极坐标练习题

极坐标方程大题练习题一、基本概念与性质1. 将直角坐标系下的点 (3, 4) 转换为极坐标系下的坐标。

2. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ，求对应的直角坐标方程。

3. 判断下列极坐标方程是否表示圆：(1) ρ = 6cosθ(2) ρ = 3 + 2sinθ4. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求极点与极轴之间的夹角。

二、极坐标方程的求解5. 求极坐标方程ρ = 4cosθ 与ρ = 2sinθ 的交点坐标。

6. 已知极坐标方程ρ = 3sinθ，求当θ =π/3 时的点坐标。

7. 解极坐标方程ρ = 5 3cosθ，求出所有可能的ρ 值。

8. 已知极坐标方程ρ = 4 2sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标。

三、极坐标方程的应用9. 在极坐标系中，求直线ρcosθ = 3 与圆ρ = 4sinθ 的交点坐标。

10. 已知点 A 在极坐标方程ρ = 6sinθ 上，点 B 在极坐标方程ρ = 4cosθ 上，求线段 AB 的长度。

11. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 3sinθ 与极轴围成的面积。

12. 已知极坐标方程ρ = 5cosθ，求该曲线所围成的图形的面积。

四、综合题13. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4sinθ 与直线θ = π/4 所围成的图形的面积。

14. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求该曲线关于极轴的对称曲线方程。

15. 在极坐标系中，求曲线ρ = 3 + 2sinθ 与极轴之间的夹角。

16. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线关于原点的对称曲线方程。

17. 在极坐标系中，求曲线ρ = 6sinθ 与直线ρcosθ = 3的交点坐标，并判断这些交点是否在第一象限。

18. 已知极坐标方程ρ = 5 4sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标，并计算这些交点与极点之间的距离。

五、极坐标方程的变换与简化19. 将极坐标方程ρ = 8cosθ 转换为直角坐标系下的方程，并简化。

极坐标练习题(含详细答案)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3) C ．(2，4π3，3) D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，π3)，则|CP|＝________.答案2 3解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案3＋1解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝yρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4) 解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)． 14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3) 解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)， ∴x ＝6cos11π6＝6cos π6＝6×32＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。

《极坐标系》经典练习题极坐标系经典练题极坐标系是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系。

它在数学和物理学中得到广泛应用。

下面是一些经典的练题，帮助你巩固对极坐标系的理解和运用。

1. 极坐标与直角坐标的转换给定一个点的极坐标形式为 $(r, \theta)$，将其转换为直角坐标形式。

- 练题1：$(5, \pi/4)$- 练题2：$(2, 3\pi/2)$- 练题3：$(3, 7\pi/6)$2. 点的极坐标表示给定一个点的直角坐标形式$(x, y)$，将其转换为极坐标形式。

- 练题1：$(3, 4)$- 练题2：$(0, -2)$- 练题3：$(-1, 1)$3. 极坐标系下的点间距离计算两个点在极坐标系下的距离。

- 练题1：点A的极坐标形式为 $(3, 2\pi/3)$，点B的极坐标形式为 $(7, 7\pi/6)$，计算AB之间的距离。

- 练题2：点C的极坐标形式为 $(2, \pi/4)$，点D的极坐标形式为 $(5, 3\pi/2)$，计算CD之间的距离。

4. 极坐标系下的点旋转将给定点绕坐标原点逆时针旋转一定角度。

- 练题1：点P的极坐标形式为 $(2, \pi/3)$，将点P绕坐标原点逆时针旋转 $-\pi/6$ 弧度，求旋转后点的极坐标形式。

- 练题2：点Q的极坐标形式为 $(4, -2\pi/3)$，将点Q绕坐标原点逆时针旋转 $\pi/4$ 弧度，求旋转后点的极坐标形式。

以上是极坐标系的经典练习题，通过解答这些题目，你可以加深对极坐标系的理解，并提升对极坐标转换、点距离和点旋转的运算能力。

祝你成功！。

数学高考极坐标真题高考数学是每一个学生心中的一块痛，尤其是极坐标这一部分，因其概念抽象、题型独特，让很多学生望而生畏。

今天，我们就来看一些高考数学中关于极坐标的真题，一起来挑战这些问题，看看自己的数学水平究竟如何。

一、选择题1.若极坐标系中点P的坐标为(2，π/2)，则该点在直角坐标系中的坐标是：A．(-2,0) B．（-2，0） C．（0，2） D．（0，-2）解析：在极坐标系中，点P的极坐标为(2，π/2)，则该点以原点为极点，沿着x轴正向，到圆点上的距离为2，且与x轴正向的夹角为π/2。

