求概率为233111208152P ππ⨯=-=-⨯⨯.16．2322n n + 【解析】因为11222n n n T a a a -=+++，所以2112122222n n n n n T a a a a --=++++两式相加可得2111223132()2()2()2n n n n n n T a a a a a a a a --=+++++++212111122222222n nn n a --=+⨯+⨯+⨯+ 2(1)12n n n a =+-⨯+12n n n a =++，所以321nn n n b T a n =-=+，故{}n b 是等差数列，于是2(21)3222n n n n nS ++==+.17. 解：(1)因为3,6cos 2a C b c ==-，所以2cos 2a C b c =-， 即2sin cos 2sin sin A C B C =-，所以1cos 2A =，即3A π=.………………………6分 由余弦定理可得2222291cos 222b c a b c A bc bc +-+-===，所以229b c bc +-=， 而ABC ∆的面积1sin 23S bc π==9bc =，所以2299b c +-=， 即2218b c +=，化为2()218b c bc +-=，可得2()36b c +=，解得6b c +=，故ABC ∆的周长为9a b c ++=.…………………………………………………………12分18. 解：（1）22100(40302010)5016.66710.828604050503K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握认为“关注世界杯与性别有关”.…………………………………6分 易知分层抽样的方法抽取了4位男性和1位女性，设喜爱阿根廷队的三位市民为a,b,c ，另外两人为A,B ，则所有的基本事件为： （a,b ）,(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B), 其中恰好均选择喜爱阿根廷队的基本事件为（a,b ）,(a,c), (b,c)， 所以恰好均选择喜爱阿根廷队的市民的概率为310P =.……………………………12分 19. 解：（1）当12λ=时，1112A M CN CA A B ==，,M N 是线段AC B A ,1上的中点， 故在棱AB 上取一点P ，使得12AP AB =，……………………………………………2分 1112A M AN AP AC AB AB ===，11////,//BB AA MP BC NP ∴， 故当点P 是AB 中点时，平面//MNP 平面CB C B 11.…………………………………4分 （2）由1113A M CN CA AB λ===,可得(1))AN CA λλ=-=-，113A M AB λ==. 过M 作MQ AB ⊥交AB 于点Q ，则111111BA AM MQ BM AMAA BA BA BA -===-, 即2163MQ λ=-=，即4MQ =. ……………………………………………………8分 于是三棱锥1M A AN -体积11M A AN A ABN M ABN V V V ---=-11133ABN ABN SAA S MQ ∆∆=⋅⋅-⋅⋅221133643232⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯329=. ……………………12分20. 解：（1）由抛物线定义可得0012px x +-=，解得2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =.…………………………………………………4分（2）证明：设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y . 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以12022y y y m +==，所以2021x m =+，即2(21,2)M m m +. 用1m -替换m ，得222(1,)N m m+-. …………………………………………………6分当直线MN 的斜率存在时，斜率为22222()2121(1)m m m m m m--=-+-+，…………………8分 此时直线MN 的方程为222(21)1my m x m m -=---， 整理可得2(3)1my x m =--，过定点（3,0）.………………………………………10分 当直线MN 的斜率不存在时，易知1m =， 直线MN 的方程为3y =，也过定点（3,0）.综上，直线MN 恒过定点（3,0）.……………………………………………………12分21. 解：（1）因为()21xf x ae x '=--，所以0(0)20110f ae a '=-⨯-=-=，解得1a =. 设()f x 的导函数为()g x ，则()()21xg x f x e x '==--， 所以()2x g x e '=-，令()20xg x e '=-=，解得ln 2x =. 所以当ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.故()g x 的单调递减区间为(,ln 2)-∞，单调递增区间为(ln 2,)+∞.………………6分 （2）证明：由（1）知()g x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增.又因为323(1)30,()402g e g e =-<=->，所以由零点存在性定理可知存在唯一实数03(1,)2x ∈，使得000()210xg x e x =--=，即0021x ex =+，注意到0(0)2010g e =-⨯-=，所以()g x 存在两个零点：0，0x .………………8分 所以当0x <或0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在(,0)-∞，0(,)x +∞上单调递增；当0x <或00x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在0(0,)x 上单调递减.所以(0)f 是极大值，0()f x 时极小值.于是0222200000000015()211()024xf x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+>. ……………………………………………………………………………………………12分22. 解： (1)由2,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得30x y +-=, 所以直线l 的普通方程为30x y +-=. …………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, 得22cos 2sin =+ρρθρθ.将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入化简,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分将2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程()()22112-+-=x y 可得221()222⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭,即210t -=, 设此方程的两个根为12,t t，则12121t t t t +==-，所以12||||||||PM PN t t +=+=== …………10分23.解：（1）()6f x <，即|1||2|6x x -+-<，当1x <时，126x x -+-<，解得312x -<<； 当12x ≤≤时，126x x -+-<，解得12x ≤≤；当2x >时，126x x -+-<，解得922x <<； 综上所述，原不等式的解集为39{|}22x x -<<.………………………………………5分 （2）不等式()|2|[()|2|]b b f ab ab a f a a-->--即为 |1||2||2|||(|1||2||2|)b b b ab ab ab a a a a -+--->-+---， 故只需证明：|1|||ab b a ->-，只需证明：22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->,从而原不等式成立.………………………………………………………………………10分。
绝密★启用前【校级联考】安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考语文试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题阅读下面的文字，完成各题。
随着人工智能技术________，生活中的“刷脸”应用也越来越常见。
手机支付、高铁站安检、入住宾馆或是上班打卡，“刷脸”已经________，甚至在商场购物时，衣帽间前刷一刷脸，AI （人工智能）导购就能根据用户画像向你精准推荐个性化的服饰搭配。
一些地方还在执法监督、政务服务、医疗等领域广泛应用人脸识别系统，“刷脸”挂号、“刷脸”办理个税等都已成为现实。
（ ）尤其是在“刷脸”过程中，用户的姓名、性别、年龄、职业，甚至用户在不同情境状态下的情绪等大量信息都被采集并储存。
这些信息如果得不到妥善保管而被泄露，用户个人隐私就有可能处于“裸奔”状态。
在人脸识别技术蓬勃发展、行业应用________的当下，必须________、多管齐下，充分重视并保障用户的个人信息安全。
但在现实的信息收集环节中，还是有一些互联网企业没有达到法律法规与国家标准的要求，尤其是在人脸识别环节，更是缺少清晰的标准与界定。
这就需要有关部门加大对数据滥用、侵犯个人隐私、违背道德伦理等行为的处罚措施，同时加快制定相关的行业标准。
1．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是A ．这就需要有关部门加快制定相关的行业标准，同时加大对数据滥用、侵犯个人隐私、违背道德伦理等行为的处罚措施。
B ．这就需要有关部门加快制定相关的行业标准，同时加大对数据滥用、侵犯个人隐私、试卷第2页，总12页违背道德伦理等行为的处罚力度。
C ．这就需要有关部门加大对数据溢用、侵犯个人隐私、违背道德伦理等行为的处罚，同时加快制定相关的行业标准。
D ．这就需要有关部门加快制定相关的行业标准，同时加大对数据滥用、侵犯个人隐私、违背道德伦理等行为的处罚。