由正弦定理，得到该点在直角坐标系中的坐标为（0，2），故选C。

2.曲线r=1+cosθ所围封闭图形的面积等于：A．1 B．2 C．3 D．4解析：由题意可知，r=1+cosθ是一个半径为1的圆心在(-1/2,0)的圆。

封闭图形为该圆在极坐标系中所围成的图形，面积应该为整个单位圆的1/4减去该圆所围成的面积。

计算得到1-π*(1/4)^2=1-π/16，故选A。

二、解答题1.已知非零向量ā和b的夹角为120°，且|ā|=3，|b|=4，则|3ā+2b|的大小为多少？解析：首先要确定3ā和2b的方向，3ā的方向与ā的方向一致，长度变为3|ā|=9；2b的方向与b的方向一致，长度变为2|b|=8。

则3ā+2b 的大小即为9+8=17，故答案为17。

2.已知曲线r=a(1-cosθ)的极坐标方程，其中a>0，则此曲线在第一象限的极坐标方程是什么？解析：在第一象限中，θ的范围为0到π/2。

将θ代入极坐标方程中得到r=a(1-cos(0))=a, 所以在第一象限的极坐标方程就是r=a。

通过以上的练习题，希望大家对高考数学中关于极坐标的题型有了更深入的理解。

在日常练习中，多多进行题型类似的练习，相信在考场上就能游刃有余地解决这些问题。

【字数：490字】。

高中极坐标试题及答案一、选择题1. 在极坐标系中，点P的极坐标为(ρ,θ)，则点P的直角坐标为：A. (ρcosθ, ρsinθ)B. (ρsinθ, ρcosθ)C. (ρcosθ, -ρsinθ)D. (-ρcosθ, ρsinθ)答案：A2. 极坐标方程ρ = 2cosθ表示的曲线是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A二、填空题3. 已知点A的极坐标为(3, π/3)，求点A的直角坐标。

答案：(3/2, 3√3/2)4. 将极坐标方程ρ= 4sinθ转化为直角坐标方程。

答案：x² + (y - 2)² = 4三、解答题5. 已知极坐标方程ρ = 6cosθ，求该曲线的圆心和半径。

答案：圆心为(3, 0)，半径为3。

6. 将极坐标方程ρ = 2θ转换为直角坐标方程，并说明其代表的图形。

答案：直角坐标方程为x² + y² - 2y = 0，代表的图形是一个圆心在(0, 1)，半径为1的圆。

四、计算题7. 已知点P的极坐标为(5, π/4)，求点P到原点O的距离。

答案：58. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ + 2cosθ，求该曲线与极坐标轴的交点。

答案：交点为(2, π/4)和(2, 5π/4)。

五、证明题9. 证明极坐标方程ρ² = 2ρcosθ表示的曲线是一条直线。

答案：将极坐标方程ρ² = 2ρcosθ转换为直角坐标方程，得到x²+ y² = 2x，即(x - 1)² + y² = 1，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆的方程，因此原极坐标方程表示的曲线是一条直线。

六、应用题10. 一个圆的极坐标方程为ρ = 4，求该圆的面积。

答案：圆的面积为16π。

数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是（ ）A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .A ．2B ．3C ．22D ．22二．填空题11．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是12．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。

极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线C i ： x = — 2,圆C 2： (x — 1)2+ (y — 2)2= 1以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求C i , C 2的极坐标方程；n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 A —(卩€ R)，设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的 面积.解：(1)因为x = p cos 0, y = p in 0,所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2，C 2 的极坐标方程为 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0.(2)将 0= 4 代入 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0,得 p — 3.2p+ 4 = 0,解得 p = 2 2, p2= 2.故 p i — p= .2,即 |MN|= 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 +『=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；⑵设直线1: 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1, P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.由 x i + y 2= 1 得 x 2 + 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2+彳=1.x = cos t ,⑵由解得或2x + y — 2 = 0 y = 0y= 2.解：(1)设(x 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y)，依题意，得x = X 1 ,y = 2y 1,故C 的参数方程为 y = 2sin t(t 为参数).x+ / = 1, x = 1, x = 0,1 1不妨设P1(1, 0), P2(0, 2),则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线斜率为k=21 1于是所求直线方程为y- 1 = 2 x-2 •化为极坐标方程，并整理得2 pcos 0—4 p in 0= —3,34sin 0—2cos 0⑵(2015吉林长春二模，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴n为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p os 0 —"3 = 1，M , N分别为曲线C与x 轴，y轴的交点.①写出曲线C的直角坐标方程，并求M , N的极坐标；②设M , N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将 2 p os20= sin 0两边同乘以p,得2( p os 0)2= p in 0,化为直角坐标方程为2x2= y,①C2：p os 0= 1化为直角坐标方程为x= 1,②x= 1,联立①②可解得y=2,所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1, 2).⑵①••• QOS 0— 3 =1,n n「•pcos 0cos^ + p in 0sing =1.x= pcos 0, 1 3又・/私=1,y= psin 0,即曲线C的直角坐标方程为x+ 3y — 2 = 0.令y= 0,则x=2;令x= 0,则y=穿.2血•M(2, 0), N 0,亏.••M的极坐标为⑵0）, N的极坐标为罕②M , N连线的中点P的直角坐标为1,撐,P的极角为0= 6.•••直线OP的极坐标方程为0= 6（p€ R）・注：极坐标下点的坐标表示不唯【点拨】解答题（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题（2）先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.x= 4+ 5cost,（2013课标I , 23, 10分）已知曲线C i的参数方程为（t为参数），以坐y= 5+ 5sin t标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（p》0, 0W 0 V 2n ）.x —4 + 5cos t【解析】⑴将’消去参数t,化为普通方程为（x —4）2+ （y—5）2—25, y—5+ 5si n t即C1：x2+ y2—8x—10y+ 16—0.x—pcos 0,将代入x2+ y2—8x—10y+ 16—0,得y—psin 02p —8 p cos 0—10 p in 0+ 16—0.所以C1的极坐标方程为p2—8 pcos 0—10 p sin 0+ 16—0.⑵C2的普通方程为x2+ y2—2y—0.2 2x2+ y —8x—10y+ 16—0,联立C1, C2的方程2 2x + y —2y—0,x—1, x—0,解得或y— 1 y— 2.n n所以C l与C2交点的极坐标分别为羽，4 , 2, 2 .【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系xOy 中，圆C i：x2+ y2= 4,圆C2：(x—2)2+ y2 =4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程，并求出圆C i，C2的交点坐标(用极坐标表示)；⑵求圆C i与C2的公共弦的参数方程.x= p os 0,解:(1 )由y= p in 0,知圆C i的极坐标方程为尸2,圆C2的极坐标方程为4cos 02,2 2x + y = P尸2,n解得p= 2, 0= ±3,p= 4cos 0、. 、. n n故圆C i与圆C2的交点坐标为2 一，2 —一.2,32,3注：极坐标系下点的表示不唯一.x= p os 0,(2)方法一：由得圆C i与C2交点的直角坐标分别为(1,〔3), (1,—. 3).y= p in 0x= 1,故圆C i与C2的公共弦的参数方程为(一•. 3<3).y= tx= 1 ,或参数方程写成—,3<y< .3y= y,x= pcos 0, 方法二：将x= 1代入y= psin 0,1得p os 0= 1 ,从而p= .cos 0于是圆C i与C2的公共弦的参数方程为5. (2015河北邯郸二模，23, 10分)已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I 的Q.(1) 写出圆C 的直角坐标方程; (2) 求 |AP| |AQ|的值.解：(1)因为圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0, 所以 p= 2 p os 0,将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2^ 2x ， 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标乎，寸得直角坐标为A1, 1.V 3—i i i设t i , t 2为方程t 2— 2—t —2_0的两个根，贝u t i t 2_ — ^, i所以 |AP| |AQ|_ |t i t 2|_^.x _ tcos a ,2. （2015课标U, 23, 10分，中）在直角坐标系xOy 中，曲线C 仁（t 为y _ tsin a ,参数，t 丰0),其中0Wa<n .在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：p_ 2sin 0 , C 3： 尸 2.3cos 0 .X= 1,y= tan 0 nn—3=0<3 .参数方程为x =1 + 爭，(t 为参数)，点A 的极坐标为¥，~4，设直线i 与圆C 交于点P ， 将直线l 的参数方程x 」+二2 1 ? 1 1 尸 2+2t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2= 1, 1_20.（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；⑵若C 1与C 2相交于点A , C 1与C 3相交于点B ,求|ABI 的最大值. 解：（1）曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2— 2y = 0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 .3x = 0.x 2 + y 2 — 2y = 0, x 2 + y 2 — 2 3x = 0,x = 0, 解得 或 y = 0所以C 2与C 3交点的直角坐标为（0, 0）和 今,3⑵曲线C 1的极坐标方程为 A a p€ R ,卩工0），其中0W a n . 因此A 的极坐标为（2sin a, a, B 的极坐标为（2 3cos a, a - 所以 |AB A |2sin a — 2 3cos a3. （2015陕西，23, 10 分,易）在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为（t 为参数）,以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为PA 2 3 sin 9 .（1） 写出O C 的直角坐标方程；（2） P 为直线I 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.解：（1）由尸2 3sin 9,得p 2= 2^3 psin 9,从而有x 2 +寸=2 3y , 所以 X + (y —: ,；3)?= 3.x ==4 sin7ta —35 n当百时，AB|取得最大值，最大值为4.x = 3+ft ,⑵设P 3+ gt, ~23t，又C(o, 3),则|PC|= , 3+ ；t2+ jt —,：32= 't2+ 12,故当t = 0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5.(2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为P= 2cos 9 , 9 € 0,㊁.(1)求C的参数方程；⑵设点D在C 上, C在D处的切线与直线I: y= . 3x+ 2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：(1)C的普通方程为(x—1)2+ 卄1(0<y< 1).x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，0W t<冗).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t).由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆•因为 C- n 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t = .3, t=g故D的直角坐标为1 + cos —, sin§，即2，.x= 2cos t,7. (2013课标U , 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C: . (t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t= a与t= 2a0<a<2n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2a, 2sin 2 a),因此M(cos a+ cos 2a, sin a+ sin 2 0). M的轨迹的参数方程为X= cos a+ cos 2a,(a为参数,0<a<2冗). y= sin a+ sin 2a⑵M点到坐标原点的距离d= ‘x2+ y2= '2+ 2cos a(0< a<2 t).当a=n时，d = 0,故M的轨迹过坐标原点.2 2(2014课标I , 23, 10分)已知曲线C: ^4 +卷=1.直线I : x= 2 +1,y= 2 —2t (t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线, 交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.【思路导引】(1 )由基本关系式可消参求出普通方程; (2)把|PA|用参数B来表示，从而求其最值.x= 2cos 0,【解析】(1)曲线C的参数方程为(0为参数).y= 3sin 0直线I的普通方程为2x+ y-6= 0.⑵曲线C上任意一点P(2cos 0, 3sin B)到I的距离为d胡4cos 0+ 3sin 0- 6|.d 2^/5则|FA|= = —|5sin(0+ a) —6|,其中a为锐角，且tansin 30°54 a= 3.当sin(0+ c) = —1时，|PA|取得最大值，最大值为一5-. 当sin(0+ c) = 1时，|PA取得最小值，最小值为255.(2013辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点, X轴正半轴为极轴建立(1)求C l 与C 2交点的极坐标;⑵设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为x =t 3 + a ,b 3 ‘（t € R 为参数），求a , b 的值. y =2+ 1【解析】(1)圆C i 的直角坐标方程为x 2 + (y —2)2= 4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0.x 2+（ y — 2） 2= 4,X 1= 0, 解得x + y — 4= 0y 1 = 4,注：极坐标系下点的表示不唯一.方程为x — y + 2= 0.bb ab由参数万程可得 y = 2（x — a ） +1= ^x —2 +1， b = 12 '， 所以 「ab ,小—兀 + 1 = 2, 解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x = 2C0S a , 2011课标全国，23, 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y = 2+ 2sin a(a 为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；n⑵在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=§与C 1的异于极点的X 2= 2, y 2= 2.所以C 1与C 2交点的极坐标为4n ,2 2,⑵由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2), (1, 3).故直线PQ 的直角坐标交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB|.解：⑴设P(x , y).x 2— 2C0S a,由于M 点在C i 上，所以y .2— 2 + 2si n a, x —4cos a,即y — 4 + 4si n ax —4cos a,从而C 2的参数方程为 (a 为参数).y —4 + 4si n a⑵C i 化为普通方程为x 2+ (y - 2)2 — 4,故曲线C i 的极坐标方程为 尸4sin 9 ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为p — 8sin 9n射线9— 3与C i 的交点A 的极径为P 1 —n射线9— 3与C 2的交点B 的极径为p 2— 8扁—W3.所以 |AB|— | p — p |— 2 3.5. (2014辽宁锦州一模，23 , 10分)已知圆的极坐标方程为 p — 4.2p os(A~4)+ 6 —0.(1)将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x , y)在该圆上，求x + y 的最大值和最小值.解：⑴原方程变形为 p — 4p cos 9— 4psin 9+ 6 — 0 ,化直角坐标方程为 x 2 + y 2— 4x — 4y + 6— 0,即(x — 2)2 + (y — 2)2 — 2.x — 2+ 2cos a ,x则由条件知M 2,y-2 4sin§ — 2 . 3 , (2)设圆的参数方程为 (a 为参数)，点P(x , y)在圆上,y—2+ 2sin an则 x + y = 4+ 2sin a +_ .所以x + y 的最大值为6,最小值为2.6. (2015山西太原联考，23, 10分)已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点，x 轴的n非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为2.3,百，曲线C 的极坐标方程为P 2+ 2 3 p sin B = 1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；小值.解：(1)点P 的直角坐标为(3，3). 由 p + 2 3 psin 1，得 x 2 + y 2 + 2 3y = 1，即卩 x 2 + (y + , 3)2 = 4,•••曲线C 的直角坐标方程为x 2+ (y + ,3)2= 4.(2)曲线C 的参数方程为x = 2cos 0，厂(0为参数)，直线I 的普通方程为x — 2y — 7= 0.y =— .3 + 2sin 0 设 Q(2cos 0, — V 3+ 2sin 0)，3则M 2+ cos 0, sin 0，那么点M 到直线I 的距离为3+ cos 0— 2s in 0— 7cos 0— 2si n 0—5/sin (0-® + 号.一 11 —_5+1 =山 ,5 = 10 —'， ⑵若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线I :x = 3 + 2t ， y = — 2+1(t 为参数)距离的最•••点M到直线I的最小距离为儒一1.。

一、选择题1．极坐标方程分别是ρ ＝cos θ和ρ ＝sin θ的两个圆的圆心距是 ( )A ．2B ．2C ．1D ．22 2．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的极坐标方程为 ( ) A ．ρ ＝1B ．ρ ＝cos θC ．ρ ＝－θcos 1D ．ρ ＝θcos 1 3．极坐标方程ρ ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是 ( )4．圆ρ ＝a cos θ＋b sin θ与极轴相切的充要条件是 ( )A ．ab ＝0B ．ab ≠0C ．a ＝0，b ≠0D ．a ≠0，b ＝05．直线l 1：ρ sin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝2π－α 的位置关系是 ( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交 二、填空题6．点(－21，3π5)______(填“在”或“不在”)曲线ρ ＝2cos θ上． 7．圆ρ ＝2cos θ关于直线4π=θ(ρ ∈R )对称的圆的直角坐标方程是______． 8．点Q 是圆ρ ＝4cos θ上的一点，当Q 在圆上移动时，OQ (O 是极点)中点P 的轨迹的极坐标方程是______． 9．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线ρsin(6π-θ)＝1的距离等于______． 10．在极坐标系中，直线l 的方程为ρ sin θ＝3，则点(2，6π)到直线l 的距离为______． 三、解答题11．已知圆C 的圆心为(6，2π)，半径为5，直线θ＝α (0≤α ＜π，ρ ∈R )被圆截得的弦长为8，求α的值．12．求：(1)过A (2，4π)平行于极轴的直线的极坐标方程； (2)直线l 过A (3，3π)点，且向上的方向与极轴正方向成4π3，求直线l 的极坐标方程． 13．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1，求P 点的极坐标方程．参考答案测试八 直线与圆的极坐标方程一、选择题1．D 2．C 3．B 4．C 5．B二、填空题6．在 7．x 2＋y 2－2y ＝0 8．ρ ＝2cos θ 9．31+ 10．2．三、解答题11．解：如图，设直线与圆相交于A ，B 两点，作CD 垂直AB 于D ，则 | CD |＝3，| OC |＝6， 所以21|||||cos |==OC CD α，又0≤α＜π， 所以有3π=α或3π2=α．12．解：(1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ ，θ )．因为A )4π,2(，所以24πsin 2||=⋅=MH ， 在Rt △OMH 中，| MH |＝| OM | sin θ ， 即2sin =θρ，所以过A )4π,2(平行于极轴的直线方程为2sin =θρ·(2)如图所示，A )3π,3(，| OA |＝3，∠AOB ＝3π， 由已知∠MBx ＝4π3， 所以12π53π4π3=-=∠OAB ， 所以⋅=-=∠12π712π5πOAM 又∠OMA ＝∠MBx －θ ＝θ-4π3，在三角形MOA 中，根据正弦定理得12π7sin )4π3sin(3ρθ=-． 因为462)3π4πsin(12π7sin +=+=，将sin )4π3(θ-展开， 化简上面的方程，可得ρ (sin θ ＋cos θ )＝23233+． 所以，过A )3π,3(且和极轴成4π3的直线方程为ρ (sin θ ＋cos θ )＝23233+．13．解：以O 为极点，x 轴的正方向为极轴建立坐标系后，直线2x ＋4y －1＝0的方程化为2ρ cos θ ＋4ρ sin θ －1＝0．设M (ρ 0，θ 0)，P (ρ ，θ )，则 2ρ 0cos θ 0＋4ρ 0sin θ 0－1＝0．又⎩⎨⎧==，1,00ρρθθ可知⎪⎩⎪⎨⎧==，ρρθθ1,00将其代入得01sin 14cos 12=-+θρθρ． 所以ρ ＝2cos θ ＋4sin θ ，这是一个圆(ρ ≠0)．。

一、选择题1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线 3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝144.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝3 B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)5.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( ) A.ρ＝1 B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ6.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B.2 C.2D.2 27.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 8.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆 9.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 10.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( )A.ρ＝2a cos θB.ρ＝－2a cos θC.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ 11.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.重合 二、填空题12.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.13.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.三、解答题14.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.15.已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.16.(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程.17.在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 一、选择题1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. ∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线【解析】 ∵sin θ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线. 【答案】 B3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 【解析】 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故选D.【答案】 D4.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝3 B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)【解析】 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝yx －1(x ≠1). 又k P A ＋k PB ＝－1，即y x ＋1＋y x －1＝－1，得 x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)，故选B. 【答案】 B5.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρ＝1B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ【解析】 由题图可知ρcos(π－θ)＝1， 即ρ＝－1cos θ，故选C. 【答案】 C6.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B.2 C.2D.2 2【解析】 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中， ∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4， ∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B7.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 【解析】 点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3.【答案】 A8.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆【解析】 方程ρcos θ＝2sin 2θ可化为ρcos θ＝4sin θcos θ，即cos θ＝0或ρ＝4sin θ，方程cos θ＝0即θ＝k π＋π2，表示y 轴，方程ρ＝4sin θ即x 2＋y 2＝4y ，表示圆，故选C.【答案】 C9.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 【解析】 圆ρ＝r 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝r 2，① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ).两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ). ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .【答案】 D10.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( )A.ρ＝2a cos θB.ρ＝－2a cos θC.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ 【解析】 法一：根据对称规律，把⎩⎪⎨⎪⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin (－θ)，即ρ＝－2a sin θ. 法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3π2，半径仍为a ， 其方程应为：ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2，即ρ＝－2a sin θ. 【答案】 C11.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.重合【解析】 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin (θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行. 【答案】 B 二、填空题12.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.【解析】 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 113.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.【解析】 依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12，∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24，∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，∴y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2， ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2). 【答案】 (6－2，6＋2) 三、解答题14.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状. 【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14， 故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.15.已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.16.(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程. 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ， 则|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， 故圆C 的极坐标为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求.17.在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 【解】 (1)法一：∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二：设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22.∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2， 又|OA |＝|OB |＝2， ∴|AB |＝2 2.(2)法一：∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二：设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角， 则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4， 当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ， 由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin 34π， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22， 即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.同理，当∠PCO ＝π4时，极坐标方程也为 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。